4-劉次華《隨機過程及其應用(第三版)》課件

4平穩(wěn)隨機過程4平穩(wěn)隨機過程1內(nèi)容提要平穩(wěn)過程的概念與性質(zhì)平穩(wěn)過程

的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)過程的功率譜密度聯(lián)合平穩(wěn)過程內(nèi)容提要平穩(wěn)過程的概念與性質(zhì)24.1平穩(wěn)過程的概念與性質(zhì)[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機過程，若對任意常數(shù)和正整數(shù)n，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))與(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱{X(t),tT}為嚴平穩(wěn)過程，也稱狹義平穩(wěn)過程。嚴平穩(wěn)過程4.1平穩(wěn)過程的概念與性質(zhì)[定義]設(shè){X(t),t3N階平穩(wěn)過程[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機過程，若對于正整數(shù)nN和任意常數(shù)，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))與(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的n維聯(lián)合分布函數(shù)，則稱{X(t),tT}具有N階平穩(wěn)性。（其實，當n=N時條件滿足即可）N階平穩(wěn)過程[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機4寬平穩(wěn)過程[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機過程，如果

(1){X(t),tT}是二階矩過程；

(2)對任意tT，mX(t)=E{X(t)}=常數(shù)；（均值平穩(wěn)）

(3)對任意s

,tT，RX

(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(ts)；（自相關(guān)平穩(wěn)）

則稱{X(t),tT}為廣義平穩(wěn)過程，簡稱(寬)平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機過程5常用平穩(wěn)性之間的關(guān)系嚴平穩(wěn)n階平穩(wěn)(n>2)二階平穩(wěn)一階平穩(wěn)均值平穩(wěn)自相關(guān)平穩(wěn)廣義平穩(wěn)高斯過程常用平穩(wěn)性之間的關(guān)系嚴平穩(wěn)n階平穩(wěn)二階平穩(wěn)一階平穩(wěn)均值平穩(wěn)6例1——白噪聲設(shè){Xn

,n=0,1,2,}是實的互不相關(guān)隨機變量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=2，試討論隨機序列的平穩(wěn)性。[解]因為:(1)E[Xn]=0故隨機序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，因此它是平穩(wěn)隨機序列。例1——白噪聲設(shè){Xn,n=0,1,27例2設(shè)有狀態(tài)連續(xù)、時間離散的隨機過程X(t)=sin(2t)，其中為（0,1）上均勻分布的隨機變量，t只取整數(shù)值1,2,，試討論隨機過程X(t)的平穩(wěn)性。[解]因此X(t)是平穩(wěn)隨機過程。例2設(shè)有狀態(tài)連續(xù)、時間離散的隨機過程X(t)=sin8平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)[定理]設(shè)

{X(t),tT}是平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)RX()

具有下列性質(zhì)：(1)(2)(3)(5)若X(t)=X(t+T)，則有RX()=RX(+T)

；(4)RX()是非負定的，即(6)若X(t)是非周期過程，當時，X(t)與X(t+)相互獨立，則實平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)[定理]設(shè){X(t),tT94.2平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性對于隨機過程X(t,e)，對于每一個固定的tT

，X(t,e)是一個隨機變量，

E[X(t)]=mX(t)為統(tǒng)計平均。對于每一個固定的e

，X(t,e)是普通的時間函數(shù)，在T上對t取平均，即得時間平均。4.2平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性對于隨機過程X(t,e)10大數(shù)定理（回顧）設(shè)獨立同分布的隨機變量序列{Xn,n=1,2,}，具有E[Xn]=m,D[Xn]=2,(n=1,2,)，則只要觀測的時間足夠長，則隨機過程的每個樣本函數(shù)都能夠“遍歷”各種可能狀態(tài)——遍歷性（或各態(tài)歷經(jīng)性、埃爾古德性）大數(shù)定理表明，隨著時間的無限增長，隨機過程的樣本函數(shù)按時間平均以越來越大的概率近似于過程的統(tǒng)計平均。大數(shù)定理（回顧）設(shè)獨立同分布的隨機變量序列{Xn,n11時間均值和時間相關(guān)函數(shù)[定義]設(shè){X

(t),<t<}為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則分別稱

為該過程的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)。時間均值和時間相關(guān)函數(shù)[定義]設(shè){X(t),12各態(tài)歷經(jīng)性[定義]

如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程

{X

(t),tT}的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。[定義]

設(shè){X

(t),<t<}為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，若

以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若

以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性[定義]如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程{X(t),13CX()均值各態(tài)歷經(jīng)的充要條件[定理]

設(shè){X

(t),<t<}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為當X

(t)是實均方連續(xù)平穩(wěn)過程時，充要條件為CX()均值各態(tài)歷經(jīng)的充要條件[定理]設(shè){X(t14相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)的充要條件[定理]

設(shè){X

(t),<t<}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為當X

(t)是實均方連續(xù)平穩(wěn)過程時，充要條件為相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)的充要條件[定理]設(shè){X(t),150t<時的各態(tài)歷經(jīng)性（1）[定理1]

對于均方連續(xù)平穩(wěn)過程{X

(t),0

t<}，等式

以概率1成立的充要條件為若X

(t)為實平穩(wěn)過程，則充要條件為0t<時的各態(tài)歷經(jīng)性（1）[定理1]對于均方連續(xù)平穩(wěn)過160t<時的各態(tài)歷經(jīng)性（2）[定理2]

對于均方連續(xù)平穩(wěn)過程{X

(t),0

t<}，等式

以概率1成立的充要條件為若X

(t)為實平穩(wěn)過程，則充要條件為0t<時的各態(tài)歷經(jīng)性（2）[定理2]對于均方連續(xù)平穩(wěn)過17例3設(shè)有隨機相位過程X

(t)

=acos(t+)，a,為常數(shù)，為(0,2)上服從均勻分布的隨機變量，試問X

(t)是否為各態(tài)歷經(jīng)過程。故X

(t)是為各態(tài)歷經(jīng)過程。例3設(shè)有隨機相位過程X(t)=acos(t+)18各態(tài)歷經(jīng)性的重要意義如果一個實平穩(wěn)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用其任一樣本函數(shù)的時間平均代替平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均，即若樣本函數(shù)

x

(t)只在有限區(qū)間[0,T]上給出，則有各態(tài)歷經(jīng)性的重要意義如果一個實平穩(wěn)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用其194.3平穩(wěn)過程的功率譜密度帕塞伐公式：普通時間函數(shù)x(t)的譜分析能譜密度功率密度截尾函數(shù)：平均功率4.3平穩(wěn)過程的功率譜密度帕塞伐公式：普通時間函數(shù)x(20平穩(wěn)過程的譜分析設(shè)X(t)是均方連續(xù)的隨機過程，功率譜密度平穩(wěn)過程的譜分析設(shè)X(t)是均方連續(xù)的隨機過程，功率譜密21功率譜密度[定義]設(shè)

{X(t),<t<

}是均方連續(xù)的隨機過程，稱

為X(t)的平均功率。稱

為X(t)的功率譜密度，簡稱譜密度。當X(t)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程時，功率譜密度[定義]設(shè){X(t),<t<22[解][例4]

設(shè)有隨機過程X(t)=acos(0t+)，其中a,0

為常數(shù)，在下列情況下，求X(t)的平均功率

(1)是在(0,2)上服從均勻分布的隨機變量；

(2)是在(0,/2)上服從均勻分布的隨機變量。(1)隨機過程X(t)是平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平穩(wěn)過程[解][例4]設(shè)有隨機過程X(t)=acos(23功率譜密度的性質(zhì)設(shè)

{X(t),<t<

}是均方連續(xù)平穩(wěn)過程，RX

()為它的相關(guān)函數(shù)，其功率譜密度sX

()具有如下性質(zhì)：(1)（維納-辛欽定理）若，

則sX

()是RX

()的傅里葉變換；當X(t)為實平穩(wěn)過程時，功率譜密度的性質(zhì)設(shè){X(t),<t<24譜密度的性質(zhì)sX

()是的實值非負函數(shù)；實平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)；(4)當sX

()是的有理函數(shù)時，其形式必為其中a2ni,b2mj

(i=0,2,,2n,j=2,4,,2m)為常數(shù)，且a2n>0,m>n，分母無實根。譜密度的性質(zhì)sX()是的實值非負函數(shù)；(4)25sX()單邊功率譜單邊功率譜——實平穩(wěn)過程的譜密度

sX

()是偶函數(shù)，因而可將負的頻率范圍內(nèi)的值折算到正頻率范圍內(nèi)。GX()sX()單邊功率譜單邊功率譜——實平穩(wěn)過程的譜密度sX26例5[解]已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為，其中a>0,0

為常數(shù)，求譜密度sX().例5[解]已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為27常見的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)及相應的譜密度參見表7.1（P150）常見的平穩(wěn)過程的28窄帶過程相關(guān)函數(shù)：窄帶隨機過程——譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)。譜密度：sX()s012-2-10RX()0窄帶過程相關(guān)函數(shù)：窄帶隨機過程——譜密度限制在很窄的一段頻率29白噪聲過程[定義]設(shè)

{X(t),<t<

}為實平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，即sX

()=N0(<<)

，則稱X(t)為白噪聲過程。相關(guān)函數(shù)：[定義2]

稱均值為零、相關(guān)函數(shù)RX

()=N0()的實平穩(wěn)過程為白噪聲過程。白噪聲過程[定義]設(shè){X(t),<t<304.4聯(lián)合平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)過程X(t)Y(t)W(t)=X(t)+Y(t)

是否平穩(wěn)？4.4聯(lián)合平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)過31聯(lián)合平穩(wěn)過程的定義[定義]設(shè)

{X(t),tT}和{Y(t),tT}是兩個平穩(wěn)過程，若它們的互相關(guān)函數(shù)及僅與有關(guān)，而與t無關(guān)，則稱

X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程。它們的和W(t)=X(t)+Y(t)也是平穩(wěn)過程。聯(lián)合平穩(wěn)過程的定義[定義]設(shè){X(t),tT}32互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)過程

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)具有性質(zhì)：(1)(2)對于實平穩(wěn)過程，互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的33聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度[定義]設(shè)X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)過程，且它們是聯(lián)合平穩(wěn)（平穩(wěn)相關(guān)）的，若它們的互相關(guān)函數(shù)RXY()滿足，則稱

是X(t)和Y(t)的互功率譜密度，簡稱互譜密度。聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度[定義]設(shè)X(t)和Y(t34互譜密度的性質(zhì)(1)(3)(4)若X(t)和

Y(t)相互正交，則(2)Re[sXY()]和Re[sYX()]是的偶函數(shù)，而Im[sXY()]和Im[sYX()]是的奇函數(shù)；互譜密度的性質(zhì)(1)(3)(4)若X(t)和Y35聯(lián)合平穩(wěn)過程的譜密度若

X(t)和Y(t)相互正交，則設(shè)X(t)和Y(t)是兩個平穩(wěn)過程，且它們是平穩(wěn)相關(guān)的，W(t)=X(t)+Y(t)，則聯(lián)合平穩(wěn)過程的譜密度若X(t)和Y(t)相互正交，36[例6]

如圖所示X(t)是平穩(wěn)過程，分析過程Y(t)的平穩(wěn)性。[解]故Y(t)是平穩(wěn)過程。X(t)Y(t)延遲T[例6]如圖所示X(t)是平穩(wěn)過程，分析過程Y(t)374平穩(wěn)隨機過程4平穩(wěn)隨機過程38內(nèi)容提要平穩(wěn)過程的概念與性質(zhì)平穩(wěn)過程

的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)過程的功率譜密度聯(lián)合平穩(wěn)過程內(nèi)容提要平穩(wěn)過程的概念與性質(zhì)394.1平穩(wěn)過程的概念與性質(zhì)[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機過程，若對任意常數(shù)和正整數(shù)n，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))與(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱{X(t),tT}為嚴平穩(wěn)過程，也稱狹義平穩(wěn)過程。嚴平穩(wěn)過程4.1平穩(wěn)過程的概念與性質(zhì)[定義]設(shè){X(t),t40N階平穩(wěn)過程[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機過程，若對于正整數(shù)nN和任意常數(shù)，t1,t2,…,tnT，t1+,t2+,…,tn+T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))與(X(t1+),X(t2+),…,X(tn+))有相同的n維聯(lián)合分布函數(shù)，則稱{X(t),tT}具有N階平穩(wěn)性。（其實，當n=N時條件滿足即可）N階平穩(wěn)過程[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機41寬平穩(wěn)過程[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機過程，如果

(1){X(t),tT}是二階矩過程；

(2)對任意tT，mX(t)=E{X(t)}=常數(shù)；（均值平穩(wěn)）

(3)對任意s

,tT，RX

(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(ts)；（自相關(guān)平穩(wěn)）

則稱{X(t),tT}為廣義平穩(wěn)過程，簡稱(寬)平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程[定義]設(shè){X(t),tT}是隨機過程42常用平穩(wěn)性之間的關(guān)系嚴平穩(wěn)n階平穩(wěn)(n>2)二階平穩(wěn)一階平穩(wěn)均值平穩(wěn)自相關(guān)平穩(wěn)廣義平穩(wěn)高斯過程常用平穩(wěn)性之間的關(guān)系嚴平穩(wěn)n階平穩(wěn)二階平穩(wěn)一階平穩(wěn)均值平穩(wěn)43例1——白噪聲設(shè){Xn

,n=0,1,2,}是實的互不相關(guān)隨機變量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]=2，試討論隨機序列的平穩(wěn)性。[解]因為:(1)E[Xn]=0故隨機序列的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，因此它是平穩(wěn)隨機序列。例1——白噪聲設(shè){Xn,n=0,1,244例2設(shè)有狀態(tài)連續(xù)、時間離散的隨機過程X(t)=sin(2t)，其中為（0,1）上均勻分布的隨機變量，t只取整數(shù)值1,2,，試討論隨機過程X(t)的平穩(wěn)性。[解]因此X(t)是平穩(wěn)隨機過程。例2設(shè)有狀態(tài)連續(xù)、時間離散的隨機過程X(t)=sin45平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)[定理]設(shè)

{X(t),tT}是平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)RX()

具有下列性質(zhì)：(1)(2)(3)(5)若X(t)=X(t+T)，則有RX()=RX(+T)

；(4)RX()是非負定的，即(6)若X(t)是非周期過程，當時，X(t)與X(t+)相互獨立，則實平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)[定理]設(shè){X(t),tT464.2平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性對于隨機過程X(t,e)，對于每一個固定的tT

，X(t,e)是一個隨機變量，

E[X(t)]=mX(t)為統(tǒng)計平均。對于每一個固定的e

，X(t,e)是普通的時間函數(shù)，在T上對t取平均，即得時間平均。4.2平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性對于隨機過程X(t,e)47大數(shù)定理（回顧）設(shè)獨立同分布的隨機變量序列{Xn,n=1,2,}，具有E[Xn]=m,D[Xn]=2,(n=1,2,)，則只要觀測的時間足夠長，則隨機過程的每個樣本函數(shù)都能夠“遍歷”各種可能狀態(tài)——遍歷性（或各態(tài)歷經(jīng)性、埃爾古德性）大數(shù)定理表明，隨著時間的無限增長，隨機過程的樣本函數(shù)按時間平均以越來越大的概率近似于過程的統(tǒng)計平均。大數(shù)定理（回顧）設(shè)獨立同分布的隨機變量序列{Xn,n48時間均值和時間相關(guān)函數(shù)[定義]設(shè){X

(t),<t<}為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則分別稱

為該過程的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)。時間均值和時間相關(guān)函數(shù)[定義]設(shè){X(t),49各態(tài)歷經(jīng)性[定義]

如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程

{X

(t),tT}的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。[定義]

設(shè){X

(t),<t<}為均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，若

以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。若

以概率1成立，則稱該平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性[定義]如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程{X(t),50CX()均值各態(tài)歷經(jīng)的充要條件[定理]

設(shè){X

(t),<t<}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則它的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為當X

(t)是實均方連續(xù)平穩(wěn)過程時，充要條件為CX()均值各態(tài)歷經(jīng)的充要條件[定理]設(shè){X(t51相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)的充要條件[定理]

設(shè){X

(t),<t<}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，則其相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件為當X

(t)是實均方連續(xù)平穩(wěn)過程時，充要條件為相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)的充要條件[定理]設(shè){X(t),520t<時的各態(tài)歷經(jīng)性（1）[定理1]

對于均方連續(xù)平穩(wěn)過程{X

(t),0

t<}，等式

以概率1成立的充要條件為若X

(t)為實平穩(wěn)過程，則充要條件為0t<時的各態(tài)歷經(jīng)性（1）[定理1]對于均方連續(xù)平穩(wěn)過530t<時的各態(tài)歷經(jīng)性（2）[定理2]

對于均方連續(xù)平穩(wěn)過程{X

(t),0

t<}，等式

以概率1成立的充要條件為若X

(t)為實平穩(wěn)過程，則充要條件為0t<時的各態(tài)歷經(jīng)性（2）[定理2]對于均方連續(xù)平穩(wěn)過54例3設(shè)有隨機相位過程X

(t)

=acos(t+)，a,為常數(shù)，為(0,2)上服從均勻分布的隨機變量，試問X

(t)是否為各態(tài)歷經(jīng)過程。故X

(t)是為各態(tài)歷經(jīng)過程。例3設(shè)有隨機相位過程X(t)=acos(t+)55各態(tài)歷經(jīng)性的重要意義如果一個實平穩(wěn)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用其任一樣本函數(shù)的時間平均代替平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均，即若樣本函數(shù)

x

(t)只在有限區(qū)間[0,T]上給出，則有各態(tài)歷經(jīng)性的重要意義如果一個實平穩(wěn)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，則可用其564.3平穩(wěn)過程的功率譜密度帕塞伐公式：普通時間函數(shù)x(t)的譜分析能譜密度功率密度截尾函數(shù)：平均功率4.3平穩(wěn)過程的功率譜密度帕塞伐公式：普通時間函數(shù)x(57平穩(wěn)過程的譜分析設(shè)X(t)是均方連續(xù)的隨機過程，功率譜密度平穩(wěn)過程的譜分析設(shè)X(t)是均方連續(xù)的隨機過程，功率譜密58功率譜密度[定義]設(shè)

{X(t),<t<

}是均方連續(xù)的隨機過程，稱

為X(t)的平均功率。稱

為X(t)的功率譜密度，簡稱譜密度。當X(t)是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程時，功率譜密度[定義]設(shè){X(t),<t<59[解][例4]

設(shè)有隨機過程X(t)=acos(0t+)，其中a,0

為常數(shù)，在下列情況下，求X(t)的平均功率

(1)是在(0,2)上服從均勻分布的隨機變量；

(2)是在(0,/2)上服從均勻分布的隨機變量。(1)隨機過程X(t)是平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)：平均功率：(2)平均功率：X(t)是非平穩(wěn)過程[解][例4]設(shè)有隨機過程X(t)=acos(60功率譜密度的性質(zhì)設(shè)

{X(t),<t<

}是均方連續(xù)平穩(wěn)過程，RX

()為它的相關(guān)函數(shù)，其功率譜密度sX

()具有如下性質(zhì)：(1)（維納-辛欽定理）若，

則sX

()是RX

()的傅里葉變換；當X(t)為實平穩(wěn)過程時，功率譜密度的性質(zhì)設(shè){X(t),<t<61譜密度的性質(zhì)sX

()是的實值非負函數(shù)；實平穩(wěn)過程的譜密度是偶函數(shù)；(4)當sX

()是的有理函數(shù)時，其形式必為其中a2ni,b2mj

(i=0,2,,2n,j=2,4,,2m)為常數(shù)，且a2n>0,m>n，分母無實根。譜密度的性質(zhì)sX()是的實值非負函數(shù)；(4)62sX()單邊功率譜單邊功率譜——實平穩(wěn)過程的譜密度

sX

()是偶函數(shù)，因而可將負的頻率范圍內(nèi)的值折算到正頻率范圍內(nèi)。GX()sX()單邊功率譜單邊功率譜——實平穩(wěn)過程的譜密度sX63例5[解]已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為，其中a>0,0

為常數(shù)，求譜密度sX().例5[解]已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)為64常見的平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)及相應的譜密度參見表7.1（P150）常見的平穩(wěn)過程的65窄帶過程相關(guān)函數(shù)：窄帶隨機過程——譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)。譜密度：sX()s012-2-10RX()0窄帶過程相關(guān)函數(shù)：窄帶隨機過程——譜密度限制在很窄的一段頻率66白噪聲過程[定義]設(shè)

{X(t),<t<

}為實平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密度在所有頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，即sX

()=N0