4第四節(jié)用根軌跡分析系統(tǒng)性能課件

第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法11/21/20221第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法11/21/20221

利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對系統(tǒng)進行校正。11/21/20222利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進行分析和校正11一、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定

利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點為：在s平面上的分布如右圖：閉環(huán)極點的張角為：所以稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。11/21/20223一、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定利用我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標是超調量和調整時間。這些性能指標和閉環(huán)極點的關系如下：若閉環(huán)極點落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：的關系如下圖11/21/20224我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標是超調量上述結論也可應用于具有主導極點的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-12]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應的最大超調量，試確定開環(huán)放大系數(shù)。[解]：首先畫出根軌跡如右。根據(jù)計算知道：根軌跡與虛軸的交點為，這時的臨界增益當時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。11/21/20225上述結論也可應用于具有主導極點的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-下面計算超調量和阻尼角的關系。由于：當時解得：這是一個三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著的增加，主導極點越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標近似計算。在根軌跡圖上畫兩條與實軸夾角為的直線，與根軌跡交與A、B兩點。則A、B兩點就是閉環(huán)共軛主導極點，這時系統(tǒng)的超調量小于18%。通過求A、B兩點的坐標，可以確定這時的根軌跡增益，進而求得開環(huán)放大系數(shù)k。設A點坐標為：，則：（1）相角條件為：（2）11/21/20226下面計算超調量和阻尼角的關系。由于：當由(1)，(2)式解得：共軛主導極點為：。開環(huán)傳遞函數(shù)以的形式表示時，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然的關系為：，式中不計為0極點。所以，開環(huán)放大系數(shù)：由于閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，所以另一個閉環(huán)極點為：。該極點是共軛復極點實部的6倍多。解得：也可令代入特征方程實部方程虛部方程11/21/20227由(1)，(2)式解得：共軛主導極點為：例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⒈畫出根軌跡⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調量δ%≤5%的要求？⒊能否通過選擇Kg滿足調節(jié)時間ts≤2秒的要求？⒋能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp≥10的要求？解：⒈畫根軌跡①實軸無根軌跡②漸近線s=-2.5，q=±45°,±135°③與虛軸交點w=±2，Kgp=10011/21/20228例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⒈畫出根軌跡解：⒈畫根軌跡111/21/2022911/21/20229⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調量δ%≤5%的要求？當取阻尼角為45°的主導極點時，δ%≤5%的要求。由根軌跡可見阻尼角為45°的線與根軌跡相交，可求得主導極點為s=－0.8+0.8j，另一對極點為s=－4.2+0.8j相差5.25倍，滿足主導極點的要求。⒊能否通過選擇Kg滿足調節(jié)時間ts≤2秒的要求？⒋能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp≥10的要求？要求ts≤2秒，即要求3/s≤2，s≥1.5。由根軌跡可知主導極點的實部≤1，所以不能通過選擇Kg滿足ts≤2秒的要求。所以不能通過選擇Kg滿足Kp≥10的要求。11/21/202210⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調量δ%≤5%的要求？當取阻尼角問題⒈增加開環(huán)零點改變根軌跡，因而改變閉環(huán)極點。那么是否改變閉環(huán)零點？⒉當兩個系統(tǒng)的根軌跡相同并選擇相同的閉環(huán)極點時，這兩個系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是否一樣？11/21/202211問題11/21/202211二、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根

例求如下代數(shù)方程的根解：為了將此題作為一個根軌跡問題來考慮，應將上式變換成根軌跡方程的形式。因式中無根軌跡增益，變換結果不唯一。11/21/202212二、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根例求如下代數(shù)方程的根解：11/21/20221311/21/202213[特別提示]：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。一般說，開環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個極點將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調整時間。11/21/202214[特別提示]：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。11/21/20221511/21/202215若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應的調整時間。11/21/202216若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計算系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

[解]：（1）畫根軌跡：11/21/202217例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為[解]：（1）畫根軌跡：1

求出射角：，得。該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點起始，終止于開環(huán)零點-1處；另兩條從原點以的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點處。會合分離點：由方程得解得在根軌跡上，因此是會合點。不在根軌跡上，舍去。11/21/202218

求出射角：求與虛軸交點系統(tǒng)特征方程為勞斯表為當時，由輔助方程，可求出根軌跡與虛軸的交點為。（2）由勞斯表可知當時，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個積分環(huán)節(jié)，屬Ⅲ型系統(tǒng)，Ⅲ型系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。11/21/202219求與虛軸交點11/21/202219畫根軌跡

分離(會合)點分別為-2.93和-17.07，分離(會合)角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。例4-14．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算當增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比是，并求此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應的閉環(huán)極點。11/21/202220畫根軌跡分離(會合)點分別為-2.93和-17當時，阻尼角，表示角的直線為OB,其方程為，代入特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得 由圖可知當時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比，特征根為。

11/21/202221當時，阻尼角，表示對于分離點－2.93，由幅值條件可知由根軌跡圖可知，當0<k<0.858時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等的負實數(shù)極點，其瞬態(tài)響應呈過阻尼狀態(tài)。當0.858<k<29.14時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)極點，其瞬態(tài)響應呈欠阻尼狀態(tài)。當29.14<k<∞時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負實數(shù)極點，瞬態(tài)響應又呈過阻尼狀態(tài)。對于會合點－17.07，有11/21/202222對于分離點－2.93，由幅值條件可知由根軌由坐標原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為。11/21/202223由坐標原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線[例4-15]：設系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)A有一個閉環(huán)零點，系統(tǒng)B沒有閉環(huán)零點。試求系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對應的閉環(huán)方塊圖。11/21/202224[例4-15]：設系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，且有相同的根軌②系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：[解]：①由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：11/21/202225②系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：[解]：①由于兩系統(tǒng)的根軌由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為：。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為：，反饋通路傳遞函數(shù)為：。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫為：，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。圖(a)A系統(tǒng)圖(b)B系統(tǒng)根軌跡相同的系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)極點都相同，但閉環(huán)零點卻不一定相同。11/21/202226由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)圖(a)[例4-16]:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。（1）寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）試用適當?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。11/21/202227[例4-16]:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。11/2[解]：①由根軌跡圖知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：提示：①加入比例微分控制后，系統(tǒng)增加了開環(huán)零點。②在系統(tǒng)中加入零點后，將使根軌跡左移，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

②當在系統(tǒng)中加入比例微分控制時，開環(huán)傳遞函數(shù)增加了一個零點，此時：這時漸近線與實軸的夾角為：，只要漸近線與負實軸相交,系統(tǒng)的根軌跡就在左半S平面。因此有： ，所以 。 11/21/202228[解]：①由根軌跡圖知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：單位反饋系統(tǒng)從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩(wěn)定性越好。a<6時，根軌跡全部在s左半平面。a=6時，根軌跡有一部分在虛軸上。a>6時，根軌跡有一部分在s右半平面。11/21/202229從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩(wěn)定性越第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法11/21/202230第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法11/21/20221

利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對系統(tǒng)進行校正。11/21/202231利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進行分析和校正11一、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定

利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點為：在s平面上的分布如右圖：閉環(huán)極點的張角為：所以稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。11/21/202232一、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定利用我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標是超調量和調整時間。這些性能指標和閉環(huán)極點的關系如下：若閉環(huán)極點落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：的關系如下圖11/21/202233我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標是超調量上述結論也可應用于具有主導極點的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-12]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應的最大超調量，試確定開環(huán)放大系數(shù)。[解]：首先畫出根軌跡如右。根據(jù)計算知道：根軌跡與虛軸的交點為，這時的臨界增益當時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。11/21/202234上述結論也可應用于具有主導極點的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-下面計算超調量和阻尼角的關系。由于：當時解得：這是一個三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著的增加，主導極點越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標近似計算。在根軌跡圖上畫兩條與實軸夾角為的直線，與根軌跡交與A、B兩點。則A、B兩點就是閉環(huán)共軛主導極點，這時系統(tǒng)的超調量小于18%。通過求A、B兩點的坐標，可以確定這時的根軌跡增益，進而求得開環(huán)放大系數(shù)k。設A點坐標為：，則：（1）相角條件為：（2）11/21/202235下面計算超調量和阻尼角的關系。由于：當由(1)，(2)式解得：共軛主導極點為：。開環(huán)傳遞函數(shù)以的形式表示時，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然的關系為：，式中不計為0極點。所以，開環(huán)放大系數(shù)：由于閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，所以另一個閉環(huán)極點為：。該極點是共軛復極點實部的6倍多。解得：也可令代入特征方程實部方程虛部方程11/21/202236由(1)，(2)式解得：共軛主導極點為：例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⒈畫出根軌跡⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調量δ%≤5%的要求？⒊能否通過選擇Kg滿足調節(jié)時間ts≤2秒的要求？⒋能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp≥10的要求？解：⒈畫根軌跡①實軸無根軌跡②漸近線s=-2.5，q=±45°,±135°③與虛軸交點w=±2，Kgp=10011/21/202237例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⒈畫出根軌跡解：⒈畫根軌跡111/21/20223811/21/20229⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調量δ%≤5%的要求？當取阻尼角為45°的主導極點時，δ%≤5%的要求。由根軌跡可見阻尼角為45°的線與根軌跡相交，可求得主導極點為s=－0.8+0.8j，另一對極點為s=－4.2+0.8j相差5.25倍，滿足主導極點的要求。⒊能否通過選擇Kg滿足調節(jié)時間ts≤2秒的要求？⒋能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp≥10的要求？要求ts≤2秒，即要求3/s≤2，s≥1.5。由根軌跡可知主導極點的實部≤1，所以不能通過選擇Kg滿足ts≤2秒的要求。所以不能通過選擇Kg滿足Kp≥10的要求。11/21/202239⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調量δ%≤5%的要求？當取阻尼角問題⒈增加開環(huán)零點改變根軌跡，因而改變閉環(huán)極點。那么是否改變閉環(huán)零點？⒉當兩個系統(tǒng)的根軌跡相同并選擇相同的閉環(huán)極點時，這兩個系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是否一樣？11/21/202240問題11/21/202211二、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根

例求如下代數(shù)方程的根解：為了將此題作為一個根軌跡問題來考慮，應將上式變換成根軌跡方程的形式。因式中無根軌跡增益，變換結果不唯一。11/21/202241二、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根例求如下代數(shù)方程的根解：11/21/20224211/21/202213[特別提示]：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。一般說，開環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個極點將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調整時間。11/21/202243[特別提示]：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。11/21/20224411/21/202215若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應的調整時間。11/21/202245若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計算系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

[解]：（1）畫根軌跡：11/21/202246例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為[解]：（1）畫根軌跡：1

求出射角：，得。該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點起始，終止于開環(huán)零點-1處；另兩條從原點以的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點處。會合分離點：由方程得解得在根軌跡上，因此是會合點。不在根軌跡上，舍去。11/21/202247

求出射角：求與虛軸交點系統(tǒng)特征方程為勞斯表為當時，由輔助方程，可求出根軌跡與虛軸的交點為。（2）由勞斯表可知當時，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個積分環(huán)節(jié)，屬Ⅲ型系統(tǒng)，Ⅲ型系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。11/21/202248求與虛軸交點11/21/202219畫根軌跡

分離(會合)點分別為-2.93和-17.07，分離(會合)角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。例4-14．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算當增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比是，并求此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應的閉環(huán)極點。11/21/202249畫根軌跡分離(會合)點分別為-2.93和-17當時，阻尼角，表示角的直線為OB,其方程為，代入特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得 由圖可知當時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比，特征根為。

11/21/202250當時，阻尼角，表示對于分離點－2.93，由幅值條件可知由根軌跡圖可知，當0<k<0.858時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等的負實數(shù)極點，其瞬態(tài)響應呈過阻尼狀態(tài)。當0.858<k<29.14時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)極點，其瞬態(tài)響應呈欠阻尼狀態(tài)。當29.14<k<∞時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負實數(shù)極點，瞬態(tài)響應又呈過阻尼狀態(tài)。對于會合點－17.07，有11/21/202251對于分離點－2.93，由幅值條件可知由根軌由坐標原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為。11/21/202252由坐標原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線[例4-15]：設系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)A有一個閉環(huán)零點，系統(tǒng)B沒有閉環(huán)零點。試求系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對應的閉環(huán)方塊圖。11/2