4第四節(jié)用根軌跡分析系統(tǒng)性能課件

第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法11/21/20221第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法11/21/20221

利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對系統(tǒng)進(jìn)行校正。11/21/20222利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正11一、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定

利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點為：在s平面上的分布如右圖：閉環(huán)極點的張角為：所以稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。11/21/20223一、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定利用我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)整時間。這些性能指標(biāo)和閉環(huán)極點的關(guān)系如下：若閉環(huán)極點落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：的關(guān)系如下圖11/21/20224我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量上述結(jié)論也可應(yīng)用于具有主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-12]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)放大系數(shù)。[解]：首先畫出根軌跡如右。根據(jù)計算知道：根軌跡與虛軸的交點為，這時的臨界增益當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。11/21/20225上述結(jié)論也可應(yīng)用于具有主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-下面計算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：當(dāng)時解得：這是一個三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著的增加，主導(dǎo)極點越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計算。在根軌跡圖上畫兩條與實軸夾角為的直線，與根軌跡交與A、B兩點。則A、B兩點就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點，這時系統(tǒng)的超調(diào)量小于18%。通過求A、B兩點的坐標(biāo)，可以確定這時的根軌跡增益，進(jìn)而求得開環(huán)放大系數(shù)k。設(shè)A點坐標(biāo)為：，則：（1）相角條件為：（2）11/21/20226下面計算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：當(dāng)由(1)，(2)式解得：共軛主導(dǎo)極點為：。開環(huán)傳遞函數(shù)以的形式表示時，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然的關(guān)系為：，式中不計為0極點。所以，開環(huán)放大系數(shù)：由于閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，所以另一個閉環(huán)極點為：。該極點是共軛復(fù)極點實部的6倍多。解得：也可令代入特征方程實部方程虛部方程11/21/20227由(1)，(2)式解得：共軛主導(dǎo)極點為：例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⒈畫出根軌跡⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調(diào)量δ%≤5%的要求？⒊能否通過選擇Kg滿足調(diào)節(jié)時間ts≤2秒的要求？⒋能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp≥10的要求？解：⒈畫根軌跡①實軸無根軌跡②漸近線s=-2.5，q=±45°,±135°③與虛軸交點w=±2，Kgp=10011/21/20228例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⒈畫出根軌跡解：⒈畫根軌跡111/21/2022911/21/20229⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調(diào)量δ%≤5%的要求？當(dāng)取阻尼角為45°的主導(dǎo)極點時，δ%≤5%的要求。由根軌跡可見阻尼角為45°的線與根軌跡相交，可求得主導(dǎo)極點為s=－0.8+0.8j，另一對極點為s=－4.2+0.8j相差5.25倍，滿足主導(dǎo)極點的要求。⒊能否通過選擇Kg滿足調(diào)節(jié)時間ts≤2秒的要求？⒋能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp≥10的要求？要求ts≤2秒，即要求3/s≤2，s≥1.5。由根軌跡可知主導(dǎo)極點的實部≤1，所以不能通過選擇Kg滿足ts≤2秒的要求。所以不能通過選擇Kg滿足Kp≥10的要求。11/21/202210⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調(diào)量δ%≤5%的要求？當(dāng)取阻尼角問題⒈增加開環(huán)零點改變根軌跡，因而改變閉環(huán)極點。那么是否改變閉環(huán)零點？⒉當(dāng)兩個系統(tǒng)的根軌跡相同并選擇相同的閉環(huán)極點時，這兩個系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是否一樣？11/21/202211問題11/21/202211二、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根

例求如下代數(shù)方程的根解：為了將此題作為一個根軌跡問題來考慮，應(yīng)將上式變換成根軌跡方程的形式。因式中無根軌跡增益，變換結(jié)果不唯一。11/21/202212二、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根例求如下代數(shù)方程的根解：11/21/20221311/21/202213[特別提示]：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。一般說，開環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個極點將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調(diào)整時間。11/21/202214[特別提示]：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。11/21/20221511/21/202215若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)整時間。11/21/202216若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計算系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

[解]：（1）畫根軌跡：11/21/202217例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為[解]：（1）畫根軌跡：1

求出射角：，得。該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點起始，終止于開環(huán)零點-1處；另兩條從原點以的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點處。會合分離點：由方程得解得在根軌跡上，因此是會合點。不在根軌跡上，舍去。11/21/202218

求出射角：求與虛軸交點系統(tǒng)特征方程為勞斯表為當(dāng)時，由輔助方程，可求出根軌跡與虛軸的交點為。（2）由勞斯表可知當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個積分環(huán)節(jié)，屬Ⅲ型系統(tǒng)，Ⅲ型系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。11/21/202219求與虛軸交點11/21/202219畫根軌跡

分離(會合)點分別為-2.93和-17.07，分離(會合)角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。例4-14．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算當(dāng)增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比是，并求此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點。11/21/202220畫根軌跡分離(會合)點分別為-2.93和-17當(dāng)時，阻尼角，表示角的直線為OB,其方程為，代入特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得 由圖可知當(dāng)時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比，特征根為。

11/21/202221當(dāng)時，阻尼角，表示對于分離點－2.93，由幅值條件可知由根軌跡圖可知，當(dāng)0<k<0.858時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等的負(fù)實數(shù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過阻尼狀態(tài)。當(dāng)0.858<k<29.14時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。當(dāng)29.14<k<∞時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負(fù)實數(shù)極點，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過阻尼狀態(tài)。對于會合點－17.07，有11/21/202222對于分離點－2.93，由幅值條件可知由根軌由坐標(biāo)原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負(fù)實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為。11/21/202223由坐標(biāo)原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線[例4-15]：設(shè)系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)A有一個閉環(huán)零點，系統(tǒng)B沒有閉環(huán)零點。試求系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對應(yīng)的閉環(huán)方塊圖。11/21/202224[例4-15]：設(shè)系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，且有相同的根軌②系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：[解]：①由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁圖可知系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：11/21/202225②系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：[解]：①由于兩系統(tǒng)的根軌由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)為：。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為：，反饋通路傳遞函數(shù)為：。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，因此，系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫為：，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。圖(a)A系統(tǒng)圖(b)B系統(tǒng)根軌跡相同的系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)極點都相同，但閉環(huán)零點卻不一定相同。11/21/202226由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù)圖(a)[例4-16]:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。（1）寫出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；（2）試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。11/21/202227[例4-16]:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。11/2[解]：①由根軌跡圖知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：提示：①加入比例微分控制后，系統(tǒng)增加了開環(huán)零點。②在系統(tǒng)中加入零點后，將使根軌跡左移，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

②當(dāng)在系統(tǒng)中加入比例微分控制時，開環(huán)傳遞函數(shù)增加了一個零點，此時：這時漸近線與實軸的夾角為：，只要漸近線與負(fù)實軸相交,系統(tǒng)的根軌跡就在左半S平面。因此有： ，所以 。 11/21/202228[解]：①由根軌跡圖知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：單位反饋系統(tǒng)從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩(wěn)定性越好。a<6時，根軌跡全部在s左半平面。a=6時，根軌跡有一部分在虛軸上。a>6時，根軌跡有一部分在s右半平面。11/21/202229從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩(wěn)定性越第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法11/21/202230第四節(jié)控制系統(tǒng)的根軌跡分析法11/21/20221

利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點的位置；分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能；根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)；對系統(tǒng)進(jìn)行校正。11/21/202231利用根軌跡，可以對閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正11一、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定

利用根軌跡可以清楚的看到開環(huán)根軌跡增益或其他開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為共軛極點為：在s平面上的分布如右圖：閉環(huán)極點的張角為：所以稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。11/21/202232一、瞬態(tài)性能分析和開環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定利用我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)整時間。這些性能指標(biāo)和閉環(huán)極點的關(guān)系如下：若閉環(huán)極點落在下圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：的關(guān)系如下圖11/21/202233我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量上述結(jié)論也可應(yīng)用于具有主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-12]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量，試確定開環(huán)放大系數(shù)。[解]：首先畫出根軌跡如右。根據(jù)計算知道：根軌跡與虛軸的交點為，這時的臨界增益當(dāng)時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。11/21/202234上述結(jié)論也可應(yīng)用于具有主導(dǎo)極點的高階系統(tǒng)中。如下例：[例4-下面計算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：當(dāng)時解得：這是一個三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著的增加，主導(dǎo)極點越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計算。在根軌跡圖上畫兩條與實軸夾角為的直線，與根軌跡交與A、B兩點。則A、B兩點就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點，這時系統(tǒng)的超調(diào)量小于18%。通過求A、B兩點的坐標(biāo)，可以確定這時的根軌跡增益，進(jìn)而求得開環(huán)放大系數(shù)k。設(shè)A點坐標(biāo)為：，則：（1）相角條件為：（2）11/21/202235下面計算超調(diào)量和阻尼角的關(guān)系。由于：當(dāng)由(1)，(2)式解得：共軛主導(dǎo)極點為：。開環(huán)傳遞函數(shù)以的形式表示時，k稱為開環(huán)放大系數(shù)。顯然的關(guān)系為：，式中不計為0極點。所以，開環(huán)放大系數(shù)：由于閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，所以另一個閉環(huán)極點為：。該極點是共軛復(fù)極點實部的6倍多。解得：也可令代入特征方程實部方程虛部方程11/21/202236由(1)，(2)式解得：共軛主導(dǎo)極點為：例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⒈畫出根軌跡⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調(diào)量δ%≤5%的要求？⒊能否通過選擇Kg滿足調(diào)節(jié)時間ts≤2秒的要求？⒋能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp≥10的要求？解：⒈畫根軌跡①實軸無根軌跡②漸近線s=-2.5，q=±45°,±135°③與虛軸交點w=±2，Kgp=10011/21/202237例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為⒈畫出根軌跡解：⒈畫根軌跡111/21/20223811/21/20229⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調(diào)量δ%≤5%的要求？當(dāng)取阻尼角為45°的主導(dǎo)極點時，δ%≤5%的要求。由根軌跡可見阻尼角為45°的線與根軌跡相交，可求得主導(dǎo)極點為s=－0.8+0.8j，另一對極點為s=－4.2+0.8j相差5.25倍，滿足主導(dǎo)極點的要求。⒊能否通過選擇Kg滿足調(diào)節(jié)時間ts≤2秒的要求？⒋能否通過選擇Kg滿足位置誤差系數(shù)Kp≥10的要求？要求ts≤2秒，即要求3/s≤2，s≥1.5。由根軌跡可知主導(dǎo)極點的實部≤1，所以不能通過選擇Kg滿足ts≤2秒的要求。所以不能通過選擇Kg滿足Kp≥10的要求。11/21/202239⒉能否通過選擇Kg滿足最大超調(diào)量δ%≤5%的要求？當(dāng)取阻尼角問題⒈增加開環(huán)零點改變根軌跡，因而改變閉環(huán)極點。那么是否改變閉環(huán)零點？⒉當(dāng)兩個系統(tǒng)的根軌跡相同并選擇相同的閉環(huán)極點時，這兩個系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是否一樣？11/21/202240問題11/21/202211二、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根

例求如下代數(shù)方程的根解：為了將此題作為一個根軌跡問題來考慮，應(yīng)將上式變換成根軌跡方程的形式。因式中無根軌跡增益，變換結(jié)果不唯一。11/21/202241二、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根例求如下代數(shù)方程的根解：11/21/20224211/21/202213[特別提示]：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。一般說，開環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個極點將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調(diào)整時間。11/21/202243[特別提示]：開環(huán)零、極點對根軌跡形狀的影響是值得注意的。11/21/20224411/21/202215若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)整時間。11/21/202245若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個零點，則原根軌跡向左移動。從例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍；（3）計算系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。

[解]：（1）畫根軌跡：11/21/202246例4-13．已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為[解]：（1）畫根軌跡：1

求出射角：，得。該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點起始，終止于開環(huán)零點-1處；另兩條從原點以的出射角起始，分別終止于-3和無窮零點處。會合分離點：由方程得解得在根軌跡上，因此是會合點。不在根軌跡上，舍去。11/21/202247

求出射角：求與虛軸交點系統(tǒng)特征方程為勞斯表為當(dāng)時，由輔助方程，可求出根軌跡與虛軸的交點為。（2）由勞斯表可知當(dāng)時，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）系統(tǒng)含有三個積分環(huán)節(jié)，屬Ⅲ型系統(tǒng)，Ⅲ型系統(tǒng)對于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。11/21/202248求與虛軸交點11/21/202219畫根軌跡

分離(會合)點分別為-2.93和-17.07，分離(會合)角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。例4-14．已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算當(dāng)增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比是，并求此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對應(yīng)的閉環(huán)極點。11/21/202249畫根軌跡分離(會合)點分別為-2.93和-17當(dāng)時，阻尼角，表示角的直線為OB,其方程為，代入特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得 由圖可知當(dāng)時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比，特征根為。

11/21/202250當(dāng)時，阻尼角，表示對于分離點－2.93，由幅值條件可知由根軌跡圖可知，當(dāng)0<k<0.858時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對不等的負(fù)實數(shù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過阻尼狀態(tài)。當(dāng)0.858<k<29.14時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)極點，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。當(dāng)29.14<k<∞時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負(fù)實數(shù)極點，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過阻尼狀態(tài)。對于會合點－17.07，有11/21/202251對于分離點－2.93，由幅值條件可知由根軌由坐標(biāo)原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線OB與負(fù)實軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時系統(tǒng)的閉環(huán)極點為。11/21/202252由坐標(biāo)原點作根軌跡圓的切線，此切線就是直線OB，直線[例4-15]：設(shè)系統(tǒng)A和B有相同的被控對象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)A有一個閉環(huán)零點，系統(tǒng)B沒有閉環(huán)零點。試求系統(tǒng)A和B的開環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對應(yīng)的閉環(huán)方塊圖。11/2