6教育統(tǒng)計學(xué)第六章課件

第六章抽樣分布及總體

平均數(shù)的推斷

第一節(jié)抽樣分布

第二節(jié)總體平均數(shù)的推斷

第三節(jié)假設(shè)檢驗的基本原理

第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗第六章抽樣分布及總體

平均數(shù)的1一、抽樣分布的概念區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布總體分布：總體內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布樣本分布：樣本內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布抽樣分布：某一統(tǒng)計量的頻數(shù)分布

第一節(jié)抽樣分布

二、平均數(shù)抽樣分布的幾個定理（1）從總體中隨機抽取容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)，即一、抽樣分布的概念第一節(jié)抽樣分布二、平均數(shù)抽2

（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標準差，等于總體標準差除以n的平方根，即（3）從服從正態(tài)分布的總體中，隨機抽取容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。（4）雖然總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體和的樣本平均數(shù)的抽樣分布，也接近于正態(tài)分布。（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標準差3以上幾條定理反應(yīng)了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)，一切可能樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之間的關(guān)系；平均數(shù)抽樣分布的標準差與總體標準差之間的關(guān)系。抽樣分布是統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)。實際中只能抽取一個隨機樣本根據(jù)一定的概率來推斷總體的參數(shù)。即使是抽取一切可能樣本，計算出的某種統(tǒng)計量與總體相應(yīng)參數(shù)的真值，大多也是不相同的，這是由于抽樣誤差的緣故。抽樣誤差用抽樣分布的標準差來表示。因此，某種統(tǒng)計量在抽樣分布上的標準差稱為該種統(tǒng)計量的標準誤。標準誤越小，表明樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)的可靠度越大，所以標準誤是統(tǒng)計推斷可靠性的指標。以上幾條定理反應(yīng)了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)4三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計量的形態(tài)

從正態(tài)總體中隨機抽取樣本容量為n的一切可能樣本平均數(shù)以總體平均數(shù)為中心呈正態(tài)分布。當總體標準差已知時：當總體標準差未知時：三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計量的形態(tài) 5總體標準差的無偏估計量為總體標準差的無偏估計量為6參數(shù)估計假設(shè)檢驗

一、總體參數(shù)估計的基本原理根據(jù)樣本統(tǒng)計量對相應(yīng)總體參數(shù)所作的估計叫總體參數(shù)估計?？傮w參數(shù)估計分為點估計和區(qū)間估計。1.點估計

點估計是指用樣本統(tǒng)計量的值來估計相應(yīng)總體參數(shù)的值。點估計的優(yōu)點在于它能夠提供總體參數(shù)的估計值；缺點在于它總是以誤差的存在為前提，但又不能提供正確估計的概率。第二節(jié)總體平均數(shù)的估計參數(shù)估計假7良好估計量的標準

（1）無偏性：用統(tǒng)計量估計總體參數(shù)一定會有誤差，不可能恰恰相同。因此，好的估計量應(yīng)該是一個無偏估計量，即用多個樣本的統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的估計值，其偏差的的平均值為0。

（2）有效性：當總體參數(shù)的無偏估計不止一個統(tǒng)計量，無偏估計變異性小者有效性高，變異大者有效性低。（3）一致性：當樣本容量無限增大時，估計量的值能越來越接近它所估計的總體參數(shù)值，估計值越來越精確，逐漸趨近于真值。（4）充分性：一個容量為的樣本統(tǒng)計量，是否充分地反映了全部個數(shù)據(jù)所反映總體的信息。

良好估計量的標準82.區(qū)間估計

區(qū)間估計的概念區(qū)間估計是指以樣本統(tǒng)計量的樣本分布為理論依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)值的所在范圍。置信區(qū)間與顯著性水平置信區(qū)間是指在某一置信度時，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度。

顯著性水平是指估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間時，可能犯錯誤的概率，用α表示。1－α為置信度或置信水平。2.區(qū)間估計9區(qū)間估計的原理

區(qū)間估計的原理是樣本分布理論。在計算區(qū)間估計值、解釋估計的正確概率時，依據(jù)是該樣本統(tǒng)計量的分布規(guī)律及樣本分布的標準誤。下面以平均數(shù)的區(qū)間估計為例，說明如何根據(jù)平均數(shù)的樣本分布及平均數(shù)分布的標準誤，計算置信區(qū)間和解釋成功估計的概率。當總體標準差σ為已知時，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布，此時樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)，標準誤。根據(jù)正態(tài)分布，可以說：有95%的落在

之間，或者說：

之間包含所有的的95%

，即

區(qū)間估計的原理10

但是，在實際研究中，只能得到一個樣本平均數(shù)，我們可以將這個樣本平均數(shù)看做是無限多個樣本平均數(shù)之中的一個。于是將上式經(jīng)過移項寫成這意味著有95%的μ落在之間，或者說，估計μ落在

之間正確的概率為95%

。

11估計總體平均數(shù)的步驟

（1）根據(jù)實得樣本的數(shù)據(jù)，計算樣本平均數(shù)與標準差。（2）計算標準誤。 （已知）或（未知）（3）確定置信區(qū)間或顯著性水平。（4）根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計表。（5）計算置信區(qū)間。（正態(tài)分布）或（ｔ分布）（6）解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。估計總體平均數(shù)的步驟12總體方差σ2已知時，對總體平均數(shù)μ的估計

（1）當總體分布為正態(tài)時

當總體分布為正態(tài)，總體方差已知時，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布，這時可用下式計算其置信區(qū)間：

（其中）（2）當總體分布為非正態(tài)時總體分布非正態(tài)，總體方差

已知，這時只有當樣本容量

時，其樣本平均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布，這時可用下式計算其置信區(qū)間：

（其中）總體方差σ2已知時，對總體平均數(shù)μ的估計（1）當總體分布13例如：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來標準差6.25cm，現(xiàn)從該校隨機抽27名10歲女童，測得平均身高為134.2cm，試估計該校全體10歲女童平均身高95%和99%置信區(qū)間。例如：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來標準差6.14總體方差σ2未知時，對總體平均數(shù)μ的估計

（1）當總體分布為正態(tài)時

當總體分布為正態(tài)，總體方差

未知時，樣本平均數(shù)的分布為ｔ分布，這時可用下式計算其置信區(qū)間：

（其中）

（2）當總體分布為非正態(tài)時總體分布非正態(tài)，總體方差

未知，這時只有當樣本容量

時，其樣本平均數(shù)的分布為漸近ｔ分布，這時可用下式計算其置信區(qū)間：

（其中）總體方差σ2未知時，對總體平均數(shù)μ的估計（1）當總體分布15小樣本的情況例如，從某小學(xué)二年級隨機抽取12名學(xué)生，其閱讀能力得分為28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、29、26.試估計該校二年級閱讀能力總體平均數(shù)95%和99%的置信區(qū)間。小樣本的情況例如，從某小學(xué)二年級隨機抽取12名16大樣本的情況例如，從某年高考中隨機抽取102份作文試卷，平均分數(shù)為26，標準差為1.5，估計總體平均數(shù)95%和99%的置信區(qū)間。說明：樣本容量n=103>30,t分布接近正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布近似處理。大樣本的情況例如，從某年高考中隨機抽取102份17第三節(jié)假設(shè)檢驗的基本原理

一、假設(shè)

假設(shè)是根據(jù)已知理論與事實對研究對象所做的假定性說明，統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)一般專指用統(tǒng)計學(xué)術(shù)語對總體參數(shù)所做的假定性說明。在進行任何一項研究時，都需要根據(jù)已有的理論和經(jīng)驗對研究結(jié)果作出一種預(yù)想的希望證實的假設(shè)，這種假設(shè)叫科學(xué)假設(shè)，用統(tǒng)計術(shù)語表示時叫研究假設(shè)（備擇假設(shè)），記作H1。在統(tǒng)計學(xué)中不能對H1的真實性直接檢驗，需要第三節(jié)假設(shè)檢驗的基本原理一、假設(shè)18建立與之對立的假設(shè)，稱做零假設(shè)（虛無假設(shè)，無差假設(shè)，原假設(shè)），記作H0。

假設(shè)檢驗的問題，就是要判斷零假設(shè)H0

是否正確，決定接受還是拒絕零假設(shè)H0，若拒絕零假設(shè)H0

，則接受備擇假設(shè)H1。假設(shè)檢驗是從零假設(shè)出發(fā)，視其被拒絕的機會，如果根據(jù)樣本信息，不得不否定零假設(shè)的真實性時，就不得不承認備擇假設(shè)的真實性，這時，就要拒絕零假設(shè)而接受備擇假設(shè)；如果根據(jù)樣本的信息不能否定零假設(shè)的真實性時，就要保留零假設(shè)而拒絕備擇假設(shè)。建立與之對立的假設(shè)，稱做零假設(shè)（虛無假設(shè)，無差假設(shè)，原假設(shè)）19

二、小概率事件

假設(shè)檢驗的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。為了檢驗零假設(shè)，首先假定零假設(shè)為真。在零假設(shè)為真的前提下，如果導(dǎo)致違反邏輯或違反人們常識和經(jīng)驗的不合理現(xiàn)象出現(xiàn)，則表明“零假設(shè)為真”的假定是不正確的，也就不難接受零假設(shè)。若沒有導(dǎo)致不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)，那就認為“零假設(shè)為真”的假定是正確的，也就是接受了零假設(shè)。二、小概率事件20假設(shè)檢驗中的“反證法”思想不同于數(shù)學(xué)中的反證法，后者是在假設(shè)某一條件下導(dǎo)致邏輯上的矛盾從而否定原來的假設(shè)。假設(shè)檢驗中“不合理現(xiàn)象”是指小概率事件在一次試驗中發(fā)生了，它是基于人們在實踐中廣泛采用的小概率事件原理（小概率事件原理是指“小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生”。通常情況下，將概率不超過0.05或0.01的事件當做“小概率事件”）。假設(shè)檢驗中的“反證法”思想不同于數(shù)學(xué)中的反證法，后者是21

三、假設(shè)檢驗中的兩類錯誤

統(tǒng)計學(xué)中將這類拒絕H0時所犯的錯誤稱做

α

錯誤，α

錯誤的概率，可以由研究者通過選擇適當?shù)娘@著性水平加以主動控制。稱這類接受H0時所犯的錯誤為β

錯誤，控制β錯誤的概率有以下兩種方法：①利用已知的實際總體參數(shù)值與假設(shè)參數(shù)值之間大小關(guān)系，合理安排拒絕區(qū)域的位置；②增大樣本的容量。兩類錯誤的關(guān)系：（1）

α＋β

不一定等于1；（2）

α

與β

不可能同時減小或增大；（3）1-β

反映著正確辨認真實差異的能力。三、假設(shè)檢驗中的兩類錯誤22單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗

只強調(diào)差異而不強調(diào)方向性的檢驗叫雙側(cè)檢驗，假設(shè)形式為強調(diào)某一方向的檢驗叫單側(cè)檢驗。右側(cè)檢驗：左側(cè)檢驗：單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗只強調(diào)差異而不強調(diào)方向23假設(shè)檢驗的步驟

（1）根據(jù)問題要求，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量并計算其值。（3）規(guī)定顯著性水平。（4）選擇檢驗的方式（單側(cè)還是雙側(cè)）。（5）做出統(tǒng)計決策。假設(shè)檢驗的步驟（1）根據(jù)問題要求，提出零假設(shè)和備擇24假設(shè)檢驗的基本思想引例

解假設(shè)檢驗的基本思想引例解25

我們知道,即使應(yīng)屆與歷屆成績一樣,即

成立,個別應(yīng)屆畢業(yè)生成績也是有波動的，成績r.v.正說明了這一點.故實測值與理論值總有一些差異.

用數(shù)理統(tǒng)計的語言就是說:如果

成立,即往屆應(yīng)屆成績一樣.

如果

不成立,即往屆應(yīng)屆成績不一樣.我們知道,即使應(yīng)屆與歷屆成績一樣,即26如何確定k呢?對于適當小的正數(shù)α(α=0.05,0.01,等),如何確定k呢?對于適當小的正數(shù)α(α=0.05,0.01,27由實際推斷原理若為真由實際推斷原理若為真28綜述假設(shè)檢驗方法的基本思想是:由樣本出發(fā),在為真的前提下通過對被檢參數(shù)的點估計量,結(jié)合統(tǒng)計量的分布,構(gòu)造統(tǒng)計量(樞軸函數(shù)),由此結(jié)合實際,并利用上α分位點確定小概率事件,便得檢驗真?zhèn)蔚臉藴?其思想方法是帶有概率的反證法,理論依據(jù)是實際水平推斷原理.綜述假設(shè)檢驗方法的基本思想是:由樣本出29注1稱為原假設(shè),稱為備擇假設(shè),

α稱為檢驗水平,U=稱為檢驗統(tǒng)計量.注2由小概率事件確定的區(qū)域W={U|}稱為拒絕域,而{U|}稱為接受域,稱為臨界值.注1稱為原假設(shè),稱為備擇假設(shè),30第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗平均數(shù)的顯著性檢驗是指根據(jù)樣本平均數(shù)與假設(shè)總體平均數(shù)的差異檢驗樣本所在總體的平均數(shù)與假設(shè)總體的平均數(shù)的差異。第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗平均數(shù)的顯著31（1）總體正態(tài)分布、總體方差已知的條件下平均數(shù)的顯著性檢驗

（2）總體正態(tài)分布、總體方差未知條件下平均數(shù)的顯著性檢驗

平均數(shù)顯著性檢驗的方法（1）總體正態(tài)分布、總體方差已知的條件下平均數(shù)的32

（3）總體非正態(tài)分布條件下平均數(shù)的顯著性檢驗

①當n≥30時，盡管總體分布非正態(tài)，對于平均數(shù)的顯著性檢驗仍可用Z檢驗。

（σ已知）或（σ未知）

②當n＜30時，若總體分布非正態(tài)，對于平均數(shù)的顯著性檢驗不符合近似Z檢驗的條件，嚴格講此時也不符合t檢驗的條件。（3）總體非正態(tài)分布條件下平均數(shù)的顯著性檢驗33一、已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗例1：某小學(xué)歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗平均分數(shù)為66分，標準差為11.7.現(xiàn)已同樣的試題測驗應(yīng)屆畢業(yè)生，并從中隨機抽18份試卷，算的平均分為69分，問該校應(yīng)屆與往屆畢業(yè)生漢語拼音測驗成績是否一致？（1）提出假設(shè)一、已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗例1：34（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值（3）確定檢驗形式雙側(cè)檢驗（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值（3）確定檢驗形式35（4）統(tǒng)計決斷表6.2雙側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則接收H0拒絕H1結(jié)論為：該校應(yīng)屆與歷屆畢業(yè)生漢語拼音成績無顯著性差異（4）統(tǒng)計決斷表6.2雙側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則接收H036例2：某市高中入學(xué)考試數(shù)學(xué)平均分為68分，標準差為8.6.其中某所中學(xué)參加此次考試的46名學(xué)生的平均分數(shù)為63分，過去的資料表明，該校數(shù)學(xué)成績低于全市平均水平，問此次考試該校數(shù)學(xué)平均分數(shù)是否仍顯著低于全市平均分數(shù)？（1）提出假設(shè)例2：某市高中入學(xué)考試數(shù)學(xué)平均分為68分，標準37（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值（3）確定檢驗形式左側(cè)檢驗（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值（3）確定檢驗形式38（4）統(tǒng)計決斷表6.3單側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則在0.01的水平上拒絕H0而接收H1。其結(jié)論為：該校高中入學(xué)考試數(shù)學(xué)的平均分數(shù)極其顯著的低于全市平均分數(shù)。（4）統(tǒng)計決斷表6.3單側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則39二、未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗1.小樣本情況例1：某區(qū)初三英語統(tǒng)一測驗平均分數(shù)為65分，該區(qū)某校20份試卷的分數(shù)為：72、76、68、78、62、59、64、85、70、75、61、74、87、83、54、76、56、66、68、62.問該校初三英語平均分數(shù)與全區(qū)是否一致？（1）提出假設(shè)二、未知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗1.小樣本情況40（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值未知，n=20<30（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值未知，n=2041（4）統(tǒng)計決斷表6.3t檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則在0.05的顯著性水平上拒絕H0而接收H1。其結(jié)論為：該校初三英語平均分數(shù)與全區(qū)平均分數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，或者說，它不屬于平均分為65的總體。（3）確定檢驗形式——雙側(cè)檢驗（4）統(tǒng)計決斷表6.3t檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則42例2：某校上一屆初一學(xué)生自學(xué)能力平均分為38分，這一屆初一24個學(xué)生自學(xué)能力平均分為42分，標準差為5.7.假定這一屆與上一屆初一學(xué)生的學(xué)習(xí)條件相同，問這一屆初一學(xué)生的自學(xué)能力是否高于上一屆？（1）提出假設(shè)例2：某校上一屆初一學(xué)生自學(xué)能力平均分為38分43（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值未知，n=24<30（3）確定檢驗形式——右側(cè)檢驗（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值未知，n=2444（4）統(tǒng)計決斷表6.3t檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則在0.01的顯著性水平上拒絕H0而接收H1。其結(jié)論為：這一屆初一學(xué)生的自學(xué)能力極其顯著的高于上一屆。（4）統(tǒng)計決斷表6.3t檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則452.大樣本情況例：某年高考某市數(shù)學(xué)平均分為60，現(xiàn)從參加此次考試的文科學(xué)生中，隨機抽取94份試卷，算得平均分數(shù)為58分，標準差為9.2，問文科數(shù)學(xué)成績與全市考生是否相同？（1）提出假設(shè)2.大樣本情況例：某年高考某市數(shù)學(xué)平均分為6046（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值未知，n=94>30（3）確定檢驗形式——雙側(cè)檢驗（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值未知，n=9447（4）統(tǒng)計決斷表6.3單側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則在0.05的顯著性水平上拒絕H0而接收H1。其結(jié)論為：某市文科學(xué)生數(shù)學(xué)平均分數(shù)與全市平均分數(shù)有本質(zhì)區(qū)別，或者說，它不屬于平均數(shù)為60的總體。（4）統(tǒng)計決斷表6.3單側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則48第六章抽樣分布及總體

平均數(shù)的推斷

第一節(jié)抽樣分布

第二節(jié)總體平均數(shù)的推斷

第三節(jié)假設(shè)檢驗的基本原理

第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗第六章抽樣分布及總體

平均數(shù)的49一、抽樣分布的概念區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布總體分布：總體內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布樣本分布：樣本內(nèi)個體數(shù)值的頻數(shù)分布抽樣分布：某一統(tǒng)計量的頻數(shù)分布

第一節(jié)抽樣分布

二、平均數(shù)抽樣分布的幾個定理（1）從總體中隨機抽取容量為n的一切可能樣本的平均數(shù)之平均數(shù)等于總體的平均數(shù)，即一、抽樣分布的概念第一節(jié)抽樣分布二、平均數(shù)抽50

（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標準差，等于總體標準差除以n的平方根，即（3）從服從正態(tài)分布的總體中，隨機抽取容量為n的一切可能樣本平均數(shù)的分布也呈正態(tài)分布。（4）雖然總體不呈正態(tài)分布，如果樣本容量較大，反映總體和的樣本平均數(shù)的抽樣分布，也接近于正態(tài)分布。（2）容量為n的平均數(shù)在抽樣分布上的標準差51以上幾條定理反應(yīng)了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)，一切可能樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之間的關(guān)系；平均數(shù)抽樣分布的標準差與總體標準差之間的關(guān)系。抽樣分布是統(tǒng)計推斷的理論依據(jù)。實際中只能抽取一個隨機樣本根據(jù)一定的概率來推斷總體的參數(shù)。即使是抽取一切可能樣本，計算出的某種統(tǒng)計量與總體相應(yīng)參數(shù)的真值，大多也是不相同的，這是由于抽樣誤差的緣故。抽樣誤差用抽樣分布的標準差來表示。因此，某種統(tǒng)計量在抽樣分布上的標準差稱為該種統(tǒng)計量的標準誤。標準誤越小，表明樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的值越接近，樣本對總體越有代表性，用樣本統(tǒng)計量推斷總體參數(shù)的可靠度越大，所以標準誤是統(tǒng)計推斷可靠性的指標。以上幾條定理反應(yīng)了平均數(shù)抽樣分布的形態(tài)52三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計量的形態(tài)

從正態(tài)總體中隨機抽取樣本容量為n的一切可能樣本平均數(shù)以總體平均數(shù)為中心呈正態(tài)分布。當總體標準差已知時：當總體標準差未知時：三、樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)離差統(tǒng)計量的形態(tài) 53總體標準差的無偏估計量為總體標準差的無偏估計量為54參數(shù)估計假設(shè)檢驗

一、總體參數(shù)估計的基本原理根據(jù)樣本統(tǒng)計量對相應(yīng)總體參數(shù)所作的估計叫總體參數(shù)估計。總體參數(shù)估計分為點估計和區(qū)間估計。1.點估計

點估計是指用樣本統(tǒng)計量的值來估計相應(yīng)總體參數(shù)的值。點估計的優(yōu)點在于它能夠提供總體參數(shù)的估計值；缺點在于它總是以誤差的存在為前提，但又不能提供正確估計的概率。第二節(jié)總體平均數(shù)的估計參數(shù)估計假55良好估計量的標準

（1）無偏性：用統(tǒng)計量估計總體參數(shù)一定會有誤差，不可能恰恰相同。因此，好的估計量應(yīng)該是一個無偏估計量，即用多個樣本的統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的估計值，其偏差的的平均值為0。

（2）有效性：當總體參數(shù)的無偏估計不止一個統(tǒng)計量，無偏估計變異性小者有效性高，變異大者有效性低。（3）一致性：當樣本容量無限增大時，估計量的值能越來越接近它所估計的總體參數(shù)值，估計值越來越精確，逐漸趨近于真值。（4）充分性：一個容量為的樣本統(tǒng)計量，是否充分地反映了全部個數(shù)據(jù)所反映總體的信息。

良好估計量的標準562.區(qū)間估計

區(qū)間估計的概念區(qū)間估計是指以樣本統(tǒng)計量的樣本分布為理論依據(jù)，按一定的概率要求，由樣本統(tǒng)計量的值估計總體參數(shù)值的所在范圍。置信區(qū)間與顯著性水平置信區(qū)間是指在某一置信度時，總體參數(shù)所在的區(qū)域距離或區(qū)域長度。

顯著性水平是指估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間時，可能犯錯誤的概率，用α表示。1－α為置信度或置信水平。2.區(qū)間估計57區(qū)間估計的原理

區(qū)間估計的原理是樣本分布理論。在計算區(qū)間估計值、解釋估計的正確概率時，依據(jù)是該樣本統(tǒng)計量的分布規(guī)律及樣本分布的標準誤。下面以平均數(shù)的區(qū)間估計為例，說明如何根據(jù)平均數(shù)的樣本分布及平均數(shù)分布的標準誤，計算置信區(qū)間和解釋成功估計的概率。當總體標準差σ為已知時，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布，此時樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)，標準誤。根據(jù)正態(tài)分布，可以說：有95%的落在

之間，或者說：

之間包含所有的的95%

，即

區(qū)間估計的原理58

但是，在實際研究中，只能得到一個樣本平均數(shù)，我們可以將這個樣本平均數(shù)看做是無限多個樣本平均數(shù)之中的一個。于是將上式經(jīng)過移項寫成這意味著有95%的μ落在之間，或者說，估計μ落在

之間正確的概率為95%

。

59估計總體平均數(shù)的步驟

（1）根據(jù)實得樣本的數(shù)據(jù)，計算樣本平均數(shù)與標準差。（2）計算標準誤。 （已知）或（未知）（3）確定置信區(qū)間或顯著性水平。（4）根據(jù)樣本平均數(shù)的抽樣分布，確定查何種統(tǒng)計表。（5）計算置信區(qū)間。（正態(tài)分布）或（ｔ分布）（6）解釋總體平均數(shù)的置信區(qū)間。估計總體平均數(shù)的步驟60總體方差σ2已知時，對總體平均數(shù)μ的估計

（1）當總體分布為正態(tài)時

當總體分布為正態(tài)，總體方差已知時，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布，這時可用下式計算其置信區(qū)間：

（其中）（2）當總體分布為非正態(tài)時總體分布非正態(tài)，總體方差

已知，這時只有當樣本容量

時，其樣本平均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布，這時可用下式計算其置信區(qū)間：

（其中）總體方差σ2已知時，對總體平均數(shù)μ的估計（1）當總體分布61例如：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來標準差6.25cm，現(xiàn)從該校隨機抽27名10歲女童，測得平均身高為134.2cm，試估計該校全體10歲女童平均身高95%和99%置信區(qū)間。例如：某小學(xué)10歲全體女童身高歷年來標準差6.62總體方差σ2未知時，對總體平均數(shù)μ的估計

（1）當總體分布為正態(tài)時

當總體分布為正態(tài)，總體方差

未知時，樣本平均數(shù)的分布為ｔ分布，這時可用下式計算其置信區(qū)間：

（其中）

（2）當總體分布為非正態(tài)時總體分布非正態(tài)，總體方差

未知，這時只有當樣本容量

時，其樣本平均數(shù)的分布為漸近ｔ分布，這時可用下式計算其置信區(qū)間：

（其中）總體方差σ2未知時，對總體平均數(shù)μ的估計（1）當總體分布63小樣本的情況例如，從某小學(xué)二年級隨機抽取12名學(xué)生，其閱讀能力得分為28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、29、26.試估計該校二年級閱讀能力總體平均數(shù)95%和99%的置信區(qū)間。小樣本的情況例如，從某小學(xué)二年級隨機抽取12名64大樣本的情況例如，從某年高考中隨機抽取102份作文試卷，平均分數(shù)為26，標準差為1.5，估計總體平均數(shù)95%和99%的置信區(qū)間。說明：樣本容量n=103>30,t分布接近正態(tài)分布，故可用正態(tài)分布近似處理。大樣本的情況例如，從某年高考中隨機抽取102份65第三節(jié)假設(shè)檢驗的基本原理

一、假設(shè)

假設(shè)是根據(jù)已知理論與事實對研究對象所做的假定性說明，統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)一般專指用統(tǒng)計學(xué)術(shù)語對總體參數(shù)所做的假定性說明。在進行任何一項研究時，都需要根據(jù)已有的理論和經(jīng)驗對研究結(jié)果作出一種預(yù)想的希望證實的假設(shè)，這種假設(shè)叫科學(xué)假設(shè)，用統(tǒng)計術(shù)語表示時叫研究假設(shè)（備擇假設(shè)），記作H1。在統(tǒng)計學(xué)中不能對H1的真實性直接檢驗，需要第三節(jié)假設(shè)檢驗的基本原理一、假設(shè)66建立與之對立的假設(shè)，稱做零假設(shè)（虛無假設(shè)，無差假設(shè)，原假設(shè)），記作H0。

假設(shè)檢驗的問題，就是要判斷零假設(shè)H0

是否正確，決定接受還是拒絕零假設(shè)H0，若拒絕零假設(shè)H0

，則接受備擇假設(shè)H1。假設(shè)檢驗是從零假設(shè)出發(fā)，視其被拒絕的機會，如果根據(jù)樣本信息，不得不否定零假設(shè)的真實性時，就不得不承認備擇假設(shè)的真實性，這時，就要拒絕零假設(shè)而接受備擇假設(shè)；如果根據(jù)樣本的信息不能否定零假設(shè)的真實性時，就要保留零假設(shè)而拒絕備擇假設(shè)。建立與之對立的假設(shè)，稱做零假設(shè)（虛無假設(shè)，無差假設(shè)，原假設(shè)）67

二、小概率事件

假設(shè)檢驗的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。為了檢驗零假設(shè)，首先假定零假設(shè)為真。在零假設(shè)為真的前提下，如果導(dǎo)致違反邏輯或違反人們常識和經(jīng)驗的不合理現(xiàn)象出現(xiàn)，則表明“零假設(shè)為真”的假定是不正確的，也就不難接受零假設(shè)。若沒有導(dǎo)致不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)，那就認為“零假設(shè)為真”的假定是正確的，也就是接受了零假設(shè)。二、小概率事件68假設(shè)檢驗中的“反證法”思想不同于數(shù)學(xué)中的反證法，后者是在假設(shè)某一條件下導(dǎo)致邏輯上的矛盾從而否定原來的假設(shè)。假設(shè)檢驗中“不合理現(xiàn)象”是指小概率事件在一次試驗中發(fā)生了，它是基于人們在實踐中廣泛采用的小概率事件原理（小概率事件原理是指“小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生”。通常情況下，將概率不超過0.05或0.01的事件當做“小概率事件”）。假設(shè)檢驗中的“反證法”思想不同于數(shù)學(xué)中的反證法，后者是69

三、假設(shè)檢驗中的兩類錯誤

統(tǒng)計學(xué)中將這類拒絕H0時所犯的錯誤稱做

α

錯誤，α

錯誤的概率，可以由研究者通過選擇適當?shù)娘@著性水平加以主動控制。稱這類接受H0時所犯的錯誤為β

錯誤，控制β錯誤的概率有以下兩種方法：①利用已知的實際總體參數(shù)值與假設(shè)參數(shù)值之間大小關(guān)系，合理安排拒絕區(qū)域的位置；②增大樣本的容量。兩類錯誤的關(guān)系：（1）

α＋β

不一定等于1；（2）

α

與β

不可能同時減小或增大；（3）1-β

反映著正確辨認真實差異的能力。三、假設(shè)檢驗中的兩類錯誤70單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗

只強調(diào)差異而不強調(diào)方向性的檢驗叫雙側(cè)檢驗，假設(shè)形式為強調(diào)某一方向的檢驗叫單側(cè)檢驗。右側(cè)檢驗：左側(cè)檢驗：單側(cè)檢驗與雙側(cè)檢驗只強調(diào)差異而不強調(diào)方向71假設(shè)檢驗的步驟

（1）根據(jù)問題要求，提出零假設(shè)和備擇假設(shè)。（2）選擇適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量并計算其值。（3）規(guī)定顯著性水平。（4）選擇檢驗的方式（單側(cè)還是雙側(cè)）。（5）做出統(tǒng)計決策。假設(shè)檢驗的步驟（1）根據(jù)問題要求，提出零假設(shè)和備擇72假設(shè)檢驗的基本思想引例

解假設(shè)檢驗的基本思想引例解73

我們知道,即使應(yīng)屆與歷屆成績一樣,即

成立,個別應(yīng)屆畢業(yè)生成績也是有波動的，成績r.v.正說明了這一點.故實測值與理論值總有一些差異.

用數(shù)理統(tǒng)計的語言就是說:如果

成立,即往屆應(yīng)屆成績一樣.

如果

不成立,即往屆應(yīng)屆成績不一樣.我們知道,即使應(yīng)屆與歷屆成績一樣,即74如何確定k呢?對于適當小的正數(shù)α(α=0.05,0.01,等),如何確定k呢?對于適當小的正數(shù)α(α=0.05,0.01,75由實際推斷原理若為真由實際推斷原理若為真76綜述假設(shè)檢驗方法的基本思想是:由樣本出發(fā),在為真的前提下通過對被檢參數(shù)的點估計量,結(jié)合統(tǒng)計量的分布,構(gòu)造統(tǒng)計量(樞軸函數(shù)),由此結(jié)合實際,并利用上α分位點確定小概率事件,便得檢驗真?zhèn)蔚臉藴?其思想方法是帶有概率的反證法,理論依據(jù)是實際水平推斷原理.綜述假設(shè)檢驗方法的基本思想是:由樣本出77注1稱為原假設(shè),稱為備擇假設(shè),

α稱為檢驗水平,U=稱為檢驗統(tǒng)計量.注2由小概率事件確定的區(qū)域W={U|}稱為拒絕域,而{U|}稱為接受域,稱為臨界值.注1稱為原假設(shè),稱為備擇假設(shè),78第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗平均數(shù)的顯著性檢驗是指根據(jù)樣本平均數(shù)與假設(shè)總體平均數(shù)的差異檢驗樣本所在總體的平均數(shù)與假設(shè)總體的平均數(shù)的差異。第四節(jié)總體平均數(shù)的顯著性檢驗平均數(shù)的顯著79（1）總體正態(tài)分布、總體方差已知的條件下平均數(shù)的顯著性檢驗

（2）總體正態(tài)分布、總體方差未知條件下平均數(shù)的顯著性檢驗

平均數(shù)顯著性檢驗的方法（1）總體正態(tài)分布、總體方差已知的條件下平均數(shù)的80

（3）總體非正態(tài)分布條件下平均數(shù)的顯著性檢驗

①當n≥30時，盡管總體分布非正態(tài)，對于平均數(shù)的顯著性檢驗仍可用Z檢驗。

（σ已知）或（σ未知）

②當n＜30時，若總體分布非正態(tài)，對于平均數(shù)的顯著性檢驗不符合近似Z檢驗的條件，嚴格講此時也不符合t檢驗的條件。（3）總體非正態(tài)分布條件下平均數(shù)的顯著性檢驗81一、已知條件下總體平均數(shù)的顯著性檢驗例1：某小學(xué)歷屆畢業(yè)生漢語拼音測驗平均分數(shù)為66分，標準差為11.7.現(xiàn)已同樣的試題測驗應(yīng)屆畢業(yè)生，并從中隨機抽18份試卷，算的平均分為69分，問該校應(yīng)屆與往屆畢業(yè)生漢語拼音測驗成績是否一致？（1）提出假設(shè)一、