2020年高考數(shù)學(xué)二輪優(yōu)化提升專題訓(xùn)練考點(diǎn)15 基本不等式及其應(yīng)用(2)(解析版)

yy考點(diǎn)

基本不等式其應(yīng)用（2【知識(shí)圖】【自主身，歸納總】191蘇四市一）已知正數(shù)，b足＋＝－5，則ab的最小值為________．a(chǎn)b【答案】36199【解析】因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足＋＝－5，所以ab－5，當(dāng)且僅當(dāng)9＝b時(shí)等號(hào)abab成立，即ab－5－6≥0，解得≥6或≤－1(舍去)，因此ab≥36，從而(ab)＝36.min114x9y2鎮(zhèn)期末）已知正數(shù)x，滿足＝1，則＋的最小值為________．xyx－1－1【答案】25114x9y4x94x4【解析因?yàn)椋?－所以＋＝＋＝＋9＝4＋＋9(x－1)＋9＝13yxx－1－1x－11x－1x－11－＋

4x－1

4114＋9(x－1)＋9(x－1)因?yàn)?gt;0以>1理y>1以13＋x－1yxx－154x9y＋9(x－1)≥13＋2，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)，所以＋的最小值為3x－1－125.1123（2016蘇期末）已知＝，a，∈(0,1)，則＋的最小值為________．－a1－b【答案】4＋3【解析】思路分析元問題通?；癁橐辉獑栴}，先嘗試消去一個(gè)變量．由題意得b＝

1111218a1所以0<<1即∈(消去b＋＝＋＝4a4a41－a1－b1－a4－11－a＋

24a－1

＋2.，當(dāng)且僅當(dāng)＋＝－2x＋9x－9ca＋bcabcbcccc2b22tct22cab2cab，當(dāng)且僅當(dāng)＋＝－2x＋9x－9ca＋bcabcbcccc2b22tct22cab2cab解法1若注意到4(1－a)＋(4－1)＝3記＝

12421＋則＝＋＝[(41－a4a－1a4－134224－4a24－1a)a＋)[＋4－4a4－134a－14－4a24a－1時(shí)等號(hào)成立，4－4a42所以最小值為4＋.3

]≥2＋

424－4a34a－1

＝解法2

121－a4a－1

2a＋11－a4a－1

，令2a＋1＝，2x原式＝＝

29－2x－＋9x≥9－2

2

2x·

＝2＋9x

423

.以下同解法1.bc4蘇四市期）已知正數(shù)a，，滿足＋c≥，則＋的最小值為________．ca＋【答案】2－

ba2babba【解析】因?yàn)檎齛，，c滿足＋≥a，所以＋1≥，＋1≥＋，其中>0，>0，cccccccbcb1b1所以＋＝＋≥＋，(*)2＋＋12bbt1令t＝＋1(t>1)，則＝－，cc22b1t11所以(*)可化為＋＝－＋≥2＋1

t111·－＝2－，2t1當(dāng)且僅當(dāng)＝即t＝2時(shí)取等號(hào)，2tbc1bc1于是＋≥2－，即＋的最小值為2－.＋＋22b4ab24b4a2bab2c－22b4ab24b4a2bab2c－2accc55、(2017無(wú)錫期末知a＞0，＞0，c＞2，且＋b，則＋－＋的最小值為bab2c－2________．【答案】10＋5【解析】思路分析據(jù)目標(biāo)式的特征，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃?，利用基本不等式知識(shí)求解．a(chǎn)11a＋b因?yàn)閍＞0，＞0，所以＋－＝＋bab2b4ab

2

1aa＋2ab＋215ab5－＝＋－＝＋≥，accc5a1當(dāng)且僅當(dāng)b＝5a等號(hào)成立因?yàn)閏＞2等式的性質(zhì)可得＋－＋＝c＋－bab2c－2bab1555＋≥c＋.2c－22－2又因?yàn)?/p>

5555c＋＝(－2)＋＋5≥10＋5，當(dāng)且僅當(dāng)c＝2＋2時(shí)等號(hào)成立．2c－22c－2accc5所以＋－＋的最小值為10＋5.解后反思多變量函數(shù)的最值問題，通常需要消元．本題的關(guān)鍵是首先通過(guò)固定變(視a，主元)，然后利用代換齊次化)，配湊等技巧對(duì)代數(shù)式進(jìn)行兩次變形，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件，并結(jié)合不等式的性質(zhì)，巧妙地求得了最小值．6州、海、啟東期末已知實(shí)數(shù)a>b>0，且a＋b＝2則

a

2

3a－b＋2ab－3b

2

的最小值為________．【答案】

＋5【解析】思路分析1

注意到問題中含有兩個(gè)變量a，且滿a＋b＝2，因此可以考慮進(jìn)行消元，將問題轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的問題來(lái)加以處理．思路分析2

注意到所求的代數(shù)式的分子與分母分別為一次式二次式為此想到將它們轉(zhuǎn)化為齊次式來(lái)加以處理，即將分子利用條件＋b＝2，通過(guò)常數(shù)代換轉(zhuǎn)化為二次式，進(jìn)而將齊次式化為單變量的問題來(lái)加以處理．思路分析3

注意到所求的代數(shù)式的分母可以因式分解為a＋3b)(a－b)，因此，a＋3b，－u22－u22a－b分別作為兩個(gè)新的變量，n，從而將問題轉(zhuǎn)化為以新變量m，n的形式來(lái)加以處理．解析消元法)：因?yàn)閍，所以解得1<a<2，從而

3a－ba2＋2ab－3b

2

＝3a－（2－a）2a－13a－b＝，令，則＝a2＋2a（2－a）－3（2－a）－2（a2－4a＋3）a2＋2ab－3b2－t2

2t2＝＋6t－556－（t＋）t

23＋5≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)t＝5時(shí)等號(hào)成立．6－254解析化齊次式法)因?yàn)閍＝2，所以

a

2

3a－b（a＋b）（3a－b）3＝＝＋＋2ab－3b22（a2＋2ab－3b2）2a2（2－）2（－ab＋2b2）3ba＝＋，令u＝2－，因?yàn)閍＋b＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，a2＋2ab－3b22aab（）2＋2·－3bba2－b23a－b32u3故0<b<1，從而u＝2－＝2－＝3－∈(－∞，則＝＋＝＋bbba2＋2ab－3b22u2－6u＋5225u＋－6u53a－b3當(dāng)u∈(0，1)時(shí)，u＋－6>0，此時(shí)>；ua2＋2ab－3b22553a－b32當(dāng)u<0時(shí)，u＋－6＝－－65，此時(shí)≥＋＝ua＋2ab－3b2－6－25＋5

，當(dāng)且僅當(dāng)u＝－5時(shí)等號(hào)成立．3a－b3＋5因此的最小值為.a2＋2ab－3b24解析換元法)：因?yàn)?/p>

a

2

3a－b3a－b＝，令＝a－b，n＝a＋3b，從而＋2ab－3b2（a－b）（a＋3b）a＝

3m＋nn－m3a－b3a－b5m＋n115，b＝，從而＝＝＝(＋)，由a＝244a2＋2ab－3b2（a－b）（a＋3b）2mn2mn15n5m得m＋n＝4(mn>0)故由(m＋n)(＋)＝6＋＋≥6＋25當(dāng)且僅當(dāng)n＝5m時(shí)等號(hào)成立，mnmn此時(shí)

3a－b1153＋5＝(＋)≥a2＋2ab－3b22mn4

.【問題探，變式訓(xùn)練題型一運(yùn)用本不式解決參問題知識(shí)點(diǎn)：對(duì)于不等中的成問題，通常取通過(guò)數(shù)分離后，化為求值問題，例揚(yáng)州末）知正實(shí)數(shù)x滿足x＋4y－xy＝0，若x≥m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________．【答案－∞，9]【解析≤x＋y恒成立，m≤(x＋y).min解法1(消元法)由x＋4y－xy＝0，得y＝

xx－4

，因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，所以，x>4，則x

xx－4＋444＝x＋＋＋1＝(x＋＋5≥2x－4x－4x－4x－4

－4）·

4x－4

＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6時(shí)，等號(hào)成立，即＋y的最小值是9，故m≤9.41解法“1”的代換因?yàn)閤，y是正實(shí)數(shù)，由，得＋＝1，x＋y＝(x＋xy14yxy)·＋＋＋5≥2yxy最小值是9，故m≤9.

4yx·＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝6，y＝3時(shí)，等號(hào)成立，即x＋y的xy解法函數(shù)法)

令t＝x＋y＝t－x入＋4y－xy＝0x

2

－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2

x－10t＋q≥0，得t≤1≥9.又y＝>0，且x>0，則，故t>4，x－4從而t≥9.所以m≤9.解后反思對(duì)于含有多個(gè)變量式的最值如何求？解法1用了最基本的方法一消元轉(zhuǎn)化為一元變量，對(duì)于一元變量的求量值的方法就很多了，這里用了基本不等式法，解2直接運(yùn)用了不等式中的“1”的代換法的技巧顯得很方便．一般地，在條件與結(jié)論中分別含有mx＋ny以ab及＋(m，n，a，b為正常數(shù)，，y為正參數(shù)形式的代數(shù)式時(shí)，要求相關(guān)的最值，利用兩式xy相乘來(lái)構(gòu)造基本不等式的形式求最值是一種基本手段解法則采用了方程的思想通過(guò)將問題轉(zhuǎn)化為方程有解進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程有解來(lái)解決這種解法用來(lái)求二元函數(shù)的最值問題是非常有效的．這里的解1是雖然是通法，但往往計(jì)算相對(duì)比較復(fù)雜，而解2有一定的技巧，但求解比較方便．解法3則比較通用，沒有技巧，計(jì)算也不復(fù)雜．【變式、(2017鎮(zhèn)江期末已知不等式(m－n)＋(m－n＋λ)2≥2對(duì)任意m∈R，∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)λ取值范圍為________．【答案，＋∞)【解析分析由于條件“(－)

2

＋(m－ln＋λ)

2

≥2”中平方和的特征可聯(lián)想到兩點(diǎn)(m，＋λ)，(，ln)的距離公式，而點(diǎn)(m，＋λ，(n，ln)分別是直線＝x＋和曲線f()＝lnx動(dòng)點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為直線y＝＋λ和曲線()＝lnx上點(diǎn)之間的距離大于等于2.條件“不等式(m－)

2

＋(m－ln＋λ)

2

≥2對(duì)任意m∈R∈(0∞)恒成立”可看作“直線y＝＋λ及曲線()＝lnx上點(diǎn)之間的距離恒大于等于2”如圖當(dāng)與直線＝x＋1平行的直線與曲線f()＝lnx相切時(shí)行線間的距離最短′(x)＝切點(diǎn)A(1,0)，x此切點(diǎn)到直線y＝＋λ距離為

|1＋λ|2

≥2，解得λ≥1或λ≤舍去，此時(shí)直線與曲線相交)．【變式2、(2016州、連港、遷三檢已知對(duì)滿足＋＋4＝2xy的任意正實(shí)數(shù)，，4→→→→→→→→→→→4→→→→→→→→→→→→→→都有x

＋2xy＋2

－ax－＋1≥0，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________．17【答案【解析路分析不等式x

＋2xy＋2

－ax－＋1≥0的構(gòu)造比較特殊，可以化為關(guān)于＋y的不等式，再根據(jù)不等式及x＋y＋4＝2xy出＋y的范圍即可．對(duì)于正實(shí)數(shù)x，，由x＋＋4＝2xy得x＋＋4＝2≤

x＋2

2

，解得x＋≥4，不等式x＋2xy＋2－－ay＋1≥0化為(＋y2－(＋y)＋1≥0，1令t＝＋y(t≥4)該不等式可化為t－at＋1≥0a≤＋對(duì)于任意的≥4恒成立，t112－1令u(t)＝＋(≥4)′(t)＝1－＝>0對(duì)于任意的t≥4恒成立函數(shù)(t)t2t111717＝t＋(≥4)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以u(píng)()＝(4)＝4＋＝，于是a≤.tmin4441易錯(cuò)警示在求函數(shù)ut)＝(≥4)的最小值時(shí)，有的考生直接用基本不等式求出(t)＝2，沒有注意到t≥4的限制，從而得到錯(cuò)誤的答案a≤2.min【關(guān)聯(lián)、

在平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)A(1,0)，(0,1)，(，b)，(c，)，若不等式2

≥(m－2)·OD＋(·OB)·(·OA)對(duì)任意實(shí)數(shù)a，，c，成立，則實(shí)數(shù)m最大值是________．【答案5－1【解析路分析本題首先將所給不等式中的向量用坐標(biāo)代入，然后再將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于，b，，d元的不等式問題，再利用基本不等式處理最值問題．CD

≥(m－2)·OD＋(OC·)·(OD·)對(duì)任意實(shí)數(shù)，b，，d都成立等價(jià)于2

＋b＋c＋d≥m(＋bd＋)對(duì)任意a，，c，都成立，由于求m最大值，所以可只考慮>0的情形，當(dāng)ac＋＋≤0時(shí)，a

＋b

＋c

＋d

≥m(＋＋bc)恒成立，當(dāng)ac＋＋>0時(shí)，則需m≤

a＋b＋c＋dac＋＋bc

恒成立，的最小值，＝ac＋＋bc＋22的最小值，＝ac＋＋bc＋22下面用待定系數(shù)法求

a＋b＋c＋d2＋b＋2＋2ac＋＋bc＋bd＋a

＋xc

＋yb

＋d

＋1－yb

＋1－xc2ac＋＋bc≥

2＋2＋21－xac＋＋bc

1－ybc

，令

xy＝1－x

1－y

，其中x，y∈(0,1)得x＝

3－55－12＋b2＋c＋d，＝以≥5－1以m≤22

a＋b＋c＋dac＋＋bcmin

＝5－1，故m最大值為5題型二不等的綜運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)多變量子的值的求的基本處理略是“元”或應(yīng)用本不等，中“減元策略的常見方法：①通消元以達(dá)到少變量個(gè)數(shù)，從而用函數(shù)或方程有解條件來(lái)究問題；②過(guò)“合變?cè)币源姆绞竭_(dá)到“減元，一般，關(guān)于多變的“齊式”多用此．而應(yīng)基本不等式最值時(shí)要緊緊抓住和”與積”的關(guān)系進(jìn)行處，為了凸現(xiàn)和”與積”的關(guān)系可以通換元的方法簡(jiǎn)化問的表現(xiàn)形式從而達(dá)更易處理的的，例2鎮(zhèn)江期）已知，b∈Ra＋＝4，則

a

11＋1b＋1

的最大值為________．【答案

2＋54【解析分析1

將

11＋通分，變形為關(guān)(a＋b)和ab的式子將ab作為一個(gè)變a2＋1b2＋1元，用導(dǎo)數(shù)作為工具求最大值，或用不等式放縮求最大值，但要先求出的取值范圍．思路分析2

注意到所研究的問題的條件與所求均為對(duì)稱形式直接進(jìn)行消元去處理會(huì)打亂它的對(duì)稱性，為此，應(yīng)用均值換元來(lái)進(jìn)行處理．解法為一個(gè)變?cè)?ab≤

a＋b＝4，11a2＋b2＋2（a＋b）2－2ab＋22（9）＋＝＝＝.設(shè)＝9－a2＋1b2＋1（a2＋1）（b2＋1）（a＋b）2－2ab＋a2b2＋117－2ab2b222222222ab≥5，則

2（9－ab）2t2t5＋2＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)t17－2ab＋a2bt＋80－16t85t－16t4

2

＝80時(shí)等號(hào)成立，所以，

115＋2＋的最大值為.a2＋1b2＋14解法均值換元)因?yàn)閍＋b＝4，所以，a＝2＋t＝2－t，則f(t)

11＋＝a2＋1b2＋1t

2

112（t2＋5）2u＋＝u＝t2＋5≥5g(u)＝＝＋4t＋5t2－4t＋5（t2＋5）2－16t2u2－16u

u＋

280u

－16≤

22＋5115＋2＝，當(dāng)且僅當(dāng)5時(shí)等號(hào)成立．所以＋的最大值為.85－164a＋1b＋14解后反思“減元”是解決不等式求最值問題的重要途徑，常用的減元方法有代入消元、換元消元、二合一消元、放縮消元，本題通過(guò)變形先將條件代入，所求式子就變成了的數(shù)

2（9－ab）17－2ab＋a2b

2

而這樣的分式常將低次的看成一個(gè)整體進(jìn)行換元，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的當(dāng)然題也可以直接進(jìn)行消元后利用導(dǎo)數(shù)的方法來(lái)求它的最大值過(guò)法比較繁瑣應(yīng)用均值換元的方法保持了它的對(duì)稱性，從而運(yùn)算比較簡(jiǎn)單，比較容易操作．【變式1揚(yáng)州期）已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2＋4xy－y2

＝1，則2＋8xy－y2

的最小值為________．7【答案】3【解析路分析1

注意到所給出的條件比較復(fù)雜，且左邊能進(jìn)行分解因式，因此，通過(guò)雙變量換元，將它轉(zhuǎn)化為以新的變量為元的問題來(lái)加以處理．思路分析2

注意到條件與所研究的結(jié)論是關(guān)于x，y二次齊次式，因此，利用“常數(shù)1的代換”，將所研究的問題轉(zhuǎn)化為“單變量”的問題來(lái)加以解決．思路分析3

注意到條件與所研究的結(jié)論是關(guān)于x，y的二次齊次式，因此，利用“基本不等式”進(jìn)行放縮，將所研究的問題轉(zhuǎn)化為條件等式的“倍式”來(lái)加以解決．62x2262x22思路分析4

令t＝12x

2

＋8xy－y2

，這樣，它就與已知條件構(gòu)成了兩個(gè)方程，它們所構(gòu)成的方程組有解，通過(guò)消元后，得到關(guān)于一個(gè)元的方程，利用方程有解來(lái)進(jìn)行處理．解法1(雙變量換元)因?yàn)閤>0，y>0，且滿足5x

2

＋4xy－y2

＝1，由此可得(5x＋y)＝1，令u＝5x－y，v＝x＋y，則u>0，v>0，uv，并且x＝

u＋v5v－u，y＝，代入12x66

2

＋8xy－y

2

u＋vu＋v5v－u·－66

v－u

2

＝

u2＋9v2＋22uv2u2·9v2＋22uv28uv28×1≥＝＝1212121273233＝，當(dāng)且僅當(dāng)u＝3v，uv＝1，即＝3，v＝，亦即x＝，y＝時(shí)，12x3399

2

＋8xy－y27取得最小值.3解法2(常數(shù)1的代換)因?yàn)閤>0且滿足5x

2

＋4xy－y2

＝1由此可得(5x－y)(x＋y)＝1，yy因?yàn)?，y>0，x＋y>0，所以5x－y>0，即有0<<5，令t＝，則，所以2＋8xy－xx12x2＋8xy－y212x2＋8xy－y2y2＝＝15x2＋4xy－y2

y7＋4·7x2＋4xyx4t＋7＝1＋＝1＋＝1＋.5x＋4xy－y2y－t2＋4t＋55＋4·－x再令f(t)＝1＋

4t＋7－t2＋4t＋5

(0<t<5)．4（－t2令f′(t)＝

＋4t＋5）－（4t＋7）（＋4）2（2t－1）（t＋4）＝（－t2＋4t＋5）2（－t2＋4t＋5）2

＝0，因?yàn)?0<t<5，所以t＝.2當(dāng)t∈′(t)<0單調(diào)遞減；當(dāng)t∈，5′(t)>0單調(diào)遞增，17所以當(dāng)t＝時(shí)，f(t)取極小值，也是最小值f.23222222333333222222333333此時(shí)x＝2y結(jié)合5x2＋4xy－y2

＝1解得x＝

233233，y＝即當(dāng)x＝＝時(shí)12x29999＋8xy－y2

7取得最小值.3解基本不等式)因x>0u>0ux2

＋vy

2

≥2uvxy.12x

2

＋8xy－y2

≥12x

2＋8xy－y2

＋(2uvxy－ux

2

－vy

2

)，即12x

2

＋8xy－y2

≥(12－u)x

2

＋(8＋2uv)xy－(v＋1)y

2

.令(12－u)x2

＋(8＋2uv)xy＋1)y

2

＝t(5x2

＋4xy2

)＝t，則12－u，8＋2uv＝4t，v714＋1＝t，解得t＝，u＝，v＝，333所以2＋8xy－y2

747＝x＋8xy－y＋y＋8xy－y

1435x2·y2＝333x

2

＋

28777xy－y2＝(5x2＋4xy－y2)＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，結(jié)合5x3333

2

＋4xy－y2

23，解得x＝，9y＝

32337，即當(dāng)x＝，y＝時(shí)，12x2＋8xy－y2取得最小值.9993解法利用方程組有解令t＝12x

2

＋8xy－y2

＝7x

2

＋4xy＋1，則y＝

t－7x4x

2

，代入5x

2＋4xy－y2

＝1并化簡(jiǎn)得4－(30t－46)x2＋(t－1)＝0，從而以u(píng)2(u>0)為元的二次方程81u2－(30t－46)u＋(t－1)＝0有正數(shù)解，（15t－23）2故－46>0，

－4×81（t－1）2

≥0，77233解得t≥，當(dāng)t＝時(shí)，x＝，y＝，3399故等號(hào)成立，從而12x2＋8xy2

7取得最小值.3【變式2、(2017南通、州、淮安、遷、泰、徐六市二）

已知對(duì)任意的x∈R,3ax＋cos)sin2x≤3(，∈R)恒立，則當(dāng)a＋b取最小值時(shí)a的值是________．4【答案】－522a＋222a＋2【解析＋b最小值，故3(sin＋cosx)＝2sin2＝λ＜0則a＋≥

3，即a＋的λ最小值是

3.設(shè)sinx＋cos＝t，其中∈[－2，2]，則sin2x＝2λ

－1.由λ＝3＝2(2

133－1)，解得t＝－，則λ＝－，此時(shí)－(a＋)≤3，所以a＋≥－2.222當(dāng)a＋最小值－2時(shí)，3at＋2(－a－2)(2－1)≤3對(duì)t∈[－2，2]恒成立，即2(a＋2)2

－3at－2－1≥0對(duì)∈[－2，2]恒成立．記f(t)＝2(＋2)t－3－2a－1，∈[－2，2]．因?yàn)閒()的最小值，所以只能把f()看成以t為自變量的一元二次函，所以

a＋2＞0，3a1＝－，2

解得＝－.2323a＋8b【變式、(2017京三模）已知a，，c為正實(shí)數(shù)，且＋2≤8c，＋≤，則的abcc取值范圍為▲．【答案，30]ab【解析所給條件為關(guān)的三元不等式以首先利用整體思想將其轉(zhuǎn)化為,的cc二元問題，再根據(jù)條件和結(jié)論的特征，利用線性規(guī)劃的思想解決取值范圍由題意可得：

2c3b

ya，設(shè)y，則，所求可轉(zhuǎn)化為：tx.又ccy

x3xy

可化為

y3x33xx

，可行域如下圖所示，當(dāng)直線

t與曲線3y相切時(shí)有最小值，當(dāng)直ty經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)有最大值.21515633633222min1515633633222miny3x，解得2

，t

.又

32

，所以'

8

9，解得，y即切點(diǎn)坐標(biāo)4,

,所t

min

27，t的取值范圍為[27，30].【變式、(2017蘇錫鎮(zhèn)調(diào)研一）若正數(shù)x，滿足－y＝22，則x

＋y

－x－2

的最小值為________．【答案【解析路分析題最主要的解法是代入消元，然后用導(dǎo)數(shù)解決，但計(jì)算比較復(fù)雜，其余解法是猜特殊值．解法1由已知y＝15－22，所x

＋y

－(x

＋y

)＝x

＋(15x－22)

3

－[x

＋(15x－22)

2

]＝3376x

－15076x

＋22440x－11132.令f()＝33763

－15076x

＋22440x－11132，∈，＋∞′(x)＝8(633－935)(2x－3)，3所以f()在，遞增，在，遞減，在，＋∞遞增．所以f()＝f解法2由f()＝3

－x

，得f′()＝32

－2x.令g(x)＝(x)－′(x)(－x－f(x)，000故g(x)＝(－x)(＋2x－1)0028222282221當(dāng)x時(shí)，g()≥0，023159令x，則3－2≥x－；0242111令x，則3－2≥－x，即y－y≥－，0244所以x

＋y

－x

－y

19≥(15x－)－＝1.42解法3因?yàn)閥

－y

11113＋y＝y(tǒng)(4y－4＋1)＝y(tǒng)(2－1)2≥0.當(dāng)＝時(shí)，＝.44422所以y

－y

1≥－y①.4令u＝3

－x

，則u′x

－2x.315當(dāng)x＝時(shí)，u′＝，u＝324

－x

9過(guò)點(diǎn)，切線為y＝

154

39159x－即＝－，842即證x

－x

≥

159x－②.42令h(x)＝3

－x

159－x＋，42h′()＝3x

155－2x－＝4

3x－3令h′()＝0得＝.23159當(dāng)x＝時(shí)，h()＝0，所以x－x≥x－(x＞0)恒成立，2min42①＋②得x

＋y

－x

－y

≥

15x－922911－9－＝－＝＝1.4242222解法4由題意y＝15－22＞0，則x＞，＞0，15又x＋y

－x

－y

＝(x

－x

)＋(y

－y

)，其中y

－y

11≥－y，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)．4233那么，當(dāng)x＝時(shí)，(x)＝3－xx＝處的導(dǎo)數(shù)為k＝22

3x

－2xx＝

32

＝

154

.22yyy22yyyx

－x

159≥x－等價(jià)于42

3x－

2

(x＋2)≥0，此式成立．因此有(x

－x

)＋(y

－y

y15931)≥－＋x－＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，y＝時(shí)取等號(hào)．44222解法5x3

＋y

－x

－y

＝x

919191＋x＋3＋－x－2－－≥3x＋y－x－2－x－y＝2x4444449199191511815x－－183＋2×x－－≥6－x－y－＝－－＝＝1，當(dāng)且僅當(dāng)＝，y＝44244244442

時(shí)等號(hào)成立．解后反思本題考查代數(shù)推理與等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，能力要求高，運(yùn)算較繁．如何找到解決問題的突破口是關(guān)鍵．我們可以這樣思考，從條件正數(shù)，y足15－＝22出發(fā)，可以發(fā)現(xiàn)x＞1，將3＋3－x－y寫成x(－1)＋y(－1)，如果y＞1，那么3＋3－x－213不可能有最小值，因此估計(jì)＜y＜1，從二分法的角度思考，猜y＝，代入條件可得x＝，22此時(shí)可以猜得其最小值為1下面再用基本不等式的方法加以證明．【變式5泰州末）若正實(shí)數(shù)xy足(2－1)

2

＝(5y＋2)(－2)，x＋

1

的最大值為________．32【答案】－12【解析路分析理雙元最值問題，常用消元法或整體法，也可以構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為方程有解去處理．如本題，思考方向一，可以x＋

1＝z，代入之后轉(zhuǎn)化為關(guān)y方程(4z－5)22y－8(z－1)＋8＝0在(2，＋∞)上應(yīng)有解，由≥0解出z的范圍，并驗(yàn)證最大值成立；思考1方向二，消x再用均值不等式去處理；思考方向三，觀察得直接通過(guò)均值不等式整體去處理；思考方向四，通過(guò)等比中項(xiàng)，引用一個(gè)新的參數(shù)，把x＋

1用2y來(lái)表示再整理求最值．1解法1令x＋＝z，則＝2yz－1，代入2－1)2y

2

＝(5y＋2)(－2)整理得(4z

－5)y－8(z－1)＋8＝0(*)，由題意得y－2≥0，該方程在2，＋∞)應(yīng)有解，故≥0，即64(12yyyyyyyyyyy22yy4y4y2yyyyyyyyyy2yy2y22y2y2y2yyy12yyyyyyyyyyy22yy4y4y2yyyyyyyyyy2yy2y22y2y2y2yyy－1)2－32(4z

－5)≥0，化簡(jiǎn)得2z

＋4z－7≤0,故0<≤－1＋

322

.檢驗(yàn)：當(dāng)z＝

322

－1時(shí)，方程(*)可化為(17－122)y－(122－16)y＋8＝0，此時(shí)yy＝12

122－1681>0·y＝>4方程必有大于2的實(shí)根以x＋的17－12217－1222y最大值為

322

－1.解法2(2xy－1)

2

22＝(5y＋2)(－2)

212

，所以11x＋＝2y2＝≤

219－＋1＋492＋＋132＝－1，2當(dāng)且僅當(dāng)

9141－＋1＝＋1，即＝>2時(shí)等號(hào)成立，所以x＋的最大值為32－4322

－1.122解法3由(2xy－1)y＋2)(－2)得11即－＋2

2

＝9，112132所以9＝x－＋＋22，所以x＋≤－1.解法(2xy－1)＝(5＋2)(y－2)即

11111151x－－，x－，＋成225x5x1等比數(shù)列，設(shè)公比為q(>1)，將x，用示，y13q－1則x＋＝2y2＋1

1＋＝2

3q－1＋

2q－1

＋2

1322＋≤－1當(dāng)且僅當(dāng)q－1＝即q22－1＝2＋1時(shí)等號(hào)成立．解后反思處理此類雙元最值問題，要有方程、減元和整體意識(shí)，要多觀察題中給出式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及條件與所求的聯(lián)系，要帶著方向和目標(biāo)去解題，并能熟練掌握和運(yùn)用不等式鏈：ab≤

a＋≤2

a

＋b2

2＋b(a，>0)和ab≤2

(a，∈R).【變式6、(2016南京三）若實(shí)數(shù)，y滿足22

＋xy－2

＝1，則

x－2－2xy＋2y

的最大值為________．【答案】

24【解析分析在22

＋xy－2

＝1中，獨(dú)立變量有兩個(gè)，因?yàn)橛脁表示y用y示x均不方便，可引入第三個(gè)變量來(lái)表示x，y.由x

＋xy－2

11＝1，得(2x－)(＋)＝1，設(shè)x－＝t，＋＝，其中≠0.則x＝t3121111