人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊 課后提升訓(xùn)練：3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（含答案）

PAGE12/12第三章圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若動點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則點(diǎn)M的軌跡方程是()A.x+4=0 B.x-4=0C.y2=8x D.y2=16x2.已知拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大12,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A.y2=x B.y2=2xC.y2=4x D.y2=8x3.拋物線y=1ax2的準(zhǔn)線方程是y=1,則a的值是(A.14 B.-14 C.4 D.4.點(diǎn)M是拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),FM⊥x軸,且|OM|=5,則拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.x=-1 B.x=-2C.y=-1 D.y=-25.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.172 B.3 C.5 D.6.已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.34 B.1 C.547.與圓x2+y2-4x=0外切,且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是.

8.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)恰好是雙曲線x216-m-y2m+209.根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-2);(2)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5.10.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過雙曲線x2a2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)能力提升練1.(多選題)對拋物線y=18x2,下列描述正確的是(A.開口向上,焦點(diǎn)為(0,2)B.開口向右,準(zhǔn)線方程為x=-1C.開口向右,焦點(diǎn)為1D.開口向上,準(zhǔn)線方程為y=-22.(2020·浙江溫州十校聯(lián)合體高二期末)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn),若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動點(diǎn)P的軌跡是()A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線3.(2020·河北保定高三聯(lián)考)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為()A.y2=9x B.y2=6xC.y2=3x D.y2=3x4.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn),且滿足∠AFB=2π3.設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的射影為N,則|MN||A.3 B.32 C.335.動圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓恒與直線x+2=0相切,則動圓必過點(diǎn).

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓M:(x-1)2+y2=1,點(diǎn)A(3,1),P為拋物線y2=2x上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P作圓M的切線PB,B為切點(diǎn),則|PA|+|PB|的最小值是.

素養(yǎng)培優(yōu)練已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若OC=OA+λOB,求λ第三章圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課后篇鞏固提升答案基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若動點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則點(diǎn)M的軌跡方程是()A.x+4=0 B.x-4=0C.y2=8x D.y2=16x解析依題意可知點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)M到直線x=-4的距離,因此其軌跡是拋物線,且p=8,頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸正半軸上,其方程為y2=16x.答案D2.已知拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大12,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(A.y2=x B.y2=2xC.y2=4x D.y2=8x解析由拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大12,根據(jù)拋物線的定義可得p2=12,∴p=1,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2答案B3.拋物線y=1ax2的準(zhǔn)線方程是y=1,則a的值是(A.14 B.-14 C.4 D.解析拋物線y=1ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=ay,其準(zhǔn)線方程為y=-a4,又拋物線準(zhǔn)線方程為y=1,得1=-a4,解得答案D4.點(diǎn)M是拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),FM⊥x軸,且|OM|=5,則拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.x=-1 B.x=-2C.y=-1 D.y=-2解析拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為Fp2點(diǎn)M為拋物線上的點(diǎn),且FM⊥x軸,∴Mp2又|OM|=5,∴p22+p2解得p=2或p=-2(舍),p2=1,所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,故選答案A5.已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)A(0,2)的距離與P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.172 B.3 C.5 D.解析由拋物線的定義可知,拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離.由圖可得,∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=-12的距離d=|PF|易知點(diǎn)A(0,2)在拋物線y2=2x的外部,連接AF,交y2=2x于點(diǎn)P',欲使所求距離之和最小,只需A,P',F共線,∴其最小值為|AF|=(0-答案A6.已知F為拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.34 B.1 C.54解析拋物線的準(zhǔn)線為l:x=-14,過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為E,G,AB的中點(diǎn)為M過M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,因?yàn)锳,B是該拋物線上的兩點(diǎn),故|AE|=|AF|,|BG|=|BF|,所以|AE|+|BG|=|AF|+|BF|=3,所以|MH|=32,故M到y(tǒng)軸的距離為32-1答案C7.與圓x2+y2-4x=0外切,且與y軸相切的動圓圓心的軌跡方程是.

解析若動圓在y軸右側(cè),則動圓圓心到定點(diǎn)(2,0)與到定直線x=-2的距離相等,其軌跡是拋物線;若動圓在y軸左側(cè),則動圓圓心軌跡是x軸的負(fù)半軸.答案y2=8x(x>0)或y=0(x<0)8.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)恰好是雙曲線x216-m-y2m+20解析因?yàn)閏2=p22=16-m+m+20=36,所以p=答案129.根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0,-2);(2)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是5.解(1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,且-p2=-2,所以p=所以,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-8y.(2)由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為5,知p=5,又焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上,所以,所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=-10x.10.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過雙曲線x2a2-y2b2=1的一個(gè)焦點(diǎn)解設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),根據(jù)點(diǎn)32,6在拋物線上可得62=2p·32故所求拋物線方程為y2=4x,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.∵拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),∴c=1,即a2+b2=1.故雙曲線方程為x2a2∵點(diǎn)32,∴94a2-61-a2=1,解得a2=同時(shí)b2=34,故所求雙曲線的方程為x21能力提升練1.(多選題)對拋物線y=18x2,下列描述正確的是(A.開口向上,焦點(diǎn)為(0,2)B.開口向右,準(zhǔn)線方程為x=-1C.開口向右,焦點(diǎn)為1D.開口向上,準(zhǔn)線方程為y=-2解析拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式x2=8y,可得其開口向上,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.答案AD2.(2020·浙江溫州十校聯(lián)合體高二期末)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是平面BB1C1C內(nèi)一動點(diǎn),若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等,則動點(diǎn)P的軌跡是()A.直線 B.圓 C.雙曲線 D.拋物線解析由題意知,直線C1D1⊥平面BB1C1C,則C1D1⊥PC1,即|PC1|就是點(diǎn)P到直線C1D1的距離,那么點(diǎn)P到直線BC的距離等于它到點(diǎn)C1的距離,所以點(diǎn)P的軌跡是拋物線.答案D3.(2020·河北保定高三聯(lián)考)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,則此拋物線的方程為()A.y2=9x B.y2=6xC.y2=3x D.y2=3x解析如圖,分別過A,B作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由拋物線的定義知:|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°,連接A1F,則△AA1F為等邊三角形,過F作FF1⊥AA1于F1,則F1為AA1的中點(diǎn),設(shè)l交x軸于K,則|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=∴拋物線方程為y2=3x.答案C4.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn),且滿足∠AFB=2π3.設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的射影為N,則|MN||A.3 B.32 C.33解析設(shè)|AF|=a,|BF|=b,A,B在準(zhǔn)線上的射影分別為Q,P,連接AQ,BP(圖略).由拋物線定義,得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|.在四邊形ABPQ中,得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2abcos2π3=a2+b2+ab配方得|AB|2=(a+b)2-ab.又∵ab≤a+∴(a+b)2-ab≥(a+b)2-a+b22=得到|AB|≥32(a+b),∴|即|MN||答案C5.動圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓恒與直線x+2=0相切,則動圓必過點(diǎn).

解析拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線方程為x+2=0,故圓心到直線x+2=0的距離即半徑等于圓心到焦點(diǎn)F的距離,所以F在圓上.答案(2,0)6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓M:(x-1)2+y2=1,點(diǎn)A(3,1),P為拋物線y2=2x上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過點(diǎn)P作圓M的切線PB,B為切點(diǎn),則|PA|+|PB|的最小值是.

解析設(shè)P(x,y),可得y2=2x,圓M:(x-1)2+y2=1的圓心M(1,0),半徑為1,連接PM,如圖所示,|PB|=|PMx2+即|PB|為點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離.拋物線的焦點(diǎn)為F12,0,準(zhǔn)線方程為x=-12,可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-12.過點(diǎn)A可得A,P,K三點(diǎn)共線時(shí),|PA|+|PF|取得最小值|AK|=72,即有|PA|+|PB|的最小值為3答案3素養(yǎng)培優(yōu)練已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為22的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),且|AB|=9.(1)求該拋物線的方程;(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若OC=OA+λOB,求λ解(1)直線AB的方程是y=22x-p2,與y2=2px