數量方法筆記

深圳大學管理學院商務管理專業(yè)2003級顧云飛第一章數據的整理和描述數據的分類：?按照描述的事物分類：分類型數據：描述事物的品質特征，本質表現是文字形式（一般不能相加）;數量型數據：描述事物的數量特征，用數值形式表示（通常可以相加）；日期和時間。?按照被描述的對象與時間的關系分類：截面數據：描述事物在某一時刻的變化情況（也叫橫向數據）；時間序列數據：描述事物在一定的時間范圍內的變化情況（也叫縱向數據）;平行數據：截面數據與時間序列數據的組合。數據的整理和圖表顯示：?數據的整理1.單值分組法：數據中不同數據的個數不多時用.2.組距分組法：找出最大值max和最小值min；適當取a<min,b>max；1)定數據范圍：2)分組定組距：分成m組，組距c=（b-a）/m；3)定各組界限：確定每組的上、下限；4)唱票記頻數；5)算出組頻率，組中值；6)制作頻數（率）表。?數據的圖表顯示餅形圖：用來描述和表現各成分或某一成分占全部的百分比。注意,成分份額總和必須是100%；比例必須與扇形區(qū)域的面積比例一致。條形圖：用來對各項信息進行比較。（當各項信息的標識（名稱）較長時，宜用條形圖）。柱形圖：橫軸表示時間，縱軸表示數據大小（常用于時間序列數據）。它可以直觀地看出事物隨時間變化的情況。折線圖：明顯表示趨勢的圖示方法。簡單、容易理解。曲線圖：用光滑曲線連接各點,形成一條整體光滑的曲線。散點圖：用來表現兩個變量之間的相互關系，以及數據變化的趨勢。莖葉圖：把數據分成莖與葉兩個部分，按一定規(guī)律排列。它既保留了所有原始數據，又直觀地顯示出數據的分布。數據集中趨勢的度量：?平均數：n個數據的算術平均數n個數據的算術平均數=全體數據的和

數據的個數（組中值x（組中值x頻數）的和分組數據的加權平均數-—頻數的和y牝1i其中m為組數，y.為第i組組中值，v.為第i組頻數。平均數容易理解，計算；它不偏不倚地對待每一個數據；是數據集的“重心”；缺點是它對極端值十分敏感。?中位數：將數據按從小到大順序排列，處在中間位置上的一個數或最中間兩個數的平均數。中位數對極端值不像平均數那么敏感，因此，如果數據含有極端值，用中位數來描述集中趨勢比用平均數更為恰當。?眾數：數據中出現次數最多的數。它反映了數據中最常見的數值，不僅對數量型數據（數值）有意義，對分類型數據也有意義；它能夠告訴我們最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等產品特征。缺點是一組數據可能沒有眾數，也可能眾數不唯一。四.數據離散趨勢的度量：?極差R=max-min。?四分位極差=Q3-Q1。第2四分位點q2=全體數據的中位數；第1四分位點Q1=數據中所有WQ2的那些數據的中位數；第3四分位點Q3=數據中所有NQ2的那些數據的中位數。四分位極差不像極差R那樣容易受極端值的影響，但是仍然存在著沒有充分地利用數據所有信息的缺點。?方差：反映數據離開平均數遠近的偏離程度。EV'',一、,〉一C、.n（X-x）2=+（乙X2一nx2）分組數據的方差。2=+Zm（y,—y）2七=+（Zmy;七—ny2）其中m,y「vi同上,n=2nvi是數據的個數,y是分組數據的加權平均數。?標準差：。=兵（方差的算術平方根，與原來數據的單位相同）?變異系數：v=奪（%）（反映數據相對于其平均數的分散程度）X兩組數據的平均數不同或兩組數據的單位不同時用。第二章隨機事件及其概率隨機試驗與隨機事件：?隨機試驗：可以在相同的條件下重復進行；試驗的結果不止一個，但所有可能的結果在試驗之前都知道；每次試驗之前，不知道這次試驗出現哪個結果。?樣本空間Q：隨機試驗中每個可能的結果，稱為一個基本事件（或樣本點）；基本事件的全體所組成的集合稱為樣本空間（是必然事件）；若干個樣本點組成的集合（即樣本空間的子集），稱為隨機事件（簡稱事件）；事件A發(fā)生。A中一個樣本點出現；只含一個樣本點的事件是基本事件，不含任何樣本點的事件是不可能事件0。?樣本空間的表示方法：列舉法，描述法。事件的關系和運算?事件的關系：包含關系：若A發(fā)生，則B一定發(fā)生（或事件A的樣本點都包含在B中），則稱事件A含于B（或B包含A），記作AuB（或BdA）。相等關系：若事件A,B所含樣本點相同，則稱事件A與B相等，記作A=B。?事件的運算

并AUB：A發(fā)生或B發(fā)生(或A,B至少有一個發(fā)生)的事件，常記作A+B。交AHB：A,B同時發(fā)生的事件，常記作AB。差A-B：A發(fā)生，但B不發(fā)生的事件。互斥事件：事件A,B中若有一個發(fā)生，另一個一定不發(fā)生(即AB=0),則稱事件A,B互斥，否則稱A,B相容。對立事件：若事件A,B互斥，且AUB是樣本空間(即AB=0，A+B=Q)，則稱事件A,B對立(或互逆)。A的對立事件記作A(即AA=0,A+A=Q)。?一個常用的等式：A-B=A-AB=AB?運算律：交換律：A+B=B+A,AB=BA；結合律：(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC)；分配律：(A+B)C=AC+BC,(AB)+C=(A+C)(B+C)；對偶律：A+B=AB,~AB=A+B。概率的定義：(統計)事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值稱為A的概率，記作P(A)(0WP(A)W1)。(古典)若隨機試驗的樣本空間只含有限個樣本點，且每個樣本點發(fā)生的可能性相同,mA所含樣本點個數則P(A)=樣本點總數一。(幾何)設質點落在Q內任何一點的可能性相同,AuQ,則質點落在A內(記作事件A)的概率A的面積P(A)=A的面積P(A)=Q的面積(=1)=A的面積。?兩個基本原理加法原理：做一件事，有兩類辦法，第一類有m種方法，第二類有n種方法，則做完這件事，共有m+n種方法(可以推廣到有多類辦法的情況)；乘法原理：做一件事，分兩步來做，第一步有m種方法，第二步有n種方法，則做完這件事，共有mXn種方法(可以推廣到多個步驟的情況)。排列：從n個不同元素中任取r個,按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取r個的一個排列。所有排列的個數，稱為從n個不同元素中任取r個的排列數，記作Pn。組合：從n個不同元素中任取r個,不管怎樣的順序合成一組，稱為從n個不同元素中任取r個的一個組合。所有組合的個數，稱為從n個不同元素中任取r個的組合數，記作Cr。顯然Pi=Ci=n,Cn=1。"概率的性質：0MPn(A)W1「P(0)=O,P(Q)=1。條件概率：在事件B(假定P(B)>0)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率稱為A對B的條件概率，記作P(AIB)。計算公式P(AIB)=3)；P(B)概率公式：

互逆概率：對任意事件A,P(A)+P(A)=1；加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)可以推廣到有限個事件的并的情形，如：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)減法公式：P(A-B)=P(A)-P(AB)特別地，當AoB時,P(A-B)=P(A)-P(B)；乘法公式：P(AB)=P(A)P(BIA)，P(A)/0；全概公式：設事件A1,%,???,An兩兩互斥,A1+-+An=fi,且P(A1)>0,…,P(An)>0,則對任意事件B,有P(B)=P(A1)P(BIA1)+P(A2)P(BIA2)+?+P(An)P(BIAn)；貝葉斯公式：條件同上,則對任意事件B(P(B)>0),有P(A.IB)=PAB=p(氣)p(BI氣),i=1,2,…,n,(分母中的P(B)用全概公式求)。iP(B)P(B)第三章隨機變量及其分布取值帶有隨機性，但取值具有概率規(guī)律的變量稱為隨機變量。離散型隨機變量：取值可以逐個列出。?數學期望:定義：性質：EX=￡xipiEc?數學期望:定義：性質：EX=￡xipiEc=cE(aX)=aEXE(aX+b)=aEX+bXx1x2…pp1p2…（以概率為權數的加權平均數）；（常數期望是本身）（常數因子提出來）（一項一項分開算）?方差：定義:性質:DX=E(X?方差：定義:性質:DX=E(X-EX)2=￡(xi-EX)2pi；Dc=0D(aX)=a2DXD(aX+b)=a2DX（常數方差等于0）（常數因子平方提）（一項一項分開算）DX=E（X2）-（EX）2（方差=平方的期望-期望的平方）;3.公式：?常用離散型隨機變量:(0-1)分布：隨機變量(0-1)分布：隨機變量X只能取0,1這兩個值；X?B(1,p)；EX=p,DX=p(1-p)二項分布：分布律：P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n；nX?B(n,p)；EX=np,DX=np(1-p)4）適用：隨機試驗有兩個可能的結果（A或A），且P（A）=p,將該試驗獨立重復n次。泊松分布:分布律：P(X=k)=血項,k=0,1,2,…，入>0；k!X?P(入)；EX=入,DX=入；適用：在指定時間段(或指定范圍)內某事件發(fā)生的次數。三.連續(xù)型隨機變量：取某個范圍內的一切實數。?X的密度函數f(x)：對任意實數x,f(x)N0；對任意實數a<b,P(a<XWb)是密度曲線y=f(x)下方,[a,b]區(qū)間上方圖形的面積。?設X是連續(xù)型隨機變量：期望EX=大量重復試驗結果的算術平均數的穩(wěn)定值(常記作u)；方差DX=E(X-EX)2=E(X2)-(EX)2(方差=平方的期望一期望的平方)；標差方差的算術平方根。?常用連續(xù)型隨機變量:名稱密度函數記法EXDX均勻分布f⑴=〕a<x<bX?U[a,b]a+b(b一a)2、0，其他212指數分布f⑴=■人e-兀,0x>0，入>0x<0X?E(入)1力1人2正態(tài)分布p(x)=:-e-4x-u422ct2，b>0X?N(u,。2)u。2,■2兀Q標準正態(tài)x2一分布'(x)=士e一2L2KX?N(0,1)01?正態(tài)分布的密度曲線y=p(x)是一條關于直線x=u的對稱的鐘形曲線，在x=u處最高，兩側迅速下降，無限接近x軸；。越小(大)，曲線越尖(扁)。?標準正態(tài)分布的密度曲線y=e(x)是關于y軸對稱的鐘形曲線。?隨機變量的標準化XTX-EX(減去期望除標差)?！鯠X?標準化定理：設X?N(u,。2),則Z=\丁?N(0,1)。二維隨機變量：?用兩個隨機變量合在一起(X,Y)描述一個隨機試驗，(X,Y)的取值帶有隨機性，但取值具有概率規(guī)律，則稱(X,Y)為二維隨機變量。?X,Y的協方差：cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EXXEY協方差cov(X,Y)的正負反映X,Y之間相關關系的方向。cov(X,Y)>0表示X與Y之間存在一定程度的正相關關系；cov(X,Y)<0表示X與Y之間存在一定程度的負相關關系；cov(X,Y)=0稱作X與Y不相關。?X,Y的相關系數：rXY=心A(-1WrXYW1)XYDX.、DY又丫相關系數rXY反映X,Y之間的線性相關的程度。rXY越接近1，表明X,Y之間的正線性相關程度越強;rXY越接近-1，表明X,Y之間的負線性相關程度越強;rXY=0，X與Y不相關。?隨機變量的線性組合：E（aX+bY）=aEX+bEYD（aX+bY）=a2DX+2abcov（X,Y）+b2DY決策準則與決策樹：?對不確定的因素進行估計，從幾個方案中選擇一個，這個過程稱為決策；?決策三準則：極大極小原則:將各種方案的最壞結果（極小收益）進行比較,選擇極小收益最大的方案;最小期望損失原則：選擇期望損失最小的方案；最大期望收益原則：選擇期望收益最大的方案。?決策樹：把不確定因素下的決策過程用圖解的形式表示出來，簡單、直觀。第四章抽樣方法與抽樣分布一、抽樣基本概念：總體：研究對象的全體；個體：組成總體的每一個個體；抽樣：從總體中抽取一部分個體的過程；有放回抽樣（各次抽取相互獨立），不放回抽樣（各次抽取不相互獨立）。樣本：從總體中抽出的一部分個體構成的集合；樣本值：在一次試驗或觀察以后得到一組確定的值；隨機樣本：①個體被抽到的可能性相同；②相互獨立；③同分布。二、抽樣方法：?簡單隨機抽樣：總體中有n個個體，從中抽取r個個體作為樣本，使得所有可能的樣本都有同樣的機會被抽中（r稱為樣本容量）。有放回抽樣的樣本個數為nr；無放回抽樣的樣本個數為史。?系統抽樣（等距抽樣）：將總體中的個體按照某種順序排列，按照規(guī)則確定一個起點，然后每隔一定的間距抽取個體作為樣本。?分層抽樣：在抽樣之前將總體劃分為互不交叉重疊的若干層，然后從各個層中獨立地抽取一定數量的個體作為樣本。?整群抽樣：在總體中由若干個個體自然或人為地組成的群體稱為群，抽樣時以群為抽樣單位，對抽中的各群的所有個體進行觀察。三、抽樣中經常遇到的三個問題：抽樣框選取不當；無回答：處理無回答常用的方法：注意調查問卷的設計和加強調查員的培訓；進行多次訪問；替換無回答的樣本單元；對存在無回答的結果進行調整。抽樣本身的誤差。1）抽樣誤差（樣本指標與被估計的總體相應指標的差）與抽樣標準誤差（抽樣誤差的標準差）；2）非抽樣誤差與偏差。四、抽樣分布與中心極限定理：?不含任何未知參數的樣本的函數稱作統計量。?常用的統計量樣本均值：X=+z^x；樣本方差：S2=六￡;(X"X)2；(注意是除以n-1,其中n是樣本容量)樣本標差：S=.、§。?統計量的分布叫做抽樣分布。?樣本均值的期望與方差：設隨機變量X],…,Xn獨立同分布，且EX尸u,DX=。2,i=1,2,…,n,X=+^^^X^，則EX=E(士￡"X)=+￡-EX=+-職=u；DX=D(七￡nX)=+D(￡nX)=+￡nDX=+-n。2=gn1in21in211n2n即，樣本均值的期望=總體均值，樣本均值的方差=總體方差/樣本容量。?中心極限定理：設隨機變量X],…,Xn獨立同分布，且EX廣…=EXn=u,DX廣…=DXn=。2,X=+￡nX貝gX近似N。即,大樣本(樣本容量nN30),*論原來總體服從什么分布，樣本均值都近似服從正態(tài)分布。五、常用的抽樣分布樣本均值的分布：總體分布樣本容量樣本均值的分衫N(u,°2)任意X?N(p,吁)非正態(tài)分布大樣本X?似N(R,&2)n樣本均值的期望與方差總體抽樣方式EXDX有放回抽樣有限總體■^2n不放回抽樣uN-n無限總體任意n當有限總體不放回抽樣n<5%時，修正系數N-nR1,樣本均值的方差可以簡化為艮。N2.樣本比例的分布：P'?N(p,NW)n樣本比例的期望與方差N-1n總體抽樣方式EPDP有放回抽樣有限總體p(1-p)n不放回抽樣PP(l-P)--N-n-無限總體任意P(1-P)n

。未矢小樣本s代。當有限總體不放回抽樣n<5%時，修正系數。未矢小樣本s代。六、名稱統計量記法上a分位點X2分布X],…,Xn?N(0,]),獨立x2=X：+???+X2x2?x2(n)P[x2>xa2(n)]=at分布X?N(0,]),Y?x2(n),獨立.t=X/<ynt?t(n)P[t>t(n)]=aF分布U?x2(m),V?x2(n),獨立.F=5V/nF?F(m,n)P[F>F(m,n)]=a七、幾種重要統計量的分布:設X?N?,02）,X］,…,Xn是X的樣本，樣本均值X，樣本方差S2:].t分布：X?N(R，砰)標TL?N(0,1)n朽ny?.?X2分布：乙阡疽）=（nj）^?*2（n一］）；設X］,…，Xm;%…，Yn分別是N?］,。^）,N（u2,o22）的樣本，且相互獨立，則:X-V?N(旦—旦，嚀+哼)標驊X-Y-W廣叩?N(0,1)

mn■.4+略mnX-V-(七-七

S"I+:)?tX-V-(七-七

S"I+:)?t(m+n—2)口S2=+￡m(X—X)2S2=+￡n(V-Y)2,S2=(m-1)S2+(n-1)S2n-12n-1]iS2=+￡m(X—X)2n-1一、參數的點估計?設總體分布中含有未知參數。，從總體中抽取一個樣本X］，…，Xn，用來估計未知參數。的統計量°（X］，…，Xn）稱為。的一個估計量。若X］，…，xn是樣本的一組觀察值，則稱°（X］，…，xn）為參數。的一個點估計值。?估計量的評價標準：無偏性：設°是總體未知參數。的估計量，若E°=°則稱°是。的無偏估計量。樣本均值X是總體均值U的無偏估計量：EX=U；樣本方差S2是總體方差。2的無偏估計量：ES2=02；樣本比例P是總體比例p的無偏估計量：EP=p。有效性：。的方差最小的無偏估計量稱為。的有效估計量。正態(tài)總體的樣本均值X是總體均值u的有效估計量。

一致性：若樣本容量增大時，估計量0的值越來越接近未知參數。的真值，則稱0是。的一致估計量。樣本均值是總體均值的一致估計量；樣本方差是總體方差的一致估計量；樣本比例是總體比例的一致估計量。二、參數的區(qū)間估計：?設。是總體分布中的未知參數，X1,…，Xn是總體的一個樣本，若對給定的a（0<a<1）,存在兩個估計量0（X，…，X）和0（X|，…，X）,使P（0<°<°）=1—a，則稱隨機區(qū)間]'1n21n12（01,02）為參數。的置信度為1—a的置信區(qū)間，°a稱為顯著水平。?意義：隨機區(qū)間（01，02）包含°真值的概率是l—a。三、總體均值的置信區(qū)間標準化T置信度1-a待估參數:總體均值h樣本勻”,A估計量X?N（h，b2）—bX+Z—a/2x'nnb已知Z=IZh?N（0,1）置信區(qū)間或大樣本f'nSX土t(n—1)—a/25。未知，小樣本，X—^置信區(qū)間—t=標準化T置信度1-a—bX+Z—a/2x'nSX土t(n—1)—a/25總體分布樣本量。已知。未知S代。大樣本正態(tài)分布非正態(tài)分布小樣本nZa/2寫X土ta〃(n—1)?十S代。大樣本.nP—P2土P—P2土Z樣本量抽樣方式置信區(qū)間大樣本有放回抽樣P+Zv：P1—P)a/2*n不放回抽樣p土za/2jpup)-N—n五、兩個總體均值之差的置信區(qū)間（置信度1-a）總體分布樣本量。已知。未知大樣本S1代。1,S2代。2正態(tài)分布小樣本X—Y+Z寸嚀+哼X—Y土ta/2(m+n—2)-S合?寸+++非正態(tài)分布大樣本S1代。1,，2代。2六、兩個總體比例之差p1—p2的置信區(qū)間（置信度1—a）：'】~~\；P^+P^—P^a/2'mn七、樣本容量的確定抽樣方式置信區(qū)間（置信度1—a）絕對誤差樣本容量有放回抽樣（或抽樣比＜5%）總體均值X+有放回抽樣（或抽樣比＜5%）總體均值X+Za/2-總體比例P土七/2?線冒△=z?a/2■■n△=z(P^P)

a/2n(zb)2n=a/2I△J不放回抽樣總體均值iX+Z/2千Nn△=Za/2,-&■-?'N-nn'"I先算出有放回抽樣的樣本容量n,然后：總體比例c,rI△=Z\*；P(1-P)-N-n0n=—P±Z寸P(1-P)-N~na/2'bnN-11+的Nn=z&2P(1")第六章假設檢驗一、假設檢驗的基本概念：?小概率原理：小概率事件在一次試驗中很難發(fā)生（但并不意味著絕對不會發(fā)生）。?對總體參數的取值所作的假設，稱為原假設（或零假設），記作H0；原假設的對立假設稱為備選假設（備擇假設），記作H1O?犯“H0成立，但拒絕H0”這種錯誤稱為第一類錯誤（棄真錯誤），犯第一類錯誤的概率a稱為顯著水平；犯“H0不成立，但接受H0”這種錯誤稱為第二類錯誤（取偽錯誤），犯第二類錯誤的概率記作B。?用來判斷是否接受原假設的統計量稱為檢驗統計量。?當檢驗統計量取某個范圍D內的值時，我們拒絕原假設H0,這時D稱為拒絕域。?拒絕域的邊界點稱為臨界點。?假設檢驗的基本思想：先假定H0成立，在這個前提下用樣本數據進行推導、計算，如果導致小概率事件發(fā)生，則拒絕H0,否則就接受H0。?當檢驗統計量H0：u=u0H1：u#u0（雙側檢驗）拒絕域：IZI^z/2a/2H0：u=u0H1：u>u0（右側檢驗）拒絕域：Z3zH0：u=u——0—u<u0——（左側檢驗）拒絕域：ZW-za?假設檢驗的五個步驟：提出原假設與備選假設。原則：1）把含有等號的式子作為原假設；2）把從樣本作出猜測而希望證實的問題作為備選假設。選取統計量。（通過選取適當的檢驗統計量來構造小概率事件）按P（拒絕H0IH0成立）=a確定拒絕域；計算統計量的值；作出判斷：若樣本值落在拒絕域內，小概率事件發(fā)生，拒絕H0；若樣本值不落在拒絕域內，小概率事件沒有發(fā)生，接受H0。、總體均值的假設檢驗：已知條件H0H1檢驗統計量及其分布拒絕域X?N(u,02)。已知u=u0或大樣本uNuIZlNz0X^丑0為真a/2u>uZ==°虬N(0,1)Z3z0b/5au<uZW-z0a

X?N(u,02)。未知，小樣本u=u0u#u0u>u0u<ut=又-%燮t(n-1)S/m|t2ta/2(n-1)t3t(n-1)tW-t(n-1):、總體比例的假設檢驗：已知條件__Ho___H1檢驗統計量及其分布拒絕域p#p0p>p0Z=-P—PH0為真0一七N(0,1)1―_X|Z2z/2a/2Z3z大樣本p=p00p(1—p)Q―00—P<P07nZW-zQ四、兩個總體均值之差的假設檢驗:比例-已知條件_10__—H1__檢驗統計量及其分布拒絕域X?N(ui,o12)Y?N(u2,。22)。］,。2已知u1=u2ujNu?u1>u2u<uZ=X—YH抄N(0,1)、嚴+哼mn|Z2z「a/2Z3zaZW-z或大樣本12QX?N(ui,oi2)Y?N(u2,。22)。］=。2未知，小樣本u1=u2ujNu?u1>u2u1<u2x—Yh為真/?t=~t(m+n—2)S、:+++合vmn|t2ta/2(m+n-2)t3t(m+n-2)tW-t(m+n-2)p1#p2rP—PH為真、i\Z=、L2IN(0,1)\P(1—P)住+4)■mn|Z2z「/2Z3zaZW-z大樣本p1=p2p1>p2pm第七章相關與回歸分析一、相關分析：?線性相關：變量的關系近似線性函數；1正線性相關：變量同向變化；2負線性相關：變量反向變化；?非線性相關：變量的關系近似非線性函數；?完全相關：變量的關系是函數關系；1完全線性相關：變量的關系是線性函數；2完全非線性相關：變量的關系是非線性函數；?不相關：變量之間沒有任何規(guī)律。?協方差：cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EXXEY?總體相關系數：r=cov￡x皿XY■-DX??DY一"L一、記，?簡單相關系數：r=亍乙(巴1)(導一y)_=―^,(x1,y1),^,(xn,yn)是總體(X,Y)的n對觀察值?.乙(Xi-X)2.?.乙(yt-y)2■-lxxr反映兩個變量之間線性相關的密切程度。l=￡x.y.-nx?y,l=￡x.2-nx^,l=￡y.2-nyxyWixyiyyi

、一元線性回歸：如果可以近似地用函數來描述變量之間的相關關系，則稱該函數為回歸函數；若回歸函數是線性（一次）函數，則稱為線性回歸函數；若兩個變量之間的回歸函數是線性函數，則稱為一元線性回歸函數（其圖形稱為回歸直線）;4.回歸直線》=a+bx，其中b=lxy/lxx稱為斜率（或回歸系數），a=y-bx稱為截距。5.平方和分解公式Z(y—y)2=S(y—y)2iiiSST=SSE總變差平方和=剩余平方和+SSR(SST=lyy,SSR=b2lxx)+回歸平方和總變差平方和：反映y1,…，yn的分散程度；回歸平方和：反映由于x1,??:xn的分散性引起的y],???，yn的分散程度;剩余平方和：反映其他因素引起的y1,SST=SSE總變差平方和=剩余平方和6判定系數：r2=st（回歸平方和占總變差平方和的比例）=（相關系數r）27.判定系數的意義0WhW1SSE意義r2=0SSE=SSTx的變化與y無關，x,y沒有線性相關關系、八一一-r2-1SSE—0，y,Tyj觀察點接近回歸直線，x,y高度線性相關r2=1r2=1sse=o，y,=y,觀察點落在回歸直線上，x,y完全線性相關.....一......最小二乘法：使因變量的觀察值y與估計值y,之差的平方和SSE（剩余平方和）達到最小來求得a和b的方法，即SSE=￡(y.-y)2=S(y.-a-bx.)2=min。估計標準誤差：s=W=產"Z、廣2皿y?n—2In—2y0的點估計與區(qū)間估計：：給定x=x0y0的點估計：y0=a+bx0個別值y「的預測區(qū)間：y土t（n—2）-S?.「1+++（xo—x）2

』°0ayYnlTOC\o"1-5"\h\z2xx平均值Ey的置信區(qū)間：y土t（n—2）?S?:1+?！?ayvnix三、多元線性回歸和非線性回歸：2_.a?多元線性回歸：y=b°+b1x1+_+bkxk?表示在其它變量不變的條件下，％增加1個單位時,y平均變動Q個單位.平方和分解公式：SST=SSE+SSR多重判定系數R2=SSR/SST=（多重相關系數R）2意義：因變量的總變差中，有R2（%）可以由回歸方程來解釋。估計標準誤差：$=I’TAy,n—k—1意義：用x],...,xk來預測因變量y,平均預測誤差為sy個單位。

?可線性化的非線性回歸:名稱方程變量代換線性回歸雙曲函數y=a+b?+Xx’=十Xy=a+bx’對數函數y=a+blogxx’=logxy=a+bx’冪函數y=Axby’=logy，x’=logx,a=logAy’=a+bx多項式函數y=b0+b1x1+...+bkxkx]=x，x2=x2，…，xk=xky=b0+b1x1+...+bkxk第八章時間數列分析一、時間數列的分類?絕對數時間數列時期數列一觀察值反映現象在一段時期內的總量（可以直接相加）。時點數列一觀察值反映現象在某一時刻上的總量（通常不能相加）。?相對數時間數列：兩個同類的絕對數的比形成的時間數列（無單位，通常用百分數表示）。?平均數時間數列：兩個不同類絕對數的比形成的時間數列（有單位）。二、時間數列的序時平均數現象在各個時間上的觀察值稱為發(fā)展水平（反映現象的規(guī)模和發(fā)展的程度）。各個時期發(fā)展水平的平均數稱為平均發(fā)展水平（序時平均數）。序時平均數的計算方法：1）絕對數時期數列：算術平均法Y=頃++Yn絕對數時點數列：連續(xù)時點：同上間斷時點：加權平均法首末折半法Y=號.匕+號T2+...+蛆九.J1間斷時點：加權平均法首末折半法—T1+T2+...+T1（其中T1,T2，…,Tn-1是時間間隔長度）時2=...％「^=專+%+...+七1+飛

n-12）相對數，平均數時間數列：分開平均再相比Y=皆b三、時間數列的水平（絕對數）分析增長量=報告期水平一基期水平；逐期增長量=報告期水平一前期水平；累計增長量=報告期水平一固定基期水平四、時間數列的速度（相對數）分析、、報告期水平發(fā)展速度=基期水平增長速度=發(fā)展速度-1報告期水平環(huán)比發(fā)展速度=前期水平;環(huán)比增長速度=環(huán)比發(fā)展速度-1

定基發(fā)展速度=、、報告期水平發(fā)展速度=基期水平增長速度=發(fā)展速度-1報告期水平環(huán)比發(fā)展速度=前期水平;環(huán)比增長速度=環(huán)比發(fā)展速度-1定基發(fā)展速度=報告期水平

固定基期水平定基增長速度=定基發(fā)展速度-1累積增長量

觀察值個數-1平均發(fā)展速度=各環(huán)比發(fā)展速度的幾何平均數;I水平法：Y=請Y0累計法：Y+Y2+...+Yn=Y0+Y1；+匕（查表）Y0水平法、一」I1=平均增長速度=平均發(fā)展速度一1累計法’六、長期趨勢分析及預測：時間數列的構成要素：T一長期趨勢；S一季節(jié)變動；C一循環(huán)變動；I一不規(guī)則變動。時間數列的模型：乘法模型一Y=TXSXCXI；加法模型一Y=T+S+C+I；混合模型等。移動平均法：適當擴大時間間隔，逐期移動，算出移動平均趨勢，消除短期波動（偶數項要作兩次移動平均）；數學模型法線性模型（直線趨勢）以時間t作自變量，發(fā)展水平Yt作因變量線性模型（直線趨勢）以時間t作自變量，發(fā)展水平Yt作因變量，用最小二乘法得趨勢直線方程。a=Y—bttY=a+bt,

t非線性模型（曲線趨勢）指數曲線Y=a?bt,

tb=l/1tY,tt（其中t用時間編碼）Gompertz曲線二次曲線Y=a+bt+ct2,

t=修正指數曲線Y=K+a?bt,tY=Kabt,

tLogistic曲線人Y=^—tK+a-bt七、季節(jié)變動分析：?季節(jié)變動的測定：1.按季（月）平均法;同季（月）平均數（消除隨機影響）一總季（月）平均數J全體數據的和）數據個數一季節(jié)指數C同季（月）平均數（%））總季（月）平均數’四季季節(jié)指數之和=400%七、季節(jié)變動分析：?季節(jié)變動的測定：1.按季（月）平均法;趨勢剔除法：先消除趨勢變動，再計算季節(jié)指數。四季（或全年）的移動平均趨勢T一y=觀察值（%），消除趨勢變動；一將Y/T按季（月）重新排列，計算同季（月）平均數。?季節(jié)變動的調整：算出Y/S（消除季節(jié)變動）

一根據Y的數據，配合趨勢直線Y=a+bt,a=-bt,b=l_/lxx（其中t為時間編碼）一由趨勢直線方程，算出調整后的趨勢值。季節(jié)變動和不規(guī)則變動。八、循環(huán)變動的測定：剩余法一從時間數列中消除趨勢變動、消除季節(jié)變動，計算二一根據Y的數據，配合趨勢直線Yf=a+bt，算出