重郵-信號(hào)與系統(tǒng)課件

§3.9周期信號(hào)的變換正余弦信號(hào)的一般周期信號(hào)的變換FT變換

級(jí)數(shù)FS與其單脈沖的傅立葉變換FT的關(guān)系一、正余弦信號(hào)的 變換0

1

)]

F

(0FT[

f

(t)e1j

tF0

()

FT[1]

2()112()([1)]1

([e][c1

os

ejjtt

1

)]FT

t

FT)]1111[()(1)]jFT

t

FT[][s(in

ejejtt

12

jFT[cos1

t]

[

(

1

)

(

1

)]FT[sin

1

t]

j[

(

1

)

(

1

)]

(

1

)

(

1)110jF

(

)

(

1

)1

10

(

1)二、一般周期信號(hào)的變換n

nF

e1f

(t

)

jn

tTnT11221f

(t)e

dt1T]jn

t

jn1tn

1Fn

2

Fn

(

n1

)nF

FT

[eFT[

f

(t)]

FT[

f

(t)]

2

Fn

(

n1

)n由一些沖激組成離散頻譜沖激位于諧頻處大小不是有限值，而是沖激函數(shù)，沖激的強(qiáng)度為Fn的2

倍(0,1,21,)周期信號(hào)的

變換存在條件周期信號(hào)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件;引入沖激信號(hào)后，沖激的積分是有意義的;在以上意義下，周期信號(hào)的

變換是存在的;周期信號(hào)的頻譜是離散的，其頻譜密度，即

變換是一系列沖激.f

(t)e

jωt

dt取f

(t)的一個(gè)周期f0

(t)，若f0

(t)

F0

(ω)則22122100F

(ω)

TT1

T1Tf

(t)e

jωt

dt

1tωdtTTjn

tωn

n11T121

21)e(tfjnn)(

,其中FeFtf若

tf)為(

周期信號(hào)，由

級(jí)數(shù)知：三、周期性脈沖序列級(jí)數(shù)FS與其單脈沖的

變換FT的關(guān)系

nn

T

F

F

(

)例一：求周期單位沖激序列的FS與FT

T

(t)nnTF

e1

n

(t

nT

)

(t)

（1）求FS：1jn

tTF

T

T

jn

t

(t)e dt

T

TTT

T

jn

t

(t)e dt

ne

jn1tT

(t)

T1

n11TtFn01112

1T1（2）求FT：

nn

nnjn

tjn

tT

(t)

eTF

e

(t

nT

)

(

n

)T

(t)

nTn)T

(t)T1t02111

211

(t)t(1)0T(t)0F0

()11TtFn01112

1T1FS02111

211FT1

(

n1

)n例二：周期矩形脈沖的FS和FTF0

()E20FTT12EnFFSE1FTEf0

(t)

2

0

2t周期重復(fù)T1T1Ef

(t)t

2

0F

(

)

ESa

1T1

2Tn

0

E

Sa(

n1

)F

1

F

(

)

n11.e12T1jn

tn

nf

(t)

E

Sa211n

Sa

(

n

)F

()

E1

nFSFT1n

0T

n1F

1

F

(

)單脈沖和周期信號(hào)的變換的比較單脈沖的頻譜F0

()是連續(xù)譜，它的大小是有限值；周期信號(hào)的譜F()是離散譜，含頻譜密度概念，它的大小用沖激表示；F

()的包絡(luò)是F0

()的包絡(luò)倍?！?.10

抽樣信號(hào)的變換時(shí)域抽樣沖激抽樣矩形抽樣頻域抽樣抽樣過(guò)程方框圖：連續(xù)信號(hào)f(t)抽樣信號(hào)fs(t)抽樣量化編碼抽樣脈沖p(t)問(wèn)題的提出：抽樣后離散信號(hào)的頻譜是什么樣的？它與未被抽樣的連續(xù)信號(hào)的頻譜有什么關(guān)系？連續(xù)信號(hào)被抽樣后，是否保留了原信號(hào)的所有信息？即在什么條件下，可以從抽樣的信號(hào)還原出原始信號(hào)？數(shù)字信號(hào)一.時(shí)域抽樣設(shè)：f

(t)

F(),p(t)

P(),fs

(t)

Fs

()×抽樣后信號(hào)：fs抽(t)樣器f

(的t)

p數(shù)(t學(xué))

模型st

dtT

jnp(t)eTsnp(ts)nsnP()

2

P

(

n

),

其中P

p(t)為周期信號(hào)f，(t)周期為T(mén)s，有：fs(t)Ts221s2Pn

F

(

ns

)

F

()

1

F

()

*

P()

nsTssTTss1p(t)e1

s2P

n

jn

tP()

2時(shí)域抽樣域周期重復(fù)0ns(

)sdt

Ts若p(t)為沖激序列時(shí)，有：

頻FTPP(()

n

)1.沖激抽樣f

(t)t0

P(t)(1)0Tsf

(t)st相乘0t01FT相卷

ss0sF

()12TsFT信號(hào)在時(shí)域被沖激抽樣后，其頻譜Fs(ω)是原信號(hào)的頻譜F(ω)以抽樣頻率ωs為間隔周期重復(fù)而得到的。在重復(fù)過(guò)程中，F(xiàn)(ω)幅度被抽樣脈沖p(t)的

系sn

ssTF

(ω

nω

)P

F

(ω

nω

)

1

F

(ω)

s

nn數(shù)所

，沖激序列的系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的形狀。由于系數(shù)為常數(shù)，所以沖激抽樣后的頻譜是將原信號(hào)的頻譜F(ω)以ωs為周期等幅地重復(fù)。抽樣前01抽樣后s

s0Fs

()Ts1p(t)0tTsss

0sTT

jn

tsnnSaTE

ns

TP

s

ssp(t)e

dt

FP(T)

Pn

(Ens

s

)若p(t)為2矩

形抽樣脈沖時(shí)，2有2.矩形脈沖抽樣f

(t)0t乘f

(t)s0tFT0P(

)10s

s2

2sE

/

TFT卷Fs

()當(dāng)抽樣脈沖為矩形抽樣脈沖時(shí)，抽樣后的信號(hào)頻譜包

括有原信號(hào)的頻譜以及無(wú)限個(gè)經(jīng)過(guò)平移的原信號(hào)的頻譜，平移的頻率為抽樣頻率ωs及其各次諧波頻率,且平移后的頻譜幅值隨頻率而呈Sa函數(shù)分布。sssnsSaTn

EF(

n

)

sP

F(

n

)

F

()

nn抽樣前01抽樣后0s

s2

2E

/

TsFs

()二、頻域抽樣1T1T1T1IFT

(t)

1nn

(t

tnT

)

n

FT

[

(

n0

)]

(

n

)

(t

nT

)]

FT[f

(t

nT

)

1

f

(t)*f

(t)11

n1

n1

(t

nT1

)F1

(n)

F

()

()0

(

)(1)11

1F

()11

相乘f

(t)0tIFT111

f

(t)0tIFT卷積11T11T分析表明：若f(t)的頻譜F(ω)被間隔為ω1的沖激序列在頻域中抽樣，則在時(shí)域中等效于f(t)以時(shí)間T1為間隔周期重復(fù)。周期信號(hào)的頻譜是離散的頻域抽樣對(duì)應(yīng)時(shí)域周期重復(fù)f

(t)0t1f1(t)0t11T1T1時(shí)域理想抽樣與頻域理想抽樣f(t)以Ts

時(shí)間間隔抽樣：F(ω)以ωs為周期重復(fù)F(ω)以ωs頻率間隔抽樣：f(t)以Ts

為周期重復(fù)例：求周期矩形信號(hào)沖激抽樣后信號(hào)的頻譜t02

2T11Tfs

(t)E抽樣間隔為T(mén)s1E22

t02

1

211

11SaT2πEτTδ(ω

nω

)

nω

τ

F

(ω)

1

Eτ

nω1τ

TF

(ω)

|

Fn

n0

ωnω周期矩形脈沖信號(hào)：時(shí)域先重復(fù)后抽樣

2

0單脈沖信號(hào)：F

(

)

ESa

21111

1sSaT

Tn

(

n

m

)Sa

Fs

()

T

F1

(

ms

)

2E

1

s

m

ns

m周期矩形脈沖信號(hào)抽樣后：t0

2

21T1Tf

(t)sEs抽樣間隔為T(mén)Ts

Ts

22

22

1頻域先抽樣后重復(fù)T1T§3.11抽樣定理時(shí)域抽樣定理頻域抽樣定理一個(gè)頻率受限信號(hào)f

(t),如果頻譜只占據(jù)的范圍，則信號(hào)

f

(t)

可以用等間隔的抽樣值f(nTs)來(lái)唯一地表示。而抽樣間隔

Ts

1/(2

fm

)，或者說(shuō)抽樣頻率：fs

2

fm

(s

2m

)m

m（一）時(shí)域抽樣定理——fs

fm奈 頻率：奈 間隔:Ts

/

fm

/m抽樣定理說(shuō)明：0f

(t)tsT0tsTsF

(

)0

sssTFs

()0Ts1

s

mFs

(

)0ss1s

mTs1s

2m0f

(t)tsf

(t)Ts

2ms

2mTstTsh(t)Tsf(t)卷積Fs(ω)ωmωsTsωcH(ω)相乘F(ω)ωm由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)fs(t)c

ms

2m

nTs

)]

Ts

c

f

(nf

(t)

fs

(t)*

h(t)ccsSa(

t)h(t)

Ts

ftf(nF

()

Fs

()H

()取主頻帶

:時(shí)域卷積定理：由抽樣信號(hào)恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)（二）、頻域抽樣定理若信號(hào)為時(shí)限信號(hào)，它集中的時(shí)間范圍內(nèi)，若在對(duì)的頻率間隔進(jìn)行抽樣，f

(t)在

tm

tmm頻域中，以fs

12tf

(t)的頻譜F()則抽樣后的頻譜F(ns

)可以唯一地表示原信號(hào)。抽樣定理小結(jié)頻域?qū)

(

)抽樣等效于時(shí)域?qū)?/p>

f

(t)重復(fù)，頻域抽樣間隔不大于。滿(mǎn)足抽樣定理，則不會(huì)產(chǎn)生混疊。12tmm時(shí)域?qū)?/p>

f

(t)抽樣等效于頻域?qū)?/p>

F

(

)

重復(fù)，時(shí)域抽樣間隔不大于

12

f

。▁▁▁▁間隔為是▁▁▁s.率應(yīng)選為100

Hz，奈

100課堂練習(xí)：1.信號(hào)Sa(100t)的頻譜所占的帶寬（只計(jì)正頻率）是▁50

▁Hz.若對(duì)它進(jìn)行沖激抽樣，為了使抽樣信號(hào)頻譜不產(chǎn)生混疊，則最低抽樣頻2.對(duì)一最高頻率為400Hz的帶限信號(hào)f(t)抽樣，要使抽樣信號(hào)通過(guò)一理想低通濾波器后，能完全

恢復(fù)出f(t)抽樣間隔應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？若以T=1ms抽樣，理想低通濾波器的截止頻率應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

1.25ms2

f解：(1)

fs

2

fm

800HzmsT

1(2)若Ts

1ms則抽樣

400

400

6001400f易知:

fm

fc

fs

fm

400Hz

fc

600Hzp172

:

3

4120001

1100011240002000G

(

)*

G

(

)1

22

1000

2000FT[

f

(t)

f

(t)]

14000G

(

)2f

(t)

Sa(2000t)

2000G

(

)1f

(t)

Sa(1000t)

2m(1)

G

(t)

Sa(

)mm

Sa(

t)

G

(

)G

(ω