幾何與代數(shù)：lec12-平面和直線

第三章幾何空間教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)數(shù)§3.1平面向量及其運(yùn)算的推廣1§3.2空間坐標(biāo)系1§3.3空間向量的向量積和混合積1§3.4平面和直線21.如何判別兩個(gè)向量共線、三個(gè)向量共面？2.向量的各種運(yùn)算以及相應(yīng)的幾何意義？3.如何求投影直線方程？思考題1.Considerthematrixand(a)CalculatethedotproductbetweenthevectorsXandMX.(b)Compute.WhatistheanglebetweenMXandX?(c)Explainyourresultfor(b)anddescribetheactionofMgeometrically.§3.4空間的平面和直線一.平面的方程1.點(diǎn)法式方程

2.一般方程

3.特殊位置的平面方程

4.三點(diǎn)式方程

5.截距式方程

二.空間直線的方程1.參數(shù)方程

2.標(biāo)準(zhǔn)(對(duì)稱)方程

4.兩點(diǎn)式方程

3.一般方程

三.與直線、平面有關(guān)的一些問(wèn)題1.夾角

2.距離3.平面束方程重要信息:

重要工具:三個(gè)向量共面

重要信息:

P1P2問(wèn)題式預(yù)習(xí)3.如何求投影直線方程？2.如何求兩條異面直線的距離？1.如何求直線與平面的夾角？例14.求過(guò)點(diǎn)P(7,6,5),垂直于直線L0:且平行于平面0:x+y+z+1=0的直線方程.=(9,5,1).=(4,8,4).所求直線L的方程為x+7121y6z5==.x2y+z+3=02x3y3z9=0·L00解:(法一)直線L0的方向向量s0可取為所求直線L的方向向量s可取為s0=n1n2=

s=s0n=

P第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

例14.求過(guò)點(diǎn)P(7,6,5),垂直于直線L0:且平行于平面0:x+y+z+1=0的直線方程.x2y+z+3=02x3y3z9=0(9,5,1).9(x+7)+5(y6)+(z5)=0,即:9x+5y+z+28=0.過(guò)點(diǎn)P(7,6,5)平行于平面0的平面2為(x+7)+(y6)+(z5)=0,即:x+y+z4=0.故所求直線L的方程為9x+5y+z+28=0x+y+z4=0·解:(法二)直線L0的方向向量s0=n1n2=

021過(guò)點(diǎn)P(7,6,5)且以s0為法向量的平面1為P第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

三平面的相對(duì)位置1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=03:A3x+B3y+C3z+D3=0(A,b)=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3.

r(A,b)=r(A)+1無(wú)解平行或“”或“?”r(A,b)=r(A)=3交于一點(diǎn)

r(A,b)=r(A)=2<3交于一線

r(A,b)=r(A)

=1<3三平面重合

記A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3,第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

1:x+y+bz=32:2x+(a+1)y+(b+1)z=73:(1a)y+(2b1)z=0A=11b3

2a+1b+1701a2b10

~b=0時(shí),r2=r1+1,無(wú)公共點(diǎn)a1且b0時(shí),r2=r1=3,交于一點(diǎn)

例15.討論三個(gè)平面的相互位置,其中a,b為參數(shù).解：11b3

0a11b101a2b1011b3

0a11b100b1

r22r1r3+r2第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

A~a1且b0時(shí),r2=r1=3,交于一點(diǎn)

r2+

r311b3

0a11b100b1b=0時(shí),r2=r1+1,無(wú)公共點(diǎn)當(dāng)a=1,A~11b3

001b100b1b1/2時(shí),r2=r1+1,無(wú)公共點(diǎn)11b3

001200012b

r3br2當(dāng)a=1,b=1/2時(shí),r2=r1=2<3交于一線

r11/2r21102

0012第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

三.與直線、平面有關(guān)的一些問(wèn)題1.夾角(1)兩條直線的夾角(2)兩個(gè)平面的夾角(3)直線與平面的夾角規(guī)定夾角的范圍0/2.

第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

例16.求直線L:x+7121y6z5==與平面

:x+2y+z+1=0之間的夾角.解：π法2：第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

2.距離(1)點(diǎn)P到直線L的距離:○○PP0Lsd=||P0Ps||||s||(2)兩平行直線之間的距離:d=||P2P1s||||s||第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

2.距離(3)點(diǎn)P(x1,y1,z1)到平面

:Ax+By+Cz+D=0的距離nP

··

P0d=|(P0P)n||n·P0P|||n||=d=|Ax1+By1+Cz1+D|A2+B2+C2(4)兩平行平面間的距離:

一平面上一點(diǎn)到另一平面距離例17.已知平面且相隔個(gè)單位，求平面的方程。第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

L1(5)異面直線之間的距離L2P1P2s1s2

|(s1,s2,P1P2)|||s1s2||d=幾何意義:以的平行六面體的底面上的高.為相對(duì)棱既不相交又不平行s1s2s2s1|(s1s2)·P1P2|||s1s2||d=第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

s2s1例18.求證L1:x3411y3z+1==解：L2:x201yz+2==是兩條異面直線，并求出它們之間的最短距離.所以是兩條異面直線.

公垂線的方向?yàn)?/p>

第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

L1L2P1P2s1s2s2s1解1：再求出公垂線的方程.

L1L2P1P2s1s212s平面1的法向量為

平面2的法向量為平面1的方程為

(y3)+(z+1)=0,即:y+z2=0.平面2的方程為公垂線的方程為2x+5y+4z+8=02x+5y+4z+8=0y+z2=0例18.L1:x3411y3z+1==L2:x201yz+2==第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

解2：再求出公垂線的方程.

L1L2P1P2s1s21s平面1的法向量為

平面1的方程為

(y3)+(z+1)=0,即:y+z2=0.平面1與直線L2的交點(diǎn)為

公垂線的方程為MM(8,0,2).x+8122yz2==例18.L1:x3411y3z+1==L2:x201yz+2==第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

§3.4空間的平面和直線一.平面的方程1.點(diǎn)法式方程

2.一般方程

3.特殊位置的平面方程

二.空間直線的方程2.標(biāo)準(zhǔn)(對(duì)稱)方程

3.一般方程

三.與直線、平面有關(guān)的一些問(wèn)題1.夾角

2.距離

3.平面束方程重要信息:

重要工具:三個(gè)向量共面

重要信息:

P1P2d=||P0Ps||||s||d=|(P0P)n|第三章幾何空間3.通過(guò)直線L的平面束方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=01(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)

=0則過(guò)兩平面交線上一點(diǎn)

以為法向量平面方程:第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

例19.已知1:2xy+z+1=0,問(wèn)1與2是否相交;若相交,求出交線在平面:2x+

3y

6=0上的投影直線方程.2:x3y+2z+4=0.解：1,2相交.過(guò)交線且垂直的平面3:⊥3:所求投影直線方程為第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

例20.求直線L::x+y2z+1=0上的投影直線方程.解：設(shè)過(guò)L的平面束方程為:所求投影直線方程為直線的對(duì)稱方程可轉(zhuǎn)化為一般方程:

投影平面方程為在平面垂直于的平面1的法向量滿足第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

例20.求直線L::x+y2z+1=0上的投影直線方程.解II：所求投影直線方程為投影平面方程為在平面過(guò)直線l且垂直于的平面1的法向量為:(2,1,2)(1,1,2)

=

(4,6,1)

又因?yàn)?過(guò)直線l上的點(diǎn)(2,1,1),

可得1的點(diǎn)法式方程4(x2)+6(y1)+(z+1)=0第三章幾何空間§3.4空間的平面和直線

3.4空間的平面和直線3.如何求投影直線方程？2.如何求兩條異面直線的距離？1.如何求直線與平面的夾角？|(s1,s2,P1P2)|||s1s2||=平面方程投影平面方程由直線的一般方程構(gòu)造平面束方程求得由直線的標(biāo)準(zhǔn)方程求法向量和點(diǎn)法式平面投影平面方程§3.6用Matlab解題

一.計(jì)算向量的數(shù)量積、向量積和混合積§3.6用Matlab解題

第三章幾何空間>>a=[1,0,-1];b=[0,1,2];c=[1,1,0];>>c_1=dot(a,b)%向量的數(shù)量積c_1=-2>>c_2=cross(a,b)%向量的向量積c_2=1-21>>d_1=dot(cross(a,b),c)%向量的混合積d_1=-1§3.6用Matlab解題

二.計(jì)算面積、體積、夾角和距離第三章幾何空間例21.

§3.6用Matlab解題

第三章幾何空間二.計(jì)算面積、體積、夾角和距離§3.6用Matlab解題

第三章幾何空間

平面圖形的幾何變換：包括圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、放大等，是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題。在R2上點(diǎn)P1(x1,y1)

繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得P2(x2,y2)OP1(x1,y1)xyP2(x2,y2)

點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)可以表示為坐標(biāo)的線性變換，變換矩陣三.線性變換應(yīng)用——平面圖形的幾何變換

R2上點(diǎn)的平移不能表示為坐標(biāo)的線性變換，例如將點(diǎn)P1(x1,y1)平移到點(diǎn)P2(x1+a,y1+b)。

為了將平移表示為線性變換，引入齊次坐標(biāo)：

R2上點(diǎn)(x,y)對(duì)應(yīng)于R3中的點(diǎn)P(x,y,1)

，即xoy面上方1單位平面上，(x,y,1)稱為(x,y)的齊次坐標(biāo)。

齊次坐標(biāo)中，平移(x,y)(x+a,y+b)表示為(x,y,1)(x+a,y+b,1)變換矩陣齊次坐標(biāo)的引入

P1(x1,y1)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得P2(x2,y2)

R2中的任何線性變換都可用分塊矩陣乘以齊次坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)，其中A是2階變換矩陣。

P1(x1,y1)沿x、y軸方向分別縮放s,t

倍得P2(x2,y2)圖形的旋轉(zhuǎn)和放大

P1(x1,y1)繞點(diǎn)M(a,b)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得P2(x2,y2)

1

先將坐標(biāo)系原點(diǎn)平移到點(diǎn)M(a,b)，變換矩陣：

2

再繞新原點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)，變換矩陣：

3

再將坐標(biāo)系原點(diǎn)還原到初始原點(diǎn)，變換矩陣：

4

變換矩陣：T=T3T2T1

圖形變換的合成

例1：對(duì)下圖所示的笑臉圖進(jìn)行幾何變換1先用三角函數(shù)畫臉形dt=pi/20;t=0:dt:2*pi;xf=cos(t);yf=sin(t);%臉形曲線fill(xf,yf,‘r’);%繪制臉形狀holdon;2再畫一雙眼睛xe(1,:)=0.08*xf-0.3;ye(1,:)=0.12*yf+0.2;%左眼xe(2,:)=0.08*xf+0.3;ye(2,:)=ye(1,:);%右眼plot(xe(1,:),ye(1,:),‘k’,‘linewidth’,5)%繪制左眼plot(xe(2,:),ye(2,:),‘k’,‘linewidth’,5)%繪制右眼function[xf1,yf1,xe1,ye1,xm1,ym1]=DrawSmileFace(xf,yf,xe,ye,xm,ym,T)%繪制笑臉圖的子程序xm0=0.5*cos(s);ym0=0.5*sin(s);%嘴形狀plot(xm1,ym1,‘k’,‘linewidth’,2);%繪制嘴gridon;axis([-3,3,-2.5,2.5]);%坐標(biāo)范圍3最后畫嘴形

利用繪制笑臉圖時(shí)獲得的數(shù)據(jù)，對(duì)笑臉圖形進(jìn)行幾何變換，即進(jìn)行圖形縮放、平移和旋轉(zhuǎn)等操作。計(jì)算程序：smile_04.msubplot(2,2,1)%將窗口分成四塊,在第一塊作圖T0=eye(3);[xf1,yf1,xe1,ye1,xm1,ym1]=DrawSmileFace(xf0,yf0,xe0,ye0,xm0,ym0,T0);title(‘圖1：笑臉初始圖‘);%注明標(biāo)題subplot(2,2,2)%在第二塊作圖T1=[1.500;010;001];%將笑臉橫軸縮放1.5倍，縱軸不變[xf2,yf2,xe2,ye2,xm2,ym2]=DrawSmileFace(xf0,yf0,xe0,ye0,xm0,ym0,T1);title(‘圖2：笑臉橫軸縮放1.5倍，縱軸不變’);subplot(2,2,3)%在第三塊作圖T2=[101;01-1;001];%笑臉橫軸平移1，縱軸平移-1[xf3,yf3,xe3,ye3,xm3,ym3]=DrawSmileFace(xf2,yf2,xe2,ye2,xm2,ym2,T2);title(‘圖3：笑臉橫軸平移1，縱軸平移-1初始圖‘);%注明標(biāo)題subplot(2,2,4)%在第四塊作圖theta=pi/6;x0=sum(xf3)/length(xf3);y0=sum(yf3)/length(yf3);xy0=[x0;y0];T3_1=eye(3);T3_1(1:2,3)=-xy0;T3_2=[cos(theta),-sin(theta),0;sin(theta),cos(theta),0;001];T3_3=2*eye(3)-T3_1;T3=T3_3*T3_2*T3_1;[xf4,yf4,xe4,ye4,xm4,ym4]=DrawSmileFace(xf3,yf3,xe3,ye3,xm3,ym3,T3);title(‘圖4：繞笑臉中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度’);

例2：用動(dòng)畫形式表示平面圖形的幾何變換

先繪制進(jìn)行動(dòng)畫演示的紅色箭頭：Pd=[0-101;0-13-1];%飛行箭頭頂點(diǎn)fill(Pd(1,:),Pd(2,:),‘r’);%繪制箭頭圖形gridon;%網(wǎng)格axis([-20,20,-15,15]);%坐標(biāo)范圍

利用動(dòng)畫函數(shù)geframe()和movie()，將連續(xù)的圖片構(gòu)成動(dòng)畫演示

演示程序：g_move01.mg_move02.m線性變換應(yīng)用：Hill密碼

密碼學(xué)(Cryptography)，源于希臘文字秘密(kryptos)＋書(shū)寫(graphein)

加密解密過(guò)程模型明文密文(傳遞)加密解密明文1929年，希爾（Hill）利用線性變換對(duì)待傳輸?shù)男畔⑦M(jìn)行加密處理，提出了在密碼史上有重要地位的希爾加密算法。1929年，希爾（Hill）利用線性變換對(duì)待傳輸?shù)男畔⑦M(jìn)行加密處理，提出了在密碼史上有重要地位的希爾加密算法。

假定空格和26個(gè)英文字母對(duì)應(yīng)整數(shù)0~26，稱為明文字母的表值。字母ABCDEFGHIJKLMN表值1234567891011121314字母OPQRSTUVWXYZ空格表值1516171819202122232425260

希爾加密思想：每次將s個(gè)明文字母通過(guò)可逆線性變換轉(zhuǎn)換為s個(gè)密文字母，密鑰為變換矩陣本身；解密只需要進(jìn)行一次逆變換。

設(shè)s個(gè)明文字母為M=(m1,m2,,ms)Ts個(gè)密文字母為C=(c1,c2,,cs)T

線性變換矩陣為線性變換應(yīng)用：Hill密碼

加密過(guò)程可以表示為或者寫成C

KM(mod27)

如果變換矩陣K在mod27意義下可逆，解密過(guò)程只需要兩邊同時(shí)乘以K-1，即

M

K-1C(mod27)

Hill加密變換

模n運(yùn)算規(guī)則：1.模n

逆元：設(shè)a

Zn，如果存在bZn，使得

ab1(m