在這一章里我們要對于域作一些進(jìn)一步的討論我們不準(zhǔn)備完整版資料

在這一章里我們要對于域作一些進(jìn)一步的討論．我們不準(zhǔn)備證明一些復(fù)雜的結(jié)構(gòu)定理，而主要是對單擴(kuò)域、代數(shù)擴(kuò)域、多項式的分裂域、有限域和可離擴(kuò)域作一些討論．第五章擴(kuò)域定理１令是一個域．若的特征是，那么含有一個與有理數(shù)域同構(gòu)的子域；若的特征是素數(shù)，那么含有一個與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，是由生成的主理想．這就有如何選擇域的問題．我們有以下事實(shí)由（２）和（３），得（３）形式的元，這里，，…，是中的任意有限個元素，而和是上的這些的多項式．這是因為：既然是含有和的一個域，它必然含有一切可以寫成形式（１）的元；適當(dāng)選擇，我們可以使．例如，取，就可以作到這一點(diǎn)．實(shí)際上，為了作到這一點(diǎn)，常常只須取的一個真子集．情形2．的特征是素數(shù)．這時（３）因此，如果我們能夠決定素域的所有擴(kuò)域，我們就掌握了所有的域．但事實(shí)上研究素域的擴(kuò)域并不比研究一個任意域的擴(kuò)域來的容易．因此我們研究域的普通方法是：設(shè)法決定一個任意域的所有擴(kuò)域．若的特征是素數(shù)，那么含有一個與同構(gòu)的子域，這里是整數(shù)環(huán)，是由生成的主理想．現(xiàn)在我們極粗略地描述一下一個擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)．在這一章里我們要對于域作一些進(jìn)一步的討論．我們不準(zhǔn)備證明一些復(fù)雜的結(jié)構(gòu)定理，而主要是對單擴(kuò)域、代數(shù)擴(kuò)域、多項式的分裂域、有限域和可離擴(kuò)域作一些討論．令一方面，一切可以寫成形式（１）的元已經(jīng)作成一個含有和的域．適當(dāng)選擇，我們可以使．例如，取，就可以作到這一點(diǎn)．實(shí)際上，為了作到這一點(diǎn)，常常只須取的一個真子集．由定理2，一個任意域都是一個素域的擴(kuò)域；根據(jù)定理３，我們可以把添加一個有限集歸結(jié)為陸續(xù)添加單個的元素，例如現(xiàn)在假定．那么按照上面的分析，是一切添加的有限子集于所得子域的并集．這樣，求就歸納為求添加有限集于所得的子域以及求這些子域的并集．情形2．的特征是素數(shù)．這時

此處是的核．但

所以，因而．由Ⅳ，３，引理２，是一個最大理想．另一方面，

所以而，因而

證完由定理2，一個任意域都是一個素域的擴(kuò)域；因此，如果我們能夠決定素域的所有擴(kuò)域，我們就掌握了所有的域．但事實(shí)上研究素域的擴(kuò)域并不比研究一個任意域的擴(kuò)域來的容易．因此我們研究域的普通方法是：設(shè)法決定一個任意域的所有擴(kuò)域．現(xiàn)在我們極粗略地描述一下一個擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)．另是域的一個擴(kuò)域．我們從里取出一個子集來．我們用表示含和的的最小子域，把它叫做添加集合于所得的擴(kuò)域．形式的元，這里，，…，是中的任意有限個元素，而和是上的這些的多項式．這是因為：既然是含有和的一個域，它必然含有一切可以寫成形式（１）的元；令一方面，一切可以寫成形式（１）的元已經(jīng)作成一個含有和的域．適當(dāng)選擇，我們可以使．例如，取，就可以作到這一點(diǎn)．實(shí)際上，為了作到這一點(diǎn)，常常只須取的一個真子集．現(xiàn)在假定．那么按照上面的分析，是一切添加的有限子集于所得子域的并集．這樣，求就歸納為求添加有限集于所得的子域以及求這些子域的并集．現(xiàn)在我們極粗略地描述一下一個擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)．適當(dāng)選擇，我們可以使．例如，取，就可以作到這一點(diǎn)．實(shí)際上，為了作到這一點(diǎn)，常常只須取的一個真子集．根據(jù)定理３，我們可以把添加一個有限集歸結(jié)為陸續(xù)添加單個的元素，例如現(xiàn)在我們極粗略地描述一下一個擴(kuò)域的結(jié)構(gòu)．由定理2，一個任意域都是一個素域的擴(kuò)域；情形2．的特征是素數(shù)．這時根據(jù)定理３，我們可以把添加一個有限集歸結(jié)為陸續(xù)添加單個的元素，例如這就有如何選擇域的問題．我們有以下事實(shí)這就有如何選擇域的問題．我們有以下事實(shí)形式的元，這里，，…，是中的任意有限個元素，而和是上的這些的多項式．這是因為：既然是含有和的一個域，它必然含有一切可以寫成形式（１）的元；第五章擴(kuò)域證明是一個包含、和的的子域，而是包含和的的最小子域．因此證明是一個包含、和的的子域，而是包含和的的最小子域．因此（２）另一方面，是一個包含、和，因而是一個包含和的的子域．但是包含和的的最小子域，因此（３）由（２）和（３），得同樣可以得到

證完，，…，