電磁場-第一章20矢量分析

121.1本章內(nèi)容矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3標(biāo)量場的梯度1.4矢量場的通量與散度1.5矢量場的環(huán)流和旋度1.6無旋場與無散場1.7運算與

定理1.8亥姆

定理3矢量的大小或模：A

AAeA矢量的單位矢量：

A矢量的代數(shù)表示：A

A

e

AeA

A1.1

矢量代數(shù)1.標(biāo)量和矢量標(biāo)量：一個只用大小描述的物理量。矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字母或帶箭頭的字母表示。矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示A矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。注意：單位矢量不一定是常矢量。4

A

A

e

A

e

Aex

x

y

y

z

zAx

A

cos

Ay

A

cos

Az

A

cos

矢量用坐標(biāo)分量表示

A

A(ex

cos

ey

cos

ez

cos

)eA

ex

cos

ey

cos

ez

cos

zAAzxy

AyAx

O5zyxey

(

Ay

B

)

ez

(

Az

B

)ex

(

Ax

B

)

A

B

矢量的加減符合交換律和結(jié)合律A

BA矢量的加法B矢量的減法AA

BB

B2.

矢量的代數(shù)運算（1）矢量的加減法兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,

。在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律A

(B

C)

(

A

B)

CA

B

B

A交換律6（2）標(biāo)量乘矢量

kA

kA

e

kA

e

kAex

x

y

y

z

z（3）矢量的標(biāo)積（點積）A

B

AB

cos

Ax

Bx

Ay

By

Az

BzA

B

B

A

——矢量的標(biāo)積符合交換律zex

ex

ey

eyex

ey

ey

ez

ez

ex

0

AB矢量A與B

的夾角ABA

B

0A//

B

A

B

AB7y

xx

zez

(

Ax

Byey

(

Az

Bx

A

B

)

A

B

)

A

B

(

A

B

A

B

)

ex

y

z

z

yex

ey

ezAy

AzBx

By

Bz

A

B

AxAB

sin

A

BBA矢量A

與B

的叉積（4）矢量的矢積（叉積）A

B

en用坐標(biāo)分量表示為寫成行列式形式為

A

B

ABA

B

0

A

B

B

A若A

B

，則若A

//B

，則8（5）矢量的混合運算(

A

B)

C

A

C

B

C(

A

B)

C

A

C

B

CA(B

C)

B

(C

A)

C

(

A

B)A(B

C)

(

AC)B

(

A

B)C——

分配律——分配律——標(biāo)量三重積——矢量三重積9任意一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來三確定。1.2

三種常用的正交曲線坐標(biāo)系三條正交曲線組成的確定三任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。10zyx

r

e

x

e

y

e

z位置矢量線元矢量面元矢量

exdx

ey

dy

ez

dzdl

dSx

exdlydlz

exdydzzz

z

x

ydS

e

dl

dl

e

dxdy體積元dV

dxdydzyeydxdzeydlxdlzdS

1.直角坐標(biāo)系坐標(biāo)變量x,

y,

z

坐標(biāo)單位矢量

ex

,

ey

,

ez0

0

0點P(x

,y

,z)oyy

y0（平面）zx

x

x0

（平面）直角坐標(biāo)系exezz

z0

（平面）P

eyyzx直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元odzdxxdy

dS

dydzexzdS

dxdyezydS

dxdzey112.

圓柱坐標(biāo)系dS

dS

e

dl

dlz,,

z

e

,

e

,

ez

r

e

ez

z

dl

e

d

e

d

ez

dzdSz

ez

dl

dl

ez

ddV

dddz體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量面元矢量圓柱坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元圓柱坐標(biāo)系12rzdSr

er

dl

dl

dS

e

dlr

dl

dS

e

dlr

dl3.

球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元r,坐標(biāo)變量

坐標(biāo)單位矢量

er

,

e

,

er

err

dl

er

dr

e

rddV

r2sindrdd體積元位置矢量線元矢量面元矢量134.

坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系exeyezecosin0e

sico0ez001直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系eeezersin0cosecos0

sine010圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系exeyezersinsincose

coscos

sin

sine

sincos0oy單位圓x直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系eyeexeoz單位圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系ezeere141.3

標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場和矢量場確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個場。

如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。例如：溫度場、電位場、高度場等。

如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。

如果場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：F(x,

y,

z)F(x,

y,

z,t)靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：u(x,y時變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：u(x,y,z,t)151.標(biāo)量場的等值面標(biāo)量場的等值線(面)等值面:標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點在空間形成的曲面。意義:形象直觀地描述了物理量在空間的分布狀態(tài)。等值面方程：u(x,y,z)

C等值面的特點：常數(shù)C

取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。16M0l

0u

|

limu

u

cos

u

cos

u

cosll

x

y

z2.

方向?qū)?shù)概念：lu

—0—u(M)沿方向l

增加；lu

—0—u(M)沿方向l減??；u

—0—u(M)沿方向l無變化。lMΔlM0方向?qū)?shù)的概念l特點：方向?qū)?shù)既與點M0有關(guān)，也與l方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？式中：cos、cos、cos

——的l

方向余弦。意義：方向?qū)?shù)表示場沿某方向的空間變化率。17zu

ue

e

ez

1

u

u圓柱坐標(biāo)系err

e

r

e

r

sin

u

u

1

u

1

u球坐標(biāo)系zex

x

ey

y

ez

u

uu

u直角坐標(biāo)系3.

標(biāo)量場的梯度（

gradu

或

u）意義：描述標(biāo)量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向梯度的表達式：l概念：

u

e

ul

|maxl，其中e

取得最大值的方向18梯度的性質(zhì)：梯度運算的基本公式：f

(u)

f

(u)u(uv)

uv

vu(u

v)

u

v標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某

點的方向表示該點場變化最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上

場的空間變化率。標(biāo)量場在某個方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）C

0(Cu)

Cu19PPey

y

ez

z

[(e

)(x2

y2

z)]x

x

(ex

2x

ey

2

y

ez

)

(1,1,1)

ex

2

ey

2

ez例1.2.1

設(shè)一標(biāo)量函數(shù)

(x,y,z)

=

x2＋y2－z

描述了空間標(biāo)量場。試求：(1)

該函數(shù)

在點P(1,1,1)處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。方向的方向?qū)?shù)，并以點P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點的梯度值作以比較，得出相應(yīng)結(jié)論。解

(1)由梯度計算公式，可求得P點的梯度為o

o

o

(2)

求該函數(shù)

沿單位矢量el

ex

cos

60

ey

cos

45

ez

cos

6020表征其方向的單位矢量(1,1,1)l

PPe

x

(2x)2

(2

y)2

(1)2(2)由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為(1,1,1)22P

x

2

y

1

1

2

2l2ez

2el

(ex

2x ey

2

y ez

)

(ex

2

ey2

1

)

1

l

2對于給定的P點，上述方向?qū)?shù)在該點取值為

x

2

y

121而該點的梯度值為P

(1,1,1)

(2x)2

(2

y)2

(1)2

3最大的方向?qū)?shù)，故P顯然，梯度

描述了P點處標(biāo)量函數(shù)

的最大變化率，即PP

恒

成立。l221.4

矢量場的通量與散度dzdx

dyFx

(x,

y,

z)

Fy

(x,

y,

z)

Fz

(x,

y,

z)

意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：1.

矢量線概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點的切線方向代表了該點矢量場

的方向。O矢量線MFr

rd232.

矢量場的通量問題：如何定量描述矢量場的大小？引入通量的概念。通量的概念ψ

dψ

S

F

dS

S

F

endSn其中：dS

e——面積元矢量；en

——面積元的法向單位矢量；ndψ

F——穿過面積元dS

的通量。F(x,

y,

z)endS面積元矢量

SS如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是

F

dS

F

endS24

0通過閉合曲面有凈的矢量線穿出

0有凈的矢量線進入

0進入與穿出閉合曲面的矢量線相等閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義矢量場通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果253.

矢量場的散度為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。

FV

S

F

(x,

y,

z)

dS

F

(x,

y,

z)

limV

026圓柱坐標(biāo)系22(F

)r1

r

sin

(sin

F

)

r

sin

1

(r F

)

r

r1

F

Fz

z(F

)

F

F

球坐標(biāo)系FzFy

y

zFx

F

x直角坐標(biāo)系散度的表達式：

(F

G)

F

G(

f

F

)

f

F

F

fF

(k為常量)散度的有關(guān)公式：

(kF

)

k

(Cf

)

C

f

C

C

0(C為常矢量)27

0

0xx

00

0

x

0x0

,

y0

,z0x

FF

(x

,

y

,

z

)

F x

,

y

,

z

2

x

xx

0x0

,

y0

,z0x2xx

FF

(x

,

y0

,

z0

)

Fx

x0

,

y0

,

z0

2

2

xx

00

0

x

0

0

0[F

(x

x

,

y

,

z

)

F

(x

x

,

y

,

z

)]yz

Fx

xyz2 2 x由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為直角坐標(biāo)系下散度表達式的推導(dǎo)不失一般性，令包圍P點的微體積V

為一直平行六面體，如圖所示。則oxyzz

x

yP在直角坐標(biāo)系中計算

F28根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達式為之，即得由點P同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并穿出該六面體的凈通量為F

zFyx

y

zF

S

xV

F

dS

F

limV

0SFyFx

Fz

F

dS

x

xyz

y

xyz

z

xyz29體積的剖分VS1S2en2en1S4.

散度定理從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即

F

dS

FdVS

V散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。301.5

矢量場的環(huán)流和旋度1.

矢量場的環(huán)流與旋渦源不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。例如：流速場。31如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即C

B(x,

y,

z)

dl

0

I

0

S

J

(x,

y,

z)

dS上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。磁感應(yīng)線要么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線32環(huán)流的概念矢量場對于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C的線積分，即

C

F(x,

y,

z)

dl

如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。

如果矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。33CMSFn

S

F

dl

1rot

n

F

limS

0

C稱為矢量場在點M處沿方向n的環(huán)流面密度。特點：其值與點M

處的方向n有關(guān)。2.

矢量場的旋度（

F

）矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。（1）環(huán)流面密度過點M

作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時，極限34而推導(dǎo)

rot

F

的示意圖xoyMzxy

123

C4z計算rot

x

F的示意圖直角坐標(biāo)系中rotx、rot

y、rot

z

F

的表達式。C

l1

l2F

dlF

dl

l

F

dl

l13

4

F

dl

F

dl

Fy1Δy

Fz

2Δz

Fy3

(Δy)

Fz

4

(Δz)Mzzz

2F

F

(M

)

My

2Fy

ΔzFy3

Fy

(M

)

ΔzMyyy1z

2F

ΔyFF

F

(M

)

Mzy

2z

2F

ΔyFz

4

Fz

(M

)

35于是同理可得故得的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點的環(huán)流面密度最大值，其方向為取得環(huán)量密度最大值時面積元FyFzC

F

dl

(

y

z

)yz

Fyy

zF

zSC

F

dlrot

x

F

limS

0

F

[rot

F]en

n

maxrot

F

Fn

en

xFx

Fzrot

y

F

zFx

yFyrot

z

F

x36zyxx

y

zFx

Fy

Fzex

ey

ez

Fx

x

y

eFz

z

xzFy

ey

F

e

Fy

Fx

Fz旋度的計算公式:

F

e

e

ez1

zF

F

FzFr

rF

r

sinFr2

sin

rer

re

r

sine1

F

直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系37旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零C

0(

fC)

f

C(

fF

)

f

F

f

F(F

G)

F

G(F

G)

G

F

F

G(

F

)

0(u)

0383.C

F

dl

S

F

dS定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。CSn曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消定理從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即394.

散度和旋度的區(qū)別

F

0,

F

0.

F

0

F

0,

F

0

F

0,

F

0401.

矢量場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6

無旋場與無散場41例如：靜電場

E

0

E

2.

矢量場按源的分類（1）無旋場僅有散度源而無旋度源的矢量場，

F

0性質(zhì)：C

F

dl

0

，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。無旋場可以用標(biāo)量場的梯度表示為F

u

F

42性質(zhì)：SF

dS

0（2）無散場僅有旋度源而無散度源的矢量場，即

F

0例如，恒定磁場

B

0

B

A無散場可以表示為另一個矢量場的旋度F

A

F

(

A)

043（3）無旋、無散場（源在所 的區(qū)域之外）無旋場部分無散場部分F

u

(u)

02u

0（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分F(r

)

Fl

(r

)

FC

(r

)

u(r

)

A(r

)

F

0

F

044運算與定理1.標(biāo)量概念：2

——算符2u

2u

2u2u

x2

y2

z2計算公式：直角坐標(biāo)系21

u

1

2u

2uu

(

)

2

2

z221

2

u

1

u

1

2uu

r

(r

r

)

r

sin

(sin

)

r

sin

r2

2

2

2

2圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系1.7運算運算2u(u

)

2u45矢量 運算2

Fy

y即(2

F)i注意：對于非直角分量，(2

F)i直角坐標(biāo)系中：2

F

e

F

ex

x如：(2

F

)(i

x,