2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題原題

2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.）1．若，則的值為（D）．（A）（B）（C）（D）2．若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足，則a的取值范圍是（C）．（A）a≤（B）a≥4（C）a≤或a≥4（D）≤a≤43．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長(zhǎng)為（D）．（A） （B）（第3題）（C） （D）（第3題）4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時(shí)，（取整符號(hào)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（B）．(A)1(B)2(C)3(D)4（第5題）5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得點(diǎn)P4，……，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，…，則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（B）．（第5題）（A）（2010，2）（B）（2010，）（C）（2012，）（D）（0，2）二、填空題6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于07．一輛客車(chē)、一輛貨車(chē)和一輛小轎車(chē)在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時(shí)刻，客車(chē)在前，小轎車(chē)在后，貨車(chē)在客車(chē)與小轎車(chē)的正中間．過(guò)了10分鐘，小轎車(chē)追上了貨車(chē)；又過(guò)了5分鐘，小轎車(chē)追上了客車(chē)；再過(guò)t分鐘，貨車(chē)追上了客車(chē)，則t＝15．（第8題8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是y=-1/3x+11/3（第8題（第（第9題）9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過(guò)點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則．10．對(duì)于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿(mǎn)足，則正整數(shù)的最小值為9．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：（第12A題）（第12A題）如圖，連接ED，F(xiàn)D.因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.…………（5分）連接AE，AF，則，所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，（第11（第11題）12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；（2）過(guò)拋物線上點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿(mǎn)足△EOC∽△AOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）．因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以解得…………（10分）（2）如圖，因?yàn)锳C∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.因?yàn)椤螩OD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得=，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作△關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形△，得到點(diǎn)（1，）；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得＝，這時(shí)點(diǎn)E２（2，）是符合條件的點(diǎn)．所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.…………（20分）13．求滿(mǎn)足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m.．解：由題設(shè)得，所以，由于p是素?cái)?shù)，故，或.……（5分）（1）若，令，k是正整數(shù)，于是，，故，從而.所以解得…………（10分）（2）若，令，k是正整數(shù).當(dāng)時(shí)，有，，故，從而，或2.由于是奇數(shù)，所以，從而.于是這不可能.當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)，，無(wú)正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，無(wú)正整數(shù)解.綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）14．從1，2，…，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？首先，如下61個(gè)數(shù)：11，，，…，（即1991）滿(mǎn)足題設(shè)條件.…………（5分）另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿(mǎn)足題設(shè)條件的數(shù)，對(duì)于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)椋?/p>