高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習(xí)習(xí)題 課時(shí)跟蹤檢測(cè) （四十二）　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (含解析)

課時(shí)跟蹤檢測(cè)(四十二)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1．設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A依題意，由l⊥β，l?α可以推出α⊥β；反過來，由α⊥β，l?α不能推出l⊥β．因此“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要條件，故選A．2．已知直線m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，給出下列命題：①若α∥β，則m⊥l；②若α⊥β，則m∥l；③若m⊥l，則α⊥β；④若m∥l，則α⊥β，其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B①中，α∥β，且m⊥α，則m⊥β，因?yàn)閘?β，所以m⊥l，所以①正確；②中，α⊥β，且m⊥α，則m∥β或m?β，又l?β，則m與l可能平行，可能異面，可能相交，所以②不正確；③中，m⊥l，且m⊥α，l?β，則α與β可能平行，可能相交，所以③不正確；④中，m∥l，且m⊥α，則l⊥α，因?yàn)閘?β，所以α⊥β，所以④正確，故選B．3．已知在空間四邊形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是銳角三角形，則必有()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC解析：選C∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BDC，又AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDC．4．一平面垂直于另一平面的一條平行線，則這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________．解析：由線面平行的性質(zhì)定理知，該面必有一直線與已知直線平行．再根據(jù)“兩平行線中一條垂直于一平面，另一條也垂直于該平面”得出兩個(gè)平面垂直相交．答案：垂直相交5．設(shè)a，b為不重合的兩條直線，α，β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若a∥α且b∥α，則a∥b；②若a⊥α且a⊥β，則α∥β；③若α⊥β，則一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，則一定存在直線l，使得l⊥α，l∥β．上面命題中，所有真命題的序號(hào)是________．解析：①中a與b可能相交或異面，故不正確．②垂直于同一直線的兩平面平行，正確．③中存在γ，使得γ與α，β都垂直．④中只需直線l⊥α且l?β就可以．答案：②③④二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1．(2017·青島質(zhì)檢)設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則能得出a⊥b的是()A．a(chǎn)⊥α，b∥β，α⊥β B．a(chǎn)⊥α，b⊥β，α∥βC．a(chǎn)?α，b⊥β，α∥β D．a(chǎn)?α，b∥β，α⊥β解析：選C對(duì)于C項(xiàng)，由α∥β，a?α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故選C．2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，則四面體P-ABC中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1解析：選A由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC為直角三角形，故四面體P-ABC中共有4個(gè)直角三角形．3．(2017·南昌模擬)設(shè)a，b是夾角為30°的異面直線，則滿足條件“a?α，b?β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在 B．有且只有一對(duì)C．有且只有兩對(duì) D．有無數(shù)對(duì)解析：選D過直線a的平面α有無數(shù)個(gè)，當(dāng)平面α與直線b平行時(shí)，兩直線的公垂線與b確定的平面β⊥α，當(dāng)平面α與b相交時(shí)，過交點(diǎn)作平面α的垂線與b確定的平面β⊥α．故選D．4．(2017·吉林實(shí)驗(yàn)中學(xué)測(cè)試)設(shè)a，b，c是空間的三條直線，α，β是空間的兩個(gè)平面，則下列命題中，逆命題不成立的是()A．當(dāng)c⊥α?xí)r，若c⊥β，則α∥βB．當(dāng)b?α?xí)r，若b⊥β，則α⊥βC．當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若b⊥c，則a⊥bD．當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若c∥α，則b∥c解析：選BA的逆命題為：當(dāng)c⊥α?xí)r，若α∥β，則c⊥β．由線面垂直的性質(zhì)知c⊥β，故A正確；B的逆命題為：當(dāng)b?α?xí)r，若α⊥β，則b⊥β，顯然錯(cuò)誤，故B錯(cuò)誤；C的逆命題為：當(dāng)b?α，且c是a在α內(nèi)的射影時(shí)，若a⊥b，則b⊥c．由三垂線逆定理知b⊥c，故C正確；D的逆命題為：當(dāng)b?α，且c?α?xí)r，若b∥c，則c∥α．由線面平行判定定理可得c∥α，故D正確．5．(2017·貴陽市監(jiān)測(cè)考試)如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：選BA中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC，又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A能證明AP⊥BC；C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC，AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C能證明AP⊥BC；由A知D能證明AP⊥BC；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B．6．如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有____________；與AP垂直的直線有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC．∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，又∵AP?平面PAC，∴AB⊥AP，與AP垂直的直線是AB．答案：AB，BC，ACAB7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)解析：連接AC，BD，則AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，即有PC⊥平面MBD．而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)8．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E．要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F解析：設(shè)B1F＝x，因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，所以AB1⊥DF由已知可以得A1B1＝eq\r(2)，設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，則DE＝eq\f(1,2)h．又2×eq\r(2)＝h×eq\r(22＋\r(2)2)，所以h＝eq\f(2\r(3),3)，DE＝eq\f(\r(3),3)．在Rt△DB1E中，B1E＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2)＝eq\f(\r(6),6)．由面積相等得eq\f(\r(6),6)×eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)x，得x＝eq\f(1,2)．即線段B1F的長(zhǎng)為eq\f(1,2)．答案：eq\f(1,2)9．(2016·貴州省適應(yīng)性考試)已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，AD＝4．現(xiàn)將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折起，使AC＝a，得到一個(gè)四面體A-BCD，如圖所示．(1)試問：在折疊的過程中，直線AB與CD能否垂直？若能，求出相應(yīng)a的值；若不能，請(qǐng)說明理由．(2)求四面體A-BCD體積的最大值．解：(1)直線AB與CD能垂直．因?yàn)锳B⊥AD，若AB⊥CD，因?yàn)锳D∩CD＝D，所以AB⊥平面ACD，又因?yàn)锳C?平面ACD，從而AB⊥AC．此時(shí)，a＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，即當(dāng)a＝eq\r(7)時(shí)，有AB⊥CD．(2)由于△BCD面積為定值，所以當(dāng)點(diǎn)A到平面BCD的距離最大，即當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí)，該四面體的體積最大，此時(shí)，過點(diǎn)A在平面ABD內(nèi)作AH⊥BD，垂足為H，則有AH⊥平面BCD，AH就是該四面體的高．在△ABD中，AH＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，S△BCD＝eq\f(1,2)×3×4＝6，此時(shí)VA-BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·AH＝eq\f(24,5)，即為該四面體體積的最大值．10．(2017·河南省八市重點(diǎn)高中質(zhì)量檢測(cè))如圖，過底面是矩形的四棱錐F-ABCD的頂點(diǎn)F作EF∥AB，使AB＝2EF，且平面ABFE⊥平面ABCD，若點(diǎn)G在CD上且滿足DG＝GC．求證：(1)FG∥平面AED；(2)平面DAF⊥平面BAF．證明：(1)因?yàn)镈G＝GC，AB＝CD＝2EF，AB∥EF∥CD，所以EF∥DG，EF＝DG．所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以FG∥ED．又因?yàn)镕G?平面AED，ED?平面AED，所以FG∥平面AED．(2)因?yàn)槠矫鍭BFE⊥平面ABCD，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，所以AD⊥平面BAF，又AD?平面DAF，所以平面DAF⊥平面BAF．三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校1．(2017·蘭州市實(shí)戰(zhàn)考試)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個(gè)條件，就能得出BD⊥EF．現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF．其中能成為增加條件的序號(hào)是________．解析：由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面，①：∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正確；②不能得到BD⊥EF，故②錯(cuò)誤；③：由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥α．∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故③正確；④：由①知，若BD⊥EF，則EF⊥平面ABCD，則EF⊥AC，故④錯(cuò)誤，故填①③．答案：①③2．如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四邊形ABCD為正方形，且點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為SB的中點(diǎn)．(1)求證：CD⊥平面SAD．(2)求證：PQ∥平面SCD．(3)若SA＝SD，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，請(qǐng)說明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD．又因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面SAD．(2)證明：如圖，取SC的中點(diǎn)R，連接QR，DR．由題意知：PD∥BC且PD＝eq\f(1,2)BC．在△SBC中，點(diǎn)Q為SB的中點(diǎn)，點(diǎn)R為SC的中點(diǎn)，所以QR∥BC且QR＝eq\f(1,2)BC，所以PD∥QR，且PD＝QR，所以四邊形PDRQ為平行四邊形，所以PQ∥DR．又因?yàn)镻Q?平面SCD