高中數學第二章推理與證明階段質量檢測新人教A版選修1-2-新人教A版高二選修1-2數學試題

..推理與證明一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，共50分)26537110－21．觀察以下各等式：2－4＋6－4＝2，5－4＋3－4＝2，7－4＋1－4＝2，10－4＋－2－4＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，獲取一般性的等式為()8－nA.＋8－n＝2n－4－4n＋1－4＋n＋1＋5B.＋1n＋1－4＝2nn＋4C.n－4＋n＋4－4＝2n＋1n＋5n＋1－4＋n＋5－4＝2剖析：選A觀察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．以下三句話按“三段論”模式排列序次正確的選項是()y＝cosx(x∈R)是三角函數；②三角函數是周期函數；③y＝cosx(x∈R)是周期函數．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①剖析：選B按三段論的模式，排列序次正確的選項是②①③.3．由“正三角形的內切圓切于三邊的中點”可類比猜想：“正周圍體的內切球切于四個面________．”()A．各正三角形內一點B．各正三角形的某高線上的點C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點剖析：選C正三角形的邊對應正周圍體的面，邊的中點對應正周圍體的面正三角形的中心．1427a4．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋x≥2，x＋x2≥3，x＋x3≥4，，可實行為x＋xn≥n＋1，則a的值為()A．2nB．n2C．22(n－1)D．nn剖析：選D將四個答案分別用n＝1,2,3檢驗即可，應選D.5．以下四類函數中，擁有性質“對任意的x>0，y>0，函數f(x)滿足[f(x)]y＝f(xy)”DOC版...的是()A．指數函數B．對數函數C．一次函數D．余弦函數剖析：選A當函數f(x)＝x(>0，≠1)時，對任意的x>0，>0，有[f(x)]y＝(x)y＝aaayaaxy＝f(xy)，即指數函數f(x)＝ax(a>0，a≠1)滿足[f(x)]y＝f(xy)，可以檢驗，B，C，D選項均不滿足要求．6．用火柴棒擺“金魚”，以下列圖：依照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數為()A．6n－2B．8n－2C．6＋2D．8n＋2n剖析：選C歸納“金魚”圖形的組成規(guī)律知，后邊“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數組成一首項為8，公差是6的等差數列，通項公式為an＝6＋2.n7．將平面向量的數量積運算與實數的乘法運算相類比，易得以下結論：()a·b＝b·a；(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.則正確的結論有()A．1個B．2個C．3個D．4個剖析：選B平面向量的數量積的運算滿足交換律和分配律，不滿足結合律，故①③正確，②錯誤；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，從而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④錯誤．8．觀察以下事實：|x|＋||＝1的不相同整數解(x，)的個數為4，|x|＋|y|＝2的不相同yy整數解(x，y)的個數為8，|x|＋|y|＝3的不相同整數解(x，y)的個數為12，，則|x|＋|y|＝20的不相同整數解(x，y)的個數為()A．76B．80C．86D．92剖析：選B經過觀察可以發(fā)現|x|＋|y|的值為1,2,3時，對應的(x，y)的不相同整數解的個數為4,8,12，可推出當|x|＋|y|＝n時，對應的不相同整數解(x，)的個數為4，因此||ynx＋|y|＝20的不相同整數解(x，y)的個數為80.DOC版...9．觀察以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199剖析：選C記n＋n＝()，則f(3)＝(1)＋(2)＝1＋3＝4；(4)＝(2)＋(3)＝3abfnfffff＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.經過觀察不難發(fā)現f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.因此a10＋b10＝123.10．數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝1－1，則a2013等于()2na1B.－1A.2C．2D．3剖析：選C11∵a1＝，a＋1＝1－，2nan1∴a2＝1－a1＝－1，1a3＝1－＝2，a211a4＝1－＝，a321a5＝1－＝－1，a41a6＝1－＝2，an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)a2013＝a3＋3×670＝a3＝2.二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分)11．已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.x2y2類比上述性質，可以獲取橢圓a2＋b2＝1近似的性質為________________．剖析：圓的性質中，經過圓上一點M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標與縱坐標代替．故可得橢圓x2y2x2y2a2＋b2＝1近似的性質為：過橢圓a2＋b2＝1上一點(0，0)的切線方程為x0xy0y2＋2＝1.PxyabDOC版...x2y2x0xy0y答案：經過橢圓a2＋b2＝1上一點P(x0，y0)的切線方程為a2＋b2＝112．已知2＋2＝22，3＋3＝33，4＋4＝44，，若6＋a33881515ba＝6b(a，b均為實數)，請推測a＝________，b＝________.剖析：由前面三個等式，推測歸納被平方數的整數與分數的關系，發(fā)現規(guī)律，由三個等a式知，整數和這個分數的分子相同，而分母是這個分子的平方減1，由此推測6＋b中：a2＝6，b＝6－1＝35，即a＝6，b＝35.答案：635113．若定義在區(qū)間D上的函數f(x)對于D上的n個值x1，x2，，xn，總滿足n[f(x1)＋x＋x＋＋xf(x)＋＋f(x)]≤f12n，稱函數f(x)為D上的凸函數；現已知f(x)＝sinx2nn在(0，π)上是凸函數，則△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．剖析：由于f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(小前提)，1＋＋因此3(sinA＋sinB＋sinC)≤sin3(結論)，33即sinA＋sinB＋sinC≤3sin3＝2.33因此，sinA＋sinB＋sinC的最大值是2.答案：33214．觀察以下列圖：12343456745678910則第________行的各數之和等于20132.剖析：觀察知，圖中的第n行各數組成一個首項為n，公差為1，共2n－1項的等差數列，其各項和為Sn＝(2n－1)n＋2n－12n－2＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，2令(2n－1)2＝20132，得2n－1＝2013，解得n＝1007.DOC版...答案：1007三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時應寫出文字說明，證明過程或運算步驟．)15．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)觀察①sin210°＋cos240°＋sin10°·cos340°＝4；3sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝4.由上面兩題的結構規(guī)律，你能否提出一個猜想？并證明你的猜想．223解：猜想：sinα＋cos(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝4.證明以下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)1－cos2α1＋cos60°＋2α1＝2＋2＋2[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]cos60°＋2α－cos2α11＝1＋2＋2sin(2α＋30°)－4311＝4＋2[cos60°·cos2α－sin60°sin2α－cos2α]＋2sin(2α＋30°)31131＝4－2·2cos2α＋2sin2α＋2sin(2α＋30°)＝3－1sin(2α＋30°)＋1sin(2α＋30°)＝3，4224223即sinα＋cos(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝4.16．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且其中111任意兩邊長均不相等，若a，b，c成等差數列．c比較a與b的大小，并證明你的結論；求證：角B不可以能是鈍角．c解：(1)a＜b.證明以下：bcbc要證a＜b，只需證a＜b.a，b，c＞0，∴只需證b2＜ac.111a，b，c成等差數列，21112∴b＝a＋c≥2ac，∴b≤ac.DOC版...又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.故所得大小關系正確．證明：法一：假設角B是鈍角，則cosB＜0.由余弦定理得，a2＋c2－b22ac－b2ac－b2cosB＝2ac≥2ac＞2ac＞0，這與cosB＜0矛盾，故假設不成立．因此角B不可以能是鈍角．法二：假設角B是鈍角，則角B的對邊b為最大邊，即b＞，＞，因此1＞1＞0，1＞abcabc1＞0，則1＋1＞1＋1＝2，這與1＋1＝2矛盾，故假設不成立．bacbbbacb因此角B不可以能是鈍角．17．(本小題滿分12分)(本小題滿分12分)我們已經學過了等比數列，你有沒有想到是否也有等積數列呢？(1)類比“等比數列”，請你給出“等積數列”的定義．(2)若{an}是等積數列，且首項a1＝2，公積為6，試寫出{an}的通項公式及前n項和公式．解：(1)若是一個數列從第2項起，每一項與它前一項的乘積是同一個常數，那么這個數列叫做等積數列，其中，這個常數叫做公積．由于{an}是等積數列，且首項a1＝2，公積為6，因此a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，，即{n}的所有奇數項都等于2，偶數項都等于3，因此{an}的通項公式為a2，n為奇數，an＝3，n為偶數.其前n項和公式5n2，n為偶數，n＝S5n－15n－12＋2＝，n為奇數.218．(本小題滿分14分)將數列{a}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成以下n數表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10DOC版...記表中的第一列數a1，a2，a4，a7，組成的數列為{bn}，b1＝a1＝1.Sn為數列{bn}的前n2bn項和，且滿足2＝1(n≥2)．bnSn－Sn(1)證明數列1成等差數列，并求數列{bn}的通項公式；n(2)上面數表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的序次均組成等比數列，且公4比為同一個正數．當a81＝－時，求上表中第k(k≥3)行所有項的和．解：(1)由已知，當n≥2時，2bn2＝1，bnSn－Sn又n＝1＋2＋＋bn，SbbSn－Sn－1因此2＝1，Sn－Sn－1Sn－SnSn－Sn－1即－n－1n＝1，SS因此111－S＝，S2nn－1又S1＝b1＝a1＝1.因此數列1是首項為1，公差為1的等差數列．n11n＋1由上可知Sn＝1＋2(n－1)＝2，2即Sn＝n＋1.222因此當n≥2時，