最新人教版九年級數學上冊《2414-圓周角》優(yōu)質課件

24.1圓的有關性質24.1.4圓周角人教版數學九年級上冊24.1圓的有關性質人教版數學九年級上冊1問題1

什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？

頂點在圓心的角叫圓心角,

∠BOC.問題2

如圖，∠BAC的頂點和邊有哪些特點?A

∠BAC的頂點在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點.導入新知問題1什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？頂點在圓心的1.理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理.3.理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程.2.掌握圓周角與圓心角的關系并能運用圓周角定理解決簡單的幾何問題.4.掌握圓內接多邊形的概念及圓內接四邊形的性質并能運用其性質進行計算.素養(yǎng)目標1.理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理.3.理解掌頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.（兩個條件必須同時具備，缺一不可）探究新知圓周角的定義知識點1頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.（兩個條件必須·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA

練一練：下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡述理由.（2）（1）（3）（5）（6）頂點不在圓上頂點不在圓上邊AC沒有和圓相交√√√探究新知·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA如圖，連接BO、CO，得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數量關系.探究新知圓周角定理及其推論知識點2測量與猜想如圖，連接BO、CO，得圓心角∠BOC.試猜想圓心O在∠BAC的內部圓心O在∠BAC的一邊上圓心O在∠BAC的外部探究新知推導與論證圓心O在∠BAC的內部圓心O在∠BAC的一邊上圓心O在圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C證明：探究新知圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）OA=OC∠A=∠COABCD圓心O在∠BAC的內部證明：連接AO并延長交⊙O于D.探究新知OABCD圓心O在∠BAC的內部證明：連接AO并延長交⊙OBCOAD圓心O在∠BAC的外部證明：連接AO并延長交⊙O于點D.探究新知BCOAD圓心O在∠BAC的外部證明：連接AO并延長交⊙O探究新知圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；探究新知圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓問題1如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A,D是上任意兩點，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請說明理由.D∴∠BAC=∠BDC答：相等.證明：在⊙O中，探究新知互動探究問題1如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A,D是上任DABOCEF問題2如圖，若∠A與∠B相等嗎？答：相等想一想：(1)反過來，若∠A=∠B，那么成立嗎？(2)若CD是直徑，你能求出∠A的度數嗎？證明：連接OC，OE，OD，OF成立90°探究新知DABOCEF問題2如圖，若DABOCEF

答：相等證明：連接OC，OE，OD，OF探究新知DABOCEF

答：相等證明：連接OC，OE，OD，OF探A1A2A3探究新知圓周角定理的推論同弧或等弧所對的圓周角相等.A1A2A3探究新知圓周角定理的推論

試一試如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在直線的同側，∠BAC=35o.(1)∠BOC=

o，理由是

;(2)∠BDC=

o，理由是

.7035同弧所對的圓周角相等一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半探究新知試一試(1)∠BOC=o，理由7035同弧如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意一點（除點A、B外），那么，∠ACB就是直徑AB所對的圓周角，想一想，∠ACB會是怎樣的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.探究新知如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的探究新知圓周角和直徑的關系半圓或直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.探究新知圓周角和直徑的關系例1如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小.OCAB解：①∵AB是☉O的直徑，

∴∠ACB=90°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.利用圓周角定理及推論求角的度數素養(yǎng)考點1探究新知例1如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小1.

如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝10°，則∠ABC＝______．鞏固練習80°1.如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝10°，鞏固練習80°例2如圖，分別求出圖中∠x的大小.60°x30°20°x解：(1)∵同弧所對圓周角相等，∴∠x=60°.ADBEC(2)連接BF，F∵同弧所對圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.60°xABDC探究新知例2如圖，分別求出圖中∠x的大小.60°x30°20°x解2.如圖,正方形ABCD的頂點都在☉O上,P是弧DC上的一點,則∠BPC=_____.解析：連接BD,則BD是直徑,∴△BCD是等腰直角三角形,∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.鞏固練習45°2.如圖,正方形ABCD的頂點都在☉O上,P是弧DC上的一

例3如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.（1）求DC的長；（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B,求AB、BC的長．B解：(1)∵AC是直徑，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，利用圓周角定理及推論進行計算及證明線段相等素養(yǎng)考點2探究新知例3如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.（2在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)

∵AC是直徑,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC

.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解題妙招在圓周角問題中，若題干中出現“直徑”這個條件，則找直徑所對的圓周角，通過構造直角三角形來解決。探究新知在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC3.如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數為(

)A．30°B．45°C．60°D．75°C鞏固練習3.如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數

如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.探究新知圓內接四邊形知識點3如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做

如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.

猜想：∠A與∠C,∠B與∠D之間的關系為：

∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o想一想：如何證明你的猜想呢？探究新知探究性質如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，⊙O∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，推論：圓內接四邊形的對角互補.證明：探究新知∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝CODBA∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，E∵∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想：圖中∠A與∠DCE的大小有何關系？探究新知CODBA∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠推論：圓的內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角.CODBAE探究新知推論：圓的內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角.CODB例4如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求證：∠FGD＝∠ADC.證明：∵四邊形ACDG內接于⊙O，

∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.素養(yǎng)考點3圓內接四邊形性質的應用素養(yǎng)考點3探究新知例4如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，A4.如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(

)A．120°B．100°C．80°D．60°A鞏固練習4.如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BOD＝1201.如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，則∠C的度數是（）A．25°

B．27.5° C．30°

D．35°鞏固練習連接中考D1.如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC2.如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數是（

）A．50° B．60° C．80° D．100°解析：圓上取一點A，連接AB，AD，

∵點A、B、C、D在⊙O上∠BCD=130°，

∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°鞏固練習連接中考D2.如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠B1.判斷（1）同一個圓中等弧所對的圓周角相等（）（2）相等的弦所對的圓周角也相等（）（3）同弦所對的圓周角相等（）√××課堂檢測基礎鞏固題1.判斷√××課堂檢測基礎鞏固題2.已知△ABC的三個頂點在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,則∠AOB=

．BACO166°課堂檢測基礎鞏固題2.已知△ABC的三個頂點在⊙O上,∠BAC=50°,BAC3.如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點E，若∠AOD=60°，則∠DBC的度數為（）A.30°B.40°C.50°D.60°A課堂檢測基礎鞏固題3.如圖，已知BD是⊙O的直徑，⊙O的弦AC⊥BD于點E，ABCDO4.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O,如∠BOD=130°則∠BCD的度數是（）

A.115°B.130°C.65°D.50°C課堂檢測基礎鞏固題ABCDO4.如圖，四邊形ABCD內接于⊙O,如∠BOD=1AOBC∴∠ACB=2∠BAC證明：如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC.求證：∠ACB=2∠BAC.∠AOB=2∠BOC，課堂檢測能力提升題AOBC∴∠ACB=2∠BAC證明：如圖，OA，O船在航行過程中，船長通過測定角數來確定是否遇到暗礁，如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經過A、B兩點的一個圓形區(qū)域內，優(yōu)弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，∠ACB就是“危險角”，當船位于安全區(qū)域時，∠α與“危險角”有怎樣的大小關系？課堂檢測拓廣探索題船在航行過程中，船長通過測定角數來確定是課堂解：當船位于安全區(qū)域時，即船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外），與兩個燈塔的夾角∠α小于“危險角”.即：在⊙O中，∠ACB=∠AEB在△PEB中，∠AEB=∠α∠ACB=∠α課堂檢測拓廣探索題解：當船位于安全區(qū)域時，即船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外），與圓心角類比圓周角圓周角定義圓周角定理圓周角定理的推論在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等.1.90°的圓周角所對的弦是直徑；2.圓內接四邊形的對角互補.1.頂點在圓上，2.兩邊都與圓相交的角（二者必須同時具備）圓周角與直徑的關系半圓或直徑所對的圓周角是直角.課堂小結圓心角類比圓周角圓周角定義圓周角定理圓周角定理的推論在同圓或課后作業(yè)1.從教材課后習題中選??；2.從練習冊中選取。課后作業(yè)1.從教材課后習題中選??；課堂感想1、這節(jié)課你有什么收獲？2、這節(jié)課還有什么疑惑？說出來和大家一起交流吧！課堂感想謝謝觀賞！謝謝觀賞！再見！再見！24.1圓的有關性質24.1.4圓周角人教版數學九年級上冊24.1圓的有關性質人教版數學九年級上冊47問題1

什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？

頂點在圓心的角叫圓心角,

∠BOC.問題2

如圖，∠BAC的頂點和邊有哪些特點?A

∠BAC的頂點在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點.導入新知問題1什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？頂點在圓心的1.理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理.3.理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程.2.掌握圓周角與圓心角的關系并能運用圓周角定理解決簡單的幾何問題.4.掌握圓內接多邊形的概念及圓內接四邊形的性質并能運用其性質進行計算.素養(yǎng)目標1.理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理.3.理解掌頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.（兩個條件必須同時具備，缺一不可）探究新知圓周角的定義知識點1頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.（兩個條件必須·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA

練一練：下列各圖中的∠BAC是否為圓周角并簡述理由.（2）（1）（3）（5）（6）頂點不在圓上頂點不在圓上邊AC沒有和圓相交√√√探究新知·COAB·COB·COBAA·COAB·COB·COBAA如圖，連接BO、CO，得圓心角∠BOC.試猜想∠BAC與∠BOC存在怎樣的數量關系.探究新知圓周角定理及其推論知識點2測量與猜想如圖，連接BO、CO，得圓心角∠BOC.試猜想圓心O在∠BAC的內部圓心O在∠BAC的一邊上圓心O在∠BAC的外部探究新知推導與論證圓心O在∠BAC的內部圓心O在∠BAC的一邊上圓心O在圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）OA=OC∠A=∠C∠BOC=∠A+∠C證明：探究新知圓心O在∠BAC的一邊上（特殊情形）OA=OC∠A=∠COABCD圓心O在∠BAC的內部證明：連接AO并延長交⊙O于D.探究新知OABCD圓心O在∠BAC的內部證明：連接AO并延長交⊙OBCOAD圓心O在∠BAC的外部證明：連接AO并延長交⊙O于點D.探究新知BCOAD圓心O在∠BAC的外部證明：連接AO并延長交⊙O探究新知圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；探究新知圓周角定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓問題1如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A,D是上任意兩點，連接AB，AC，BD，CD.∠BAC與∠BDC相等嗎？請說明理由.D∴∠BAC=∠BDC答：相等.證明：在⊙O中，探究新知互動探究問題1如圖，OB，OC都是⊙O的半徑，點A,D是上任DABOCEF問題2如圖，若∠A與∠B相等嗎？答：相等想一想：(1)反過來，若∠A=∠B，那么成立嗎？(2)若CD是直徑，你能求出∠A的度數嗎？證明：連接OC，OE，OD，OF成立90°探究新知DABOCEF問題2如圖，若DABOCEF

答：相等證明：連接OC，OE，OD，OF探究新知DABOCEF

答：相等證明：連接OC，OE，OD，OF探A1A2A3探究新知圓周角定理的推論同弧或等弧所對的圓周角相等.A1A2A3探究新知圓周角定理的推論

試一試如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在直線的同側，∠BAC=35o.(1)∠BOC=

o，理由是

;(2)∠BDC=

o，理由是

.7035同弧所對的圓周角相等一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半探究新知試一試(1)∠BOC=o，理由7035同弧如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意一點（除點A、B外），那么，∠ACB就是直徑AB所對的圓周角，想一想，∠ACB會是怎樣的角？·OACB解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.探究新知如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的探究新知圓周角和直徑的關系半圓或直徑所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.探究新知圓周角和直徑的關系例1如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小.OCAB解：①∵AB是☉O的直徑，

∴∠ACB=90°∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB

=180°-90°-80°=10°.利用圓周角定理及推論求角的度數素養(yǎng)考點1探究新知例1如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小1.

如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝10°，則∠ABC＝______．鞏固練習80°1.如圖，AB是⊙O的直徑，∠A＝10°，鞏固練習80°例2如圖，分別求出圖中∠x的大小.60°x30°20°x解：(1)∵同弧所對圓周角相等，∴∠x=60°.ADBEC(2)連接BF，F∵同弧所對圓周角相等，∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.60°xABDC探究新知例2如圖，分別求出圖中∠x的大小.60°x30°20°x解2.如圖,正方形ABCD的頂點都在☉O上,P是弧DC上的一點,則∠BPC=_____.解析：連接BD,則BD是直徑,∴△BCD是等腰直角三角形,∴∠BDC=45°,∴∠BPC=∠BDC=45°.鞏固練習45°2.如圖,正方形ABCD的頂點都在☉O上,P是弧DC上的一

例3如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.（1）求DC的長；（2）若∠ADC的平分線交⊙O于B,求AB、BC的長．B解：(1)∵AC是直徑，∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中，利用圓周角定理及推論進行計算及證明線段相等素養(yǎng)考點2探究新知例3如圖，⊙O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm.（2在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)

∵AC是直徑,∴∠ABC=90°.∵BD平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB=∠ADB,∠BAC=∠BDC

.∴∠BAC=∠ACB,∴AB=BC.B解題妙招在圓周角問題中，若題干中出現“直徑”這個條件，則找直徑所對的圓周角，通過構造直角三角形來解決。探究新知在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，(2)∵AC3.如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數為(

)A．30°B．45°C．60°D．75°C鞏固練習3.如圖，BD是⊙O的直徑，∠CBD＝30°，則∠A的度數

如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.探究新知圓內接四邊形知識點3如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做

如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，⊙O為四邊形ABCD的外接圓.

猜想：∠A與∠C,∠B與∠D之間的關系為：

∠A+∠C=180o，∠B+∠D=180o想一想：如何證明你的猜想呢？探究新知探究性質如圖，四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，⊙O∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，推論：圓內接四邊形的對角互補.證明：探究新知∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝CODBA∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，E∵∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.想一想：圖中∠A與∠DCE的大小有何關系？探究新知CODBA∵弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角，∴∠推論：圓的內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角.CODBAE探究新知推論：圓的內接四邊形的任何一個外角都等于它的內對角.CODB例4如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G.求證：∠FGD＝∠ADC.證明：∵四邊形ACDG內接于⊙O，

∴∠FGD＝∠ACD.又∵AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠FGD＝∠ADC.素養(yǎng)考點3圓內接四邊形性質的應用素養(yǎng)考點3探究新知例4如圖，AB為⊙O的直徑，CF⊥AB于E，交⊙O于D，A4.如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(

)A．120°B．100°C．80°D．60°A鞏固練習4.如圖，在⊙O的內接四邊形ABCD中，∠BOD＝1201.如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，則∠C的度數是（）A．25°

B．27.5° C．30°

D．35°鞏固練習連接中考D1.如圖，⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點D，連接AB，OC2.如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數是（

）A．50° B．60° C．80° D．100°解析：圓上取一點A，連接AB，AD，

∵點A、B、C、D在⊙O上∠BCD=130°，

∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°鞏固練習連接中考D2.如圖，點B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠B1.判斷（1）同一個圓中等弧所對的圓周角相等（）（2）相等的弦所對的圓周角也相等（）（3）同弦所對的圓周角相等（）√××課堂檢測基礎鞏固題1.判斷√××課堂檢測基礎鞏固題2.已知△ABC的三個頂點在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,則∠AOB=