最大似然估計課件

第十四講參數(shù)估計

本次課結(jié)束第五章并講授第六章點估計下次課講授區(qū)間估計并結(jié)束第六章，講授第七章假設(shè)檢驗第一節(jié)下次上課時交作業(yè)：P61—P62重點：點估計難點：點估計的計算1第十四講參數(shù)估計本次課結(jié)束服從正態(tài)分布1.樣本均值即2.統(tǒng)計量3.統(tǒng)計量五、單個正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布定理:設(shè)總體4.統(tǒng)計量第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識2服從正態(tài)分布1.樣本均值即2.統(tǒng)計量3.統(tǒng)計量五、單個正態(tài)設(shè)總體抽取容量為9的樣本，求樣本均值

與總體之差的絕對值小于2的概率，如果（1）若已知σ=4;（2）若σ未知,但已知樣本方差的觀測值例題13-5-1解（1）第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識3設(shè)總體抽取容量為9的樣本，求樣本均值與總體之差的（2）397.1)8(10.0=t（1）設(shè)總體抽取容量為16的樣本（2）例題13-5-2第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識4（2）397.1)8(10.0=t（1）設(shè)總體抽取容量為(2)解(1)第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識5(2)解(1)第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識5五、兩個正態(tài)總體的統(tǒng)計量的分布從總體X中抽取容量為的樣本從總體Y中抽取容量為的樣本假設(shè)所有的試驗都是獨立的，所以樣本及都是相互獨立的.樣本均值：樣本方差：第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識定理6設(shè)總體則6五、兩個正態(tài)總體的統(tǒng)計量的分布從總體X中抽取容量為第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識推論設(shè)總體則～定理7設(shè)總體則其中7第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識推論設(shè)總體則～定理∴統(tǒng)計量U與也是獨立的。第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識8∴統(tǒng)計量U與也是獨立的。第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計定理8設(shè)總體則第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識定理9則設(shè)總體9定理8設(shè)總體則第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識定理9P2第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識例題13-5-110P2第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識例題13-5-11第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識解（1）（2）11第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識解（1）（2）11例：若總體X的分布函數(shù)為F(x,θ)，而θ未知，如何利用總體樣本對θ進行估計。

取樣本的一個函數(shù)則稱未知參數(shù)θ的估計值，是θ的點估計量。定義：如果以它的觀測值作為而稱其觀測值是θ的點估計值。背景：若總體X的分布類型已知，而未知的僅僅是其中的一個或幾個參數(shù)，如何對總體分布的參數(shù)作出估計。參數(shù)估計一、點估計1.參數(shù)估計定義第十四講參數(shù)估計12例：若總體X的分布函數(shù)為F(x,θ)，而θ未知，如何利用

2.求點估計值的方法——矩估計法為X的k階原點矩。復(fù)習(xí)矩定義：設(shè)X是隨機變量，則稱第十四講參數(shù)估計132.求點估計值的方法——矩估計法為X的k階原點矩。復(fù)例題14-1-1解：因為總體X的概率密度第十四講參數(shù)估計14例題14-1-1解：因為總體X的概率密度第十四講參數(shù)估計因此解得θ的矩估計量而θ的矩估計值就是

設(shè)總體X服從正態(tài)分布,其中μ及σ是未知參數(shù)。如果取得樣本觀測值為,求參數(shù)μ及σ的矩估計值。例題14-1-2第十四講參數(shù)估計15因此解得θ的矩估計量而θ的矩估計值就是[注]得μ

及σ

的矩估計值為

3.求點估計值的方法——最大似然法第十四講參數(shù)估計16[注]得μ及σ的矩估計值為3.求點估計值的方法第十四講參數(shù)估計17第十四講參數(shù)估計17（3）求似然函數(shù)L(θ)的最大值.第十四講參數(shù)估計18（3）求似然函數(shù)L(θ)的最大值.第十四講參數(shù)估計18設(shè)總體X服從泊松分布P(λ),其中λ為未知參數(shù)。如果取得樣本觀測值為，求參數(shù)λ的矩（最大似然）估計值。例題14-1-3得λ的矩估計值為（1）令（2）似然函數(shù)令得λ的極大似然估計值為第十四講參數(shù)估計19設(shè)總體X服從泊松分布P(λ),其中λ為未知參數(shù)。如果設(shè)總體X服從指數(shù)分布，概率密度為求參數(shù)λ的矩（最大似然）估計值.其中λ為未知參數(shù)。如果取得樣本觀測值為例題14-1-4(2)似然函數(shù)解（1）令得λ的矩估計值為第十四講參數(shù)估計令20設(shè)總體X服從指數(shù)分布，概率密度為求參數(shù)λ的矩（最大似然）解：（1）矩估計：第十四講參數(shù)估計得λ的最大似然估計值為14-1-5.（02,7分）設(shè)總體X的概率分布為：利用總體X的如下樣本：3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估計值和最大似然估計值。21解：（1）矩估計：第十四講參數(shù)估計得λ的最大似然估計第十四講參數(shù)估計22第十四講參數(shù)估計22（2）最大似然估計：.第十四講參數(shù)估計23（2）最大似然估計：.第十四講參數(shù)估計23二、衡量點估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)(1)無偏性為θ的無偏估計量。則稱

定義證樣本均值是總體均值μ的無偏估計值結(jié)論1第十四講參數(shù)估計24二、衡量點估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)(1)無偏性為θ的無偏估∴是μ的無偏估計值，證結(jié)論2第十四講參數(shù)估計25∴是μ的無偏估計值，證結(jié)論2第十四講參數(shù)估計2例14-2-1

測得自動車床加工的10個零件的尺寸與規(guī)定尺寸的偏差(mm)如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4，求零件尺寸偏差總體的均值及方差的無偏估計值.解：根據(jù)無偏估計的兩個重要結(jié)論：（2）有效性問題：第十四講參數(shù)估計26例14-2-1解：根據(jù)無偏估計的兩個重要結(jié)論：（2）有效性如果則稱較有效.設(shè)及都是θ的無偏估計量，的值最小，則稱是的有效估計值。如果對于給定的樣本容量n，定義：方法：及都是μ的無偏估計量，但是例:（3）一致性（相合性）要求：當(dāng)樣本容量n無限增大時，估計量能在某種意義下充分接近被估計的參數(shù).第十四講參數(shù)估計27如果則稱定義切比雪夫定理推論樣本方差是總體方差的一致估計量.結(jié)論2證第十四講參數(shù)估計28定義切比雪夫定理推論樣本方差是總體方差∵當(dāng)n→∞時，例題14-2-2第十四講參數(shù)估計29∵當(dāng)n→∞時，例題14-2-2第十四講參數(shù)估計29第十四講參數(shù)估計30第十四講參數(shù)估計30第十四講參數(shù)估計31第十四講參數(shù)估計31第十四講參數(shù)估計32第十四講參數(shù)估計32三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1.背景：第十四講參數(shù)估計33三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1.背景：第十四講參數(shù)估計33三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計第十四講參數(shù)估計34三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計第十四講參數(shù)估計34置信區(qū)間表示估計結(jié)果的精確性，而置信水平則表示這一結(jié)果的可靠性。數(shù)θ的置信區(qū)間，稱為參數(shù)θ的區(qū)間估計。對于已給的置信水平1-α，根據(jù)樣本觀測值來確定未知參

(1)設(shè)總體X～已知求參數(shù)μ的置信區(qū)間。樣本函數(shù)則對于給定的α，引進臨界值3.正態(tài)總體均值μ的區(qū)間估計(已給置信水平1-α)對于給定的α,

數(shù)可通過查附錄表2求得.第十四講參數(shù)估計35置信區(qū)間表示估計結(jié)果的精確性，而置信水平則表示這數(shù)θ例如，當(dāng)α=0.05時，有即查表得

注意當(dāng)自由度k∞時，t分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),所以對于給定的α有因此，查t分布表可得第十四講參數(shù)估計36例如，當(dāng)α=0.05時，有即查表得注意當(dāng)自由度k第十四講參數(shù)估計37第十四講參數(shù)估計37第十四講參數(shù)估計38第十四講參數(shù)估計38第十四講參數(shù)估計39第十四講參數(shù)估計39使得即第十四講參數(shù)估計40使得即第十四講參數(shù)估計40上式表明，對應(yīng)于置信水平1-α，總體均值μ的置信區(qū)間為這批零件直徑的均值μ對應(yīng)于置信水平0.95及0.99的置信區(qū)間。

例14-3-1

從一批零件中，抽取9個零件，測得其直徑(毫米)為19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.9，20.2，20.3。設(shè)零件直徑服從正態(tài)分布,且已知σ=0.21(毫米),求對于置信水平1-α=0.95，解則α=0.05，查附錄表4得

求置信區(qū)間，第一步要考察總體分布是否正態(tài)，方差是否已知？如本例總體正態(tài)，方差已知，此時根據(jù)置信度求第十四講參數(shù)估計41上式表明，對應(yīng)于置信水平1-α，總體均值μ的置信區(qū)間為這由得置信區(qū)間為20.01-0.14<μ<20.01+0.1419.87<μ<20.15即第十四講參數(shù)估計42由得置信區(qū)間為20.01-0.14<μ<20.01由所以，置信區(qū)間為:19.83<μ<20.19（毫米）.同理，如果置信水平1-α=0.99，則α=0.01，查附錄表4得

例14-3-2在上面的例子中，設(shè)未知σ，求零件均值μ對應(yīng)于置信水平為0.95的置信區(qū)間已給置信水平1-α=0.95，則α=0.05，第一，正態(tài)總體，方差未知，則求出樣本差s,先求解查表得第十四講參數(shù)估計43由所以，置信區(qū)間為:19.83<μ<20.19（毫米）.同理自由度n=9-1=8，求得得置信區(qū)間為

19.85<μ<20.17（毫米）.第二，將置信區(qū)間所需要的數(shù)據(jù)列出第十四講參數(shù)估計44自由度n=9-1=8，求得得置信區(qū)間為第十四講參數(shù)估計

本次課結(jié)束第五章并講授第六章點估計下次課講授區(qū)間估計并結(jié)束第六章，講授第七章假設(shè)檢驗第一節(jié)下次上課時交作業(yè)：P61—P62重點：點估計難點：點估計的計算45第十四講參數(shù)估計本次課結(jié)束服從正態(tài)分布1.樣本均值即2.統(tǒng)計量3.統(tǒng)計量五、單個正態(tài)總體統(tǒng)計量的分布定理:設(shè)總體4.統(tǒng)計量第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識46服從正態(tài)分布1.樣本均值即2.統(tǒng)計量3.統(tǒng)計量五、單個正態(tài)設(shè)總體抽取容量為9的樣本，求樣本均值

與總體之差的絕對值小于2的概率，如果（1）若已知σ=4;（2）若σ未知,但已知樣本方差的觀測值例題13-5-1解（1）第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識47設(shè)總體抽取容量為9的樣本，求樣本均值與總體之差的（2）397.1)8(10.0=t（1）設(shè)總體抽取容量為16的樣本（2）例題13-5-2第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識48（2）397.1)8(10.0=t（1）設(shè)總體抽取容量為(2)解(1)第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識49(2)解(1)第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識5五、兩個正態(tài)總體的統(tǒng)計量的分布從總體X中抽取容量為的樣本從總體Y中抽取容量為的樣本假設(shè)所有的試驗都是獨立的，所以樣本及都是相互獨立的.樣本均值：樣本方差：第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識定理6設(shè)總體則50五、兩個正態(tài)總體的統(tǒng)計量的分布從總體X中抽取容量為第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識推論設(shè)總體則～定理7設(shè)總體則其中51第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識推論設(shè)總體則～定理∴統(tǒng)計量U與也是獨立的。第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識52∴統(tǒng)計量U與也是獨立的。第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計定理8設(shè)總體則第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識定理9則設(shè)總體53定理8設(shè)總體則第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識定理9P2第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識例題13-5-154P2第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識例題13-5-11第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識解（1）（2）55第十三講：中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計基本知識解（1）（2）11例：若總體X的分布函數(shù)為F(x,θ)，而θ未知，如何利用總體樣本對θ進行估計。

取樣本的一個函數(shù)則稱未知參數(shù)θ的估計值，是θ的點估計量。定義：如果以它的觀測值作為而稱其觀測值是θ的點估計值。背景：若總體X的分布類型已知，而未知的僅僅是其中的一個或幾個參數(shù)，如何對總體分布的參數(shù)作出估計。參數(shù)估計一、點估計1.參數(shù)估計定義第十四講參數(shù)估計56例：若總體X的分布函數(shù)為F(x,θ)，而θ未知，如何利用

2.求點估計值的方法——矩估計法為X的k階原點矩。復(fù)習(xí)矩定義：設(shè)X是隨機變量，則稱第十四講參數(shù)估計572.求點估計值的方法——矩估計法為X的k階原點矩。復(fù)例題14-1-1解：因為總體X的概率密度第十四講參數(shù)估計58例題14-1-1解：因為總體X的概率密度第十四講參數(shù)估計因此解得θ的矩估計量而θ的矩估計值就是

設(shè)總體X服從正態(tài)分布,其中μ及σ是未知參數(shù)。如果取得樣本觀測值為,求參數(shù)μ及σ的矩估計值。例題14-1-2第十四講參數(shù)估計59因此解得θ的矩估計量而θ的矩估計值就是[注]得μ

及σ

的矩估計值為

3.求點估計值的方法——最大似然法第十四講參數(shù)估計60[注]得μ及σ的矩估計值為3.求點估計值的方法第十四講參數(shù)估計61第十四講參數(shù)估計17（3）求似然函數(shù)L(θ)的最大值.第十四講參數(shù)估計62（3）求似然函數(shù)L(θ)的最大值.第十四講參數(shù)估計18設(shè)總體X服從泊松分布P(λ),其中λ為未知參數(shù)。如果取得樣本觀測值為，求參數(shù)λ的矩（最大似然）估計值。例題14-1-3得λ的矩估計值為（1）令（2）似然函數(shù)令得λ的極大似然估計值為第十四講參數(shù)估計63設(shè)總體X服從泊松分布P(λ),其中λ為未知參數(shù)。如果設(shè)總體X服從指數(shù)分布，概率密度為求參數(shù)λ的矩（最大似然）估計值.其中λ為未知參數(shù)。如果取得樣本觀測值為例題14-1-4(2)似然函數(shù)解（1）令得λ的矩估計值為第十四講參數(shù)估計令64設(shè)總體X服從指數(shù)分布，概率密度為求參數(shù)λ的矩（最大似然）解：（1）矩估計：第十四講參數(shù)估計得λ的最大似然估計值為14-1-5.（02,7分）設(shè)總體X的概率分布為：利用總體X的如下樣本：3,1,3,0,3,1,2,3,求的矩估計值和最大似然估計值。65解：（1）矩估計：第十四講參數(shù)估計得λ的最大似然估計第十四講參數(shù)估計66第十四講參數(shù)估計22（2）最大似然估計：.第十四講參數(shù)估計67（2）最大似然估計：.第十四講參數(shù)估計23二、衡量點估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)(1)無偏性為θ的無偏估計量。則稱

定義證樣本均值是總體均值μ的無偏估計值結(jié)論1第十四講參數(shù)估計68二、衡量點估計量好壞的標(biāo)準(zhǔn)(1)無偏性為θ的無偏估∴是μ的無偏估計值，證結(jié)論2第十四講參數(shù)估計69∴是μ的無偏估計值，證結(jié)論2第十四講參數(shù)估計2例14-2-1

測得自動車床加工的10個零件的尺寸與規(guī)定尺寸的偏差(mm)如下：+2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4，求零件尺寸偏差總體的均值及方差的無偏估計值.解：根據(jù)無偏估計的兩個重要結(jié)論：（2）有效性問題：第十四講參數(shù)估計70例14-2-1解：根據(jù)無偏估計的兩個重要結(jié)論：（2）有效性如果則稱較有效.設(shè)及都是θ的無偏估計量，的值最小，則稱是的有效估計值。如果對于給定的樣本容量n，定義：方法：及都是μ的無偏估計量，但是例:（3）一致性（相合性）要求：當(dāng)樣本容量n無限增大時，估計量能在某種意義下充分接近被估計的參數(shù).第十四講參數(shù)估計71如果則稱定義切比雪夫定理推論樣本方差是總體方差的一致估計量.結(jié)論2證第十四講參數(shù)估計72定義切比雪夫定理推論樣本方差是總體方差∵當(dāng)n→∞時，例題14-2-2第十四講參數(shù)估計73∵當(dāng)n→∞時，例題14-2-2第十四講參數(shù)估計29第十四講參數(shù)估計74第十四講參數(shù)估計30第十四講參數(shù)估計75第十四講參數(shù)估計31第十四講參數(shù)估計76第十四講參數(shù)估計32三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1.背景：第十四講參數(shù)估計77三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計1.背景：第十四講參數(shù)估計33三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計第十四講參數(shù)估計78三、正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計第十四講參數(shù)估計34置信區(qū)間表示估計結(jié)果的精確性，而置信水平則表示這一結(jié)果的可靠性。數(shù)θ的置信區(qū)間，稱為參數(shù)θ的區(qū)間估計。對于已給的置信水平1-α，根據(jù)樣本觀測值來確定未知參

(1)設(shè)總體X～已知求參數(shù)μ的置信區(qū)間。樣本函數(shù)則對于給定的α，引進臨界值3.正態(tài)總體均值μ的區(qū)間估計(已給置信水平1-α)對于給定的α,

數(shù)可通過查附錄表2求得.第十四講參數(shù)估計79置信區(qū)間表示估計結(jié)果的精確性，而置信水平則表示這數(shù)θ例如，當(dāng)α=0.05時，有即查表得

注意當(dāng)自由度k∞時，t分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1),所以對于給定的α有因此