統(tǒng)計資料的整理統(tǒng)計量數(shù)-朝陽科技大學課件

第四章統(tǒng)計資料的整理：統(tǒng)計量數(shù)第四章統(tǒng)計資料的整理：統(tǒng)計量數(shù)1學習目標介紹常用的統(tǒng)計量數(shù)來表達資料的特性。學習集中趨勢的統(tǒng)計量數(shù)。學習位置的統(tǒng)計量數(shù)。學習分散程度的統(tǒng)計量數(shù)。學習如何建立全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖。學習形狀的統(tǒng)計量數(shù)有偏度與峰度。學習如何計算分組資料。認識謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則。學習Z分數(shù)的應用。洞悉平均數(shù)、變異數(shù)及標準差的重要性質。學習目標介紹常用的統(tǒng)計量數(shù)來表達資料的特性。2本章架構4.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)4.2位置統(tǒng)計量數(shù)4.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)4.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖4.5形狀統(tǒng)計量數(shù)4.6分組資料的統(tǒng)計量數(shù)4.7謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則4.8z分數(shù)的應用4.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標準差的重要性質本章架構4.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)34.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)4.1.1平均數(shù)(mean)4.1.2中位數(shù)(median)4.1.3眾數(shù)(mode)4.1.4集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)的比較4.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)4.1.1平均數(shù)(mean)44.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))所謂集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)是以一個數(shù)值來描述樣本資料中，那一個分數(shù)或數(shù)值是最具代表性，或集中在那個中心位置。最常見的集中量數(shù)有三種，即眾數(shù)(Mode)、中位數(shù)(Median)、和算術平均數(shù)(Mean)，到底用那一個集中量數(shù)和資料衡量尺度以及研究之目的有關。4.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))所謂集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)是以一個數(shù)54.1.1平均數(shù)平均數(shù)(mean)為所有數(shù)值總和除以所有數(shù)值的個數(shù)，當資料是屬量資料時適用。母體平均數(shù)(μ)樣本平均數(shù)()4.1.1平均數(shù)平均數(shù)(mean)6臺積電股價報價2003年7月14日臺積電股價基本面訊息資料來源：中時理財網(wǎng)臺積電股價報價2003年7月14日臺積電股價基本面訊息7臺灣電力公司近五年經(jīng)營績效資料來源：臺灣電力公司網(wǎng)站臺灣電力公司近五年經(jīng)營績效8例4.1平均數(shù)若全班12位學生的體重分別為38、46、43、51、54、50、40、48、39、42、54、35公斤，試求其母體平均數(shù)？若以上資料為抽自全班60位同學的樣本觀察值，則其樣本平均數(shù)為何？解：例4.1平均數(shù)若全班12位學生的體重分別為38、46、49例4.2平均數(shù)已知樣本資料2，3，5，10，15，若其中有所誤植，15應為85才正確，問平均數(shù)有何變化？解：

根據(jù)誤植的資料，則樣本平均數(shù)為(2+3+5+10+15)/15=7；若將15改為85，則樣本平均值變?yōu)?1，為原值的三倍。由上例可以知道平均數(shù)對於極端值(如上例中之85)的敏感度很強，這是採用平均數(shù)作為集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)應特別留意之處。為此，我們介紹中位數(shù)來克服這樣的疑慮。例4.2平均數(shù)已知樣本資料2，3，5，10，15，若其中10平均數(shù)性質ΣXi=n；ΣXi=Nμ(Xi-)離差值

Σ(Xi-)=0minΣ(Xi-A)2

?Σ(Xi-)2

最小易受離群值（outlier)影響，可用修正平均數(shù)改善。變數(shù)變換：Y=aX+b

?

=a+b平均數(shù)性質ΣXi=n；ΣXi=Nμ11修正平均數(shù)調(diào)查大學生每周上網(wǎng)時數(shù)，今隨機抽取n＝16學生其資料如下：4,5,6,8,9,10,12,14,15,15,15,16,17,18,20,26求平均數(shù)求5％修正平均數(shù)Sol:(1)=13.125(2)修正平均數(shù)=12.86註：求修正平均數(shù)前需先將原資料排序修正平均數(shù)調(diào)查大學生每周上網(wǎng)時數(shù)，今隨機抽取n＝16學生其資124.1.2中位數(shù)中位數(shù)(median)將資料由小到大（或由大到?。╉樞蚺帕嗅幔混吨行牡臄?shù)值稱之，通常以表示，當資料是屬量資料時適用。計算方法將資料由小到大排序寫成x(1),x(2),…,x(n)

4.1.2中位數(shù)中位數(shù)(median)13例4.3續(xù)例4.1求12位學生的體重之中位數(shù)？解：全班12位學生的體重分別為38、46、43、51、54、50、40、48、39、42、54、35公斤。將12位學生的體重由小到大排序如下：35，38，39，40，42，43，46，48，50，51，54，54，因為n=12為偶數(shù)，故中位數(shù)為排序第六和第七位數(shù)值的平均，即例4.3續(xù)例4.1求12位學生的體重之中位數(shù)？14例4.4續(xù)例4.2已知樣本資料2，3，5，10，15，若其中有所誤植，15應為85才正確，請討論中位數(shù)的變化情形。解：

若是誤植資料，其中位數(shù)為5，但經(jīng)訂正使用85取代15，則中位數(shù)依然為5，由此可知，中位數(shù)完全不受影響。由上例可知，中位數(shù)可能只用資料的一個或兩個數(shù)值，故對極端值不敏感。但其數(shù)學運算卻不易操作，比如說，我們無法直接將兩組資料的個別中位數(shù)作運算而求得合併兩組資料後的中位數(shù)，因此中位數(shù)不常用來作統(tǒng)計推論。例4.4續(xù)例4.2已知樣本資料2，3，5，10，15，154.1.3眾數(shù)眾數(shù)：指資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)或分組名稱。當數(shù)據(jù)或名稱各只出現(xiàn)一次時，眾數(shù)便不存在，但因次數(shù)可能相同，故眾數(shù)可能不唯一。屬質資料的集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)，用眾數(shù)(mode)表示最為適當。

4.1.3眾數(shù)眾數(shù)：16例4.5眾數(shù)擲一公正的骰子10次，其點數(shù)分別為3、6、2、6、1、4、6、5、3、5，求其眾數(shù)？解：點數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)分別為點數(shù)1：1次、點數(shù)2：1次、點數(shù)3：2次、點數(shù)4：1次、點數(shù)5：2次、點數(shù)6：3次，故M0=6。例4.5眾數(shù)擲一公正的骰子10次，其點數(shù)分別為3、6、217例4.6

某科技大學管理學院院長欲瞭解所屬各碩士班的報名情形，得知資料如下：財金系250人，企管系308人，資管系169人，保險系145人，會計系178人，休閒系134人，問那一碩士班最為熱門？

解：

各碩士班乃屬質資料，故以眾數(shù)代表最為合適，即表示眾數(shù)為企管系，報名人數(shù)最多，是為某一年度最熱門的碩士班。例4.6某科技大學管理學院院長欲瞭解所屬各碩士班的報名184.1.4集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)的比較當資料是對稱分配時，則平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者皆相等。當數(shù)據(jù)是屬量資料時，則適用平均數(shù)或中位數(shù)。若為屬質資料時，則應以眾數(shù)為最佳選擇。以極端值而言，平均數(shù)受其影響最為明顯，相較之下，中位數(shù)與眾數(shù)則對極端值不敏感。平均數(shù)易於作數(shù)學運算，但中位數(shù)與眾數(shù)則不易達成某些簡單的數(shù)學運算目的。4.1.4集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)的比較當資料是對稱分配時，則19平均數(shù)易於數(shù)學計算之特性

例如兩組樣本資料的個數(shù)與平均數(shù)分別為n1和n2及和，則將兩組資料合併後的樣本平均數(shù)為

平均數(shù)具有如此的功能，但中位數(shù)和眾數(shù)則無法同理得知，也就是說，兩組資料合併後的中位數(shù)和眾數(shù)都無法以一關係式來直接代表。

平均數(shù)易於數(shù)學計算之特性例如兩組樣本204.2位置統(tǒng)計量數(shù)4.2.1百分位數(shù)(percentile)4.2.2四分位數(shù)(quartile)4.2位置統(tǒng)計量數(shù)4.2.1百分位數(shù)(percenti214.2.1百分位數(shù)百分位數(shù)(percentile)通常以第k個百分數(shù)稱之，並寫成Pk，代表資料中在此分數(shù)下有多少百分比之樣本是在此分數(shù)之下。設樣本數(shù)為n，則

4.2.1百分位數(shù)百分位數(shù)(percentile)224.2.1百分位數(shù)求百分位數(shù)Pk之步驟:(1)將原始資料排序(2)求位址i:

i=n/100×k(3)(i)i

Z

(整數(shù)）,i

進位如

i

＝3.2

Pk=X(4)(ii)i

Z

(整數(shù)）如i

＝5

Pk=(X(5)+X(6))/24.2.1百分位數(shù)求百分位數(shù)Pk之步驟:23兒童的身高所謂的矮小是相對的。一個排在第3百分位數(shù)的兒童，比排在第50百分位數(shù)的矮，但這個第50百分位數(shù)的兒童，也比第97百分位數(shù)的兒童矮。在臨床上，排在第三百分位數(shù)以下的兒童才算是所謂的矮。人的高度分佈是平均的，所以大約有3%的兒童，其身高低於第三百分位數(shù)，這是正常的。如果他們的高度遠低於第三百分位數(shù)，他們便可能是患病。

兒童的身高所謂的矮小是相對的。一個排在第3百分位數(shù)的兒童，比24例4.7續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，求P20。解：因為不是整數(shù)，所以取第三小的數(shù)，即。

例4.7續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，254.2.2四分位數(shù)四分位數(shù)(quartile)：是將N分成四等份，因此第一個四分位之分數(shù)是指有25%的樣本數(shù)目（N）的分數(shù)低於此分數(shù)。P25，稱為第一個四分位數(shù)或下四分位數(shù)Q1。P50，稱為第二個四分位數(shù)Q2，就是中位數(shù)，所以P50=Q2=Me。P75，稱為第三個四分位數(shù)或上四分位數(shù)Q3。註：十分位數(shù)是將N分成四等份:D1,D2,…,D10

Di=Pk，k=0.1×100×i4.2.2四分位數(shù)四分位數(shù)(quartile)：26例4.8續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，求Q1、Q2、Q3。解：

例4.8續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，27平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者之關係單峰右偏:Mo<Me<μ單峰左偏:μ<Me<Mo單峰對稱:μ=Me=Mo註：Me,Mo,Pk不受離群值影響，但平均數(shù)會受離 群值影響。平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者之關係單峰右偏:Mo<Me284.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)4.3.1全距(range)4.3.2四分位距(inter-quartilerang,IQR)4.3.3平均絕對離差(meanabsolutedeviation,MAD)4.3.4變異數(shù)(variance)與標準差(standarddeviation)4.3.5變異係數(shù)(coefficientofvariation,CV)4.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)4.3.1全距(range)294.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))分散程度統(tǒng)計量數(shù)可用來描述資料整體之異質性或是變化、變異之程度，兩個樣本的分配可能有同樣的集中量數(shù)，但卻有不同的分散程度統(tǒng)計量數(shù)。

例如有兩種基金的平均年報酬率相同，但第一種基金的年報酬率之範圍在-10%到20%之間，第二種基金的年報酬率之範圍在-30%到40%之間，雖然它們的平均數(shù)相同，但第二種基金的範圍較第一種基金來得大，故第二種基金的年報酬率之離散情形較大。故我們在分析資料時，需要同時考量集中趨勢量數(shù)與分散程度統(tǒng)計量數(shù)。4.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))分散程度統(tǒng)計量數(shù)可用來描述資料304.3.1全距全距(range)R=x(n)－x(1)，容易受到極端值的影響。4.3.1全距全距(range)31例4.9哪一生產(chǎn)線的產(chǎn)品較符合公司的標準？假設某公司有兩條生產(chǎn)線A和B，都是生產(chǎn)6公分長的鐵釘，測量某天A和B生產(chǎn)線的鐵釘各100個，得以下資料：A生產(chǎn)線的最長和最短分別為5.98公分和6.02公分，B生產(chǎn)線則為5.96公分和6.05公分，問哪一生產(chǎn)線較符合公司的標準？解：利用已知資料可得，A生產(chǎn)線的全距為0.04公分，而B生產(chǎn)線則為0.09公分，由此可知，B生產(chǎn)線的產(chǎn)品較為參差不齊，故以A生產(chǎn)線的產(chǎn)品較符合標準。例4.9哪一生產(chǎn)線的產(chǎn)品較符合公司的標準？假設某公司有兩324.3.2四分位距四分位距(inter-quartile,IQR)IQR=Q3－Q1，四分位距是考慮資料中間百分之五十的距離，故較不受極端值的影響。4.3.2四分位距四分位距(inter-quartil33例4.10續(xù)例4.8全班12位學生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，試求出其四分位距。解：利用例4.8的結果，我們得知例4.10續(xù)例4.8全班12位學生的體重分別為38，46344.3.3平均絕對離差平均絕對離差(meanabsolutedeviation，簡寫為MAD)是指將每一資料點到平均數(shù)的差取絕對值後，即離差的絕對值，加總起來再除以n。平均絕對離差的值愈大代表資料愈分散；反之，即表示資料較為集中。4.3.3平均絕對離差平均絕對離差(meanabsolu354.3.3平均絕對離差(續(xù))平均絕對離差(MAD)：離差：離差和：4.3.3平均絕對離差(續(xù))平均絕對離差(MAD)：36例4.11續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，試求MAD。解：

例4.11續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，374.3.4變異數(shù)與標準差變異數(shù)(variance)與標準差(standarddeviation)母體變異數(shù)(σ2)：母體標準差(σ)：樣本變異數(shù)(s2)：樣本標準差(s)：註：標準差與變異數(shù)之單位分別為資料相同單位與平方 單位4.3.4變異數(shù)與標準差變異數(shù)(variance)與標準差38母體變異數(shù)之簡便計算公式母體變異數(shù)之簡便計算公式39重要觀念計算變異數(shù)時用到的觀念為什麼計算變異數(shù)時，須除以N或是n-1？因為取平均可避免資料個數(shù)多寡的效應，也就是說，若不取平均，則對個數(shù)較多的一組資料是種“懲罰”，因它的離差平方和會相對地較大，若不取平均將失去比較資料間分散程度的意義。變數(shù)變換：Y=aX+bSy2=a2?Sx2兩組資料之變異數(shù)比較需在單位相同情況下重要觀念計算變異數(shù)時用到的觀念40共同基金的績效評比基金在各評估期間之報酬率，係基金在該期間之淨值累計報酬率。國際上評估基金績效所慣用的期間包括過去一個月、三個月、六個月、一年、三年、五年、十年及自基金成立日起至今第七個評估期間?；疬^去一年以內(nèi)的績效，可視為短期績效，三年為中期績效，三年以上為長期績效。一般而言，中、長期績效較能反應基金經(jīng)理人的能力；短期績效則反應基金經(jīng)理人之基本理念、操作型態(tài)是否與最近市場走勢一致。

標準差可衡量基金報酬率的波動程度，是一個常用的風險指標。標準差愈大表示報酬率好的時候與不好的時候相差愈大。共同基金的績效評比基金在各評估期間之報酬率，係基金在該期間之41共同基金的績效評比實例資料來源:92年06月份基金績效評比表—邱顯比教授、李存修教授製作

共同基金的績效評比實例42例4.12母體資料和樣本資料的變化就以下列資料：3,5,10,1,6，分別視為母體和樣本資料，求變異數(shù)及標準差？解：若為母體資料，則=5， ，。若為樣本資料，則，，。註：n2=(n-1)S2例4.12母體資料和樣本資料的變化就以下列資料：3,5,434.3.5變異係數(shù)若有兩組資料的單位不同時，我們該如何比較它們的分散情形呢？計算平均絕對偏差、變異數(shù)和標準差時都要利用平均數(shù)，因此它們也容易受到平均數(shù)的大小影響，是故無法直接利用前面所定義的統(tǒng)計量數(shù)來作分析。此時可以計算相對分散程度統(tǒng)計量數(shù)，即為變異係數(shù)(coefficientofvariation，簡寫成CV)來衡量資料相對的分散情形。

4.3.5變異係數(shù)若有兩組資料的單位不同時，我們該如何比較444.3.5變異係數(shù)母體變異係數(shù)樣本變異係數(shù)

註:變異係數(shù)使用時機

(1)單位不相同

(2)單位相同但平均數(shù)差異很大註:變異係數(shù)是沒有單位

4.3.5變異係數(shù)母體變異係數(shù)45例4.13體重或身高哪一項分散程度較大？假設取樣30位十歲兒童的平均身高為135公分，標準差10公分；平均體重為20公斤，標準差為2.5公斤，試問身高和體重哪一項分散程度較大？解：乍看之下，身高的標準差遠大於體重的標準差，但因兩者的單位不同，不宜直接由標準差的大小來說明分散程度。此時可利用變異係數(shù)來回答本問題 由此可知，十歲兒童體重的分散程度較身高來得大。例4.13體重或身高哪一項分散程度較大？假設取樣30位十46體重哪一群分散程度較大？假設各取樣30位十歲兒童與成年人其平均體重依序為20公斤、60公斤；標準差依序為2.5公斤、12公斤；，試問兒童與成年人的體重哪一個分散程度較大？解：乍看之下兩者的單位雖相同，成年人體重的變異數(shù)遠大於兒童體重的變異數(shù)，但因兩者平均數(shù)差異過大，不宜直接由變異數(shù)的大小來說明分散程度。此時可利用變異係數(shù)來回答本問題由此可知，十歲兒童體重的分散程度較成年人體重來得小。體重哪一群分散程度較大？假設各取樣30位十歲兒童與成年人其平474.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖盒鬚圖(boxandwhiskerplot)又稱為箱型圖(boxplot)。盒鬚圖乃依據(jù)五個彙整量數(shù)—最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)，以及最大值—所畫出的一種表示資料特性的統(tǒng)計圖形。4.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖盒鬚圖(boxandwhi484.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖(續(xù)）

圖4.2典型的箱型圖4.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖(續(xù)）圖4.2典型的箱型圖494.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖(續(xù)1）診斷偏離值(outlier)的步驟計算四分位距(IQR)，即IQR=Q3－Q1。以Q1為起點，計算所謂的下圍籬值(lowerfence)，即Q1－1.5IQR；再以Q3為起點，計算上圍籬值(upperfence)，即Q3+1.5IQR。若有觀測值落在上、下圍籬值之外，即稱為偏離值，也就是說，若觀測值小於下圍籬值或大於上圍籬值時稱之。註：利用Z分數(shù)判斷，當|

Zi|>3Xi為偏離值(當資料呈鐘形分布)4.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖(續(xù)1）診斷偏離值(outlie50例4.14基金報酬率是否有偏離值？假設某一年有12檔基金的報酬率(%)如下：

15、12、35、14、16、14、17、20、18、17、15、14

請繪製盒鬚圖，並判斷是否有偏離值？解：首先，我們計算出x(1)=12，Q1=14，Me=15.5，Q3=17.5，x(12)=35。然後根據(jù)這五個統(tǒng)計量數(shù)繪製如圖4.3之盒鬚圖。（此圖係以SPSS統(tǒng)計軟體繪製，Excel軟體無此功能。）例4.14基金報酬率是否有偏離值？假設某一年有12檔基金的51例4.14基金報酬率是否有偏離值？(續(xù))由圖4.3可知，存在一個偏離值，即報酬率35%的那一檔基金。圖4.312檔基金報酬率之盒鬚圖RETURN4030201012例4.14基金報酬率是否有偏離值？(續(xù))由圖4.3可知，存524.5形狀統(tǒng)計量數(shù)4.5.1偏度(skewness)4.5.2峰度(kurtosis)4.5形狀統(tǒng)計量數(shù)4.5.1偏度(skewness)534.5形狀統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))形狀統(tǒng)計量數(shù)(measureofshape)是用以表示資料是否對稱於中心點及寬闊或高聳的程度，主要的統(tǒng)計量數(shù)有偏度和峰度兩種。4.5形狀統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))形狀統(tǒng)計量數(shù)(measureof544.5.1偏度偏度(skewness)用來說明一組資料是否對稱於中心位置，通常以β1表示。樣本偏度

(1)β1>0，單峰右偏(2)β1<0，單峰左偏(3)β1=0，單峰對偏4.5.1偏度偏度(skewness)554.5.1偏度（續(xù)）圖4.4對稱資料中位數(shù)=平均數(shù)=眾數(shù)4.5.1偏度（續(xù)）圖4.4對稱資料中位數(shù)=平均數(shù)56圖4.5右偏資料4.5.1偏度（續(xù)2）眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)圖4.5右偏資料4.5.1偏度（續(xù)2）眾數(shù)中位數(shù)平均57圖4.6左偏資料4.5.1偏度（續(xù)3）平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)圖4.6左偏資料4.5.1偏度（續(xù)3）平均數(shù)中位數(shù)眾584.5.2峰度峰度：用來說明一組資料的分配高聳或寬闊的情況，通常以β2表示。(1)β2>0，高狹峰(2)β2<0，低闊峰(3)β2=0，常態(tài)峰4.5.2峰度峰度：59例4.15壽險業(yè)保單繼續(xù)率的分析長期壽險契約的保單繼續(xù)率一直是衡量壽險公司經(jīng)營績效的重要指標，尤其是第一年度（第十三個月）的保單繼續(xù)率，更是重要，因為對壽險公司而言，每件契約第一年所需負擔的成本最高，因此就單一保單而言，只有在保戶續(xù)年度持續(xù)繳交保費時，才能將保單的成本攤平．就臺灣壽險公司1999年度長期壽險契約繼續(xù)率分析我國壽險業(yè)在保單繼續(xù)率上的表現(xiàn)作一基本的敘述統(tǒng)計分析，如下表所示：例4.15壽險業(yè)保單繼續(xù)率的分析長期壽險契約的保單繼續(xù)率604.6分組資料的統(tǒng)計量數(shù)4.6.1分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差4.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)4.6分組資料的統(tǒng)計量數(shù)4.6.1分組資料的樣本平均數(shù)、614.6.1分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與

樣本標準差令xj為第j組的組中點，組中點=(組上限＋組下限)÷2=(組上界＋組下界)÷2樣本平均數(shù)：樣本變異數(shù)：樣本標準差：4.6.1分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與

樣本標準差令62例4.16分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差就表4.3的次數(shù)分配表求分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標準差。例4.16分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差63例4.16分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差（續(xù)）解：例4.16分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差644.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)分組資料的中位數(shù)第n/2項所對應的組別應是中位數(shù)所在的組別，當然我們知道其組界，故當組的下界等於前一組的上界，即，利用線性內(nèi)插法可得4.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)分組資料的中位數(shù)654.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)）求分組資料的百分位數(shù)(Pk)的步驟求位置指標。判斷Pk所在組別。利用線性內(nèi)插法可得4.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)）求分組資料的百分664.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)1）計算分組資料知中位數(shù)與百分位數(shù)有兩點值得特別注意：計算分組資料的中位數(shù)和百分位數(shù)是要用組界來運算，不宜用組限。為了決定位置，習慣上要先計算或，此時不管所得的結果是否為整數(shù)，都可直接帶入式子計算，不用像計算未分組資料時都取整數(shù)值。4.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)1）計算分組資料知67例4.17分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)依例4.16所得次數(shù)分配表，求中位數(shù)P30、Q1及Q3？解：因n/2=25，故Me落於第5組，

因為，所以落於第4組，例4.17分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)依例4.16所得次數(shù)68例4.17分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)）因為，所以Q1落於第3組，因為，所以Q3落於第6組，例4.17分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)）因為694.7謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則4.7.1謝比雪夫不等式(Chebyshev’sInequality)4.7.2經(jīng)驗法則(empiricalrule)4.7謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則4.7.1謝比雪夫不等式704.7.1謝比雪夫不等式謝比雪夫不等式(Chebyshev’sInequality)：對於任何的資料分配，觀測值落於平均數(shù)兩邊k個標準差的區(qū)間內(nèi)之機率（比例）至少為，其中k為大於1的任意數(shù)。謝比雪夫不等式可適用於任何資料型態(tài)，使用它時並不需對資料作任何假設，只要知道平均數(shù)和標準差就可以推估有多少比例的資料會落在某一範圍內(nèi)。數(shù)學式:P(|X–μ|kσ)，k>14.7.1謝比雪夫不等式謝比雪夫不等式(Chebyshev71圖4.8謝比雪夫不等式之圖示4.7.1謝比雪夫不等式（續(xù)）

圖4.8謝比雪夫不等式之圖示4.7.1謝比雪夫不等式（續(xù)72例4.18謝比雪夫不等式就例3.6之五十筆樣本資料，試問有多少比例的觀察值落於樣本平均數(shù)左右兩個樣本標準差的區(qū)間內(nèi)？解：根據(jù)謝比雪夫不等式的結論，則至少有75%的資料落於該區(qū)間內(nèi)。本例中，我們可以實際瞭解真正的情形。首先計算，，所以因為k=2，故，實際計數(shù)後得知有的資料落於該區(qū)間內(nèi)。例4.18謝比雪夫不等式就例3.6之五十筆樣本資料，試問734.7.2經(jīng)驗法則經(jīng)驗法則(empiricalrule)：當資料呈現(xiàn)對稱分配或鐘形分配時，則約有68%的資料落在平均數(shù)左右一個標準差的區(qū)間內(nèi)。約有95%的資料落在平均數(shù)左右二個標準差的區(qū)間內(nèi)。約有99.7%的資料落在平均數(shù)左右三個標準差的區(qū)間內(nèi)。數(shù)學式:P(|X–μ|kσ)68%,k=195%,k=299.7%,k=34.7.2經(jīng)驗法則經(jīng)驗法則(empiricalrule74經(jīng)驗法則的應用根據(jù)經(jīng)驗法則吾人可預測共同基金的報酬率分布情況：平均報酬率加上兩個標準差大約是最佳狀況時的報酬率；平均報酬率剪去兩個標準差大約是最差狀況時的報酬率。換言之，四個標準差大約是最好與最壞時的差距。經(jīng)驗法則的應用根據(jù)經(jīng)驗法則吾人可預測共同基金的報酬率分布情況75例4.19續(xù)例4.18試依經(jīng)驗法則驗證相關的結論。解：在的區(qū)間有33個數(shù)據(jù)，占33/50=66%。在的區(qū)間有49個數(shù)據(jù)，占49/50=98%。在的區(qū)間有50個數(shù)據(jù)，占50/50=100%。 以上三個比例和經(jīng)驗法則的結論都非常接近，因為資料具有近似對稱分配的性質。例4.19續(xù)例4.18試依經(jīng)驗法則驗證相關的結論。76謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則例：自某大學四年級N=1080學生，測驗智力測驗，得其IQ分數(shù)之平均數(shù)（μ）=120，標準差（σ）=8。假設資料呈鐘形分布時，試回答下列問題。(1)試利用謝比雪夫定理求出分數(shù)108~132區(qū)間至 少有多少人？(2)試利用經(jīng)驗法則求區(qū)間[a,b]內(nèi)約有1026個學 生？(3)設依此成績學校給予IQ分數(shù)前27名學生獎金做 為鼓勵，試問最低分數(shù)為多少？謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則例：自某大學四年級N=1080學77統(tǒng)計資料的整理統(tǒng)計量數(shù)-朝陽科技大學課件78統(tǒng)計資料的整理統(tǒng)計量數(shù)-朝陽科技大學課件79統(tǒng)計資料的整理統(tǒng)計量數(shù)-朝陽科技大學課件804.8z分數(shù)的應用z分數(shù)(zscore)代表任一觀測值(x)與平均數(shù)間的距離有幾個標準差的意義。母體的z分數(shù)樣本的z分數(shù)註:z分數(shù)沒有單位4.8z分數(shù)的應用z分數(shù)(zscore)81z分數(shù)的性質Σzi=0Σ(zi-)=0變異數(shù):Sz2=1，σz2=

1母體：ΣZi2=N

樣本：ΣZi2=n–1註：若資料呈鐘形分布經(jīng)轉換成Z分數(shù)時， 當|Zi|>3，則Xi為離群值。z分數(shù)的性質Σzi=082例4.20統(tǒng)計學成績進步抑或退步？小明在班上的統(tǒng)計學期中考成績65分，全班的平均是62分，標準差5分；另其期末考成績?yōu)?6分，班上的平均是80分，標準差3分，試問小明的成績在班上名次是進步或退步呢？另外，小明期中考成績以相同班上名次則期末考須考幾分？(假設期中考、期末考成績均呈鐘形分布)解：(1)若以數(shù)學的基本觀念而言，76分絕對高於62分，但若 換算兩次考試的z分數(shù)，期中考的z分數(shù)為0.6，正數(shù)表 示高於全班平均；至於期末考則為-1.33，表示在 全班平均以下，所以小明的成績就全班而言是退步 了。 (2)利用期中考、期末考成績的z分數(shù)相等。例4.20統(tǒng)計學成績進步抑或退步？小明在班上的統(tǒng)計學期中83統(tǒng)計資料的整理統(tǒng)計量數(shù)-朝陽科技大學課件84統(tǒng)計資料的整理統(tǒng)計量數(shù)-朝陽科技大學課件85z分數(shù)的應用隨機抽出n＝5個樣本並轉換成Z分分數(shù)，其分別為

Z1=1.4,Z2=-0.8,Z3=-1.2,Z4=1.6(1)試問Z5之值為何?(2)若=30，S=3，試問x5之值為何?解：(1)Σ

Zi=0Z5=-1(2)Z5=(X5-)/sX5=27z分數(shù)的應用隨機抽出n＝5個樣本並轉換成Z分分數(shù)，其分別為864.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質平移：將資料同加一個常數(shù)項的方式。令zi=xi＋c，i=1,2,…,n，則

4.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質平移：874.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質(續(xù))平移後之樣本變異數(shù)：4.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質(續(xù))884.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質(續(xù)1)調(diào)整尺度：將原有的每一個觀測值同時乘以k倍。令zi=kxi，i=1,2,…,n，則4.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質(續(xù)1894.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質(續(xù)2)調(diào)整尺度後之樣本變異數(shù)：4.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質(續(xù)2904.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質(續(xù)3)線性轉換(lineartransformation)：綜合以上兩種代數(shù)運算，得zi=kxi+c為一線性轉換。4.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及

樣本標準差的重要性質(續(xù)391第四章統(tǒng)計資料的整理：統(tǒng)計量數(shù)第四章統(tǒng)計資料的整理：統(tǒng)計量數(shù)92學習目標介紹常用的統(tǒng)計量數(shù)來表達資料的特性。學習集中趨勢的統(tǒng)計量數(shù)。學習位置的統(tǒng)計量數(shù)。學習分散程度的統(tǒng)計量數(shù)。學習如何建立全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖。學習形狀的統(tǒng)計量數(shù)有偏度與峰度。學習如何計算分組資料。認識謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則。學習Z分數(shù)的應用。洞悉平均數(shù)、變異數(shù)及標準差的重要性質。學習目標介紹常用的統(tǒng)計量數(shù)來表達資料的特性。93本章架構4.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)4.2位置統(tǒng)計量數(shù)4.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)4.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖4.5形狀統(tǒng)計量數(shù)4.6分組資料的統(tǒng)計量數(shù)4.7謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則4.8z分數(shù)的應用4.9樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標準差的重要性質本章架構4.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)944.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)4.1.1平均數(shù)(mean)4.1.2中位數(shù)(median)4.1.3眾數(shù)(mode)4.1.4集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)的比較4.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)4.1.1平均數(shù)(mean)954.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))所謂集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)是以一個數(shù)值來描述樣本資料中，那一個分數(shù)或數(shù)值是最具代表性，或集中在那個中心位置。最常見的集中量數(shù)有三種，即眾數(shù)(Mode)、中位數(shù)(Median)、和算術平均數(shù)(Mean)，到底用那一個集中量數(shù)和資料衡量尺度以及研究之目的有關。4.1集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))所謂集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)是以一個數(shù)964.1.1平均數(shù)平均數(shù)(mean)為所有數(shù)值總和除以所有數(shù)值的個數(shù)，當資料是屬量資料時適用。母體平均數(shù)(μ)樣本平均數(shù)()4.1.1平均數(shù)平均數(shù)(mean)97臺積電股價報價2003年7月14日臺積電股價基本面訊息資料來源：中時理財網(wǎng)臺積電股價報價2003年7月14日臺積電股價基本面訊息98臺灣電力公司近五年經(jīng)營績效資料來源：臺灣電力公司網(wǎng)站臺灣電力公司近五年經(jīng)營績效99例4.1平均數(shù)若全班12位學生的體重分別為38、46、43、51、54、50、40、48、39、42、54、35公斤，試求其母體平均數(shù)？若以上資料為抽自全班60位同學的樣本觀察值，則其樣本平均數(shù)為何？解：例4.1平均數(shù)若全班12位學生的體重分別為38、46、4100例4.2平均數(shù)已知樣本資料2，3，5，10，15，若其中有所誤植，15應為85才正確，問平均數(shù)有何變化？解：

根據(jù)誤植的資料，則樣本平均數(shù)為(2+3+5+10+15)/15=7；若將15改為85，則樣本平均值變?yōu)?1，為原值的三倍。由上例可以知道平均數(shù)對於極端值(如上例中之85)的敏感度很強，這是採用平均數(shù)作為集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)應特別留意之處。為此，我們介紹中位數(shù)來克服這樣的疑慮。例4.2平均數(shù)已知樣本資料2，3，5，10，15，若其中101平均數(shù)性質ΣXi=n；ΣXi=Nμ(Xi-)離差值

Σ(Xi-)=0minΣ(Xi-A)2

?Σ(Xi-)2

最小易受離群值（outlier)影響，可用修正平均數(shù)改善。變數(shù)變換：Y=aX+b

?

=a+b平均數(shù)性質ΣXi=n；ΣXi=Nμ102修正平均數(shù)調(diào)查大學生每周上網(wǎng)時數(shù)，今隨機抽取n＝16學生其資料如下：4,5,6,8,9,10,12,14,15,15,15,16,17,18,20,26求平均數(shù)求5％修正平均數(shù)Sol:(1)=13.125(2)修正平均數(shù)=12.86註：求修正平均數(shù)前需先將原資料排序修正平均數(shù)調(diào)查大學生每周上網(wǎng)時數(shù)，今隨機抽取n＝16學生其資1034.1.2中位數(shù)中位數(shù)(median)將資料由小到大（或由大到小）順序排列後，位於中心的數(shù)值稱之，通常以表示，當資料是屬量資料時適用。計算方法將資料由小到大排序寫成x(1),x(2),…,x(n)

4.1.2中位數(shù)中位數(shù)(median)104例4.3續(xù)例4.1求12位學生的體重之中位數(shù)？解：全班12位學生的體重分別為38、46、43、51、54、50、40、48、39、42、54、35公斤。將12位學生的體重由小到大排序如下：35，38，39，40，42，43，46，48，50，51，54，54，因為n=12為偶數(shù)，故中位數(shù)為排序第六和第七位數(shù)值的平均，即例4.3續(xù)例4.1求12位學生的體重之中位數(shù)？105例4.4續(xù)例4.2已知樣本資料2，3，5，10，15，若其中有所誤植，15應為85才正確，請討論中位數(shù)的變化情形。解：

若是誤植資料，其中位數(shù)為5，但經(jīng)訂正使用85取代15，則中位數(shù)依然為5，由此可知，中位數(shù)完全不受影響。由上例可知，中位數(shù)可能只用資料的一個或兩個數(shù)值，故對極端值不敏感。但其數(shù)學運算卻不易操作，比如說，我們無法直接將兩組資料的個別中位數(shù)作運算而求得合併兩組資料後的中位數(shù)，因此中位數(shù)不常用來作統(tǒng)計推論。例4.4續(xù)例4.2已知樣本資料2，3，5，10，15，1064.1.3眾數(shù)眾數(shù)：指資料中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)或分組名稱。當數(shù)據(jù)或名稱各只出現(xiàn)一次時，眾數(shù)便不存在，但因次數(shù)可能相同，故眾數(shù)可能不唯一。屬質資料的集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)，用眾數(shù)(mode)表示最為適當。

4.1.3眾數(shù)眾數(shù)：107例4.5眾數(shù)擲一公正的骰子10次，其點數(shù)分別為3、6、2、6、1、4、6、5、3、5，求其眾數(shù)？解：點數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)分別為點數(shù)1：1次、點數(shù)2：1次、點數(shù)3：2次、點數(shù)4：1次、點數(shù)5：2次、點數(shù)6：3次，故M0=6。例4.5眾數(shù)擲一公正的骰子10次，其點數(shù)分別為3、6、2108例4.6

某科技大學管理學院院長欲瞭解所屬各碩士班的報名情形，得知資料如下：財金系250人，企管系308人，資管系169人，保險系145人，會計系178人，休閒系134人，問那一碩士班最為熱門？

解：

各碩士班乃屬質資料，故以眾數(shù)代表最為合適，即表示眾數(shù)為企管系，報名人數(shù)最多，是為某一年度最熱門的碩士班。例4.6某科技大學管理學院院長欲瞭解所屬各碩士班的報名1094.1.4集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)的比較當資料是對稱分配時，則平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者皆相等。當數(shù)據(jù)是屬量資料時，則適用平均數(shù)或中位數(shù)。若為屬質資料時，則應以眾數(shù)為最佳選擇。以極端值而言，平均數(shù)受其影響最為明顯，相較之下，中位數(shù)與眾數(shù)則對極端值不敏感。平均數(shù)易於作數(shù)學運算，但中位數(shù)與眾數(shù)則不易達成某些簡單的數(shù)學運算目的。4.1.4集中趨勢統(tǒng)計量數(shù)的比較當資料是對稱分配時，則110平均數(shù)易於數(shù)學計算之特性

例如兩組樣本資料的個數(shù)與平均數(shù)分別為n1和n2及和，則將兩組資料合併後的樣本平均數(shù)為

平均數(shù)具有如此的功能，但中位數(shù)和眾數(shù)則無法同理得知，也就是說，兩組資料合併後的中位數(shù)和眾數(shù)都無法以一關係式來直接代表。

平均數(shù)易於數(shù)學計算之特性例如兩組樣本1114.2位置統(tǒng)計量數(shù)4.2.1百分位數(shù)(percentile)4.2.2四分位數(shù)(quartile)4.2位置統(tǒng)計量數(shù)4.2.1百分位數(shù)(percenti1124.2.1百分位數(shù)百分位數(shù)(percentile)通常以第k個百分數(shù)稱之，並寫成Pk，代表資料中在此分數(shù)下有多少百分比之樣本是在此分數(shù)之下。設樣本數(shù)為n，則

4.2.1百分位數(shù)百分位數(shù)(percentile)1134.2.1百分位數(shù)求百分位數(shù)Pk之步驟:(1)將原始資料排序(2)求位址i:

i=n/100×k(3)(i)i

Z

(整數(shù)）,i

進位如

i

＝3.2

Pk=X(4)(ii)i

Z

(整數(shù)）如i

＝5

Pk=(X(5)+X(6))/24.2.1百分位數(shù)求百分位數(shù)Pk之步驟:114兒童的身高所謂的矮小是相對的。一個排在第3百分位數(shù)的兒童，比排在第50百分位數(shù)的矮，但這個第50百分位數(shù)的兒童，也比第97百分位數(shù)的兒童矮。在臨床上，排在第三百分位數(shù)以下的兒童才算是所謂的矮。人的高度分佈是平均的，所以大約有3%的兒童，其身高低於第三百分位數(shù)，這是正常的。如果他們的高度遠低於第三百分位數(shù)，他們便可能是患病。

兒童的身高所謂的矮小是相對的。一個排在第3百分位數(shù)的兒童，比115例4.7續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，求P20。解：因為不是整數(shù)，所以取第三小的數(shù)，即。

例4.7續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，1164.2.2四分位數(shù)四分位數(shù)(quartile)：是將N分成四等份，因此第一個四分位之分數(shù)是指有25%的樣本數(shù)目（N）的分數(shù)低於此分數(shù)。P25，稱為第一個四分位數(shù)或下四分位數(shù)Q1。P50，稱為第二個四分位數(shù)Q2，就是中位數(shù)，所以P50=Q2=Me。P75，稱為第三個四分位數(shù)或上四分位數(shù)Q3。註：十分位數(shù)是將N分成四等份:D1,D2,…,D10

Di=Pk，k=0.1×100×i4.2.2四分位數(shù)四分位數(shù)(quartile)：117例4.8續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，求Q1、Q2、Q3。解：

例4.8續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，118平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者之關係單峰右偏:Mo<Me<μ單峰左偏:μ<Me<Mo單峰對稱:μ=Me=Mo註：Me,Mo,Pk不受離群值影響，但平均數(shù)會受離 群值影響。平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)三者之關係單峰右偏:Mo<Me1194.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)4.3.1全距(range)4.3.2四分位距(inter-quartilerang,IQR)4.3.3平均絕對離差(meanabsolutedeviation,MAD)4.3.4變異數(shù)(variance)與標準差(standarddeviation)4.3.5變異係數(shù)(coefficientofvariation,CV)4.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)4.3.1全距(range)1204.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))分散程度統(tǒng)計量數(shù)可用來描述資料整體之異質性或是變化、變異之程度，兩個樣本的分配可能有同樣的集中量數(shù)，但卻有不同的分散程度統(tǒng)計量數(shù)。

例如有兩種基金的平均年報酬率相同，但第一種基金的年報酬率之範圍在-10%到20%之間，第二種基金的年報酬率之範圍在-30%到40%之間，雖然它們的平均數(shù)相同，但第二種基金的範圍較第一種基金來得大，故第二種基金的年報酬率之離散情形較大。故我們在分析資料時，需要同時考量集中趨勢量數(shù)與分散程度統(tǒng)計量數(shù)。4.3分散程度統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))分散程度統(tǒng)計量數(shù)可用來描述資料1214.3.1全距全距(range)R=x(n)－x(1)，容易受到極端值的影響。4.3.1全距全距(range)122例4.9哪一生產(chǎn)線的產(chǎn)品較符合公司的標準？假設某公司有兩條生產(chǎn)線A和B，都是生產(chǎn)6公分長的鐵釘，測量某天A和B生產(chǎn)線的鐵釘各100個，得以下資料：A生產(chǎn)線的最長和最短分別為5.98公分和6.02公分，B生產(chǎn)線則為5.96公分和6.05公分，問哪一生產(chǎn)線較符合公司的標準？解：利用已知資料可得，A生產(chǎn)線的全距為0.04公分，而B生產(chǎn)線則為0.09公分，由此可知，B生產(chǎn)線的產(chǎn)品較為參差不齊，故以A生產(chǎn)線的產(chǎn)品較符合標準。例4.9哪一生產(chǎn)線的產(chǎn)品較符合公司的標準？假設某公司有兩1234.3.2四分位距四分位距(inter-quartile,IQR)IQR=Q3－Q1，四分位距是考慮資料中間百分之五十的距離，故較不受極端值的影響。4.3.2四分位距四分位距(inter-quartil124例4.10續(xù)例4.8全班12位學生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，試求出其四分位距。解：利用例4.8的結果，我們得知例4.10續(xù)例4.8全班12位學生的體重分別為38，461254.3.3平均絕對離差平均絕對離差(meanabsolutedeviation，簡寫為MAD)是指將每一資料點到平均數(shù)的差取絕對值後，即離差的絕對值，加總起來再除以n。平均絕對離差的值愈大代表資料愈分散；反之，即表示資料較為集中。4.3.3平均絕對離差平均絕對離差(meanabsolu1264.3.3平均絕對離差(續(xù))平均絕對離差(MAD)：離差：離差和：4.3.3平均絕對離差(續(xù))平均絕對離差(MAD)：127例4.11續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，43，51，54，50，40，48，39，42，54，35公斤，試求MAD。解：

例4.11續(xù)例4.1全班12位學生的體重分別為38，46，1284.3.4變異數(shù)與標準差變異數(shù)(variance)與標準差(standarddeviation)母體變異數(shù)(σ2)：母體標準差(σ)：樣本變異數(shù)(s2)：樣本標準差(s)：註：標準差與變異數(shù)之單位分別為資料相同單位與平方 單位4.3.4變異數(shù)與標準差變異數(shù)(variance)與標準差129母體變異數(shù)之簡便計算公式母體變異數(shù)之簡便計算公式130重要觀念計算變異數(shù)時用到的觀念為什麼計算變異數(shù)時，須除以N或是n-1？因為取平均可避免資料個數(shù)多寡的效應，也就是說，若不取平均，則對個數(shù)較多的一組資料是種“懲罰”，因它的離差平方和會相對地較大，若不取平均將失去比較資料間分散程度的意義。變數(shù)變換：Y=aX+bSy2=a2?Sx2兩組資料之變異數(shù)比較需在單位相同情況下重要觀念計算變異數(shù)時用到的觀念131共同基金的績效評比基金在各評估期間之報酬率，係基金在該期間之淨值累計報酬率。國際上評估基金績效所慣用的期間包括過去一個月、三個月、六個月、一年、三年、五年、十年及自基金成立日起至今第七個評估期間?；疬^去一年以內(nèi)的績效，可視為短期績效，三年為中期績效，三年以上為長期績效。一般而言，中、長期績效較能反應基金經(jīng)理人的能力；短期績效則反應基金經(jīng)理人之基本理念、操作型態(tài)是否與最近市場走勢一致。

標準差可衡量基金報酬率的波動程度，是一個常用的風險指標。標準差愈大表示報酬率好的時候與不好的時候相差愈大。共同基金的績效評比基金在各評估期間之報酬率，係基金在該期間之132共同基金的績效評比實例資料來源:92年06月份基金績效評比表—邱顯比教授、李存修教授製作

共同基金的績效評比實例133例4.12母體資料和樣本資料的變化就以下列資料：3,5,10,1,6，分別視為母體和樣本資料，求變異數(shù)及標準差？解：若為母體資料，則=5， ，。若為樣本資料，則，，。註：n2=(n-1)S2例4.12母體資料和樣本資料的變化就以下列資料：3,5,1344.3.5變異係數(shù)若有兩組資料的單位不同時，我們該如何比較它們的分散情形呢？計算平均絕對偏差、變異數(shù)和標準差時都要利用平均數(shù)，因此它們也容易受到平均數(shù)的大小影響，是故無法直接利用前面所定義的統(tǒng)計量數(shù)來作分析。此時可以計算相對分散程度統(tǒng)計量數(shù)，即為變異係數(shù)(coefficientofvariation，簡寫成CV)來衡量資料相對的分散情形。

4.3.5變異係數(shù)若有兩組資料的單位不同時，我們該如何比較1354.3.5變異係數(shù)母體變異係數(shù)樣本變異係數(shù)

註:變異係數(shù)使用時機

(1)單位不相同

(2)單位相同但平均數(shù)差異很大註:變異係數(shù)是沒有單位

4.3.5變異係數(shù)母體變異係數(shù)136例4.13體重或身高哪一項分散程度較大？假設取樣30位十歲兒童的平均身高為135公分，標準差10公分；平均體重為20公斤，標準差為2.5公斤，試問身高和體重哪一項分散程度較大？解：乍看之下，身高的標準差遠大於體重的標準差，但因兩者的單位不同，不宜直接由標準差的大小來說明分散程度。此時可利用變異係數(shù)來回答本問題 由此可知，十歲兒童體重的分散程度較身高來得大。例4.13體重或身高哪一項分散程度較大？假設取樣30位十137體重哪一群分散程度較大？假設各取樣30位十歲兒童與成年人其平均體重依序為20公斤、60公斤；標準差依序為2.5公斤、12公斤；，試問兒童與成年人的體重哪一個分散程度較大？解：乍看之下兩者的單位雖相同，成年人體重的變異數(shù)遠大於兒童體重的變異數(shù)，但因兩者平均數(shù)差異過大，不宜直接由變異數(shù)的大小來說明分散程度。此時可利用變異係數(shù)來回答本問題由此可知，十歲兒童體重的分散程度較成年人體重來得小。體重哪一群分散程度較大？假設各取樣30位十歲兒童與成年人其平1384.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖盒鬚圖(boxandwhiskerplot)又稱為箱型圖(boxplot)。盒鬚圖乃依據(jù)五個彙整量數(shù)—最小值、第一四分位數(shù)、中位數(shù)、第三四分位數(shù)，以及最大值—所畫出的一種表示資料特性的統(tǒng)計圖形。4.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖盒鬚圖(boxandwhi1394.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖(續(xù)）

圖4.2典型的箱型圖4.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖(續(xù)）圖4.2典型的箱型圖1404.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖(續(xù)1）診斷偏離值(outlier)的步驟計算四分位距(IQR)，即IQR=Q3－Q1。以Q1為起點，計算所謂的下圍籬值(lowerfence)，即Q1－1.5IQR；再以Q3為起點，計算上圍籬值(upperfence)，即Q3+1.5IQR。若有觀測值落在上、下圍籬值之外，即稱為偏離值，也就是說，若觀測值小於下圍籬值或大於上圍籬值時稱之。註：利用Z分數(shù)判斷，當|

Zi|>3Xi為偏離值(當資料呈鐘形分布)4.4全方位的統(tǒng)計圖—盒鬚圖(續(xù)1）診斷偏離值(outlie141例4.14基金報酬率是否有偏離值？假設某一年有12檔基金的報酬率(%)如下：

15、12、35、14、16、14、17、20、18、17、15、14

請繪製盒鬚圖，並判斷是否有偏離值？解：首先，我們計算出x(1)=12，Q1=14，Me=15.5，Q3=17.5，x(12)=35。然後根據(jù)這五個統(tǒng)計量數(shù)繪製如圖4.3之盒鬚圖。（此圖係以SPSS統(tǒng)計軟體繪製，Excel軟體無此功能。）例4.14基金報酬率是否有偏離值？假設某一年有12檔基金的142例4.14基金報酬率是否有偏離值？(續(xù))由圖4.3可知，存在一個偏離值，即報酬率35%的那一檔基金。圖4.312檔基金報酬率之盒鬚圖RETURN4030201012例4.14基金報酬率是否有偏離值？(續(xù))由圖4.3可知，存1434.5形狀統(tǒng)計量數(shù)4.5.1偏度(skewness)4.5.2峰度(kurtosis)4.5形狀統(tǒng)計量數(shù)4.5.1偏度(skewness)1444.5形狀統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))形狀統(tǒng)計量數(shù)(measureofshape)是用以表示資料是否對稱於中心點及寬闊或高聳的程度，主要的統(tǒng)計量數(shù)有偏度和峰度兩種。4.5形狀統(tǒng)計量數(shù)(續(xù))形狀統(tǒng)計量數(shù)(measureof1454.5.1偏度偏度(skewness)用來說明一組資料是否對稱於中心位置，通常以β1表示。樣本偏度

(1)β1>0，單峰右偏(2)β1<0，單峰左偏(3)β1=0，單峰對偏4.5.1偏度偏度(skewness)1464.5.1偏度（續(xù)）圖4.4對稱資料中位數(shù)=平均數(shù)=眾數(shù)4.5.1偏度（續(xù)）圖4.4對稱資料中位數(shù)=平均數(shù)147圖4.5右偏資料4.5.1偏度（續(xù)2）眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)圖4.5右偏資料4.5.1偏度（續(xù)2）眾數(shù)中位數(shù)平均148圖4.6左偏資料4.5.1偏度（續(xù)3）平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)圖4.6左偏資料4.5.1偏度（續(xù)3）平均數(shù)中位數(shù)眾1494.5.2峰度峰度：用來說明一組資料的分配高聳或寬闊的情況，通常以β2表示。(1)β2>0，高狹峰(2)β2<0，低闊峰(3)β2=0，常態(tài)峰4.5.2峰度峰度：150例4.15壽險業(yè)保單繼續(xù)率的分析長期壽險契約的保單繼續(xù)率一直是衡量壽險公司經(jīng)營績效的重要指標，尤其是第一年度（第十三個月）的保單繼續(xù)率，更是重要，因為對壽險公司而言，每件契約第一年所需負擔的成本最高，因此就單一保單而言，只有在保戶續(xù)年度持續(xù)繳交保費時，才能將保單的成本攤平．就臺灣壽險公司1999年度長期壽險契約繼續(xù)率分析我國壽險業(yè)在保單繼續(xù)率上的表現(xiàn)作一基本的敘述統(tǒng)計分析，如下表所示：例4.15壽險業(yè)保單繼續(xù)率的分析長期壽險契約的保單繼續(xù)率1514.6分組資料的統(tǒng)計量數(shù)4.6.1分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差4.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)4.6分組資料的統(tǒng)計量數(shù)4.6.1分組資料的樣本平均數(shù)、1524.6.1分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與

樣本標準差令xj為第j組的組中點，組中點=(組上限＋組下限)÷2=(組上界＋組下界)÷2樣本平均數(shù)：樣本變異數(shù)：樣本標準差：4.6.1分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與

樣本標準差令153例4.16分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差就表4.3的次數(shù)分配表求分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)及樣本標準差。例4.16分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差154例4.16分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差（續(xù)）解：例4.16分組資料的樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)與樣本標準差1554.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)分組資料的中位數(shù)第n/2項所對應的組別應是中位數(shù)所在的組別，當然我們知道其組界，故當組的下界等於前一組的上界，即，利用線性內(nèi)插法可得4.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)分組資料的中位數(shù)1564.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)）求分組資料的百分位數(shù)(Pk)的步驟求位置指標。判斷Pk所在組別。利用線性內(nèi)插法可得4.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)）求分組資料的百分1574.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)1）計算分組資料知中位數(shù)與百分位數(shù)有兩點值得特別注意：計算分組資料的中位數(shù)和百分位數(shù)是要用組界來運算，不宜用組限。為了決定位置，習慣上要先計算或，此時不管所得的結果是否為整數(shù)，都可直接帶入式子計算，不用像計算未分組資料時都取整數(shù)值。4.6.2分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)1）計算分組資料知158例4.17分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)依例4.16所得次數(shù)分配表，求中位數(shù)P30、Q1及Q3？解：因n/2=25，故Me落於第5組，

因為，所以落於第4組，例4.17分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)依例4.16所得次數(shù)159例4.17分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)）因為，所以Q1落於第3組，因為，所以Q3落於第6組，例4.17分組資料的中位數(shù)與百分位數(shù)（續(xù)）因為1604.7謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則4.7.1謝比雪夫不等式(Chebyshev’sInequality)4.7.2經(jīng)驗法則(empiricalrule)4.7謝比雪夫不等式與經(jīng)驗法則4.7.1謝比雪夫不等式1614.7.1謝比雪夫不等式謝比雪夫不等式(Chebyshev’sInequality)：對於任何的資料分配，觀測值落於平均數(shù)兩邊k個標準差的區(qū)間內(nèi)之機率（比例）至少為，其中k為大於1的任意數(shù)。謝比雪夫不等式可適用於任何資料型態(tài)，使用它時並不需對資料作任何假設，只要知道平均數(shù)和標準差就可以推估有多少比例的資料會落在某一範圍內(nèi)。數(shù)學式:P(|X–μ|kσ)，k>14.7.1謝比雪夫不等式謝比雪夫不等式(Chebyshev162圖4.8謝比雪夫不等式之圖示4.7.1謝比雪夫不等式（續(xù)）

圖4.8謝比雪夫不等式之圖示4.7.1謝比雪夫不等式（續(xù)163例4.18謝比雪夫不等式就例3.6之五十筆樣本資料，試問有多少比例的觀察值落於