最新高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊32二項式定理2課件

二項式定理基礎(chǔ)知識二項式定理基礎(chǔ)知識

11121133114641研究(a+b)n的展開式1.在n=1,2,3,4時，研究(a+b)n的展開式.

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=？2.規(guī)律:(1)展開式各項次數(shù)有什么特點？

(2)展開式各項系數(shù)有什么特點？n次齊次式

a降次，b升次(a+b)4=

a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b411研究(如何求(a+b)n的展開式(a＋b)2

＝(a

＋

b)(a

＋b)＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3共有四項a3:a2b:同理，ab2有

個；b3

有

個；每個括號都不取b的情況有一種，即

種，相當(dāng)于有一個括號中取b的情況有

種，所以a2b的系數(shù)是

所以a3的系數(shù)是共有三項如何求(a+b)n的展開式(a＋b)2＝(a＋b)ba)(ba)(ba)(ba()ba(4++++=+432234babbabaa（）（）（）（）（）++++=44433422243144044bCabCbaCbaCaC)ba(++++=+如何求(a+b)n的展開式4.一般地，(a+b)n=?3.二項式定理(1)每一項的系數(shù)(k=0,1,2,…,n)叫做該項的二項式系數(shù)(2)叫做二項展開式的通項，表示第k+1項,記作Tk+1(a＋b)n的二項展開式,共有n+1項(3)若取a=1,b=x則得一個重要公式：)ba)(ba)(ba)(ba()ba(4++++=+4321、二項式系數(shù)規(guī)律2、指數(shù)規(guī)律（1）各項的次數(shù)均為n；（2）字母a

的次數(shù)由n降到0，字母b

的次數(shù)由0升到n.3、項數(shù)規(guī)律二項展開式共有n+1項4、通項公式二項式定理規(guī)律1、二項式系數(shù)規(guī)律2、指數(shù)規(guī)律（1）各項的次數(shù)均為n；3、項二項式定理簡單運用1、區(qū)別“二項式系數(shù)”與“系數(shù)”2、第k項不是Cnkan-kbk3、一般解題先研究通項完成課本31頁練習(xí)二項式定理簡單運用1、區(qū)別“二項式系數(shù)”與“系數(shù)”完成課本3二項式定理“楊輝三角形”與二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式定理“楊輝三角形”與二項式系數(shù)的性質(zhì)引例：從排列組合“定序”問題說起如圖某城市中P，Q兩地有整齊的矩形道路網(wǎng)，從Q地到P地共有多少種最近的走法？QP可以推出Q到每一個節(jié)點的步數(shù)，如圖所示，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？引例：從排列組合“定序”問題說起如圖某城市中P，Q兩地有整齊楊輝三角形n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6楊輝三角形n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6偉大的數(shù)學(xué)家楊輝，字謙光，錢塘(今杭州)人，中國古代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。由現(xiàn)存文獻(xiàn)可推知，楊輝擔(dān)任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶，他署名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。與秦九韶、李治、朱世杰并趁稱宋元數(shù)學(xué)四大家。偉大的數(shù)學(xué)家楊輝，字謙光，錢塘(今杭州)人，中國古代數(shù)學(xué)家和治學(xué)品質(zhì)楊輝出游，遇童阻道，使人問之，乃知其遇難而不得解，輝奇之，細(xì)問。小童乃東村破爛王之子，家境貧寒，無上學(xué)之資，雖則聰慧終未能入室聽誨，唯偷聽于墻角。師每出題，童必求當(dāng)日解決，不留問題到天明。然此日師出一題，小童深感棘手，于是忘情之處于道中演練，為防異處而忘，故堅不讓道。輝愈奇，問其題，乃《大戴禮》書中所載之九宮圖：1-9個數(shù)字，放在3*3的表格中，要求橫豎斜之和相等。輝趣之，與童共演之，時至正午方畢。輝感其童向?qū)W之心，亦惑其師。翌日，資童拜其師，與其師共餐一頓，相談甚歡。歸，慮思良久，終想出一般方法，并推廣至16宮，并N宮圖，易數(shù)圖、衍數(shù)圖等。后楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，收于數(shù)學(xué)著作《續(xù)古摘奇算法》中，流傳于世。在現(xiàn)代組合學(xué)，計算機(jī)科學(xué)中有著重要應(yīng)用。治學(xué)品質(zhì)楊輝出游，遇童阻道，使人問之，乃知其遇難而不得解，輝由楊輝三角形研究二項式系數(shù)的性質(zhì)問題：觀察楊輝三角形，你能發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)的哪些性質(zhì)？定義域{0,1,2,…,n}當(dāng)n=6時,其圖象是7個孤立點61420O63rf(r)由楊輝三角形研究二項式系數(shù)的性質(zhì)問題：觀察楊輝三角形，你能發(fā)二項式系數(shù)的性質(zhì)1.對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等.圖象的對稱軸：在相鄰的兩行中，除1外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.二項式系數(shù)的性質(zhì)1.對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距二項式系數(shù)的性質(zhì)2.增減性與最大值：

二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值。實質(zhì)：數(shù)列的單調(diào)性與數(shù)列的最大項問題二項式系數(shù)的性質(zhì)2.增減性與最大值：二項式系數(shù)的性質(zhì)3.各二項式系數(shù)的和4.在奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：重要方法：賦值法二項式系數(shù)的性質(zhì)3.各二項式系數(shù)的和4.在奇數(shù)項的二項式系更多探究……從楊輝三角中一個確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和有何特征？（第r+1條斜線）如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？1，1，2，3，5，8，13，21．．．,著名的斐波那契數(shù)列．更多探究……從楊輝三角中一個確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，二項式定理分類習(xí)題研究二項式定理分類習(xí)題研究二項式定理的逆向使用問題二項式定理的逆向使用問題二項展開式指定項的系數(shù)問題◆區(qū)分三個概念：項、項的系數(shù)、項的二項式系數(shù)；二項展開式指定項的系數(shù)問題◆區(qū)分三個概念：項、項的系數(shù)二項展開式的特定項問題二項展開式的特定項問題三項式、多項式問題◆多項式問題的方法:

①轉(zhuǎn)化為二項式來展開；

②利用多項式的乘法法則展開；

③對多項式先變形化簡，再展開；

④利用加法原理和乘法原理來求指定項的系數(shù).三項式、多項式問題◆多項式問題的方法:

①轉(zhuǎn)化為二項式探究對于一個立體網(wǎng)絡(luò)圖路徑最佳個數(shù)怎么找？如何進(jìn)行抽象？進(jìn)一步，(x+y+z)6展開式中x3y2z的系數(shù)是多少？(2x+y+3z)6展開式中x3y2z的系數(shù)是多少？探究對于一個立體網(wǎng)絡(luò)圖路徑最佳個數(shù)怎么找？如何進(jìn)行抽象？進(jìn)一展開式的系數(shù)和問題展開式的系數(shù)和問題展開式的系數(shù)和問題展開式的系數(shù)和問題展開式系數(shù)最大項的問題◆求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項，n為偶數(shù)時中間一項.◆設(shè)Tk+1的系數(shù)為Ak+1，求系數(shù)最大的項，可通過解不等式組Ak+1≥Ak且Ak+1≥Ak+2求得.展開式系數(shù)最大項的問題◆求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)近似計算、整除及余數(shù)問題◆利用二項式定理證明整除問題，關(guān)鍵是將所給多項式通過恒等變形為二項式形式，使其展開后的各項均含有除式(除數(shù)).◆利用二項式定理進(jìn)行近似計算，關(guān)鍵是確定展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度.近似計算、整除及余數(shù)問題◆利用二項式定理證明整除問題，關(guān)鍵是證明與不等式放縮問題◆用二項式定理進(jìn)行放縮證明不等式的常見方法：(1)保留前面若干項或保留前后對稱的若干項；(2)對通項進(jìn)行放縮，再利用數(shù)列求和的知識.證明與不等式放縮問題◆用二項式定理進(jìn)行放縮證明不等式的常見方謝謝同學(xué)們的合作再見!謝謝同學(xué)們的合作再見!謝謝同學(xué)們的合作再見!謝謝同學(xué)們的合作再見!二項式定理基礎(chǔ)知識二項式定理基礎(chǔ)知識

11121133114641研究(a+b)n的展開式1.在n=1,2,3,4時，研究(a+b)n的展開式.

(a+b)1=a+b

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=？2.規(guī)律:(1)展開式各項次數(shù)有什么特點？

(2)展開式各項系數(shù)有什么特點？n次齊次式

a降次，b升次(a+b)4=

a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b411研究(如何求(a+b)n的展開式(a＋b)2

＝(a

＋

b)(a

＋b)＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3共有四項a3:a2b:同理，ab2有

個；b3

有

個；每個括號都不取b的情況有一種，即

種，相當(dāng)于有一個括號中取b的情況有

種，所以a2b的系數(shù)是

所以a3的系數(shù)是共有三項如何求(a+b)n的展開式(a＋b)2＝(a＋b)ba)(ba)(ba)(ba()ba(4++++=+432234babbabaa（）（）（）（）（）++++=44433422243144044bCabCbaCbaCaC)ba(++++=+如何求(a+b)n的展開式4.一般地，(a+b)n=?3.二項式定理(1)每一項的系數(shù)(k=0,1,2,…,n)叫做該項的二項式系數(shù)(2)叫做二項展開式的通項，表示第k+1項,記作Tk+1(a＋b)n的二項展開式,共有n+1項(3)若取a=1,b=x則得一個重要公式：)ba)(ba)(ba)(ba()ba(4++++=+4321、二項式系數(shù)規(guī)律2、指數(shù)規(guī)律（1）各項的次數(shù)均為n；（2）字母a

的次數(shù)由n降到0，字母b

的次數(shù)由0升到n.3、項數(shù)規(guī)律二項展開式共有n+1項4、通項公式二項式定理規(guī)律1、二項式系數(shù)規(guī)律2、指數(shù)規(guī)律（1）各項的次數(shù)均為n；3、項二項式定理簡單運用1、區(qū)別“二項式系數(shù)”與“系數(shù)”2、第k項不是Cnkan-kbk3、一般解題先研究通項完成課本31頁練習(xí)二項式定理簡單運用1、區(qū)別“二項式系數(shù)”與“系數(shù)”完成課本3二項式定理“楊輝三角形”與二項式系數(shù)的性質(zhì)二項式定理“楊輝三角形”與二項式系數(shù)的性質(zhì)引例：從排列組合“定序”問題說起如圖某城市中P，Q兩地有整齊的矩形道路網(wǎng)，從Q地到P地共有多少種最近的走法？QP可以推出Q到每一個節(jié)點的步數(shù)，如圖所示，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？引例：從排列組合“定序”問題說起如圖某城市中P，Q兩地有整齊楊輝三角形n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6楊輝三角形n=0n=1n=2n=3n=4n=5n=6偉大的數(shù)學(xué)家楊輝，字謙光，錢塘(今杭州)人，中國古代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。由現(xiàn)存文獻(xiàn)可推知，楊輝擔(dān)任過南宋地方行政官員，為政清廉，足跡遍及蘇杭一帶，他署名的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構(gòu)成規(guī)律的數(shù)學(xué)家。與秦九韶、李治、朱世杰并趁稱宋元數(shù)學(xué)四大家。偉大的數(shù)學(xué)家楊輝，字謙光，錢塘(今杭州)人，中國古代數(shù)學(xué)家和治學(xué)品質(zhì)楊輝出游，遇童阻道，使人問之，乃知其遇難而不得解，輝奇之，細(xì)問。小童乃東村破爛王之子，家境貧寒，無上學(xué)之資，雖則聰慧終未能入室聽誨，唯偷聽于墻角。師每出題，童必求當(dāng)日解決，不留問題到天明。然此日師出一題，小童深感棘手，于是忘情之處于道中演練，為防異處而忘，故堅不讓道。輝愈奇，問其題，乃《大戴禮》書中所載之九宮圖：1-9個數(shù)字，放在3*3的表格中，要求橫豎斜之和相等。輝趣之，與童共演之，時至正午方畢。輝感其童向?qū)W之心，亦惑其師。翌日，資童拜其師，與其師共餐一頓，相談甚歡。歸，慮思良久，終想出一般方法，并推廣至16宮，并N宮圖，易數(shù)圖、衍數(shù)圖等。后楊輝把這些圖總稱為縱橫圖，收于數(shù)學(xué)著作《續(xù)古摘奇算法》中，流傳于世。在現(xiàn)代組合學(xué)，計算機(jī)科學(xué)中有著重要應(yīng)用。治學(xué)品質(zhì)楊輝出游，遇童阻道，使人問之，乃知其遇難而不得解，輝由楊輝三角形研究二項式系數(shù)的性質(zhì)問題：觀察楊輝三角形，你能發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)的哪些性質(zhì)？定義域{0,1,2,…,n}當(dāng)n=6時,其圖象是7個孤立點61420O63rf(r)由楊輝三角形研究二項式系數(shù)的性質(zhì)問題：觀察楊輝三角形，你能發(fā)二項式系數(shù)的性質(zhì)1.對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等.圖象的對稱軸：在相鄰的兩行中，除1外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和.二項式系數(shù)的性質(zhì)1.對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距二項式系數(shù)的性質(zhì)2.增減性與最大值：

二項式系數(shù)是逐漸增大的，由對稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項取得最大值。當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項，相等，且同時取得最大值。實質(zhì)：數(shù)列的單調(diào)性與數(shù)列的最大項問題二項式系數(shù)的性質(zhì)2.增減性與最大值：二項式系數(shù)的性質(zhì)3.各二項式系數(shù)的和4.在奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即

這就是說，的展開式的各二項式系數(shù)的和等于：重要方法：賦值法二項式系數(shù)的性質(zhì)3.各二項式系數(shù)的和4.在奇數(shù)項的二項式系更多探究……從楊輝三角中一個確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和有何特征？（第r+1條斜線）如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律？1，1，2，3，5，8，13，21．．．,著名的斐波那契數(shù)列．更多探究……從楊輝三角中一個確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，二項式定理分類習(xí)題研究二項式定理分類習(xí)題研究二項式定理的逆向使用問題二項式定理的逆向使用問題二項展開式指定項的系數(shù)問題◆區(qū)分三個概念：項、項的系數(shù)、項的二項式系數(shù)；二項展開式指定項的系數(shù)問題◆區(qū)分三個概念：項、項的系數(shù)二