經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)第4章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

4.1隨機(jī)變量引言4.1.1隨機(jī)變量4.1.2隨機(jī)變量的分布4.1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征1自然界如日出日落，潮漲潮落，花開花謝等是必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象.

拋硬幣猜正面向上還是反面向上，擲一枚均勻骰子幾點(diǎn)向上等這類事先不能確定的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果稱為隨機(jī)事件.對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象可能的結(jié)果取值進(jìn)行量化并賦以變量，研究其變化規(guī)律，就是本節(jié)討論的隨機(jī)變量.24.1.1隨機(jī)變量引例【種子發(fā)芽】

設(shè)一袋玉米種子，其發(fā)芽率為0.9，從袋中取出一粒種子，播種后可能出現(xiàn)的結(jié)果有兩種“出苗”、“不出苗”。試討論這種現(xiàn)象?！居懻摗?/p>

用一個(gè)變量來(lái)描述這種情形，可能取0（不發(fā)芽），可能取1（發(fā)芽），究竟取哪個(gè)值取決于觀測(cè)（試驗(yàn)）結(jié)果。象這類隨試驗(yàn)結(jié)果而變化的量稱為隨機(jī)變量。3【乘客候車】

開往經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的118路公共汽車每隔8分鐘發(fā)一輛車，一位不知內(nèi)情的乘客乘該路車，那么他候車的時(shí)間是多少？【討論】

由于乘客到車站的時(shí)間是不定的，用表示其等車時(shí)間，則可以取[0，8]上的任何一個(gè)值，究竟取哪一個(gè)值，取決于試驗(yàn)結(jié)果，這也是一個(gè)隨機(jī)變量。

引例4

一般地，我們把由隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來(lái)確定的某一個(gè)數(shù)值表示的變量，稱為隨機(jī)變量，常用希臘字母等表示。

引例【種子發(fā)芽】中隨機(jī)變量的取值能夠一一列出（有限個(gè)或無(wú)限個(gè)），象這樣隨機(jī)試驗(yàn)可能的結(jié)果可以取可數(shù)個(gè)值的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量。

引例【乘客候車】中隨機(jī)變量的取值不能一一列出，而是充滿某一實(shí)數(shù)區(qū)間，這類可以在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)取任何實(shí)數(shù)值的隨機(jī)變量，稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。54.1.2隨機(jī)變量的分布一、概率分布列二、基本分布密度6一、概率分布列1、定義

一般地，若離散型隨機(jī)變量所取的數(shù)值用表示，對(duì)應(yīng)的概率為（主要討論為有限的情形），則稱等式或表格為的分布列（或的概率分布）。72、性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的分布列滿足以下特性：

(1)對(duì)所有的，都有(2)83、案例【出門帶傘】

如果按天氣預(yù)報(bào)決定是否帶傘預(yù)報(bào)有雨則帶傘，預(yù)報(bào)無(wú)雨則不帶傘，而天氣預(yù)報(bào)并非百分之百準(zhǔn)確，預(yù)報(bào)無(wú)雨時(shí)卻下雨的概率為0.2，試求5天天氣預(yù)報(bào)無(wú)雨，不帶傘而被雨淋的概率分布列。解設(shè)為淋雨的天數(shù)，它是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，取值范圍為如果記五天中每天被雨淋事件為，沒(méi)被雨淋事件為則所以9這類分布稱為二項(xiàng)分布，記為經(jīng)計(jì)算，因5天天氣預(yù)報(bào)無(wú)雨而不帶傘卻被雨淋的概率分布列為

0．000320．00640．05120．20480．40960．32768543210

一般地，如果一個(gè)隨機(jī)變量具有分布其中，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為10二、基本分布密度

1、概念

很多情形下，需要求隨機(jī)變量在某個(gè)范圍內(nèi)的概率，如對(duì)離散型隨機(jī)變量，有.而如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，有，則稱為的概率分布密度(或分布密度)，記為.112、性質(zhì)

對(duì)分布密度，具有性質(zhì)。可以推證，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量，有。這樣，就有即計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率，可以不考慮區(qū)間是開的、閉的、還是半開半閉的.123、案例若隨機(jī)變量的分布密度為，求的值.解

根據(jù)分布密度的性質(zhì)則即這時(shí)，也稱隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布，記為13案例【購(gòu)物乘車】

從某市的輪渡碼頭開往中國(guó)日用品商品城的巴士，從上午5:30起，每15分鐘有一班車經(jīng)過(guò)，即5:30，5:45，6:00，6:15，

6:30等時(shí)刻有汽車從該站出發(fā).如果乘客在7:00--7:30之間等可能地到達(dá)此站，試求：（1）他候車的時(shí)間不到5分鐘的概率；（2）候車時(shí)間超過(guò)5分鐘的概率.14（1）要候車時(shí)間不到5分鐘就必須在7:10--7:15之間或者在7:2--7:30之間到達(dá)車站。因此，所求的概率為（2）要候車時(shí)間超過(guò)5分鐘，乘客必須在7:00--7:10之間或

7:15--7:25之間到達(dá)車站。因此概率為解

設(shè)乘客在7:00點(diǎn)過(guò)分鐘到達(dá)車站，則的分布密度為

154.1.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差四、常用分布的期望與方差表16、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望引例

某經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)造一座大型塑料模具工廠，在施工過(guò)程中欲對(duì)一大批鋼筋的平均抗拉力進(jìn)行測(cè)試。為此，從中隨機(jī)地抽取10根測(cè)試，測(cè)得它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)為120和130各有2根，125的3根，110，135，140的各有1根，求這10根鋼筋的平均抗拉強(qiáng)度指標(biāo)值。17解

設(shè)平均抗拉強(qiáng)度值為則平均抗拉強(qiáng)度指標(biāo)并不是這10根鋼筋所取到的6個(gè)值的簡(jiǎn)單平均，而是取這些值的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值（頻率）為權(quán)重的加權(quán)平均數(shù).推廣結(jié)論：18案例【產(chǎn)品均價(jià)】

某私營(yíng)水龍頭生產(chǎn)企業(yè)對(duì)一批將要出售的水龍頭進(jìn)行估價(jià)，由產(chǎn)品檢驗(yàn)知，其中有一、二、三等品、等外品及廢品5種，相應(yīng)的概率分別為0.7、0.1、0.1、0.06及0.04，若它們對(duì)應(yīng)的產(chǎn)值分別為6元、5.4元、5元、4元及-0.5元。求產(chǎn)品的平均出廠價(jià)值。0.040.060.10.10.7-0.5455.46Px19解

設(shè)產(chǎn)品值為，則是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，由它的分布列可得如果連續(xù)型隨機(jī)變量，則的數(shù)學(xué)期望由確定，即（要求收斂）.20案例【設(shè)備平均荷載】

由于電力資源緊張，某汽車零件加工企業(yè)欲購(gòu)置發(fā)電機(jī)，為此，先對(duì)本廠的電氣負(fù)荷進(jìn)行測(cè)試.

設(shè)某電氣設(shè)備在某時(shí)段最大負(fù)荷的時(shí)間（單位min）是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布密度為

試求最大負(fù)荷的平均時(shí)間.解

最大負(fù)荷的平均時(shí)間，即為的數(shù)學(xué)期望21數(shù)學(xué)期望的特性（1）（2）（3）兩個(gè)隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于這兩個(gè)隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和,即本結(jié)論可推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量的情況，即對(duì)于個(gè)隨機(jī)變量有22二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1、概念設(shè)是的函數(shù)，也是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望可以按下列公式計(jì)算：如果為離散型隨機(jī)變量，其分布列為則的數(shù)學(xué)期望為如果為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布密度為，則的數(shù)學(xué)期望為232、案例設(shè)的分布列如表所示0.1250.250.3750.25210-1Px求:

解

24三、方差和標(biāo)準(zhǔn)差引例

某大型建筑工地對(duì)剛進(jìn)工場(chǎng)的兩批鋼筋的抗拉強(qiáng)度進(jìn)行抽檢，從中每批各取10根，它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo)如下第一批110120120125125125130130135140第二批9010012012513013013514014514525如果是離散型隨機(jī)變量，并且,則如果是連續(xù)型隨機(jī)變量，有概率密度則１．離差稱為隨機(jī)變量的離差.不論為正還是負(fù)，同樣都是離散程度，為了消除離差的符號(hào)影響，用隨機(jī)變量離差平方來(lái)衡量對(duì)的偏差.２．方差隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望，稱為隨機(jī)變量的方差.記為或，即

.而稱為的標(biāo)準(zhǔn)差，記為.26方差的特性（1）

（2）

（4）兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立指的是一個(gè)隨機(jī)變量的取值不影響另一個(gè)隨機(jī)變量取某些值的概率.（3）兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則（可推廣到有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和）27例的分布列如表所示:0.1250.250.3750.25210-1Px求:

解

28常用分布的期望與方差表29例解

例已知，求由二項(xiàng)分布的期望與方差得得解30

4.2數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念引例

某鋼筋廠日產(chǎn)某型號(hào)的鋼筋10000根，為獲得該批鋼筋的強(qiáng)度資料，質(zhì)量檢查員每天只抽查50根的強(qiáng)度，我們至少可以提出如下問(wèn)題：（1）如何從抽取的50根鋼筋的強(qiáng)度數(shù)據(jù)去估計(jì)整批10000根鋼筋的強(qiáng)度平均值？又如何估計(jì)整批鋼筋強(qiáng)度偏離平均值的離散程度？（2）若規(guī)定了這種型號(hào)鋼筋的標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)度，從抽查得的50個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)如何判斷整批鋼筋的平均強(qiáng)度與規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)有無(wú)差異？（3）如果鋼筋強(qiáng)度與某種原料成分的含量有關(guān)，那么從抽查50根得到的強(qiáng)度與該成分含量的50根對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，如何去表達(dá)整批鋼筋的強(qiáng)度與該成分含量之間的關(guān)系？31問(wèn)題（1）要從50個(gè)強(qiáng)度數(shù)據(jù)出發(fā)去估計(jì)整批鋼筋強(qiáng)度分布的某些數(shù)字特征，這里要估計(jì)數(shù)學(xué)期望與方差，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中解決這類問(wèn)題的方法稱為參數(shù)估計(jì).問(wèn)題（2）是要根據(jù)抽查得的數(shù)據(jù)，去檢查強(qiáng)度分布的某一數(shù)字特征與規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的差異，這里是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)期望，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中解決這類問(wèn)題的方法是先作一個(gè)假設(shè)（如假設(shè)與規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)無(wú)差異），然后檢驗(yàn)這一假設(shè)是否成立，這種方法稱為假設(shè)檢驗(yàn).

問(wèn)題（3）是要根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)研究變量間的關(guān)系，這里研究強(qiáng)度與成份含量?jī)蓚€(gè)（或兩個(gè)以上）變量間的關(guān)系，這種研究方法稱為回歸分析.324.2.1總體與樣本

１．引例２．總體３．樣本４．簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本５．樣本觀察值

33

要考察當(dāng)天生產(chǎn)的燈泡的合格率，不可能每只都測(cè)試過(guò)去，因?yàn)橐坏┤繙y(cè)試，結(jié)果是這批燈泡也全報(bào)廢了。所以，一般情況下，只能從這5萬(wàn)個(gè)燈泡中選取一些燈泡做壽命測(cè)試并記錄結(jié)果，然后根據(jù)這些結(jié)果來(lái)推斷整批燈泡的合格率情況.

某節(jié)日燈泡廠，一天生產(chǎn)5萬(wàn)個(gè)20W的某型號(hào)的節(jié)能燈，按規(guī)定使用壽命不足1000小時(shí)的為次品，考察當(dāng)天生產(chǎn)的燈泡的合格率．引例34

在統(tǒng)計(jì)中，我們將研究對(duì)象的全體所構(gòu)成的集合稱為總體，（一般總體是指總體的某個(gè)指標(biāo)）記為

等。如“一天生產(chǎn)的燈泡的壽命”，從概率角度看，總體也是隨機(jī)變量。

總體中的各個(gè)研究對(duì)象稱為個(gè)體，記為.如“每只燈泡的壽命”.

按照一定的規(guī)則，由總體中取出若干個(gè)個(gè)體所構(gòu)成的集合稱為總體的一個(gè)樣本，記為樣本中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量，記為概念35必須是隨機(jī)的，即總體中每個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本.抽樣如果總體單位數(shù)無(wú)限，不重復(fù)抽樣與重復(fù)抽樣沒(méi)有什么區(qū)別.將可重復(fù)或可看成重復(fù)的抽樣稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.它的特點(diǎn)是樣本中的個(gè)體相互獨(dú)立，分布相同.抽樣方法樣本的選取不重復(fù)抽樣：每次抽取一個(gè)不放回去，再抽取第二個(gè)，連續(xù)抽取n次；重復(fù)抽樣：每次抽取一個(gè)進(jìn)行觀察后放回去，再抽取第二個(gè)，連續(xù)抽取n次。Notes：36

對(duì)于來(lái)自總體的容量為的一個(gè)樣本進(jìn)行一次觀測(cè)，所得的一組數(shù)據(jù)稱為樣本的觀測(cè)值，其中為第個(gè)分量.374.2.2樣本平均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

案例【發(fā)放貸款】

某開發(fā)區(qū)中國(guó)建設(shè)銀行儲(chǔ)蓄所，2005年上半年各月發(fā)放的工業(yè)貸款如下表所示（單位:千元），求平均每月工業(yè)貸款的發(fā)放款額是多少？月份1月2月3月4月5月6月貸款額612456431268560642313588074832解設(shè)每月工業(yè)貸款平均額為,根據(jù)題意得即平均每月工業(yè)貸款的發(fā)放款為61510千元.38樣本平均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差概念

一般情形，若在總體

中，抽取一個(gè)容量為的樣本，則稱為樣本均值，記為.即

稱為樣本方差，記為，即而稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

39案例【紅細(xì)胞檢測(cè)】

在血球計(jì)數(shù)器的400個(gè)方格的一次抽樣檢驗(yàn)中，清點(diǎn)每個(gè)方格中的紅細(xì)胞數(shù)如表所示:試計(jì)算樣本均值，方差解404.2.3統(tǒng)計(jì)量及分布統(tǒng)計(jì)量

樣本均值、樣本方差的共同特點(diǎn)是只與樣本的觀測(cè)值有關(guān)，不含任何未知參數(shù).

這種由樣本構(gòu)成的一個(gè)不含任何參數(shù)的函數(shù)稱統(tǒng)計(jì)量.

41一、樣本平均值的分布:U分布

假設(shè)總體，為來(lái)自總體的一個(gè)樣本，為樣本均值，則稱為U統(tǒng)計(jì)量.可以驗(yàn)證

對(duì)于U統(tǒng)計(jì)量，如果給定概率則把滿足的點(diǎn)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)臨界值.記.可以通過(guò)查正態(tài)分布表得到.

稱滿足條件的點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)臨界值

42例

給定概率，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下，求的上側(cè)臨界值和雙側(cè)臨界值.解查附表得，即為上側(cè)臨界值.查表得，即為雙側(cè)臨界值.

43二、統(tǒng)計(jì)量及分布

假設(shè)總體為來(lái)自總體的樣本，是自由度為的統(tǒng)計(jì)量.為服從參數(shù)為的分布，記它的密度函數(shù)的基本圖象如下圖:1.統(tǒng)計(jì)量442．分布的重要結(jié)論3．臨界值對(duì)2c統(tǒng)計(jì)量，如果給定概率)10(<<aa，滿足>2(cP=a

的點(diǎn)l稱為2c分布的a臨界值，記為)(2nacl=，其值可查2c分布得到.如下圖所示的陰影部分的面積

454．案例解即則查表得又則查表得46三、分布

473．臨界值由上圖可得484.3參數(shù)估計(jì)4.3.1點(diǎn)估計(jì)(矩估計(jì)法)1、引例已知從一批數(shù)據(jù)中，抽測(cè)其200個(gè)，經(jīng)分組后整理如下試求這批樣本數(shù)據(jù)的均值和方差2S49

人們常用這200個(gè)數(shù)據(jù)得到的樣本均值和方差作為整體的樣本的均值和方差的估計(jì)值.解這組樣本數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望和方差為502．矩估計(jì)法的概念513．案例【零件長(zhǎng)度測(cè)試】52解=25.4534、案例解分布函數(shù)只有一個(gè)參數(shù)，可以用總體的期望表示之.得

由題設(shè)得

所以得

54554.3.2期望的區(qū)間估計(jì)1．引入矩估計(jì)的不足：

樣本的隨機(jī)性(即使真正相等，由于參數(shù)值本身未知，也無(wú)從肯定這種相等)估計(jì)量的值不一定恰是參數(shù)真值562．引例【鋼水含碳量】573．置信區(qū)間概念584．區(qū)間估計(jì)59案例【燈泡壽命】解=1147查正態(tài)分布臨界值表得

即燈泡平均壽命的95%置信區(qū)間為(1145.25，1148.75).6061案例【嬰兒體重】解

假定新生嬰兒（男孩）的體重服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取12名新生嬰兒，測(cè)得其體重為3600，3020，3500，3500，4100，3660，4060，3820，3380，3100，3900，3040

試以95%的置信度估計(jì)新生男嬰兒的平均體重（單位:g）.62即新生男嬰兒的平均體重95%的置信區(qū)間為(3318，3795).634.4假設(shè)檢驗(yàn)4.4.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想4.4.2數(shù)學(xué)期望的雙側(cè)檢驗(yàn)4.4.3方差的假設(shè)檢驗(yàn)644.4.1假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想１．小概率事件原理實(shí)踐證明，小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生，我們把它稱為實(shí)際不可能發(fā)生原則。這個(gè)原則是假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù).65２．引例【摸球】

設(shè)想某人拿著裝有1000個(gè)球的袋子，并說(shuō)“袋中的球999個(gè)是白色的而只有1個(gè)是黑色的.”如果從袋中任摸一個(gè)球竟然是黑的，我們依然會(huì)覺(jué)得這個(gè)人的說(shuō)法不可信.判斷思考過(guò)程是這樣的:如果這1000個(gè)球中確實(shí)只有1個(gè)黑球，則從中任取一球是黑球的可能性很小，概率為1/1000，因此，當(dāng)這個(gè)的說(shuō)法是正確的時(shí)候，從袋中任取一球正好是黑球幾乎是不可能的.現(xiàn)在這一事件竟然發(fā)生了，這就不能不令人懷疑這個(gè)人的說(shuō)法.這其實(shí)就是一個(gè)簡(jiǎn)單的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題，所要檢驗(yàn)的假設(shè)是“1000個(gè)球中只有一個(gè)黑球”，亦即概率是1/1000.663.案例【奶粉包裝】

某私營(yíng)包裝廠，接得一批包裝奶粉業(yè)務(wù)，要求額定標(biāo)準(zhǔn)為每袋凈重454g.根據(jù)長(zhǎng)期經(jīng)驗(yàn)知道，所裝奶粉的凈重服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差是12g，某日開工后，對(duì)某臺(tái)包裝機(jī)進(jìn)行抽檢，抽測(cè)了9袋，重量如下（單位g）:452,459,470,475,443,464,463,467,465.問(wèn)此包裝機(jī)工作是否正常？解67又所以則68４．假設(shè)檢驗(yàn)步驟69704.4.2數(shù)學(xué)期望的雙側(cè)檢驗(yàn)一、方差已知時(shí)的均值檢驗(yàn)（Ｕ檢驗(yàn)法）案例【鋼索強(qiáng)度】71解72案例【罐頭防腐劑】73解74案例【脈搏測(cè)試】54，67，68，78，70，66，67，70，65，6975解764.4.3方差的假設(shè)檢驗(yàn)77案例【導(dǎo)線電阻檢驗(yàn)】78解79案例【電池使用時(shí)數(shù)】80解814.5一元線性回歸分析１．概念4.5.1一元線性回歸方程的建立量的關(guān)系

有相關(guān)關(guān)系的變量雖然不存在確定的函數(shù)關(guān)系，但可以由一個(gè)或一組變量的大量觀測(cè)值來(lái)估計(jì)或預(yù)測(cè)某一個(gè)隨機(jī)變量的觀察值，找出變量之間的近似關(guān)系式，這關(guān)系式稱為回歸方程，這樣所建立的數(shù)學(xué)模型及所作的統(tǒng)計(jì)分析稱為回歸分析，如果這個(gè)模型變量間是線性關(guān)系的就稱為線性回歸分析.82案例【成本與產(chǎn)量】

飛躍機(jī)械制造公司為了研究生產(chǎn)某種齒輪的成本費(fèi)用和產(chǎn)量的關(guān)系，查出近10年的成本數(shù)據(jù)，試建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型求成本關(guān)于產(chǎn)量的關(guān)系.83

編號(hào)

年份

產(chǎn)量ix

成本費(fèi)用iy元

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

855

1701

793

1411

903

424

405

361

510

997

186762

298847

120023

257140

168894

83656

84426

71629

162074

221710

數(shù)據(jù)84散點(diǎn)圖85

分析從散點(diǎn)圖看到，這些點(diǎn)的位置大致接近某一直線.86最小二乘法（由于平方又叫乘方，因此把這種使偏離平方和最小的方法稱為最小二乘法.）87回歸系數(shù)推導(dǎo)

88則有記89求案例的回歸方程則回歸方程為90建立一元線性回歸方程數(shù)學(xué)模型的具體步驟91案例【產(chǎn)值與利潤(rùn)】92解934.5.2回歸效果的檢驗(yàn)相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)與回歸直線的偏離相關(guān)性對(duì)相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)94相關(guān)分析95相關(guān)系數(shù)稱整理可得96相關(guān)系數(shù)與回歸直線的偏離相關(guān)性97對(duì)相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)98案例【成本與產(chǎn)量】

飛躍機(jī)械制造公司為了研究生產(chǎn)某種齒輪的成本費(fèi)用和產(chǎn)量的關(guān)系，查出近10年的成本數(shù)據(jù)，試推斷成本費(fèi)用和產(chǎn)量這兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱.99

編號(hào)

年份

產(chǎn)量ix

成本費(fèi)用iy元

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

855

1701

793

1411

903

424

405

361

510

997

186762

298847

120023

257140

168894

83656

84426

71629

162074

221710

數(shù)據(jù)100解101案例【廣告費(fèi)與銷售額】

以下數(shù)據(jù)是某合資公司上半年6個(gè)月中每月廣告費(fèi)用

x（單位:萬(wàn)元）和銷售額y（單位:萬(wàn)元）.

銷售額廣告費(fèi)用654321259206153（1）試估計(jì)y與x之間的線性回歸方程及意義；102解（1）估計(jì)y與x之間的線性回歸方程及意義103

如果線性方程成立，則廣告費(fèi)用每增加10000元，銷售額就增加30300元；沒(méi)有廣告投入，銷售額僅為24000元.104即在5%顯著水平下不能得出銷售額與廣告費(fèi)用之間的關(guān)系顯著的結(jié)論.1054.5.3回歸方程的應(yīng)用：預(yù)測(cè)

案例【預(yù)測(cè)生產(chǎn)總值】某區(qū)1996年--2004年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的資料如下表：要求建立直線趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)該區(qū)2006年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.106解設(shè)年份編號(hào)為變量為x，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為y.即若經(jīng)濟(jì)發(fā)展按如此勢(shì)頭發(fā)展，則可以預(yù)測(cè)2006年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值.107區(qū)間估計(jì)

上例中，直接用預(yù)測(cè)模型推算的預(yù)測(cè)值代表未來(lái)實(shí)際值的預(yù)測(cè)方法是一種點(diǎn)預(yù)測(cè).點(diǎn)預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)是推算簡(jiǎn)捷、結(jié)果明了，但卻存在兩個(gè)缺點(diǎn)（1）它沒(méi)有給出實(shí)際值所在可能的范圍；（2）它沒(méi)有告訴我們預(yù)測(cè)值的可信程度.為此，需要用區(qū)間預(yù)測(cè)來(lái)克服點(diǎn)預(yù)測(cè)的不足.108區(qū)間估計(jì)統(tǒng)計(jì)量

109案例【預(yù)測(cè)生產(chǎn)總值】某區(qū)1996年--2004年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的資料如下表：預(yù)測(cè)2006年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的取值區(qū)間.110解此即為2006年該區(qū)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值在0.10顯著水平下的預(yù)測(cè)區(qū)間.1114.6MATLAB概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算4.6.1隨機(jī)變量的概率計(jì)算4.6.2隨機(jī)變量的數(shù)字特征的計(jì)算4.6.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)的計(jì)算4.6.4假設(shè)檢驗(yàn)的計(jì)算4.6.5線性回歸1124.6.1隨機(jī)變量的概率計(jì)算MATLAB語(yǔ)句格式：（1）pdf(‘name’k,A)或pdf(‘name’k,A,B)

其中‘name’為分布的函數(shù)名，A，B為分布列中的有關(guān)參數(shù)（2）cdf(‘name’k,A)或cdf(‘name’k,A,B)

其中‘name’為分布的函數(shù)名，A、B為分布列或分布密度中的有關(guān)參數(shù)113常用分布的name函數(shù)

分布name函數(shù)分布name函數(shù)超幾何分布hyge指數(shù)分布exp二項(xiàng)分布bino正態(tài)分布norm泊松分布poiss均勻分布unif114案例【拋硬幣】115例1164.6.2隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算MATLAB語(yǔ)句格式mean(X)var(X)std(X)sum(X.*P)int(x*fx,a,b)%X為一向量，計(jì)算X的平均值.%計(jì)算X的方差%計(jì)算X的標(biāo)準(zhǔn)差117例解X=[70,63,58,89,45,90];Y=mean(X)Y=69.1667.Y1=var(X)Y1=314.9667118例解X=[-1,2,4,8];P=[0.125,0.25,0.375,0.25];Ex=sum(X.*P)Ex=3.8750%數(shù)學(xué)期望Ex2=sum(X.^2.*P)Ex2=23.1250Dx=Ex2-Ex^2Dx=8.1094%方差119例解symsxfx=3/5+6/5*x^2;Ex=int(x*fx,0,1)Ex=3/5%數(shù)學(xué)期望Ex2=int(x^2*fx,0,1)Ex2=11/25Dx=Ex2-Ex^2Dx=2/25%方差1204.6.2參數(shù)的區(qū)間估計(jì)MATLAB語(yǔ)句：[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,Alpha)121例

生成一組均值為15,方差為2.5的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)，然后對(duì)這組數(shù)據(jù)進(jìn)行置信度為95%的參數(shù)估計(jì)計(jì)算.