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文檔簡介
第三篇對(duì)稱性與不變性第三篇對(duì)稱性與不變性對(duì)稱性的重要意義:伽利略變換下的不變性→牛頓力學(xué)的基石之一。洛侖茲變換下的不變性→相對(duì)論的基石之一。對(duì)稱性←→守恒律(量)21世紀(jì)的重大問題之一:理論越來越對(duì)稱,實(shí)驗(yàn)越來越多地發(fā)現(xiàn)不對(duì)稱~“矛盾”?!(參見李政道《物理學(xué)的挑戰(zhàn)》)本篇主要內(nèi)容:1、轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性問題~自旋與角動(dòng)量;2、粒子交換對(duì)稱性問題~全同粒子問題;3、時(shí)空交換對(duì)稱性問題~對(duì)稱性與守恒律問題。第八章自旋與角動(dòng)量第八章自旋與角動(dòng)量8.1電子自旋1925年實(shí)驗(yàn)提出→1928自旋~一、關(guān)于自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)(原子物理已討論)①納黃線的精細(xì)結(jié)構(gòu);②復(fù)雜(反常)塞曼效應(yīng);③斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)?!鸀榱私忉寣?shí)驗(yàn)現(xiàn)象,引入新的自由度(在內(nèi)稟空間中)。二、烏倫貝克-哥德斯密特假設(shè)1、每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S,它在空間任何方向上(z軸)的投影只能取兩個(gè)值Sz
。2 2
與自旋角動(dòng)量S的關(guān)系為S e e eMSS, MSzSz2
M 。B自旋磁矩與自旋角動(dòng)量的比值稱電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率:gMSzegS z
e, g2
2 ~朗德因子。與軌道角動(dòng)量的回轉(zhuǎn)比率比較:MLz
e g e ,
1~ 朗德因子,
2g 。L z
L2
L
S L 注意:軌道角動(dòng)量有經(jīng)典對(duì)應(yīng)~ LrpLrp,自旋角動(dòng)量沒有經(jīng)典對(duì)應(yīng)。如果設(shè)想為經(jīng)典自轉(zhuǎn)→違背相對(duì)論。自旋是內(nèi)稟自由度(對(duì)經(jīng)典講,是全新的概念)8.2自旋算符與自旋波函數(shù)問題:自旋算符如何定義?自旋如何描述?基本思路~由對(duì)易關(guān)系定義算符。(無經(jīng)典對(duì)應(yīng))
已知“軌道”:JJiJ[J,x
]iJy
,[J
,J]y z
,[J,Jx z
]iJ 。ySSSiS[S,S ]iS,[S,S]iS,[S,S] x y z y z x z x y [S2,Sx
][S2,Sy
][S2,Sz
]0 2 2實(shí)驗(yàn)表明
, S , S S2S2S2 S2 。x 2 y 2 z 2 x y z 4 4類比: J2j(j2, jj~角量子數(shù)。有 S
s(s
24
, s1/2~自旋量子數(shù)。二、泡利算符的對(duì)易關(guān)系及泡利算符的本征值SS2i,],,],,]x y z y z x z x y 2x
y
z
2221x y z x y zI。 ,},,},},,},,}x y y z z x易知 三、自旋算符在{S2
}表象的矩陣表示z 1 0 1 0S Sz z
Sz 0
。z現(xiàn)在求
2, :
2 1令 a b
0 1 x y
c da* c* a b a b①: a*a,d*db*c 。x x b* d*
c d
x b* d②{}0:z, x0
1 0a b a
b1 0
2a 0 z x
z0
** 1b
d b d0 1
0 2d 0 b ad0 。 1 0
b
x b* 0b b2 0③
I:
bei,x 0 1
b* 0b*
0
b2取最簡形式
0,有
0 1。 ④ y
1z
x
0 i)i 0。 這樣自旋算符的矩陣表示就全部求出:S S x2110,S y2ii0,S z2001相應(yīng)的泡利矩陣為:01,0 i, 10x10yi 0z01
a S-表象Sz
2 12
, Sb b
2
b2 bS有 Sz 12
,2 12
Sz
2
即121 0
a 0
1 b 1 b
a ei,b 0, 1 0
a 0
1 b 1 b
a b
ei。1 0取0有 12
0 0
12
1 1
12
12
0,
12 1
12
1,構(gòu)成正交歸一完備集。任一自旋波函數(shù)可以展開成a(Sz
)a12
。b2 ba2~b2~電子自旋向下的幾率。歸一化要求有a2
b
1。引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材P290-293的例題1-3。例:教材P294例4。(只講思路,不講計(jì)算細(xì)節(jié)) 求S Sn的本征函數(shù)和本征值。求該本征態(tài)中n
的可能值、相應(yīng)幾率和z平均值。解:
S
cos
cosicos。n 2cosicos cos 本征值方程為
a。由久期方程
Sn 2cos
cosicos
0 1~S
b。bcosicos cos n 2cosicos將1代入方程求a,得
1cos b1 1 1cos2由歸一化條件1cos2
。于是有1cos2cos1cos2 1cos 。1 1 同理得1cos2cos1cos2 1cos 。1 1將 用 , 展開 12 211coscosicos2 1cos
1 1cos
0
1 00 0
12 12
B ,0 0 A2cos2 ~S 的幾率;B2sin2 ~S 的幾率。于是有2 z 2 2 z 2 S cos2 sin2 cos 。z 2 2 2 2 2同理討論的相關(guān)問題。作業(yè):作業(yè):8.2、2,3,4,6。8.3 泡利方程磁共振r(重點(diǎn)講清思路,不推導(dǎo)細(xì)節(jié))一、考慮自旋后的電子波函數(shù)r將用
展開,系數(shù)為t
r)
(r) ((
)
(r) (S)
1 。1 12 z
2 2
(r)2二、考慮自旋后的力學(xué)量算符2F F 一般形式: F
12。三、泡利方程
F F21 22將有電磁場的S-方程推廣到包含自旋的情況。 e
自旋磁矩 MS
SHS
MS
BM
BB p2 e e2
H Ap A22 2
eU(r)MBBit
H,
HE~ 泡利方程。四、用分離變量法求解泡利方程 令HH0
, (,SrHS rH
,t)(,t)(Srzr
,t)rr(,t) rri Ht 0
(,t),
(Sztz
,t) HS
(Sz
,t)。設(shè)a(t):
a(t)
a(t) a)Ea~定態(tài)。b(t) b(t)
HSb(t)HS
b
r(關(guān)于t前面已經(jīng)討論,本章注意力在自旋問題)r五、順磁共振和核磁共振 1B0
Be0
中的運(yùn)動(dòng): E
M B B 0 12
10H S
BB z
0E M B B 0 1
1[HS
,S]0~ Sz
守恒,電子的自旋狀態(tài)要發(fā)生變化(高能態(tài)E
低能態(tài)E ),必然要與外界交換能量。2B1
B:000
B Beit11H S
(BB 1
cos1
tB1
sin1
tB0
)M
1 。1B Beit B11 0令 M B0 B
, B B1 0da(t)
1,由 B
Beita(t)1111i M
1 0dtb(t)0
B Bei1
B b(t)可得 a(t)1
cost2
sint)ei 2) 2)2220 1 02b(t)(1
cost2
sint)e2 , 。3、電子自旋共振:若t=0時(shí),電子處于自旋向下態(tài),即
it 0 a(t) i
sinte21
, ab1(S
,t)
。
1
z b(t)
it(costi當(dāng)外場2M B (稱為拉莫頻率)時(shí),有1 0 B 0
0 1sint)e212 M
iMBtisin(
B 1t)e
B01(S
,t)
。z M B cos( B
t)eiMBB0t 此式表明,當(dāng)t
(nM BB 1
1, n1,自旋2向下的幾率為0。比較: t0 → t
(nM BB 1
1)21
→ 1
z軸反轉(zhuǎn),能級(jí)躍遷。 E → E 可見,在半周期t
2M BB
: E EE
,與外界交換能量E2M B。B 0這種在靜磁場作用下電子的磁能級(jí)分裂,共振吸收和共振發(fā)射的現(xiàn)象稱為電子自旋共振。可用類似的方法討論核磁共振(自學(xué)教材或參考有關(guān)文獻(xiàn))。8.4角動(dòng)量算符的基本性質(zhì)(一般性討論~代數(shù)法的實(shí)例)
一、角動(dòng)量算符的定義式: J二、角動(dòng)量算符的本征值譜
J, JJiJ, J2
J2x
Jy
J2。z設(shè) J21、引入新算符
,m 2
,m,
,m m,m ?m?zJJ iJ ,JJJ11xy (Jx2J ),J (Jy2iJ )一系列對(duì)易關(guān)系~見教材P307(9)(10)(11)。由此可得 2Jz
J2的本征值為m
J J
J2Jz zm的上限為則jmj。②相鄰的m1: [ ,
]
,m (
),m (m
,m。J J Jz
JJ J J J Jz z 可見J
mJz
的本征矢,本征值為(m,即有J ,m C()
,m1。同理有
,m C()
m1 。 J m, mjjj,j ~(2j個(gè)。zJ2j(j2為的最大值,
,j C()j
,j10 將J 作用于
,j 0,并利用J J
J2J2J ,有z z 0J
J ,j (J
JzJz
),j (j2j)2,j,j
j(j
J2 j,m
j(j
2
j,m, Jz
j,m
j,m的取值范圍:mN個(gè)值,且已知N2j1jN1,2可見,j取零、整數(shù)和半整數(shù)。如軌道角動(dòng)量j=l,電子自旋角動(dòng)量j12。 三、J2,J 表象中角動(dòng)量的矩陣表示z 已知 j,mJ2
j,m j(j
jj
,mm
j,mJz
j,m
jj
。mm問題:由
j,
mJx
j,m ?,
j,
mJy
j,m ?J j,m C()jm
j,m1 (1)J j,m C()jm
j,m1 (2) j,mJ
j,m C()m
jj
m,m1J 的非零矩陣元為j,m1J對(duì)(1)式兩邊取共軛:
j,m C(),jm
C()?jmj,mJ
C()*jm
j,m1,兩邊同乘以(1)式: C()jm
j,mJ J
j,m j,mJ
Jz
Jz
j,m (jm)(jm2,取實(shí)部C()jm
(jm)(jmJ
jm jmjmjm1。非零矩陣元取共軛
j,m1J
j,m (jm)(jm,
j,mJ
jm1 jmjm。JJx y
與J 的關(guān)系,得到非零矩陣元: ( (jm)(jm2j,m1Ji2i2(jm)(jm
j,m ,j,m1Jy
jm 。作業(yè)作業(yè):習(xí)題8.3、1,2,4;習(xí)題8.4、3。8.5兩個(gè)角動(dòng)量的相加一、總角動(dòng)量算符及其對(duì)易關(guān)系
JJ1
J, [J,J2 1
]J
Jx
Jy
Jz
(J1
J)22
J1
J2
2J1
J 。2 [J2,J][J2,J2][Ji
J2i2。z, i二、總角動(dòng)量的本征值與本征矢1、無耦合表象與耦合表象 無耦合表象:以(J2J1 1z
,J2,J2 2
)的共同本征態(tài)為基矢,記j m1 1
j m ,有2 2J2 j m1 1 1
j m j(j2 2 1
1)2 j m j m1 1 2 2J j m j m mj m j m1z 1 1 2
1 1 1 2 2J2 j m2 1 1
j m j(j2 2 2
1)2 j m j m1 1 2 2J j m2z 1 1
j m mj m j m2 2 2 1 1 2 2 耦合表象:以(J2J2J2J
)的共同本征態(tài)為基矢,記j
jm,有1J2 j
2 zjm j(
1 21)2 j j jm1 1 2 1 1 1 2J2 j j2 1 2
jm j(j2 2
1)2 j j jm1 2J2 j j1 2
jm j(j 1)2 j j jm1 2J j jz 1 2
jm j j jm1 22、兩種表象基矢之間的關(guān)系~C-G系數(shù)將j j1 2
jm用{j m1 1
j m }展開 ~給定j,j:2 2 1 2j j jm 1 2
j m1 m,m
j m j m2 2 1
j m j j jm2 2 1 21 2j m j m j j1 1 2 2 1
jm ~C-G系數(shù),它是由“無耦合表象”到“耦合表象”的么正矩陣元。只要知道了C-G系數(shù),就可以建立起兩種基矢的關(guān)系。*三、C-G系數(shù)的求法及應(yīng)用1、C-G系數(shù)不為零的條件(我們只給出結(jié)果,證明見教材)①mm1
m;②jj2 1
jj1
j 。22、C-G系數(shù)的計(jì)算,C-G系數(shù)表(計(jì)算非常復(fù)雜,實(shí)用中可直接查表~略)。*8.6光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)
SL耦合:H(r)LS能級(jí)分裂~精細(xì)結(jié)構(gòu)(同樣的n,l,能級(jí)有兩個(gè)。*8.7 復(fù)雜反常塞曼效應(yīng) 弱磁場中:H(r)LS分裂數(shù)不是三個(gè),間隔也不盡相同。~復(fù)雜(反常)塞曼效應(yīng)8.8 自旋單態(tài)與三重一、總自旋角動(dòng)量及其對(duì)易關(guān)系
SS1
S, [S,S2 1
]S
S2x
Sy
Sz
(S1
S)22
S21
S2
2S1
S。2 [S2,Si
ix,y,z。1
1 1 3對(duì)于電子,s S
S2 ( 2 2。2
1 2 2 2 4二、S2,S 的共同本征態(tài)z 取{S ,S1z 2z
}為力學(xué)量完全集:S (S )1z 12 1z
(S ),2 12 1z
S (S1z 2
)2
(S ),2 1zS (S )2z 12 2z
(S ),2 12 2z
S (S2z 2 2
)2
(S 。2 2z S ,S1z 2
的共同本征態(tài)有4個(gè):(1) (S ) (S ), (2) (S ) (S ),12 1z 12 2z 2 1z 2 2z(3) (S ) (S ), (4) (S ) (S 。12 1z 2 2z 2 1z 12 2z 取S2Sz
}為力學(xué)量完全集,顯然(2(3(4)Sz
的本征態(tài),本征值分別為,,0,0。問題是,它們是否是S2的本征矢?(2)是S2的本征矢。證:
S2
(S1
S2
2S S1x 2
2S S1y 2
2S S1z 2
) (S12
) (S )12 2z3
(2 22 )2(S S S
)
) (S 。4 4 1x 2
1y 2
12
12 2z而
(S )
0 11
0 (S ),Six 12
21 00 21 2
2 iz S (S )iy 12 iz
0 i1i0ii 0i 0 0 2 2 2
(S ),2 iz (
)
)
)(2
2)
)
)0。S S1x 2
S S1y 2
12
12 2
4 4 2
2 2zS2
22)。同理可證明
2(2)
22(2)。 由S2
s(s
2
s1,記S2Sz
的共同本征態(tài)為
,則SmS 11
(2)(3)(4)不是S2的本征矢(自證)。但可以把Sz
0的這兩個(gè)本征態(tài)疊加,構(gòu)成S2的本征態(tài): 0c c 1令c(3)c(4),要求S22,可得 3 4 。3 4 2c c 13 4 1 ((3)
(4))1 00 221由歸一化條件 1c c →213 422
((3)(4))小結(jié)列表SS2S 的共同本征態(tài)zSmSmSS(1)S(S ) (S )1112 1z 12 2z(3) 1[S212 1z 2 2z(S )(S )2 1z 12 2z(S )(S )]10三重態(tài)(對(duì)稱)(2)S2 1z 2 2z(S )(S )1-1 1[2(S )(S )(S ) (S )]00A12 1z 2 2z2 1z 12 2z單態(tài)(反對(duì)稱)作業(yè)作業(yè):8.5、4,5;8.8、1,2,3。第九章全同粒子第九章全同粒子全同性原理 全同粒子體系的波函數(shù)一、全同粒子與全同性原理全同粒子:固有(內(nèi)稟)性質(zhì)(質(zhì)量,電荷,自旋,……)完全相同的粒子。量子力學(xué)中,全同粒子不可區(qū)分(經(jīng)典~可用軌道區(qū)分)→全同性原理:在全同粒子中,兩全同粒子相互交換不改變體系的狀態(tài)在全同粒子中,兩全同粒子相互交換不改變體系的狀態(tài)“全同性”不只是一個(gè)抽象的概念,它是一個(gè)可觀測量~見后面的討論。(在量子力學(xué)中的粒子,要么“全同”,要么“很不同”。)二、H的交換對(duì)稱性 交換算符P P: PH(r,r)H(r,r)PH...)H...)。12 ij
12 1 2
2 1 ij i j j i對(duì)兩粒子體系,如氦原子中的兩個(gè)電子:p 2 2e2 2 2e2 e2pprrs1 2H(r,r) 1 s 2 rrs1 21 2 2 r1
2 r2 顯然 ( , )
( ,
),具有交換不變性~交換對(duì)稱性。PHr r12 1
Hr r1 2推廣到一般情況~N個(gè)全同粒子組成的體系,H具有交換不變性~交換對(duì)稱 性→[P,H]0 P 是一個(gè)守恒算符。ij ij三、波函數(shù)的交換性設(shè)(q...q...q...q ,t)描述N個(gè)全同粒子組成的體系1 i j NP(qP
,t)(q...q...q...q
,t)。ij 1 i j
1 j i N由全同性原理知P與描述同一狀態(tài),即ij PP2ij ij ij。P ij即交換對(duì)稱性→全同粒子體系的波函數(shù)對(duì)粒子交換具有一定對(duì)稱性:1 ~對(duì)稱波函數(shù)1反對(duì)稱波函數(shù)。P 守恒→這種對(duì)稱性不隨時(shí)間而變化。ij四、波函數(shù)的交換對(duì)稱性決定于粒子的自旋實(shí)驗(yàn)表明: 自旋為的半整數(shù)倍~費(fèi)米子→波函數(shù)是反對(duì)稱的自旋為的整數(shù)倍~玻色子→波函數(shù)是對(duì)稱的。五、全同費(fèi)米體系的波函數(shù)泡利不相容原理先以兩粒子為例~忽略相互作用,如何由單粒子波函數(shù)構(gòu)成體系的波函數(shù)? HH0
(q)H1
(q)2H(q)0 1 k
(q)k
(q2
H(q0 2
(q)k
(q)2H(qH
1 1 1,q)E(q,q)
2 2 21 2 1 2(q,q1 2
)k1
(q1 k2
(q), (q2
,q)k1
(qk2
(q), Ek1
.k2~有交換簡并。問題:能用作為體系波函數(shù)嗎?否!不滿足反對(duì)稱要求,必須反對(duì)稱化:12 (q,12A 1
)(q2
,q)] 121 121
(qk2
(q)k1
(q2 k2
(q)]1 1
(q) 1
(q)221(q) k2 1
1(q)k2 2若兩粒子處于同一狀態(tài),即k1k2A0 ~ 泡利不相容原理(1925)。可推廣到個(gè)粒子組成的體系~應(yīng)用將采用“二次量子化”~用“粒子數(shù)表象”。因全同粒子體系~只數(shù)“數(shù)”,不標(biāo)粒子坐標(biāo)(不可區(qū)分)六、全同玻色子體系的波函數(shù)以兩粒子為例~波函數(shù)要對(duì)稱化。1、當(dāng)k1
k時(shí):2
(q,q1
)k
(q
(q)。22、當(dāng)k1
k 時(shí): 22 S2
(qk 1 k1
(q)k1
(q)2
(q)]。1推廣到個(gè)粒子體系的波函數(shù)請(qǐng)自學(xué)教材(略講)~七、全同粒子體系的總波函數(shù)忽略自旋-軌道耦合: (r,S ;r,S1 1z 2 2
;...;,SrN r
),...,( r r ( r r
)(S S S 。1z 2z Nz總波函數(shù)空間波函數(shù)總波函數(shù)空間波函數(shù)自旋波函數(shù)費(fèi)米子反對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱反對(duì)稱對(duì)稱玻色子對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱對(duì)稱反對(duì)稱對(duì)二電子體系,總波函數(shù)的四種形式見教材P345。引導(dǎo)同學(xué)們自學(xué)教材中的例題~重點(diǎn)是P349 例2~如何構(gòu)成總波函數(shù)。例:9.1、5~解:①?zèng)]有交換對(duì)稱性。kr kkr k
(k,k12(k,k12)3
1 ei)。12令12 r r r
1 (R r(
1(
k),
Kk
k,krk1 2 2 1 2 2krk 上式可化成~ eiKRik
,略去與本題無關(guān)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)部分,相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分的波函數(shù)為
1)32
eikr→在(r,rdr)的球殼中找到另一個(gè)粒子的幾率為4r2Pr2dr
2d 4r2dr P1
~幾率密度。k②交換反對(duì)稱波函數(shù)。
P R Rr,12這樣,反對(duì)稱的相對(duì)運(yùn)動(dòng)波函數(shù)可表為11)32i2)322AP2k
) r
sinkr)。由此可算出 PA
1
sin2k)]。2kr③交換對(duì)稱波函數(shù)。類似可以求得1(2)1(2)32
1 sin2k)2SP2k 12
)
PS2kr作業(yè):作業(yè):、1,24氦原子 仲氦和正氦(應(yīng)用實(shí)例分子的形成一、H:p2 2e2 p2 2e2 e2H H 0
1 s 2 s s。2 r 2 r r1 2 12
的本征值和本征函數(shù):0)E1 1 2
))1 n 2
~已知的單粒子波函數(shù)。m n ) )) n i2 1 2 n 1 m 2三、零級(jí)近似波函數(shù)
) ,S 1 2 m 1 m 2S
1((r)2m 12
2
m 2
n 1
,1 (0)A
(r2m 1 2
(r)
(r2
(r))(0)。1 四、基態(tài)能級(jí)的計(jì)算 8 2(rr)(0)(r,
)
(r
(r)
ea 1 2,0 1
100
100
a3 0E
(0)*H(0)d
05e4 s,0 0
1 2 424e4 5e4E E(0)0 0
E(1)0
s H2 H
74.83eV。實(shí)驗(yàn):E0
78.98eV5.3﹪(
并不太小)。用變分法計(jì)算E0
,誤差1.9﹪。五、激發(fā)態(tài)能級(jí)的計(jì)算(只講思路)m≠nEn
(0)n
H(0) 有nE
(0)*H(0)d
A, (“+”~對(duì)稱;“-”~反對(duì)稱)
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