「量子力學(xué)講義第8、9、10章」

第三篇對稱性與不變性第三篇對稱性與不變性對稱性的重要意義：伽利略變換下的不變性→牛頓力學(xué)的基石之一。洛侖茲變換下的不變性→相對論的基石之一。對稱性←→守恒律（量)21世紀(jì)的重大問題之一:理論越來越對稱，實(shí)驗(yàn)越來越多地發(fā)現(xiàn)不對稱~“矛盾”?!(參見李政道《物理學(xué)的挑戰(zhàn)》)本篇主要內(nèi)容:１、轉(zhuǎn)動對稱性問題～自旋與角動量;２、粒子交換對稱性問題~全同粒子問題;3、時空交換對稱性問題~對稱性與守恒律問題。第八章自旋與角動量第八章自旋與角動量８．１電子自旋1925年實(shí)驗(yàn)提出→1928自旋～一、關(guān)于自旋的實(shí)驗(yàn)事實(shí)(原子物理已討論)①納黃線的精細(xì)結(jié)構(gòu)；②復(fù)雜(反常）塞曼效應(yīng)；③斯特恩－蓋拉赫實(shí)驗(yàn)?！鸀榱私忉寣?shí)驗(yàn)現(xiàn)象,引入新的自由度（在內(nèi)稟空間中)。二、烏倫貝克-哥德斯密特假設(shè)1、每個電子具有自旋角動量S,它在空間任何方向上(z軸)的投影只能取兩個值Sz

。2 2

與自旋角動量S的關(guān)系為S e e eMSS, MSzSz2

M 。B自旋磁矩與自旋角動量的比值稱電子自旋的回轉(zhuǎn)磁比率：gMSzegS z

e, g2

2 ~朗德因子。與軌道角動量的回轉(zhuǎn)比率比較：MLz

e g e ,

1~ 朗德因子,

2g 。L z

L2

L

S L 注意:軌道角動量有經(jīng)典對應(yīng)~ LrpLrp，自旋角動量沒有經(jīng)典對應(yīng)。如果設(shè)想為經(jīng)典自轉(zhuǎn)→違背相對論。自旋是內(nèi)稟自由度（對經(jīng)典講，是全新的概念)8．２自旋算符與自旋波函數(shù)問題:自旋算符如何定義?自旋如何描述?基本思路~由對易關(guān)系定義算符。(無經(jīng)典對應(yīng))

已知“軌道”：JJiJ[J,x

]iJy

,[J

,J]y z

,[J,Jx z

]iJ 。ySSSiS[S,S ]iS,[S,S]iS,[S,S] x y z y z x z x y [S2,Sx

][S2,Sy

][S2,Sz

]0 2 2實(shí)驗(yàn)表明

, S , S S2S2S2 S2 。x 2 y 2 z 2 x y z 4 4類比： J2j(j2, jj~角量子數(shù)。有 S

s(s

24

, s1/2~自旋量子數(shù)。二、泡利算符的對易關(guān)系及泡利算符的本征值SS2i,],,],,]x y z y z x z x y 2x

y

z

2221x y z x y zI。 ,},,},},,},,}x y y z z x易知 三、自旋算符在{S2

}表象的矩陣表示z 1 0 1 0S Sz z

Sz 0

。z現(xiàn)在求

2, :

2 1令 a b

0 1 x y

c da* c* a b a b①: a*a,d*db*c 。x x b* d*

c d

x b* d②{}0:z, x0

1 0a b a

b1 0

2a 0 z x

z0

** 1b

d b d0 1

0 2d 0 b ad0 。 1 0

b

x b* 0b b2 0③

I:

bei，x 0 1

b* 0b*

0

b2取最簡形式

0，有

0 1。 ④ y

1z

x

0 i)i 0。 這樣自旋算符的矩陣表示就全部求出:S S x2110,S y2ii0,S z2001相應(yīng)的泡利矩陣為:01,0 i, 10x10yi 0z01

a S-表象Sz

2 12

, Sb b

2

b2 bS有 Sz 12

,2 12

Sz

2

即121 0

a 0

1 b 1 b

a ei,b 0， 1 0

a 0

1 b 1 b

a b

ei。1 0取0有 12

0 0

12

1 1

12

12

0,

12 1

12

1，構(gòu)成正交歸一完備集。任一自旋波函數(shù)可以展開成a(Sz

)a12

。b2 ba2~b2~電子自旋向下的幾率。歸一化要求有a2

b

1。引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)教材P29０－２93的例題１-3。例：教材P29４例4。（只講思路,不講計(jì)算細(xì)節(jié)） 求S Sn的本征函數(shù)和本征值。求該本征態(tài)中n

的可能值、相應(yīng)幾率和z平均值。解：

S

cos

cosicos。n 2cosicos cos 本征值方程為

a。由久期方程

Sn 2cos

cosicos

0 1~S

b。bcosicos cos n 2cosicos將1代入方程求a,得

1cos b1 1 1cos2由歸一化條件1cos2

。于是有1cos2cos1cos2 1cos 。1 1 同理得1cos2cos1cos2 1cos 。1 1將 用 , 展開 12 211coscosicos2 1cos

1 1cos

0

1 00 0

12 12

B ，0 0 A2cos2 ~S 的幾率;B2sin2 ~S 的幾率。于是有2 z 2 2 z 2 S cos2 sin2 cos 。z 2 2 2 2 2同理討論的相關(guān)問題。作業(yè)：作業(yè)：8.2、2,３,4,６。8.3 泡利方程磁共振r(重點(diǎn)講清思路，不推導(dǎo)細(xì)節(jié)）一、考慮自旋后的電子波函數(shù)r將用

展開,系數(shù)為t

r)

(r) ((

)

(r) (S)

1 。1 12 z

2 2

(r)2二、考慮自旋后的力學(xué)量算符2F F 一般形式： F

12。三、泡利方程

F F21 22將有電磁場的S-方程推廣到包含自旋的情況。 e

自旋磁矩 MS

SHS

MS

BM

BB p2 e e2

H Ap A22 2

eU(r)MBBit

H,

HE～ 泡利方程。四、用分離變量法求解泡利方程 令HH0

, (,SrHS rH

,t)(,t)(Srzr

,t)rr(,t) rri Ht 0

(,t),

(Sztz

,t) HS

(Sz

,t)。設(shè)a(t):

a(t)

a(t) a)Ea～定態(tài)。b(t) b(t)

HSb(t)HS

b

r（關(guān)于t前面已經(jīng)討論，本章注意力在自旋問題)r五、順磁共振和核磁共振 1B0

Be0

中的運(yùn)動: E

M B B 0 12

10H S

BB z

0E M B B 0 1

1[HS

,S]0~ Sz

守恒,電子的自旋狀態(tài)要發(fā)生變化(高能態(tài)E

低能態(tài)E ）,必然要與外界交換能量。2B1

B：000

B Beit11H S

(BB 1

cos1

tB1

sin1

tB0

)M

1 。1B Beit B11 0令 M B0 B

, B B1 0da(t)

1，由 B

Beita(t)1111i M

1 0dtb(t)0

B Bei1

B b(t)可得 a(t)1

cost2

sint)ei 2) 2)2220 1 02b(t)(1

cost2

sint)e2 , 。３、電子自旋共振：若ｔ=0時,電子處于自旋向下態(tài),即

it 0 a(t) i

sinte21

, ab1(S

,t)

。

1

z b(t)

it(costi當(dāng)外場2M B （稱為拉莫頻率)時,有1 0 B 0

0 1sint)e212 M

iMBtisin(

B 1t)e

B01(S

,t)

。z M B cos( B

t)eiMBB0t 此式表明,當(dāng)t

(nM BB 1

1, n1,自旋2向下的幾率為0。比較: t0 → t

(nM BB 1

1)21

→ 1

ｚ軸反轉(zhuǎn),能級躍遷。 E → E 可見，在半周期t

2M BB

: E EE

，與外界交換能量E2M B。B 0這種在靜磁場作用下電子的磁能級分裂,共振吸收和共振發(fā)射的現(xiàn)象稱為電子自旋共振?？捎妙愃频姆椒ㄓ懻摵舜殴舱?自學(xué)教材或參考有關(guān)文獻(xiàn)）。8.４角動量算符的基本性質(zhì)（一般性討論~代數(shù)法的實(shí)例)

一、角動量算符的定義式: J二、角動量算符的本征值譜

J, JJiJ, J2

J2x

Jy

J2。z設(shè) J2１、引入新算符

,m 2

,m,

,m m,m ?m?zJJ iJ ,JJJ11xy (Jx2J ),J (Jy2iJ )一系列對易關(guān)系~見教材Ｐ3０7（9)（10）(11)。由此可得 2Jz

J2的本征值為m

J J

J2Jz zm的上限為則jmj。②相鄰的m1: [ ,

]

,m (

),m (m

,m。J J Jz

JJ J J J Jz z 可見J

mJz

的本征矢,本征值為(m,即有J ,m C()

,m1。同理有

,m C()

m1 。 J m, mjjj,j ~(2j個。zJ2j(j2為的最大值，

,j C()j

,j10 將J 作用于

,j 0,并利用J J

J2J2J ,有z z 0J

J ,j (J

JzJz

),j (j2j)2,j,j

j(j

J2 j,m

j(j

2

j,m, Jz

j,m

j,m的取值范圍:mN個值,且已知N2j1jN1，2可見,j取零、整數(shù)和半整數(shù)。如軌道角動量ｊ=l，電子自旋角動量j12。 三、J2,J 表象中角動量的矩陣表示z 已知 j,mJ2

j,m j(j

jj

,mm

j,mJz

j,m

jj

。mm問題：由

j,

mJx

j,m ?,

j,

mJy

j,m ?J j,m C()jm

j,m1 (1）J j,m C()jm

j,m1 （2) j,mJ

j,m C()m

jj

m,m1J 的非零矩陣元為j,m1J對（１)式兩邊取共軛:

j,m C(),jm

C()?jmj,mJ

C()*jm

j,m1，兩邊同乘以（1)式： C()jm

j,mJ J

j,m j,mJ

Jz

Jz

j,m (jm)(jm2，取實(shí)部C()jm

(jm)(jmJ

jm jmjmjm1。非零矩陣元取共軛

j,m1J

j,m (jm)(jm,

j,mJ

jm1 jmjm。JJx y

與J 的關(guān)系,得到非零矩陣元: ( (jm)(jm2j,m1Ji2i2(jm)(jm

j,m ,j,m1Jy

jm 。作業(yè)作業(yè):習(xí)題８.3、1，２,4;習(xí)題8.4、3。8.5兩個角動量的相加一、總角動量算符及其對易關(guān)系

JJ1

J, [J,J2 1

]J

Jx

Jy

Jz

(J1

J)22

J1

J2

2J1

J 。2 [J2,J][J2,J2][Ji

J2i2。z, i二、總角動量的本征值與本征矢１、無耦合表象與耦合表象 無耦合表象：以(J2J1 1z

,J2,J2 2

)的共同本征態(tài)為基矢，記j m1 1

j m ,有2 2J2 j m1 1 1

j m j(j2 2 1

1)2 j m j m1 1 2 2J j m j m mj m j m1z 1 1 2

1 1 1 2 2J2 j m2 1 1

j m j(j2 2 2

1)2 j m j m1 1 2 2J j m2z 1 1

j m mj m j m2 2 2 1 1 2 2 耦合表象:以(J2J2J2J

)的共同本征態(tài)為基矢,記j

jm，有1J2 j

2 zjm j(

1 21)2 j j jm1 1 2 1 1 1 2J2 j j2 1 2

jm j(j2 2

1)2 j j jm1 2J2 j j1 2

jm j(j 1)2 j j jm1 2J j jz 1 2

jm j j jm1 22、兩種表象基矢之間的關(guān)系~C-Ｇ系數(shù)將j j1 2

jm用{j m1 1

j m }展開 ~給定j,j：2 2 1 2j j jm 1 2

j m1 m,m

j m j m2 2 1

j m j j jm2 2 1 21 2j m j m j j1 1 2 2 1

jm ～C-Ｇ系數(shù),它是由“無耦合表象”到“耦合表象”的么正矩陣元。只要知道了C-G系數(shù)，就可以建立起兩種基矢的關(guān)系。*三、C-G系數(shù)的求法及應(yīng)用1、C－G系數(shù)不為零的條件（我們只給出結(jié)果，證明見教材）①mm1

m;②jj2 1

jj1

j 。2２、Ｃ-Ｇ系數(shù)的計(jì)算，C－G系數(shù)表(計(jì)算非常復(fù)雜,實(shí)用中可直接查表～略)。*8.6光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)

SL耦合：H(r)LS能級分裂~精細(xì)結(jié)構(gòu)（同樣的n,l，能級有兩個。*８.7 復(fù)雜反常塞曼效應(yīng) 弱磁場中:H(r)LS分裂數(shù)不是三個,間隔也不盡相同。~復(fù)雜（反常）塞曼效應(yīng)８.8 自旋單態(tài)與三重一、總自旋角動量及其對易關(guān)系

SS1

S, [S,S2 1

]S

S2x

Sy

Sz

(S1

S)22

S21

S2

2S1

S。2 [S2,Si

ix,y,z。1

1 1 3對于電子,s S

S2 ( 2 2。2

1 2 2 2 4二、S2,S 的共同本征態(tài)z 取｛S ,S1z 2z

}為力學(xué)量完全集：S (S )1z 12 1z

(S ),2 12 1z

S (S1z 2

)2

(S )，2 1zS (S )2z 12 2z

(S ),2 12 2z

S (S2z 2 2

)2

(S 。2 2z S ,S1z 2

的共同本征態(tài)有4個：(1) (S ) (S ), (2) (S ) (S )，12 1z 12 2z 2 1z 2 2z(3) (S ) (S ), (4) (S ) (S 。12 1z 2 2z 2 1z 12 2z 取S2Sz

}為力學(xué)量完全集,顯然(2(3(4)Sz

的本征態(tài),本征值分別為,,0,0。問題是，它們是否是S2的本征矢?(2)是S2的本征矢。證:

S2

(S1

S2

2S S1x 2

2S S1y 2

2S S1z 2

) (S12

) (S )12 2z3

(2 22 )2(S S S

)

) (S 。4 4 1x 2

1y 2

12

12 2z而

(S )

0 11

0 (S )，Six 12

21 00 21 2

2 iz S (S )iy 12 iz

0 i1i0ii 0i 0 0 2 2 2

(S )，2 iz (

)

)

)(2

2)

)

)0。S S1x 2

S S1y 2

12

12 2

4 4 2

2 2zS2

22)。同理可證明

2(2)

22(2)。 由S2

s(s

2

s1，記S2Sz

的共同本征態(tài)為

,則SmS 11

(2)(3)(4)不是S2的本征矢(自證）。但可以把Sz

0的這兩個本征態(tài)疊加,構(gòu)成S2的本征態(tài): 0c c 1令c(3)c(4),要求S22，可得 3 4 。3 4 2c c 13 4 1 ((3)

(4))1 00 221由歸一化條件 1c c →213 422

((3)(4))小結(jié)列表SS2S 的共同本征態(tài)zSmSmSS(1)S(S ) (S )１112 1z 12 2z(3) 1[S212 1z 2 2z(S )(S )2 1z 12 2z(S )(S )]10三重態(tài)（對稱)(2)S2 1z 2 2z(S )(S )１-１ 1[2(S )(S )(S ) (S )]０0A12 1z 2 2z2 1z 12 2z單態(tài)(反對稱)作業(yè)作業(yè):8.5、4,5;8.8、1，2,３。第九章全同粒子第九章全同粒子全同性原理 全同粒子體系的波函數(shù)一、全同粒子與全同性原理全同粒子:固有（內(nèi)稟）性質(zhì)（質(zhì)量,電荷,自旋,……）完全相同的粒子。量子力學(xué)中，全同粒子不可區(qū)分（經(jīng)典～可用軌道區(qū)分)→全同性原理:在全同粒子中，兩全同粒子相互交換不改變體系的狀態(tài)在全同粒子中，兩全同粒子相互交換不改變體系的狀態(tài)“全同性”不只是一個抽象的概念，它是一個可觀測量~見后面的討論。(在量子力學(xué)中的粒子,要么“全同”,要么“很不同”。）二、H的交換對稱性 交換算符P P: PH(r,r)H(r,r)PH...)H...)。12 ij

12 1 2

2 1 ij i j j i對兩粒子體系，如氦原子中的兩個電子：p 2 2e2 2 2e2 e2pprrs1 2H(r,r) 1 s 2 rrs1 21 2 2 r1

2 r2 顯然 ( , )

( ,

),具有交換不變性~交換對稱性。PHr r12 1

Hr r1 2推廣到一般情況~Ｎ個全同粒子組成的體系，H具有交換不變性~交換對稱 性→[P,H]0 P 是一個守恒算符。ij ij三、波函數(shù)的交換性設(shè)(q...q...q...q ,t)描述N個全同粒子組成的體系1 i j NP(qP

,t)(q...q...q...q

,t)。ij 1 i j

1 j i N由全同性原理知P與描述同一狀態(tài),即ij PP2ij ij ij。P ij即交換對稱性→全同粒子體系的波函數(shù)對粒子交換具有一定對稱性：1 ~對稱波函數(shù)1反對稱波函數(shù)。P 守恒→這種對稱性不隨時間而變化。ij四、波函數(shù)的交換對稱性決定于粒子的自旋實(shí)驗(yàn)表明: 自旋為的半整數(shù)倍~費(fèi)米子→波函數(shù)是反對稱的自旋為的整數(shù)倍～玻色子→波函數(shù)是對稱的。五、全同費(fèi)米體系的波函數(shù)泡利不相容原理先以兩粒子為例~忽略相互作用,如何由單粒子波函數(shù)構(gòu)成體系的波函數(shù)? HH0

(q)H1

(q)2H(q)0 1 k

(q)k

(q2

H(q0 2

(q)k

(q)2H(qH

1 1 1,q)E(q,q)

2 2 21 2 1 2(q,q1 2

)k1

(q1 k2

(q), (q2

,q)k1

(qk2

(q), Ek1

.k2～有交換簡并。問題:能用作為體系波函數(shù)嗎?否!不滿足反對稱要求,必須反對稱化：12 (q,12A 1

)(q2

,q)] 121 121

(qk2

(q)k1

(q2 k2

(q)]1 1

(q) 1

(q)221(q) k2 1

1(q)k2 2若兩粒子處于同一狀態(tài),即k1k2A0 ~ 泡利不相容原理(1９25）?？赏茝V到個粒子組成的體系~應(yīng)用將采用“二次量子化”~用“粒子數(shù)表象”。因全同粒子體系~只數(shù)“數(shù)”,不標(biāo)粒子坐標(biāo)（不可區(qū)分)六、全同玻色子體系的波函數(shù)以兩粒子為例～波函數(shù)要對稱化。1、當(dāng)k1

k時:2

(q,q1

)k

(q

(q)。22、當(dāng)k1

k 時: 22 S2

(qk 1 k1

(q)k1

(q)2

(q)]。1推廣到個粒子體系的波函數(shù)請自學(xué)教材（略講)~七、全同粒子體系的總波函數(shù)忽略自旋-軌道耦合： (r,S ;r,S1 1z 2 2

;...;,SrN r

),...,( r r ( r r

)(S S S 。1z 2z Nz總波函數(shù)空間波函數(shù)總波函數(shù)空間波函數(shù)自旋波函數(shù)費(fèi)米子反對稱對稱反對稱反對稱對稱玻色子對稱對稱反對稱對稱反對稱對二電子體系，總波函數(shù)的四種形式見教材Ｐ3４5。引導(dǎo)同學(xué)們自學(xué)教材中的例題~重點(diǎn)是P３49 例2～如何構(gòu)成總波函數(shù)。例：9.1、5~解:①沒有交換對稱性。kr kkr k

(k,k12(k,k12)3

1 ei)。12令12 r r r

1 (R r(

1(

k),

Kk

k,krk1 2 2 1 2 2krk 上式可化成~ eiKRik

,略去與本題無關(guān)的質(zhì)心運(yùn)動部分，相對運(yùn)動部分的波函數(shù)為

1)32

eikr→在(r,rdr)的球殼中找到另一個粒子的幾率為4r2Pr2dr

2d 4r2dr P1

~幾率密度。k②交換反對稱波函數(shù)。

P R Rr,12這樣，反對稱的相對運(yùn)動波函數(shù)可表為11)32i2)322AP2k

) r

sinkr)。由此可算出 PA

1

sin2k)]。2kr③交換對稱波函數(shù)。類似可以求得1(2)1(2)32

1 sin2k)2SP2k 12

)

PS2kr作業(yè)：作業(yè)：、1,24氦原子 仲氦和正氦（應(yīng)用實(shí)例分子的形成一、H：p2 2e2 p2 2e2 e2H H 0

1 s 2 s s。2 r 2 r r1 2 12

的本征值和本征函數(shù)：0)E1 1 2

))1 n 2

~已知的單粒子波函數(shù)。m n ) )) n i2 1 2 n 1 m 2三、零級近似波函數(shù)

) ,S 1 2 m 1 m 2S

1((r)2m 12

2

m 2

n 1

，1 (0)A

(r2m 1 2

(r)

(r2

(r))(0)。1 四、基態(tài)能級的計(jì)算 8 2(rr)(0)(r,

)

(r

(r)

ea 1 2,0 1

100

100

a3 0E

(0)*H(0)d

05e4 s,0 0

1 2 424e4 5e4E E(0)0 0

E(1)0

s H2 H

74.83eV。實(shí)驗(yàn)：E0

78.98eV5．3﹪（

并不太小)。用變分法計(jì)算E0

,誤差1.9﹪。五、激發(fā)態(tài)能級的計(jì)算（只講思路）m≠ｎEn

(0)n

H(0) 有nE

(0)*H(0)d

A， （“+”~對稱;“-”~反對稱)