高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題

高中數(shù)學(xué)比賽賽題(帶)高中數(shù)學(xué)比賽賽題(帶)高中數(shù)學(xué)比賽賽題(帶)高中數(shù)學(xué)比賽賽題精選一、選擇題（共12題）1．定義在R上的函數(shù)yf(x)的值域?yàn)椋踡,n］,則yf(x1)的值域?yàn)椋ǎ〢．［m,n］B．［m-1,n-1］C．［f(m1),f(n1)］D．無(wú)法確定解：當(dāng)函數(shù)的圖像左右平移時(shí)，不改變函數(shù)的值域.故應(yīng)選A.2．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a85a13，且a10,Sn為其前n項(xiàng)之和，則Sn(nN)中最大的是()A.S10B.S11C.S20D.S21解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題意知3(a1+7d)=5(a1+12d),即d=-2a1,39∴an=a1+(n-1)d=a12a1(n-1)=41-2n),欲使(nN)最大，只須an≥，即n≤20.故應(yīng)-a139n03939選C.3．方程log2x=3cosx共有（）組解．A．1B．2C．3D．4解：畫出函數(shù)y=log2x和y=3cosx的圖像，研究其交點(diǎn)情況可知共有3組解．應(yīng)選C．4．已知關(guān)于x的一元二次方程x2a21xa20的一個(gè)根比1大，另一個(gè)根比1小，則（）Ａ．1a1Ｂ．a(chǎn)1或a1Ｃ．2a1Ｄ．a(chǎn)2或a1解：令f(x)=x2a21xa2，其圖像張口向上，由題意知f(1)＜0，即12a211a2＜0，整理得a2a20，解之得2a1，應(yīng)選C．5．已知,為銳角，sinx,cosy,cos()3，則y與x的函數(shù)關(guān)系為（）5A．y31x24x(3x1)555B．y31x24x(0x1)55C．y31x24x(0x3)555D．y31x24x(0x1)55解：ycoscos()cos()cossin()sin31x24x55而y(0,1)031x24x1，得x(3,1).故應(yīng)選A.5556．函數(shù)ysinx的定義域?yàn)閍,b，值域?yàn)?,1，則2的最大值是（）

baA.B.2C.4D.533解：如右圖，要使函數(shù)ysinx在定義域a,b上，值域1,1，則ba的最大值是(7)4.故應(yīng)選C.2663

為7．設(shè)銳角使關(guān)于x的方程x2+4xcos+cot=0有重根，則的弧度數(shù)為()A．655D．12B．12或12C．6或12解：由方程有重根，故1=4cos2－cot=0，4∵0<<2，52sin2=1，=12或12．選B．8．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若關(guān)于全部的m∈R，均有M∩N，則b的取值范圍是()666623232323A．[－2，2]B．(－2，2)C．(－3，3]D．[－3，3]266解：點(diǎn)(0，b)在橢圓內(nèi)或橢圓上，2b≤3，b∈[－2，2]．選A．13+2>0的解集為9．不等式log2x－1+log1x22A．[2，3)B．(2，3]C．[2，4)D．(2，4]解：令logx=t≥1時(shí)，t－3－2．∈[1，2)，x∈[2，4)，選．1>210．設(shè)點(diǎn)O在ABC的內(nèi)部，且有+2+3=，則ABC的面積與AOC的面積的比為()．2．3．3．5AAB2CD3解：如圖，設(shè)AOC=S，則OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，BSOAOB=OBD=S．OBC=S，ABC=3S．選C．B1CC111．設(shè)三位數(shù)n=，若以a，b，c為三條邊長(zhǎng)能夠構(gòu)成一個(gè)等腰(含等邊)三角D形，則這樣的三位數(shù)n有()A．45個(gè)B．81個(gè)C．165個(gè)D．216個(gè)解：⑴等邊三角形共9個(gè)；⑵等腰但不等邊三角形：取兩個(gè)不同樣數(shù)碼(設(shè)為)，有36種取法，以小數(shù)為底時(shí)總能構(gòu)成等腰三角a，b形，而以大數(shù)為底時(shí)，<<2．9或8時(shí)，4，3，2，1，(8種)；7，6時(shí)，3，2，1(6種)；5，4baba=b=a=b=a=時(shí)，b=2，1(4種)；a=3，2時(shí)，b=1(2種)，共有20種不能夠取的值．共有236－20=52種方法，而每取一組數(shù)，可有3種方法構(gòu)成三位數(shù)，故共有523=156個(gè)三位數(shù)即可取156+9=165種數(shù)．選C．12．極點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，AB⊥OB，垂足為B，OH⊥PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐O－HPC的體積最大時(shí)，OB的長(zhǎng)為()．5．25．6．26A3B3C3D3解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．⊥，⊥面，⊥，⊥，OHPBOHPABOHHCOHPC又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱錐P－OCH的高．PC=OC=2．P而OCH的面積在OH=HC=2時(shí)獲取最大值(斜邊=2的直角三角形)．當(dāng)OH=2時(shí)，由22，知∠30，26tan303．PO=OPB=OB=PO=

CHOB又解：連線如圖，由C為PA中點(diǎn)，故O－PBC1B－AOP，AV=2V2PHPO2而VO－PHC∶VO－PBC==2(PO=PH·PB)．PBPB記PO=OA=22=R，∠AOB=，則P—AOB13sincos13sin2，B－PCO13sin2．V=6R=12RV=24R2212sin213POR．2222=1+cos2．O－PHC12R=+cos=3+cos2V=3+cos2PBRRsin22cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin213∴令y=3+cos2，y=(3+cos2)2=0，得cos2=－3，cos=3，6OB=3，選D．二、填空題（共10題）13.設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S510，S105，則公差為解：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d.5a110d，a12d，解之得d1.由題設(shè)得，即10a145d2a19d，5114.設(shè)f(x)loga(xb)(a0且a1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，8)，則ab等于4.loga(2b)，，(2b)解：由題設(shè)知化簡(jiǎn)得aloga(8b)(8b)a2.，2a1，a2，32（舍去）.故ab等于4.解之得；b24.b1115．已知函數(shù)yf(x)的圖象如圖，則滿足f(22x2x1)f(lg(x26x20))0的x2x1x的取值范圍為x[2，1)．解：由于lgx26x20lg(x3)211lg111，所以lgx26x200.于是，由圖象可知，2x11，即x20，解得x1x12x1.故x的取值范圍為x[2，1)．16．圓錐曲線x2y26x2y10|xy3|0的離心率是2．解：原式變形為(x3)2(y1)2|xy3|，即(x3)2(y1)22|xy3|．所以動(dòng)點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(31)，的距離與它到直線xy30的距離2之比為2．故此動(dòng)點(diǎn)軌跡為雙曲線，離心率為2．17．在ABC中，已知tanB3，sinC22，AC36，則ABC的面積為3SABC8362．解：在ABC中，由tanB3得B60．由正弦定理得ABACsinC8．sinB由于arcsin23260，所以角C可取銳角或鈍角，從而cosC1．3sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC23．故36SABCAC2ABsinA8362．18.設(shè)命題P:a2a，命題Q:對(duì)任何x，都有x24ax10.命題P與Q中有R且僅有一個(gè)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1a0或1a1.22解：由a2a得0a．由x2410關(guān)于任何xR成立，得1ax16a240，即1a1．由于命題P、Q有且僅有一個(gè)成立，故實(shí)數(shù)22a的取值范圍是1a0或1a1．2219.cos275ocos215ocos75ocos15o的值是．解：cos275ocos215ocos75ocos15o=cos275°+sin275°+sin15°·cos15°=1+1=42sin30°520.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)2，且對(duì)任意的xR，都有f(x)1，則不等式2f(log2x)log2x3的解集為．2解：令g﹙x﹚=2f﹙x﹚－x，由f(x)<1/2得，2f(x)-1<0，即g'﹙x﹚<0，g(x)在R上為減函數(shù)，且log2Xg(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2化為2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的單調(diào)性得：log2X<1,解得，0<x<2.21.圓O的方程為x2y2uuuruuurR)且1，A(1,0)，在圓O上取一個(gè)動(dòng)點(diǎn)B，設(shè)點(diǎn)P滿足APOB(uuuruuur1．則P點(diǎn)的軌跡方程為APAB．解：設(shè)P(x,y),λOB(λ?R)得B(k(x—1)，ky)，（λ=1）。將坐標(biāo)代入AP.AB=1可得AB=kxk=①y2(x1)2又點(diǎn)B在圓x2+y2=1上，則k2(x-1)2+k2y2=1②由①②消去k得y2=2x-122.l1、l2、L、l100為100條共面且不同樣的直線，若其中編號(hào)為4k(kN*)的直線互相平行，編號(hào)為4k1的直線都過(guò)定點(diǎn)A．則這100條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為．解：100條直線任意兩條的組合有C2100，其中編號(hào)為4k（k?N*）的直線互相平行，編號(hào)為4k—1的直線都過(guò)定點(diǎn)A，所以這100條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為C222+1=4351100—C25—C2523.過(guò)正周圍體A1A2A3A4的四個(gè)極點(diǎn)分別作四個(gè)互相平行的平面1、2、3、4，若每相鄰兩個(gè)平面間的距離都為1，則該周圍體的體積為．解：如圖：將周圍體補(bǔ)成一個(gè)正方體，E,F1分別是AB111,C1D1的中點(diǎn)，面EF1D1D和面BB1F1F是兩個(gè)平行平面，它們的距離是1.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,AM=MN=1,則AE=a，1112D1E1=A1D12A1E12=5a.2由A1D1*A1E1=A1M1*D1E1得a=5.所以，周圍體的體積為V=a3—4×1a3=55.63三、解答題（共3題）24．在銳角三角形ABC中，AB上的高CE與AC上的高BD訂交于點(diǎn)H，以DE為直徑的圓分別交AB、AC于F、G兩點(diǎn)，F(xiàn)G與AH訂交于點(diǎn)K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的長(zhǎng)．解：∵BC=25，BD=20，BE=7，CCE=24，CD=15．15∵AC·BD=CE·AB，6①AC=AB，5BD⊥AC，CE⊥AB，B、E、D、C共圓，66AC(AC－15)=AB(AB－7)，5AB(5AB－15)=AB(AB－18)，AB=25，AC=30．AE=18，AD=15．1DE=AC=15．2延長(zhǎng)AH交BC于P，則AP⊥BC．∴AP·BC=AC·BD，AP=24．

D2425G20PHKAFE7B18連DF，則DF⊥AB，∵，⊥．19．2D、E、F、G共圓，∠AFG=∠ADE=∠ABC，AFG∽ABC，∴AKAF924216=，AK=25=．APAB2525．在平面直角坐系XOY中，y正半上的點(diǎn)列{A}與曲y=2x(x≥0)上的點(diǎn)列{B}足nn|n||n|1，直nn在x上的截距an，點(diǎn)n的橫坐n，∈N*．OA=OB=nABBbn⑴明an>an+1>4，n∈N*；bbbb⑵明有n0∈N*，使得?n>n0，都有23n+n+1++?+<n－2004．b1b2bn－1bnn1nn，nnnn2n12n12n．解：⑴點(diǎn)A(0，n)，B(b2b)由|OA|=|OB|，b+2b=(n)，b=1+(n)－1(b>0)∴0<b1b減，22n112增．nnb=n(n+1－n)==nnn1+()+1n∴0<nbn<1．令tn=1>2且tn減．2nbnbn由截距式方程知，+an

2bn222nnnbb(1+n2)1+2b1212221221bnnnnn)+2()=n+2n=(n+)－≥(2+)－=4．∴nn=2=2(ttta=1－2nbnnbn=nn22221－n2bnbnb且由于tn減，知an減，即an>an+1>4成立．亦可由1=b+2．1=b+2+2b+2，．2=b+2，得anbnnnnnnnn∴由b減知a減，且a>0+2+22=4．nnnnbk+1⑵即∑(1－bk)>2004．k=11212bk+1bk－bk+11+(k)－1+(k+1)212121－k=bk=12=k((k)－(+1))bk1+(k)－1122+11+(k)+12k+111≥(k+1)212>(k+1)22>k+2．21+(k)

121+(k)+112121+(k)+1+(k+1)nn1111111111∴∑(1－bk+1)>∑>(+)+(+++)+?+>+++?．k=1bkk=1k+2345678222nbk+1只要n足大，就有∑(1－bk)>2004成立．k=126．于整數(shù)n≥4，求出最小的整數(shù)f(n)，使得于任何正整數(shù)m，會(huì)集{m，m+1，?，m+n－1}的任一個(gè)f(n)元子集中，均最少有3個(gè)兩兩互素的元素．解：⑴當(dāng)n≥4，會(huì)集M(m，n)={m，m+1，?，m+n－1}，當(dāng)m奇數(shù)，m，m+1，m+2互，當(dāng)m偶數(shù)，m+1，m+2，m+3互．即M的子集M中存在3個(gè)兩兩互的元素，故f(n)存在且f(n)≤n．①取會(huì)集T={t|2|t或3|t，t≤n+1}，TM(2，)={2，3，?，n+1}的一個(gè)子集，且其中任3個(gè)數(shù)無(wú)不能夠兩nn兩互．故f(n)≥card(T)+1．n+1n+1n+1n+1n+1n+1但card(T)=[2]+[3]－[6]．故f(n)≥[2]+[3]－[6]+1．②由①與②得，f(4)=4，(5)5．5≤(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤(9)≤9．f=ff算f(6)，取{，+1，?，+5}，若取其中任意5個(gè)