2022-2023學年吉化第一高級中學高一上數學期末經典試題含解析

2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知向量，，且，若，均為正數，則的最大值是A. B.C. D.2．下列四個函數中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數的是A. B.C. D.3．中國古代數學的瑰寶《九章算術》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現有一個如圖所示的曲池，其高為3，底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧AD長度為弧BC長度的3倍，且，則該曲池的體積為（）A B.C. D.4．設，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.5．已知函數y＝a＋sinbx(b＞0且b≠1)的圖象如圖所示，那么函數y＝logb(x－a)的圖象可能是()A. B.C. D.6．計算器是如何計算，，，，等函數值的？計算器使用的是數值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數，通過計算多項式的值求出原函數的值，如，，，其中.英國數學家泰勒(B.Taylor，1685-1731)發(fā)現了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出的和的值也就越精確.運用上述思想，可得到的近似值為（）A.0.50 B.0.52C.0.54 D.0.567．已知，，且，則的最小值為（）A. B.C.2 D.18．已知全集，則（）A. B.C. D.9．平行線與之間的距離等于（）A. B.C. D.10．已知，則的大小關系為A. B.C. D.11．已知全集，集合，，則（）A.{2，3，4} B.{1，2，4，5}C.{2，5} D.{2}12．與函數的圖象不相交的一條直線是（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知函數f(x)的定義域是[-1，1]，則函數f(log2x)的定義域為____14．已知為角終邊上一點，且，則______15．，，則的值為__________.16．已知函數，若函數恰有三個不同的零點，則實數k的取值范圍是_____________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知,.（Ⅰ）求證：函數在上是增函數；（Ⅱ）若,求實數的取值范圍.18．已知集合，或（1）當時，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要條件，求實數a的取值范圍19．某快遞公司在某市的貨物轉運中心，擬引進智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本萬元.（1）若使每臺機器人的平均成本最低，問應買多少臺？（2）現按（1）中的數量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達指定落袋格口完成分揀，經實驗知，每臺機器人的日平均分揀量（單位：件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進機器人后，日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多可減少多少？20．已知有半徑為1，圓心角為a（其中a為給定的銳角）的扇形鐵皮OMN，現利用這塊鐵皮并根據下列方案之一，裁剪出一個矩形.方案1：如圖1，裁剪出的矩形ABCD的頂點A，B在線段ON上，點C在弧MN上，點D在線段OM上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點P，S分別在線段OM，ON上，頂點Q，R在弧MN上，并且滿足PQ∥RS∥OE，其中點E為弧MN的中點.（1）按照方案1裁剪，設∠NOC=，用表示矩形ABCD的面積S1，并證明S1的最大值為；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積S2的最大值，并與（1）中的結果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.21．已知集合，（1）若，求；（2）在①，②，③，這三個條件中任選一個作為已知條件，求實數的取值范圍22．已知函數的最小正周期為4，且滿足（1）求的解析式（2）是否存在實數滿足？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】利用向量共線定理可得2x+3y=5，再利用基本不等式即可得出【詳解】∵，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.∵x＞0，y＞0，∴5＝2x＋3y≥2，∴xy≤，當且僅當3y＝2x時取等號故選C.點睛】本題考查了向量共線定理和基本不等式，屬于中檔題2、A【解析】最小正周期，且在區(qū)間上為減函數，適合；最小正周期為，不適合；最小正周期為，在區(qū)間上不單調，不適合；最小正周期為，在區(qū)間上為增函數，不適合.故選A3、B【解析】利用柱體體積公式求體積.【詳解】不妨設弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長度為弧BC長度的3倍可知，，即.故該曲池的體積.故選：B4、D【解析】對ABC舉反例判斷即可；對D，根據函數的單調性判斷即可【詳解】對于A，，，選項A錯誤；對于B，，時，，不存在，選項B錯誤；對于C，由指數函數的單調性可知，選項C錯誤；對于D，由不等式性質可得，選項D正確故選：D5、C【解析】由三角函數的圖象可得a＞1，且最小正周期T＝＜π，所以b＞2，則y＝logb(x－a)是增函數，排除A和B；當x＝2時，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故選C.6、C【解析】根據新定義，直接計算取近似值即可.【詳解】由題意，故選：C7、A【解析】由已知條件得出，再將代數式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】已知，且，，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.【點睛】本題考查利用基本不等式求代數式的最值，考查的妙用，考查計算能力，屬于基礎題.8、C【解析】根據補集的定義計算可得；【詳解】解：因為，所以；故選：C9、C【解析】，故選10、D【解析】,且,,,故選D.11、B【解析】分析】根據補集的定義求出，再利用并集的定義求解即可.【詳解】因為全集，，所以，又因為集合，所以，故選：B.12、C【解析】由題意求函數的定義域，即可求得與函數圖象不相交的直線.【詳解】函數的定義域是，解得：，當時，，函數的圖象不相交的一條直線是.故選：C【點睛】本題考查正切函數的定義域，屬于簡單題型.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據給定條件列出使函數f(log2x)有意義的不等式組，再求出其解集即可.【詳解】因函數f(x)的定義域是[-1，1]，則在f(log2x)中，必有，解不等式可得：，即，所以函數f(log2x)的定義域為.故答案為：14、##【解析】利用三角函數定義可得：，即可求得：，再利用角的正弦、余弦定義計算得解【詳解】由三角函數定義可得：，解得：，則，所以，，.故答案為：.15、#0.3【解析】利用“1”的代換，構造齊次式方程，再代入求解.【詳解】，故答案為：16、【解析】根據函數解析式畫出函數圖象，則函數的零點個數，轉化為函數與有三個交點，結合函數圖象判斷即可；【詳解】解：因為，函數圖象如下所示：依題意函數恰有三個不同的零點，即函數與有三個交點，結合函數圖象可得，即；故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（Ⅰ）答案見詳解;（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)利用定義法證明函數單調性;(Ⅱ)判斷函數奇偶性,并結合的單調性將不等式轉化為不等式組,求出實數的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)任取,則,,即,所以函數在上是增函數;(Ⅱ)因為函數定義域為,關于原點對稱,又,所以函數為奇函數,又,即,即,由(Ⅰ)知函數在上是增函數,所以,即,故實數的取值范圍為.【點睛】(1)大題中一般采用定義法證明函數單調性;(2)利用單調性解不等式問題,一般需要注意三個方面:①注意函數定義域范圍限制;②確定函數的單調性;③部分需要結合奇偶性轉化.18、（1）（2）【解析】（1）首先得到集合，再根據交集的定義計算可得；（2）首先求出集合的補集，依題意可得是的真子集，即可得到不等式組，解得即可；【小問1詳解】解：當時，，或，∴【小問2詳解】解：∵或，∴，∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，∵，∴，∴，∴，故實數的取值范圍為19、（1）300臺；（2）90人.【解析】（1）每臺機器人的平均成本為，化簡后利用基本不等式求最小值；（2）由（1）可知，引進300臺機器人，并根據分段函數求300臺機器人日分揀量的最大值，根據最大值求若人工分揀，所需人數，再與30作差求解.【詳解】（1）由總成本，可得每臺機器人的平均成本.因為.當且僅當，即時，等號成立.∴若使每臺機器人的平均成本最低，則應買300臺.（2）引進機器人后，每臺機器人的日平均分揀量為：當時，300臺機器人的日平均分揀量為∴當時，日平均分揀量有最大值144000.當時，日平均分揀量為∴300臺機器人的日平均分揀量的最大值為144000件.若傳統(tǒng)人工分揀144000件，則需要人數為（人）.∴日平均分揀量達最大值時，用人數量比引進機器人前的用人數量最多可減少（人）.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題意，根據實際問題抽象出函數關系，并會求最值，本題最關鍵的一點時會求的最大值.20、（1），證明見解析；（2），方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】（1）分別用含有的三角函數表示，寫出矩形的面積，利用三角函數求最值；（2）利用（1）的結論，根據對稱性知，矩形的最大面積為，然后利用作差法比較大小即可【小問1詳解】在圖1中，，，，，，，當時，矩形最大面積為，得證.【小問2詳解】在圖（2）中，設與邊，分別交于點，，由（1）的結論，可得矩形的最大面積為，根據對稱性知，矩形的最大面積為.因為為銳角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形，其最大面積為.21、（1）（2）答案見解析【解析】（1）分別求出集合和集合，求并集即可；（2）選①，根據集合和集合的位置在數軸上確定端點的關系，列出不等式組即可求解，選②，先求出，再根據條件在數軸確定端點位置關系列出不等式組即可求解，選③，得到，根據數軸端點位置關系列出不等式組即可求解.【小問1詳解】因為，所以，又因為，所以【小問2詳解】若選①：則滿足或，所以的取值范圍為或若選②：所以或，則滿足，所以的取值范圍為若選③：由題意得，則滿足所以的取值范圍為22、（1）（2）存在；【解析】（1）因為的最小正周期為4，可求