輔助線添加方法總結(jié)歸納7利用平移思想構(gòu)造輔助線

7.利用平移思想構(gòu)造輔助線1.已知:如圖，［ABC中，NR4c=60°,點(diǎn)￡＞、石分別在邊AB、ACAD=AEtBE交CD于F,ZDFE=120\ 的中點(diǎn)，AP^BE^q,求證：AQ=BQ答案：見解析解析：連接A/、DE??ZDFE=120°，ZBFD=60°=ZBAE??又/FBD=ZABE,FBDsABEBD_BF工瓦一用，BDEsBFA*,□ 0?ZDEF=ZDAF?? ，?ZAFE=ZADE??VZBAC=60°,AD=AE,?ZADE=ZAED=6Q0??1/24

?ZAFE=60°=ZBAE??，?AFEsBAE"□□?9ZABQ=ZCAF延長AP至M,使連接8M、CM,則四邊形ABA/C是平行四邊形，AC=BM.ZABM=120°=ZAFCAFAB_AB

~CF~~\C~~BMvZDFE=120°,ZAFE=60°ZAFD=60°,ZAFB=120°ZAFC=120°=ZAF5,AFAB_AB

~CF~~\C~~BMZABF=ZCAF??，AFCsABM*,□ 0 '-9ZCAF=ZBAQf?uZABQ=ZBAQfAQ=BQ2.已知：如圖，在尺%口46。中，ZB=90°,分別以A3、AC為邊，向口460外作正方形ACDE和正方形ABGb,連接石尸、EC,延長R4交石尸于”.（1）若tanNAC5= S=12,求￡C的長;§ □AnC⑵求證：BC=2AH./…AB2解析：（1）W：,** ^ACB=――=_2/24.?.設(shè)AB=2左，則=3左,?S=LaBBC=12UABC2 □ '2kx3k=24??，:?k=2(舍去負(fù)值)?A6=4,BC=6?????AC=y/AB2+BCi=2713...EC=WAC=2率(2)證明：過石作EA/,AH,交AH延長線于"，連接Mb???ZEAM+ZBAC=9Q°,ZACB+ZBAC=90°ZEAM=ZACB??又/M=NA8C=90。，EA=AC?EMA^ABC□，MA=BC.ME=AB??AF=AB，ME=AF??又 ,???四邊形是平行四邊形AH=MH??，-BC=2AH??3.已知點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，滿足/A8P=/ACP,以BP、PC為鄰邊作平行四邊形BPCQ,求證：/BAQ=/CAP.3/24A答案：見解析解析：以AP、為鄰邊作平行四邊形AP5。，連接。。交5。于0,連接A。、BD則/胡￡>=/A8P=ZACP,DB//AP,DB=AP??,四邊形5尸°。是平行四邊形,BQ//PC,BQ=PCZDBQ=ZAPCDBQ沿APC,,口 2D:./QDB=/CAP,ZDQB=ZACP???ZBAD=ZDQB又/DQB=/BOQ,DOA^BOQDOAO：9~BO~QO又/DOB=/AOQ,DOBsAOQ4/24

???ZQDB=ZBAQ,??.ZBAQ=ZCAPD、E分別為CB、CA延長線上的點(diǎn)，BE與AD的4.在D、E分別為CB、CA延長線上的點(diǎn)，BE與AD的(1)若BD=AC，AE=CD，在圖1中畫出符合題意的圖形，直接寫出“PE的度數(shù)；(2)若AC=J3數(shù)；(2)若AC=J3BD,CD=J3AE，求ZAPE的度數(shù)(利用圖2作答).解析：(1)如圖1,ZAPE=45。說明:5/24將AE平移到DF，連接BF,EF則四邊形AEFD是平行四邊形???EF=AD,AE〃DF又AE工CD?DF工CDAE=CD:::DF=CDBD=AC:::ACD^BDF□ 0:BF=AD=EF,ZC^A=ZBFDZCDA+ZADF=90°:ZBFD+Z.ADF=90°ZDPF=90°ZBFE=90°在R,BEF中,BF=EF:ZBEF=45°又AD^EFZAPE=ZBEF=45°(2)解法一：如圖2,將AE平移到DF，連接BF,EF則四邊形AEFD是平行四邊形圖3-AD〃EF,AD=EF?????AC=\；3BD,CD=J3AE6/24

AC二CDJD-BD9，女年受ACCD：9~BD~~DFZC=90°ZBDF=180°-ZC=90°ZC=ZBDF?，ACD^BDF,,口 □.絲=竺3/-2?BFBD、’ ，Zl+Z3=90°,.-.Z2+Z3=90°.BF±AD??，?BFLEF?在RtBEF中tan/BEF=V=?仕口中， EF3???ZAPE=ZBEF=3Q0EF,則四邊形AC。尸是平行解法二：如圖3,將以平移到。尸，連接AEF,則四邊形AC。尸是平行??ZC=90°J四邊形ACOb是矩形7/247/24-ZAFD=ZCAF=90°Z1+/2=90°,??在Rt.在口AEF中，??在Rt.在口AEF中，tanZ3=絲="=顯AFCD3在RtJDF中,tanZ1=BDBD_第DF-AC-TZ3=Z1=30°??.??Z3+Z2=Z1+Z2=90°,即ZEFB=90°ZAFD=ZEFB??又丁竺又丁竺=竺二cos30。二更BFEF 2ADFsEBFZ4=Z5?????ZAPE+Z4=Z3+Z5,-ZAPE=Z3=30°??5.(1)在一個(gè)矩形紙片上按照?qǐng)D1的方式剪下1ABe，其中BA=BC，將口ABC沿著直線AC的方向依次進(jìn)行平移變換，每次均移動(dòng)AC的長度，得到了口CDE、口EFG和G^HI(如圖2),已知AH=AI,AC長為a.現(xiàn)以AD、AF和AH為三邊構(gòu)成一個(gè)新三角形，已知這個(gè)新三角形面積小于15J15,求a可能的最大整數(shù)值；(2)如圖3,已知AA，=BB，=CC=2,ZAOB=ZBOC=ZCOA'=60°,請(qǐng)利用圖形變換探究"圖形變換探究"ob，+30「+'.A’與、3的大小關(guān)系?8/24解析：（1）分別取C石、eg、GI的中點(diǎn)2、Q、R，連接DP、FQ、HRAAD、AF、AHvDvDABC中，BA=BC,由平移變換的性質(zhì)知uCDE、口EFG和uGHI都是等腰三角形-DP1CEFQ1EGHR1GI, ,在RtJHR在RtJHR中，AH=AI=4a,…7AR=—a2TOC\o"1-5"\h\z 7、 15...HR2=AH2一AR2=(4a)2一(_a)2=a2^2 ^4DP2=FQ2=HR2=15a23、 15 ,.AD2=AP2+DP2=(_a)2+_a2=6a2. 2 4AF2=AQ2+FQ2=(2a)2+j4a2=10a2...新三角形三邊長為'6a、Y10a、4a??AH2=AD2+AF2,?..新三角形為直角三角形，其面積為2XV6aX\；10a=V15a2八T5a2<15715,.a2<15??（或通過轉(zhuǎn)換得新三角形三邊就是AD^DI、AI，即求口DAI的面積，或利用口HAI與9/24□HGI相似，求口HAI的面積也可）???。的最大整數(shù)值為3（2）將口BOC沿BB'方向平移2個(gè)單位，得到口夕DE，將口COA'沿4A方向平移2個(gè)單位，得到口EFA，F(xiàn)ft??OD=OB'+B'D=OB'+OB=BB'=2OF=OA+AF=OA+ON=AA'=2又ZDOF=60O,.?.口DOF是等邊三角形.DF=OD=OF=2,??DE+EF=OC+OC?，??D、E、F三點(diǎn)共線?SDAOBf+S[]BOC'+COA^[]AOBf+^DE'DE+^0AEF^ODOF?s =1X2X2Xsin60o=J3?ddof2.?.s+s +s <j3a00B' bOCC cOAA'.如圖，已知A0BC（1）請(qǐng)你在BC邊上分別取兩點(diǎn)D、E（BC的中點(diǎn)除外），連結(jié)AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形;（2）請(qǐng)你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明AB+AC>AD+AE.10/24

答案：見解析解析：解：（1）如圖,BD=CE中DE；dABD和dACE,JBE和JCD；(2)證法一：如圖，分別過點(diǎn)D、B作CA-EA的平行線，兩線相交于F點(diǎn)，OF于AB交于G點(diǎn).; ，所以zace=zfdb,^aec=zfbd在JEC和口FBD中，又CE=BD,可證JEC?FBD,所以AC=FD,AE=FB,在口AGD中，AG+DG>AD,在口BFG中，BG+FG>FB,所以AG+DG—AD>0,BG+FG—FB>0,所以AG+DG+BG+FG—AD—FB>0,即AB+FD>AD+FB,所以AB+AC>AD+AE.證法二：如圖，分別過A、E作Cb、Ca的平行線，兩線相交于F點(diǎn)，EF于AB交于G點(diǎn)，連結(jié)BF,11/24則四邊形FECA是平行四邊形。所以FE=AC,AF=CE因?yàn)锽D=CE,所以BD=AF所以四邊形^^是平行四邊形。所以FB=AD在口AGE中，AG+EG>AE；在口BFG中，BG+FG〉FB,可推得：AG+EG+BG+FG>AE+FB所以AB+AC>AD+AE.證法三：如圖4,取DE的中點(diǎn)°，連結(jié)AO并延長到F點(diǎn)，使得FO=AO，連結(jié)EF、CF，延長AE交CF于G點(diǎn)，在口ADO和口FEO中，又^AOD=NFOE，DO=EO,可證：dADO^FEO所以AD=FE因?yàn)锽D=CE,DO=EO,所以BO=CO,同理可證口ABO白口FCO所以AB=FC在口ACG中，AC+CG>AE+EG,在口EFG中，EG+FG>EF,12/24

可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF,即AC+CF>AE+EF,所以AB+AC>AD+AE.現(xiàn)場學(xué)習(xí)：我們知道，若銳角a的三角函數(shù)值為sina=m,則可通過計(jì)算器得到角a的大小，這時(shí)我們用arcsinm來表示a，記作：a=arcsinm；若cosa=m，則記a=arccosm；若tana=m，則記a=arctanm.解決問題：如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在AB邊或其延長線上，點(diǎn)G在邊AD上.連結(jié)ED，F(xiàn)G,交點(diǎn)為H.(1)如圖1,若AE=BF=GD，請(qǐng)直接寫出NEHF=°；(2)如圖2,若EF=5CD,GD=2AE，設(shè)NEH=a.請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，NEHF的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出a.解析：(1)13/24連接CF，CG:正方形ABCD??.AD=BC=CD/EAD=/GDC=/CBF=90°又AE=BF=GD???RtADE且RtCDG咨RtBCF□□□?./ADE=/GCD=/FCB/AED=/BFC=/DGCGC=FC=ED/GCD+/GCB=90°:：:/BCF+ZGCB=90°?.三角形GCF為直角三角形，且GC=FC?./GFC=ZFGC=45°又/AED=ZAFC??切〃FC?./EHF=/HFC=45°（2）答：不會(huì)變化.證明：如圖2,過點(diǎn)F作根〃ED交CD于M，連接GM.「正方形ABCD中AB〃CD,???四邊形EFMD為平行四邊形.JEF=DM,DE=FM.JZ3=Z4,/EHF=ZHFM=a14/24

―2—―2??EF=_CD,GD=_AE. 5 5 ，EFGD_2CD―AE―5DMGD' = ?ADAE:/A-GDM=9。。,-DGMsTOC\o"1-5"\h\z.口 (Z1=ZZ1=Z2=一DE5'GM2=一FM5?Z2+Z3=90。，Z1=Z2,Z3=Z4Z1+Z4=90°■/GMF=90°■在Rt^GFM在Rt^GFM札tanaGM_2FM―2a=arctan—? 58.已知矩形ABCD和點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P在BC上任一位置（如圖（1）所示）時(shí)，易證得結(jié)論:PA2+PC2=PB2+PD2,請(qǐng)你探究：（1）當(dāng)點(diǎn)P分別在圖（2）中的位置時(shí)，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)你寫出對(duì)上述情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）證明你的結(jié)論.（2）當(dāng)點(diǎn)P分別在圖（3）中的位置時(shí)，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)你寫出對(duì)上述情況的探究結(jié)論，并利用圖（3）證明你的結(jié)論.⑶請(qǐng)問在圖⑶S“AB,SAPCD與S矩形ABCDm者之間的關(guān)系,并證明?15/24解析：(1)結(jié)論是P42+PC2=P52+PO2方法一：方法一：如圖2過點(diǎn)P作MN,AO于點(diǎn)交5c于點(diǎn)N,因?yàn)?MN上AD,所以MNL5C在耳口AMP中，PA2=PM2+MA2在RyBNP中,PB2=PN?+BN2在Rt^DMP中,PD2=DM2+PM2在中，PC2=PN2+NC2所以PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2因?yàn)閃AD,MN上NC,DCLBC,所以四邊形"NCD是矩形所以MD=NC,同理AM=6N,所以PMz+MAz+PNz+NCzmQMz+DMz+BNz+PNz即PA2+PC2—PB2+PD216/24方法二：提示：過點(diǎn)P作PH"AD,PH=AD,^接DH、CH,則四邊形PDHC對(duì)角線互相垂直，下面證明略(2(2)結(jié)論是PA2+PC2=PB2+PD2證明：如圖所示，過點(diǎn)P作PF〃AD，過點(diǎn)D作DF"AP,過點(diǎn)D作DE,PF于點(diǎn)E，連接CF。ABAB則四邊形ADFP和四邊形BCFP是平行四邊形.?.AP=DF,BP=CF在RtAPDE中，PD2=PE2+DE2在RtADEF中，DF2=AP2=EF2+DE2在RtAPCE中，PC2=PE2+CE2在RtACEF中，PB2=CF2=EF2+CE2?PA2+PC2=EF2+DE2+PE2+CE2??PB2+PD2=EF2+CE2+PE2+DE2?PA2+PC2=PB2+PD2??(3)結(jié)論：S(3)結(jié)論：SAPAB+SAPCD=1S2矩形abcd17/24過點(diǎn)夕分別作P￡,AB于點(diǎn)￡,PF1CD于點(diǎn)F?S=1ABPE,S=1CDPF??AABP2 ；APCD2口TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 、1.S+S=ABPE+cDDPF=-AB(PE+PF)=ABAD?AABP APCD2 2 2 2??S=ABAD矩矩形ABCD 口S+S =1S?APAB APCD2矩形ABCD9.在口ABC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn).(1)如圖1,求證：AM<2(AB+AC)；(2)延長AB到D，使得BD=AC，延長AC到E，使得CE=AB，連接DE.①如圖2,連接BE，若/BAC=60。，請(qǐng)你探究線段BE與線段AM之間的數(shù)量關(guān)系,寫出你的結(jié)論，并加以證明;■答案：見解析②請(qǐng)?jiān)趫D3中證明：BC22DE■答案：見解析乙18/24解析:J￡圖1(1)證明：如圖1,延長AM至N,使得MN=AM，連接BN、CN,MN;MN=AM,BM=CM,???四邊形ABNC是平行四邊形CN=AB??在口ACN中，AN<CN+AC,??2AM<AB+ACAM<1(AB+AC)2(2)①BE=2AMA圖3證明：如圖2,過B作BN〃AE交DE于N，連接MN、CN,則N1=NBAC=60。;BD=AC,CE=AB,AD=AE????口ADE是等邊三角形ED=ADZ1=Z2=ZD=60o? ，??口BDN是等邊三角形BD=DN=BN=AC?? ，19/24???四邊形ABNC是平行四邊形??,點(diǎn)"為的中點(diǎn)，.?.A、M、N三點(diǎn)在一條直線上，且AN=2A〃ED=AD在□區(qū)明和「AON中，ND=NODB=DNEDB名ADN0 ，BE=AN=2AM??②分兩種情況：i）如圖3,當(dāng)時(shí)ii）如圖4,當(dāng)ABWAC時(shí)以BD、5c為一組鄰邊作平行四邊形BDbC則Cb=BO=AC,NBCF=NBAC,BC=DF又「CE=AB,CEF咨ABC??口 0 ，?EF=BC=DF??在DEF中DF+EF>DE仕口中'20/24

2BC>DE,即BC>；DE綜上所述：BC?；DE10.在 ABC中，ZABC=9QG,NC=30。，點(diǎn)°、￡分別在邊A氏AC上，且8ZACE,點(diǎn)尸為AC的中點(diǎn)，連接97,點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接4G、BE(1)如圖1,求證：BE=2AG.(2)如圖2,延長AG交BE于點(diǎn)M,過點(diǎn)F作FN〃BE交AM于點(diǎn)、N,若GN=1,EM=2,求8C的長.解析：(1)延長AG到“，使G"=AG,連接5月、FH.?NABC=90。，"=30。,?ZBAC=60°”為人。的中點(diǎn)，?AF=BF=CF.口AN/是等邊三角形，?ZAFB=6Q0ZBFE=120°??DG=FG,