高等代數(shù)與解析幾何第七章13習(xí)題線性變換與相似矩陣

高等代數(shù)與分析幾何第七章13習(xí)題線性變換與相像矩陣高等代數(shù)與分析幾何第七章13習(xí)題線性變換與相像矩陣65/65高等代數(shù)與分析幾何第七章13習(xí)題線性變換與相像矩陣第七章線性變換與相像矩陣習(xí)題習(xí)題7.1.1鑒別以下變換能否線性變換？1〕設(shè)是線性空間中的一個固定向量，〔Ⅰ〕，，解：當(dāng)時，明顯是的線性變換；當(dāng)時，有，，那么，即此時不是的線性變換。〔Ⅱ〕，；解：當(dāng)時，明顯是的線性變換；當(dāng)時，有，，那么，即此時不是的線性變換?！?〕在中，〔Ⅰ〕，解：不是的線性變換。因?qū)τ?，有，，所以?！并颉?；解：是的線性變換。設(shè)，此中，，那么有，?！?〕在中，〔Ⅰ〕

，解：

是

的線性變換：設(shè)

，那么，，

。〔Ⅱ〕

，此中

是中的固定數(shù)；解：

是

的線性變換：設(shè)

，那么，，

?！?〕把復(fù)數(shù)域

看作復(fù)數(shù)域上的線性空間，

，此中

是的共軛復(fù)數(shù)；解：不是線性變換。因為取

，

時，有

，，即

?！?〕在

中，設(shè)

與是此中的兩個固定的矩陣，

，。解：是的線性變換。對，，有，。習(xí)題軸向

7.1.2在方向旋轉(zhuǎn)

中，取直角坐標(biāo)系900的變換，以

，以表示空間繞

表示空間繞軸由

軸向

軸由方向旋轉(zhuǎn)900的變換，以表示空間繞軸由軸向方向旋轉(zhuǎn)900的變換。證明

〔表示恒等變換〕，，；并說明

能否成立。證明：在

中任取一個向量

，那么依據(jù)

，及

的定義可知：

，，

，；

；，

，，，即

，故

。因為

，，所以

。因為

，，所以

。因為

，，所以

。習(xí)題

在

中，

，

，證明

。證明：在

中任取一多項式

，有。所以。習(xí)題7.1.4設(shè)，是上的線性變換。假定，證明。證明：用數(shù)學(xué)概括法證明。當(dāng)時，有命題成立。假定等式對成立，即。下邊證明等式對也成立。因有，即等式對也成立，從而對隨意自然數(shù)都成立。習(xí)題7.1.5證明〔1〕假定是上的可逆線性變換，那么的逆變換獨一；〔2〕假定，是上的可逆線性變換，那么也是可逆線性變換，且。證明：〔1〕設(shè)都是的逆變換，那么有，。從而。即的逆變換獨一。〔2〕因，都是上的可逆線性變換，那么有，同理有由定義知是可逆線性變換，為逆變換，有獨一性得。習(xí)題7.1.6設(shè)是上的線性變換，向量，且，，，都不是零向量，但。證明，，，線性沒關(guān)。證明：設(shè)，挨次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；挨次類推可得，即得，從而得。有定義知，，，線性沒關(guān)。習(xí)題7.1.7設(shè)是上的線性變換，證明是可逆線性變換的充要條件為既是單射線性變換又是滿射線性變換，即是一一變換。證明：是可逆線性變換，即存在。假定，那么兩頭用作用即得，所以是單射線性變換。假定任取，那么存在，使得，即是滿射線性變換。既是單射線性變換又是滿射線性變換，即雙射。現(xiàn)定義新的變換：，定有，且有，規(guī)定，有，同時有，即有。由定義知是可逆線性變換。習(xí)題7.1.8設(shè)是上的線性變換，證明〔1〕是單射線性變換的充要條件為；〔2〕是單射線性變換的充要條件為把線性沒關(guān)的向量組變成線性沒關(guān)的向量組。證明：〔1〕是單射線性變換，對，那么有，由單射得，即。，假定，那么有，得，即得，故是單射?！?〕是單射線性變換。設(shè)線性沒關(guān)，現(xiàn)證也線性沒關(guān)。令，整理有，而是單射，有，線性沒關(guān)，所以，故也線性沒關(guān)。把線性沒關(guān)的向量組變成線性沒關(guān)的向量組。假定，那么有，并必定有。否那么假定，那么說明向量線性沒關(guān)，而表示把線性沒關(guān)的向量組變成線性有關(guān)的向量組，與條件矛盾。而由可得，即是單射線性變換。習(xí)題7.1.9設(shè)是中全體可逆線性變換所成的子集，證明對于線性變換的乘法構(gòu)成一個群?！渤秶浴沉?xí)題7.1.10設(shè)，是上的線性變換，且證明〔1〕假定，那么；〔2〕假定，那么。證明：〔1〕因為，。所以，從而或。又因為。故。〔2〕因為，，所以。習(xí)題7.1.11設(shè)與分別是數(shù)域上的維與維線性空間，是的一個有序基，對于中隨意個向量，證明存在獨一的線性映照，使，。證明：先證明存在性。對隨意的，有獨一的線性表達(dá)式我們定義明顯有，?，F(xiàn)考證為到的一個線性映照?！?〕對隨意的向量，因為，由定義得。〔2〕對隨意的，因為，由定義得。所認(rèn)為到的一個線性映照。再證獨一性：假定還有到的一個線性映照，也使得，。那么對隨意愿量，必定有。由在中的隨意性，可得。習(xí)題7.1.12設(shè)與分別是數(shù)域上的維與維線性空間，是線性映照。證明是的子空間，是的子空間。又假定有限，證明。這時稱為的零度，稱為的秩。證明：〔1〕先證與分別為與的子空間，對，，有，所以，故為的子空間；同理，對，，那么，使，，所以所認(rèn)為的子空間.〔2〕再證因有限，不如設(shè)，，在中取一個基，再把它擴(kuò)大為的一個基，那么是像空間的一個基.事實上，對，存在，使得。設(shè)，那么有即中的隨意愿量都可由線性表示?，F(xiàn)證向量組線性沒關(guān)：設(shè)，有，即，所以向量可由向量組線性表示，從而有，整理有，又因線性沒關(guān)，所以必有，所以線性沒關(guān)，即為的一個基，故。習(xí)題7.1.13證明對于定義7.1.12中所定義的線性映照的加法與數(shù)目乘法構(gòu)成上的一個線性空間。證明：現(xiàn)證明定義7.1.12中所定義的線性映照的加法

與數(shù)量乘法都是從事實上，對

到

的線性映照。，，有故為到的線性映照。同理，對，，有，，故為到的線性映照。此外線性映照的加法與數(shù)目乘法明顯知足：〔1〕聯(lián)合律：；〔2〕互換律:；〔3〕存在零線性映照，對，有；〔4〕對，有負(fù)線性映照，使得；〔5〕；〔6〕；〔7〕；〔8〕。此中，所以對于定義7.1.12中所定義的線性映照的加法與數(shù)目乘法構(gòu)成上的一個線性空間。習(xí)題7.1.14證明：。證明：設(shè)為維線性空間，為維線性空間，即，。取定的一組基和的一組基。令為到的以下映照：，此中為在基與基下的矩陣。這樣定義的是到的同構(gòu)映射。事實上，〔1〕假定，，且，那么有，。因為，對每一個都有，故有，即是單射。〔2〕，令。那么存在獨一的線性映照使得，而且因而可知，是滿射。〔3〕對，，有，，此中即有，，所以，故有，所以是到的同構(gòu)映照。從而有。習(xí)題習(xí)題求以下線性變換在所指定的一個基下的矩陣：〔1〕的線性變換，，此中為固定矩陣。求，在這個基下的矩陣；〔2〕設(shè)是線性空間的線性變換，求在基下的矩陣；〔3〕6個函數(shù)：，，，，，的所有實系數(shù)線性組合構(gòu)成實數(shù)域上一個6維線性空間。求微分變換在基下的矩陣。解：〔1〕由，的定義直接可得：，，，。所以在這個基下的矩陣為。，，，。所以在這個基下的矩陣為。〔2〕由直接可得：，，，?????????，?????????。所以在基下的矩陣為：?！?〕由微分運算性質(zhì)直接可得：，，，，，。所以微分變換在基下的矩陣為：。習(xí)題7.2.2設(shè)是的一個基，，，，。線性沒關(guān)。證明：〔1〕存在獨一的線性變換，使，；〔2〕〔1〕中的在基下的矩陣為；〔3〕〔1〕中的在基下的矩陣為。證明：〔1〕因為線性沒關(guān)，所以也是的一個基。故對的一個基及個向量，定存在獨一的線性變換，使，?！?〕由條件有，，此中與都是的基，所以可逆，且有，從而有。再由〔1〕得，所以在基下的矩陣為。〔3〕近似有，所以在基下的矩陣為。習(xí)題7.2.3在中，定義線性變換為，，，此中，，。〔1〕求在基下的矩陣；〔2〕求在基下的矩陣。解：〔1〕由定義知，，所以有。故在基

下的矩陣為：

?！?〕近似有。故在基下的矩陣為：。習(xí)題7.2.4在中，線性變換在基，，下的矩陣是。求在基下的矩陣。解：已知，，那么有。即在基下的矩陣為：。習(xí)題7.2.5設(shè)數(shù)域上3維線性空間的線性變換在基下的矩陣為〔1〕求在基下的矩陣；〔2〕求在基下的矩陣；〔3〕求在基下的矩陣。解：〔1〕由可得，，。所以在基下的矩陣為：。〔2〕由可得，，。所以在基下的矩陣為：。〔3〕由可得，，。所以在基下的矩陣為：。習(xí)題7.2.6在維線性空間中，設(shè)有線性變換與向量使，但。證明：在中存在一個基，使在該基下的矩陣為。證明：由習(xí)題7.1.6知：維線性空間的向量組，，，線性沒關(guān)，且有個向量，即構(gòu)成的一組基，而線性變換作用此基有：，，?????，。故在基，，，下的矩陣為：。上維線性空間的全體線性變換構(gòu)成習(xí)題7.2.7設(shè)是數(shù)域的數(shù)域，并找出中的一個基。上的線性空間，試求求證：任，令為到的映照：取的一組基，此中。由引理7.2.6及定理知為同構(gòu)映照，即。所以它們的維數(shù)相同，而，故。現(xiàn)取，，使得，即，。，是的一組基，故，為的一組基。習(xí)題7.2.8證明：與維線性空間的全體線性變換都可互換的線性變換是數(shù)乘變換。證明：在某組確立的基下，數(shù)域上的維線性空間的線性變換與數(shù)域上的階方陣間成立了一個雙射，因為與全部階方陣可互換的方陣為數(shù)目矩陣，所以與全部線性變換可互換的線性變換必是數(shù)乘變換。習(xí)題7.2.9設(shè)是維線性空間的一個線性變換，假如在的隨意一個基下的矩陣都相同，那么是數(shù)乘變換。證明：設(shè)在基下的矩陣為，只需證明為數(shù)目矩陣即可。設(shè)為隨意可逆矩陣，令，那么也是的一組基，且在這組基下的矩陣為有。特別地，當(dāng)取時，計算可得。再取，由可得數(shù)目矩陣，所以是數(shù)乘變換。習(xí)題7.2.10證明：與相像，此中是的一個擺列。證明：用基挨次表示這兩個矩陣，取一個維線性空間，對于矩陣，存在的線性變換，使得，由此可得。因為與是在不一樣基下的矩陣，所以與相像。

，依題意，即為及其一組習(xí)題7.2.11假如可逆，證明與相像。證明：因為，所以與相像。習(xí)題7.2.12假如與相像，與相像，試判斷以下表達(dá)能否正確？假如不正確，請舉反例，否那么給出證明?！?〕與相像；〔2〕與相像；〔3〕與相像。答：〔1〕正確。證明：因為與相像，與相像，所以存在可逆陣，，使得，，從而有，此中，所以與相像?！?〕不正確。反例：設(shè)，，那么有，使，，即，故與相像；再取，那么與明顯相像。但，。設(shè)，且知足，即，計算得，即得，故不行逆。所以與不相像?！?〕不正確。反例：取同〔2〕，有，，兩矩陣秩不一樣。明顯，與不相像。習(xí)題習(xí)題7.3.1設(shè)是數(shù)域上線性空間，是的線性變換。假如是的特點值，那么對隨意多項式，是的特點值，且的屬于的特點向量也是的屬于的特點向量。證明：設(shè)為的屬于的特點向量，即，那么對隨意自然數(shù)，有。事實上，當(dāng)時，明顯成立。假定時，有成立?，F(xiàn)證時也成立，即。故由數(shù)學(xué)概括法得式對隨意自然數(shù)均成立。設(shè)，那么有，即。習(xí)題7.3.2對復(fù)數(shù)域上線性空間上的下述線性變換，求出它的特征值與特點向量，判斷能否能夠?qū)腔?，在可對角化時，求出過度矩陣，并計算。在的一個基下的矩陣為〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕。解：〔1〕設(shè)在基下的矩陣為，矩陣的特點多項式為。所以的特點值為，。先求的屬于特點值的特點向量。解齊次線性方程組，求得根基解系為，所以的屬于特點值的所有特征向量為；再求的屬于特點值的特點向量。解齊次線性方程組，求得根基解系為，所以的屬于特點值的全部特點向量為。能夠?qū)腔?。取的兩個線性沒關(guān)的特點向量，，即，此中為由基到基的過渡矩陣。且有。〔2〕設(shè)在基下的矩陣為，且當(dāng)時，有，于是矩陣的特點多項式為，所以的特點值為。求的屬于特點值的特點向量。解齊次線性方程組，求得根基解系，，因為的屬于特點值為的兩個線性沒關(guān)的特點向量為，所以以中隨意非零向量為其特點向量。當(dāng)時，矩陣的特點多項式為，所以的特點值為。先求的屬于特點值，求的特點向量。解齊次線性方程組得根基解系為，所以的屬于特點值的所有特點向量為；再求的屬于特點值的特點向量。解齊次線性方程組，所，求得根基解系為以的屬于特點值的全部特點向量為。能夠?qū)腔?。取的兩個線性沒關(guān)的特點向量，，即，此中為由基到基的過渡矩陣。且有?！?〕設(shè)在基下的矩陣為，矩陣的特點多項式為。所以的特點值為。先求

的屬于特點值

的特點向量。解齊次線性方程組，求得根基解系為

，所以

的屬于特點值

的全部特點向量為再求

的屬于特點值

；的特點向量。解齊次線性方程組，求得根基解系為

，所以

的屬于特點值

的所有特點向量為因為找不到

。的三個線性沒關(guān)的特點向量，故

不行對角化?！?〕設(shè)

在基

下的矩陣為

，矩陣

的特點多項式為。所以的特點值為。先求的特點向量。解齊次線性方程組，，，的屬于特點值，求得根基解系為所以的屬于特點值的所有特點向量為；再求的屬于特點值的特點向量。解齊次線性方程組，求得根基解系為，所以的屬于特點值的所有特點向量為。能夠?qū)腔?。取的四個線性沒關(guān)的特點向量，，，，即，此中為由基到基的過渡矩陣。且有。習(xí)題7.3.3證明：是矩陣的特點值的充要條件是矩陣為奇怪陣。證明：設(shè)非零向量為矩陣的屬于特點值的特點向量，那么有，整理得，因，所以齊次線性方程組有非零解，故系數(shù)隊列式。反之亦然。習(xí)題

7.3.4設(shè)解：矩陣

，求的特點多項式為

。。所以的特點值為。對，解齊次線性方程組，得根基解系；對，解齊次線性方程組，得根基解系；對，解齊次線性方程組，得根基解系。令，有，進(jìn)而有，故。習(xí)題7.3.5設(shè)是4維線性空間的一個基，線性變換在這個基下的矩陣為?！?〕求在一個基下的矩陣，此中2〕求的特點值與特點向量；〔3〕求一可逆陣，使為對角陣。解：〔1〕由條件有，令，那么線性變換在基下的矩陣為?！?〕因為線性變換的特點多項式為。所以線性變換的特點值為先求的屬于特點值，求得根基解系為

。的特點向量。解齊次線性方程組，，所以的屬于特點值的線性沒關(guān)的特點向量為。所有特點向量為

，；再求的屬于特點值的特點向量。解齊次線性方程組，求得根基解系為，所以的屬于特點值的線性沒關(guān)的特點向量為。所有特點向量為

。最后求的屬于特點值，求得根基解系為

的特點向量。解齊次線性方程組，所以的屬于特點值

的線性沒關(guān)的特點向量為。所有特點向量為。〔3〕因為，所以所求的可逆矩陣為，于是有。習(xí)題7.3.6〔1〕設(shè)是線性變換的兩個不一樣特點值，是分別屬于的特點向量。證明：不是的特點向量；2〕證明：假如線性變換以中每個非零向量作為它的特點向量，那么是數(shù)乘變換。證明：〔1〕因為，，所以。假定是線性變換的屬于特點值的特點向量，即，且有，整理可得。因為線性變換的屬于不一樣特點值的特點向量線性沒關(guān)，所以，于是得，這與題設(shè)矛盾，因此不是的特點向量?！?〕任取的一個非零向量，設(shè)。再任取的一個向量，假定或，那么明顯有；假定，那么由假定也是特征向量，設(shè)。假如，那么由〔1〕知，不是的特點向量，這與題意矛盾。故，即仍