三種方法全解全等三角形專題匯總

..唯思達(dá)教育培優(yōu)教案〔講義教師版初二年級數(shù)學(xué)講師：劉亞峰2010秋季專題一全等三角形——全攻略基礎(chǔ)知識三角形全等的判斷角邊角〔SAS邊角邊〔ASA邊邊邊〔SSS三角形全等的性質(zhì)對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等對應(yīng)的中線、高線、角平分線相等垂直平分線〔中垂線中垂線上一點(diǎn)到改線段的兩個端點(diǎn)距離相等角平分線定理角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等一、判斷題解惑[1]〔希望杯試題有下列四個命題：=1\*GB3①兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形=2\*GB3②兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個銳角三角形不一定是全等三角形=3\*GB3③兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形是全等三角形=4\*GB3④兩邊和其中一邊所對應(yīng)的角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定是全等三角形其中正確的是〔A、=1\*GB3①,=2\*GB3②B=2\*GB3②=3\*GB3③C=3\*GB3③=4\*GB3④D=1\*GB3①=4\*GB3④解析ABDB’C命題=1\*GB3①正確：在ABC和ABC’中,BD=BC’,AB為公共邊,兩個三角形的高均為AD,但是這兩個三角形顯然不是全等的。命題=2\*GB3②不正確如果均是銳角三角形,那么必然全等命題=3\*GB3③不正確在ABC和ABC’中,AB=AB’,AC為公共邊,高均為AD,但是不全等命題=4\*GB3④正確二、利用角相等構(gòu)造全等1、角平分線法[2]〔北京中考如圖,在ABC中,∠BAC=90。,∠B=2∠C,D在BC上,AD平分∠BAC,若AB=1,則BD的長為〔A解析：在AC上截取AE=AB,連接DE。∵AE=AB,∠BAD=∠BAC,AD=AD∴ABD≌AED∴BD=DE,∠ABD=∠AED,AB=AE∵∠BAC=90。,∠B=2∠C,∴∠B=60。,BDC∠C=30?！唷螮DC=30。=∠C∴ED=EC∴BD=AC-AE=-1[3]<XX09年中考>如圖,在ABC中,AD是∠A的外角平分線,P是AD上異于A點(diǎn)的任意一點(diǎn),設(shè)PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,則m+n與b+c的大小關(guān)系是E解析：在BA的延長線上取點(diǎn)E,使AE=AC,連接EP∵AE=AC,EAD=CAD,AP=AP∴ACP≌AEPA∴CP=EPP∵在BPE中BP+EP>BE∴PB+PC>AB+AC即m+n>b+cBCDACBD[4]<"希望杯"培訓(xùn)典型題>如圖,ABC中,∠A的平分線交BC于D,AB=AC+CD,B=40,那么ACBD解析：在AB上取點(diǎn)E,使得AE=AC,連接DE.∵AE=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD∴ACD≌AED∴∠C=∠AED,CD=DE∵AB=AC+CD,AE=AC∴CD=BE=DE∴∠EBD=∠EDB=40。,∠C=∠AED=80。ABFOEC[5]〔XX市05年考題如圖,ABC中,AB>AC,D、E分別在AB、AC上,且滿足條件BD=CE,∠BCD=∠CBE,若BE、CD相交于O,則ABFOEC解析：延長CD至F,使得CF=BE,連接BFD∵∠BCD=∠CBE,BC=BC,BE=CF∴BCF≌CBE∴BF=CE,∠BEC=∠BFCD∵BD=CE∴BF=BD∴∠BFC=∠BDF∵∠BDF=∠ABE+∠BOD,∠BEC=∠ABE+∠A∴∠BOD=∠A∴∠BOC+∠A=∠BOC+∠BOD=180。練習(xí)〔20XX北京市中考題我們知道,有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形,類似的我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱如圖,在ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,設(shè)CD、BE相交于O,若A=60,DEC=EBC=1/2A,請你寫出圖中一個與A相等的角,并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形;在ABC中,如果A是不等于60的銳角,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上且DCB=EBC=1/2A,探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形,并證明你的結(jié)論。解析：〔1平行四邊形、等腰梯形等〔2BOD或COD四邊形DBCE是等對邊四邊形〔3此時存在等對邊四邊形證法同上三、倍長線段〔中線構(gòu)造全等[6]〔歷年中考典型題如圖,ABC中,AB=4,AC=7,M是BC的中點(diǎn),AD平方∠BAC,過M作MF//AD,交AC于F,則FC的長等于解析：延長FM至K,使得FM=MK,連接BK,延長MF與BA的延長線交于點(diǎn)E∵∠BMK=∠CMF,BM=CM,FM=MKEA∴BMK≌CMF∴FC=BK,∠BKM=∠CFMEAF∵M(jìn)F//AD,∠BAD=∠CADF∴∠BKM=∠BEM=∠AFE∴BE=BK=AB+AF=FCMDBC∴AB+AC=AB+AF+FC=2FCMDBC∵AB=4,AC=7FC=5.5KKFEADFEADCBM解析：同上MBDCAEBDCAEFM解析：延長FD至M,使得DM=DF,連接BM、EM.易證DCF≌DBM,故DM=DF,BM=CF,又DE⊥DF,故ME=EF,在BEM中,BE+BM>EM.即BE+CF>EFBDCAEF拓展題：如圖,直角ABC中,AB⊥AC,E、F分別在AB、AC上,D是BC的中點(diǎn),DE⊥DF,試證明：EFBDCAEF解析：輔助線、證明方法均與例題相似。不再給出四、補(bǔ)形法M[8]〔XX市05年中考題如圖,已知ABC中,∠BAC=90。,AB=AC,BE平分∠B,CE⊥BD。求證：BD=2CEMA解析：延長BA、CE交于點(diǎn)M。AE∵BE⊥CE,∠CBE=MBE,BE為公共邊,∴CBE≌MBE∴ME=CEED∵BE⊥CE,AB⊥AC∴∠MCA=∠MBED∵AB=AC∴ABD≌ACMCBBE=CM=2CECB點(diǎn)評;本題將已知圖形補(bǔ)成一個完整的三角形,使得問題迅速解決。FEDACB思考題1：〔XX省數(shù)學(xué)競賽試題如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90。,AB=AD,若這個四邊形的面積為16,則BC+CD=FEDACB解析：答案8A思考題2：〔XX市數(shù)學(xué)發(fā)散題如圖,在凸五邊形ABCDE中,∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M是CD的中點(diǎn),求證：AM⊥CDAEBEBDCMDCM探索型試題[例9]<06北京課改>如圖〔1所示,OP是∠MON的平分線,請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個做全等三角形的方法,解答下列問題：如圖〔2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分別是∠BAC,∠BCA的平分線,AD,CE相交于點(diǎn)F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系如圖〔3,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而〔1中的其他條件均不變,請問,你在〔1中得到的結(jié)論是否仍然成立？若成立,請證明：若不成立,請說明理由。OMNOMNP<1>BCDAE<2>BDCAEF<3>FBCDAE<2>M解析：〔1FE=FD.證明：在AC上取點(diǎn)M,使得AM=AE,連接FM。易證△AEF≌△FBCDAE<2>MBDCAEF<3>〔2在AC上取點(diǎn)BDCAEF<3>∵∠BAD=∠CAD,AF=AF,AE=AM∴△AEF≌△AMF∴EF=FM,∠AFE=∠AFM∵∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,∠B=60°∴∠AFC=120°,∠AFE=60°∴∠MFC=60°=∠DFC∵∠BCE=∠ACE,CF=CF∴△MFC≌△DFC∴DF=FM=EFAECBDO[AECBDO請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中師等對邊四邊形的圖形的名稱；如圖在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,設(shè)CD,BE相交于O,若∠A=60°,∠DCB=∠EBC=∠A,請你寫出圖中一個與∠A相等的角,并猜想哪個四邊形是等對邊四邊形；在△ABC中,如果∠A是不等于60°的銳角,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,且∠DCB=∠EBC=∠A,探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形,并證明你的結(jié)論。解析：〔1平行四邊形,等腰梯形等等；〔2與∠A相等的角是∠BOD<或∠COE>,四邊形