波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程這里-安徽理工大學課件

安徽理工大學

2005級《大學物理》補充物理教研室

第十八章量子物理基礎(chǔ)第三講量子力學應用初步安徽理工大學2005級《大學物理》補充物理教研室第十1本次課內(nèi)容

§19-8量子力學簡介（2）三薛定諤方程解一維勢阱問題四對應原理五一維方勢壘隧道效應

§19-9氫原子的量子理論§19-10多電子原子中的電子分布課本pp266—289；練習冊第二十單元本次課內(nèi)容§19-8量子力學簡介（2）課本pp2662§19-8量子力學簡介（2）

定態(tài)薛定諤方程一維定態(tài)薛定諤方程

求解定態(tài)薛定諤方程，就是在已知勢函數(shù)的條件下，求出體系可能有的能量值和波函數(shù)。§19-8量子力學簡介（2）定態(tài)薛定諤方3三薛定諤方程解一維勢阱問題

質(zhì)量為m的粒子在外場中作一維運動，勢能函數(shù)為88x=

0x=aV(x)定態(tài)薛定諤方程為：當

x<0和

x>a

時，

三薛定諤方程解一維勢阱問題質(zhì)量為m的粒子在外場中4求解方程（1）令代入上式得：此方程的通解為：由于阱壁無限高，所以(1)式可寫成求解方程（1）令5由式（1）得B=0

，波函數(shù)為：由此得到粒子的能量En由式（2）得，于是即:En

稱為本問題中能量E的本征值。勢阱中的粒子,其能量是量子化的。由式（1）得B=0，波函數(shù)為：由此得到粒子的能量En6當n=1,n叫作主量子數(shù)勢阱中粒子的能級圖oaxEE1即基態(tài)能級當n=1,n叫作主量子數(shù)勢阱中粒子的能級圖o7與E相對應的本征函數(shù)，即本問題的解為：式中常數(shù)Ａ可由歸一化條件求得。最后得到薛定諤方程的解為：得到與E相對應的本征函數(shù)，即本問題的解為：式中常數(shù)Ａ可由歸一81勢阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子化的。能量量子化是微觀世界特有的現(xiàn)象，經(jīng)典粒子處在勢阱中能量可取連續(xù)的任意值。討論2能量為En的粒子在x-x+dx內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的概率:電子(m=9.1×10-31千克)：①若勢阱寬a=10?，則En=0.75neV,量子化明顯；②若a=1cm,則En=0.75×10-14eV,量子化不明顯。1勢阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子9x0a0ax幾率密度分布波函數(shù)n=3n=2n=1n=4x0a0ax幾率密度分布波函數(shù)n=3n=2n=1n=410例題：在阱寬為a的無限深勢阱中,一個粒子的狀態(tài)為多次測量其能量。問每次可能測到的值和相應概率？能量的平均值？解：已知無限深勢阱中粒子的波函數(shù)和能量為例題：在阱寬為a的無限深勢阱中,一個粒子的狀態(tài)為多次測量其11則多次測量能量(可能測到的值)能量的平均值概率各占1/2則多次測量能量(可能測到的值)能量的平均值概率各占1/212§19-9氫原子的量子理論一氫原子定態(tài)薛定諤方程的求解氫原子由一個質(zhì)子和一個電子組成，電子受質(zhì)子庫侖電場作用而繞核運動（質(zhì)子靜止）。電子的狀態(tài)由波函數(shù)描述，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程：這里，（1）式可寫成§19-9氫原子的量子理論一氫原子定態(tài)薛定諤方程的求解13采用球坐標：球坐標下：（2）式則為：分離變量，令采用球坐標：球坐標下：（2）式則為：分離變量，令14代入方程（3）可得：分離變量得和代入方程（3）可得：分離變量得和15令，（5）再分離變量式為：即和（5b）的解是的單值性要求令16（5a）是勒讓德方程，其解是勒讓德多項式。為了使和時，為有限，必須限定（4）是徑向方程，可寫為：徑向方程用級數(shù)法求解。若E>0,能量連續(xù)分布，自由電子情形；但E<0,（束縛態(tài)），波函數(shù)標準條件要求（5a）是勒讓德方程，其解是勒讓德多項式。為了使和17量子數(shù)的意義：1主量子數(shù)n

主量子數(shù)決定著氫原子的能量，E與n的依賴關(guān)系與波爾理論相同。2角量子數(shù)l角動量有確定值，為角動量是量子化的，叫軌道角動量。習慣用小寫字母表示電子具有某一軌道角動量的量子態(tài)，氫原子只能處在一些分立的狀態(tài)，用主量子數(shù)，角量子數(shù)，磁量子數(shù)來描述,取值如下量子數(shù)的意義：1主量子數(shù)n主量子數(shù)決定著氫原子的能量，183磁量子數(shù)ml由波函數(shù)Rnl(r)Ylm(,)描寫的定態(tài)，不但具有確定的能量和角動量的大小，而且具有確定的Lz(角動量在軸方向的分量)角動量的分量也只能取分立值。3磁量子數(shù)ml由波函數(shù)Rnl(r)Ylm(,19空間取向量子化示意圖000.0Lzh=mll=0l=1l=2l=3空間取向量子化示意圖000.0Lzh=mll=020二氫原子中電子的徑向幾率分布r1s2s3s4sr2p3p4pr3d4d二氫原子中電子的徑向幾率分布r1s2s3s4sr2p3p421氫原子中電子的角向幾率分布zyzyzy氫原子中電子的角向幾率分布zyzyzy22

1921年，施忒恩（O.Stern）和蓋拉赫（W.Gerlach）發(fā)現(xiàn)一些處于S態(tài)的原子射線束，在非均勻磁場中一束分為兩束。NS準直屏原子爐磁鐵斯特恩-蓋拉赫實驗1921年，施忒恩（O.Stern）和蓋拉赫（W.23

1925年，烏侖貝克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密特(S.A.Goudsmit)提出電子自旋假說。由自旋產(chǎn)生的角動量的大小是量子化的，其值為

是自旋磁量子數(shù)。s是自旋量子數(shù)，只能取1/2。還假定自旋角動量的空間取向也是量子化的，即s在Z方向的分量為：完全描述電子的運動狀態(tài)，需要四個量子數(shù)：§19-10多電子原子中的電子分布1925年，烏侖貝克(G.E.Uhlenbeck242z電子自旋及空間取向量子化2z電子自旋及空間取向量子化25原子的殼層結(jié)構(gòu)

在多電子的原子中，電子的分布是分層次的，電子的分布層次叫電子殼層。n=1,2,3,4,…,的殼層依次叫K,L,M,N,…殼層。每一殼層上，對應l=0,1,2,3,…可分成s,p,d,f…分殼層。電子在殼層中的分布遵從下面兩條基本規(guī)律：1泡利(W.Pauli)不相容原理

原子中不可能同時有兩個或兩個以上的電子處于完全相同的狀態(tài)（原子中不可能同時有兩個或兩個以上的電子具有四個相同的量子數(shù)）。例：基態(tài)氦原子核外兩電子都處于1s態(tài)，其量子態(tài)(n,l,ml,,ms)分別為(1,0,0,±1/2)原子的殼層結(jié)構(gòu)在多電子的原子中，電子的分布是分26利用泡利不相容原理可計算各殼層所可能有的最多電子數(shù):當n給定，l的可取值為0,1,2,…,n-1共n個;當l給定，ml的可取值為0,±1,±2,…,±l共2l+1個;當(n,l,ml)給定，ml的可取值為±1/2共2個.在同一主量子數(shù)為n的殼層上，可能有的最多電子數(shù)為：由此可推得多電子的原子中各殼層所可能有的最多電子數(shù)（見下表）。利用泡利不相容原理可計算各殼層所可能有的最多電子數(shù):當n給定27原子殼層和分殼層中最多可能容納的電子數(shù)

ln

0

s

1p

2d

3f

4g

5h6iZn1K2(1s)22L2(2s)6(2p)83M2(3s)6(3p)10(3d)184N2(4s)6(4p)10(4d)14(4f)325O2(5s)6(5p)10(5d)14(5f)18(5g)506P2(6s)6(6p)10(6d)14(6f)18(6g)22(6h)727Q2(7s)6(7p)10(7d)14(7f)18(7g)22(7h)26(7i)98原子殼層和分殼層中最多可能容納的電子數(shù)28原子系統(tǒng)處于正常態(tài)時，各個電子趨向于占有最低能級。能級越低，相應殼層離核越近，首先被電子填滿，其余電子依次向未被占取的最低能級填充，直到所有Z個核外電子分別填入可能占取的最低能級為止。下圖給出了一些多電子原子結(jié)夠的示意圖。KKKKKKLLLLLMM2He3Li10Ne11Na17Cl8O2能量最小原理原子系統(tǒng)處于正常態(tài)時，各個電子趨向于占有最低能級。能29原子的最外層電子叫價電子。原子能級除由主量子數(shù)n決定外，還與其他量子數(shù)有關(guān)，所以按能量最小原理排列時，電子不完全按K,L,M…主殼層來排列，而按在各個分殼層上排列。（本次課完）原子的最外層電子叫價電子。原子能級除由主量子數(shù)n決定30

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第十八章量子物理基礎(chǔ)第三講量子力學應用初步安徽理工大學2005級《大學物理》補充物理教研室第十31本次課內(nèi)容

§19-8量子力學簡介（2）三薛定諤方程解一維勢阱問題四對應原理五一維方勢壘隧道效應

§19-9氫原子的量子理論§19-10多電子原子中的電子分布課本pp266—289；練習冊第二十單元本次課內(nèi)容§19-8量子力學簡介（2）課本pp26632§19-8量子力學簡介（2）

定態(tài)薛定諤方程一維定態(tài)薛定諤方程

求解定態(tài)薛定諤方程，就是在已知勢函數(shù)的條件下，求出體系可能有的能量值和波函數(shù)?！?9-8量子力學簡介（2）定態(tài)薛定諤方33三薛定諤方程解一維勢阱問題

質(zhì)量為m的粒子在外場中作一維運動，勢能函數(shù)為88x=

0x=aV(x)定態(tài)薛定諤方程為：當

x<0和

x>a

時，

三薛定諤方程解一維勢阱問題質(zhì)量為m的粒子在外場中34求解方程（1）令代入上式得：此方程的通解為：由于阱壁無限高，所以(1)式可寫成求解方程（1）令35由式（1）得B=0

，波函數(shù)為：由此得到粒子的能量En由式（2）得，于是即:En

稱為本問題中能量E的本征值。勢阱中的粒子,其能量是量子化的。由式（1）得B=0，波函數(shù)為：由此得到粒子的能量En36當n=1,n叫作主量子數(shù)勢阱中粒子的能級圖oaxEE1即基態(tài)能級當n=1,n叫作主量子數(shù)勢阱中粒子的能級圖o37與E相對應的本征函數(shù)，即本問題的解為：式中常數(shù)Ａ可由歸一化條件求得。最后得到薛定諤方程的解為：得到與E相對應的本征函數(shù)，即本問題的解為：式中常數(shù)Ａ可由歸一381勢阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子化的。能量量子化是微觀世界特有的現(xiàn)象，經(jīng)典粒子處在勢阱中能量可取連續(xù)的任意值。討論2能量為En的粒子在x-x+dx內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的概率:電子(m=9.1×10-31千克)：①若勢阱寬a=10?，則En=0.75neV,量子化明顯；②若a=1cm,則En=0.75×10-14eV,量子化不明顯。1勢阱中的粒子的能量不是任意的，只能取分立值，即能量是量子39x0a0ax幾率密度分布波函數(shù)n=3n=2n=1n=4x0a0ax幾率密度分布波函數(shù)n=3n=2n=1n=440例題：在阱寬為a的無限深勢阱中,一個粒子的狀態(tài)為多次測量其能量。問每次可能測到的值和相應概率？能量的平均值？解：已知無限深勢阱中粒子的波函數(shù)和能量為例題：在阱寬為a的無限深勢阱中,一個粒子的狀態(tài)為多次測量其41則多次測量能量(可能測到的值)能量的平均值概率各占1/2則多次測量能量(可能測到的值)能量的平均值概率各占1/242§19-9氫原子的量子理論一氫原子定態(tài)薛定諤方程的求解氫原子由一個質(zhì)子和一個電子組成，電子受質(zhì)子庫侖電場作用而繞核運動（質(zhì)子靜止）。電子的狀態(tài)由波函數(shù)描述，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程：這里，（1）式可寫成§19-9氫原子的量子理論一氫原子定態(tài)薛定諤方程的求解43采用球坐標：球坐標下：（2）式則為：分離變量，令采用球坐標：球坐標下：（2）式則為：分離變量，令44代入方程（3）可得：分離變量得和代入方程（3）可得：分離變量得和45令，（5）再分離變量式為：即和（5b）的解是的單值性要求令46（5a）是勒讓德方程，其解是勒讓德多項式。為了使和時，為有限，必須限定（4）是徑向方程，可寫為：徑向方程用級數(shù)法求解。若E>0,能量連續(xù)分布，自由電子情形；但E<0,（束縛態(tài)），波函數(shù)標準條件要求（5a）是勒讓德方程，其解是勒讓德多項式。為了使和47量子數(shù)的意義：1主量子數(shù)n

主量子數(shù)決定著氫原子的能量，E與n的依賴關(guān)系與波爾理論相同。2角量子數(shù)l角動量有確定值，為角動量是量子化的，叫軌道角動量。習慣用小寫字母表示電子具有某一軌道角動量的量子態(tài)，氫原子只能處在一些分立的狀態(tài)，用主量子數(shù)，角量子數(shù)，磁量子數(shù)來描述,取值如下量子數(shù)的意義：1主量子數(shù)n主量子數(shù)決定著氫原子的能量，483磁量子數(shù)ml由波函數(shù)Rnl(r)Ylm(,)描寫的定態(tài)，不但具有確定的能量和角動量的大小，而且具有確定的Lz(角動量在軸方向的分量)角動量的分量也只能取分立值。3磁量子數(shù)ml由波函數(shù)Rnl(r)Ylm(,49空間取向量子化示意圖000.0Lzh=mll=0l=1l=2l=3空間取向量子化示意圖000.0Lzh=mll=050二氫原子中電子的徑向幾率分布r1s2s3s4sr2p3p4pr3d4d二氫原子中電子的徑向幾率分布r1s2s3s4sr2p3p451氫原子中電子的角向幾率分布zyzyzy氫原子中電子的角向幾率分布zyzyzy52

1921年，施忒恩（O.Stern）和蓋拉赫（W.Gerlach）發(fā)現(xiàn)一些處于S態(tài)的原子射線束，在非均勻磁場中一束分為兩束。NS準直屏原子爐磁鐵斯特恩-蓋拉赫實驗1921年，施忒恩（O.Stern）和蓋拉赫（W.53

1925年，烏侖貝克(G.E.Uhlenbeck)和高德斯密特(S.A.Goudsmit)提出電子自旋假說。由自旋產(chǎn)生的角動量的大小是量子化的，其值為

是自旋磁量子數(shù)。s是自旋量子數(shù)，只能取1/2。還假定自旋角動量的空間取向也是量子化的，即s在Z方向的分量為：完全描述電子的運動狀態(tài)，需要四個量子數(shù)：§19-10多電子原子中的電子分布1925年，烏侖貝克(G.E.Uhlenbeck542z電子自旋及空間取向量子化2z電子自旋及空間取向量子化55原子的殼層結(jié)構(gòu)

在多電子的原子中，電子的分布是分層次的，電子的分布層次叫電子殼層。n=1,2,3,4,…,的殼層依次叫K,L,M,N,…殼層。每一殼層上，對應l=0,1,2,3,…可分成s,p,d,f…分殼層。電子在殼層中的分布遵從下面兩條基本規(guī)律：1泡利(W.Pauli)不相容原理

原子中不可能同時有兩個或兩個以上的電子處于完全相同的狀態(tài)（原子中不可能同時有兩個或兩個以上的電子具有四個相同的量子數(shù)）。例：基態(tài)氦原子核外兩電子都處于1s態(tài)，其量子態(tài)(n,l,ml,,ms)分別為(1,0,0,±1/2)原子的殼層結(jié)構(gòu)在多電子的原子中，電子的分布是分56利用泡利不相容原理可計算各殼層所可能有的最多電子數(shù):當n給定，l的可取值為0,1,2,…,n-1共n個;當l給定，ml的可取值為0,±1,±2,…,±l共2l+1個;當(n,l,ml)給定，ml的可取值為±1/2共2個.在同一主量子數(shù)為n的殼層上，可