數(shù)學(xué)建模中的層次分析法課件

數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法1層次分析法簡介層次分析法是薩蒂（saaty)等人于20世紀(jì)70年代提出的一種決策方法。它是將半定性、半定量問題轉(zhuǎn)化為定量問題的有效途徑。它將各種因素層次化，并逐層比較多種關(guān)聯(lián)因素，為分析和預(yù)測事物的發(fā)展提供可的定量依據(jù)。層次分析法在決策工作中有廣泛的應(yīng)用。主要用于確定綜合評價的權(quán)重系數(shù)。層次分析法所用數(shù)學(xué)工具主要是矩陣運算。層次分析法簡介層次分析法是薩蒂（saaty)等人于20世紀(jì)2層次分析法簡介一、層次分析法基本原理分解建立確定計算判斷實際問題層次結(jié)構(gòu)多個因素諸因素的相對重要性權(quán)向量綜合決策層次分析法簡介一、層次分析法基本原理分解建立3第一層第二層第三層結(jié)點（變量）結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點二、層次分析法基本步驟1、建立層次結(jié)構(gòu)模型第一層第二層第三層結(jié)點（變量）結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)4例對學(xué)生的評價目標(biāo)層準(zhǔn)則層項目層(指標(biāo)層)眼對學(xué)生的評價德智體思想道德語文數(shù)學(xué)……肺例對學(xué)生的評價目標(biāo)層準(zhǔn)則層項目層眼對學(xué)生的評價德智體思5二、層次分析法基本步驟2、確定權(quán)系數(shù)w1，w2，

…，wn，其滿足：

wi0,3、建立綜合評判函數(shù)設(shè)x1,x2,…xn為對應(yīng)各因素的決策變量，其線性組合：

y=w1x2+w2x2+…+wnxn

是綜合評判函數(shù)。二、層次分析法基本步驟2、確定權(quán)系數(shù)w1，w2，…6例對學(xué)生的評價對學(xué)生的評價德智體0.30.550.150.50.50.20.250.15…眼思想道德語文數(shù)學(xué)…肺語文計算機0.150.1語文成績對學(xué)生評價中的權(quán)系數(shù)為：0.2×0.55=0.11例對學(xué)生的評價對學(xué)生的評價德智體0.30.550.157例某處招聘工作人員，由此建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型對象的評分知識能力表現(xiàn)x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.50.1540.3460.2500.7500.4920.1470.361語文知識外語知識政治經(jīng)濟時事知識計算機操作能力公關(guān)能力容貌與氣質(zhì)體形高矮與胖瘦音色例某處招聘工作人員，由此建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型對象的評分8評價指標(biāo)對應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量（系數(shù)）評價公式即評價指標(biāo)對應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量（系數(shù)）評價公式即9對所有xi均采用5分制，今有三人應(yīng)聘，各指標(biāo)如下所示：x1x2x3x4x5x6x7x8甲55554345乙32455543丙33425554按公式分別求出綜合分為4.181，4.3，4.286，由高到低排序為乙、丙、甲。對所有xi均采用5分制，今有三人應(yīng)聘，各指標(biāo)如下所示：x1x10對權(quán)重系數(shù)的量化過程（1）成對比較從x1,x2,…xn中任取xi與xj比較它們對于y貢獻(xiàn)（重要程度）的大小，按照以下標(biāo)度給xi/xj賦值：xi/xj＝1，認(rèn)為“xi與xj重要程度相同”xi/xj＝3，認(rèn)為“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，認(rèn)為“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，認(rèn)為“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，認(rèn)為“xi比xj重要程度絕對大”當(dāng)比值為2，4，6，8時認(rèn)為介于前后中間狀態(tài)。對權(quán)重系數(shù)的量化過程（1）成對比較11（2）建立成對比較矩陣由xi/xj建立n階方陣A(3)迭代

按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||為Aek-1的n個分量之和ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…數(shù)列｛ek｝是收斂的，記其極限為e.且記e=(a1a2…an)于是取權(quán)重系數(shù)wi=ai

（2）建立成對比較矩陣由xi/xj建立n階方陣A12例：評價影視作品在電視節(jié)上評價影視作品，用以下三個評價指標(biāo)：x1表示教育性x2表示藝術(shù)性x3表示娛樂性有一名專家經(jīng)成對賦值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3例：評價影視作品在電視節(jié)上評價影視作品，用以下三個評價指標(biāo)：13于是得到成對比較矩陣于是得到成對比較矩陣14數(shù)學(xué)建模中的層次分析法課件15由于e4=e3,迭代經(jīng)過4次中止，權(quán)系數(shù)是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659如果用同樣的分制來給作品的三個指標(biāo)評分，由以上公式算出的便是作品綜合評分y。相應(yīng)的綜合評價公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3由于e4=e3,迭代經(jīng)過4次中止，權(quán)系數(shù)是如果用同樣的分制162468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量2417目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2P1P3準(zhǔn)則層方案層C3C1C2C18“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果?！斑x擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層19層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對20成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致21成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如A的秩為22一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標(biāo)RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI

當(dāng)CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非23“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗準(zhǔn)則層對目標(biāo)24組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第25

（2）考慮第3層對第2層由1–9尺度得（2）考慮第3層對第2層26權(quán)向量矩陣權(quán)向量矩陣27

（3）組合權(quán)向量（3）組合權(quán)向量28（4）組合一致性檢驗（4）組合一致性檢驗29第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665組合權(quán)向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通過一致性檢驗w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1對目標(biāo)的組合權(quán)重為0.5950.263+…=0.300方案層對目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.129330三.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問題類型：決策、評價、分析、預(yù)測等。建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。構(gòu)造成對比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗豐富、判斷力強的專家給出。三.層次分析法的廣泛應(yīng)用應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政31國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻(xiàn)收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1國家實力分析例2工作選擇通過組合一致性檢驗國家綜合實力國民軍事科技社會對外美、俄、中、日、德等大國工作32過河的效益A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的效益經(jīng)濟效益社會效益環(huán)境效益節(jié)省時間C1收入C2岸間商33過河的代價A經(jīng)濟代價

B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3

橫渡江河、海峽方案的抉擇過河的代價經(jīng)濟代價環(huán)境代價社會代價投入資金C1操作維護C2沖34待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益C11間接經(jīng)濟效益C12社會效益C13學(xué)識水平C21學(xué)術(shù)創(chuàng)新C22技術(shù)水平C23技術(shù)創(chuàng)新C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價待評價的科技成果直接間接社會學(xué)識學(xué)術(shù)技術(shù)技術(shù)效益C1水平C235數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法數(shù)學(xué)建模中的

層次分析法36層次分析法簡介層次分析法是薩蒂（saaty)等人于20世紀(jì)70年代提出的一種決策方法。它是將半定性、半定量問題轉(zhuǎn)化為定量問題的有效途徑。它將各種因素層次化，并逐層比較多種關(guān)聯(lián)因素，為分析和預(yù)測事物的發(fā)展提供可的定量依據(jù)。層次分析法在決策工作中有廣泛的應(yīng)用。主要用于確定綜合評價的權(quán)重系數(shù)。層次分析法所用數(shù)學(xué)工具主要是矩陣運算。層次分析法簡介層次分析法是薩蒂（saaty)等人于20世紀(jì)37層次分析法簡介一、層次分析法基本原理分解建立確定計算判斷實際問題層次結(jié)構(gòu)多個因素諸因素的相對重要性權(quán)向量綜合決策層次分析法簡介一、層次分析法基本原理分解建立38第一層第二層第三層結(jié)點（變量）結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點二、層次分析法基本步驟1、建立層次結(jié)構(gòu)模型第一層第二層第三層結(jié)點（變量）結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)點結(jié)39例對學(xué)生的評價目標(biāo)層準(zhǔn)則層項目層(指標(biāo)層)眼對學(xué)生的評價德智體思想道德語文數(shù)學(xué)……肺例對學(xué)生的評價目標(biāo)層準(zhǔn)則層項目層眼對學(xué)生的評價德智體思40二、層次分析法基本步驟2、確定權(quán)系數(shù)w1，w2，

…，wn，其滿足：

wi0,3、建立綜合評判函數(shù)設(shè)x1,x2,…xn為對應(yīng)各因素的決策變量，其線性組合：

y=w1x2+w2x2+…+wnxn

是綜合評判函數(shù)。二、層次分析法基本步驟2、確定權(quán)系數(shù)w1，w2，…41例對學(xué)生的評價對學(xué)生的評價德智體0.30.550.150.50.50.20.250.15…眼思想道德語文數(shù)學(xué)…肺語文計算機0.150.1語文成績對學(xué)生評價中的權(quán)系數(shù)為：0.2×0.55=0.11例對學(xué)生的評價對學(xué)生的評價德智體0.30.550.1542例某處招聘工作人員，由此建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型對象的評分知識能力表現(xiàn)x1x2x3x4x5x6x7x80.2370.3480.4150.50.1540.3460.2500.7500.4920.1470.361語文知識外語知識政治經(jīng)濟時事知識計算機操作能力公關(guān)能力容貌與氣質(zhì)體形高矮與胖瘦音色例某處招聘工作人員，由此建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型對象的評分43評價指標(biāo)對應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量（系數(shù)）評價公式即評價指標(biāo)對應(yīng)于目標(biāo)層的權(quán)向量（系數(shù)）評價公式即44對所有xi均采用5分制，今有三人應(yīng)聘，各指標(biāo)如下所示：x1x2x3x4x5x6x7x8甲55554345乙32455543丙33425554按公式分別求出綜合分為4.181，4.3，4.286，由高到低排序為乙、丙、甲。對所有xi均采用5分制，今有三人應(yīng)聘，各指標(biāo)如下所示：x1x45對權(quán)重系數(shù)的量化過程（1）成對比較從x1,x2,…xn中任取xi與xj比較它們對于y貢獻(xiàn)（重要程度）的大小，按照以下標(biāo)度給xi/xj賦值：xi/xj＝1，認(rèn)為“xi與xj重要程度相同”xi/xj＝3，認(rèn)為“xi比xj重要程度略大”xi/xj＝5，認(rèn)為“xi比xj重要程度大”xi/xj＝7，認(rèn)為“xi比xj重要程度大很多”xi/xj＝9，認(rèn)為“xi比xj重要程度絕對大”當(dāng)比值為2，4，6，8時認(rèn)為介于前后中間狀態(tài)。對權(quán)重系數(shù)的量化過程（1）成對比較46（2）建立成對比較矩陣由xi/xj建立n階方陣A(3)迭代

按下列方法求向量迭代序列：e0=(1/n1/n…1/n)Te’k=Aek-1||e’k||為Aek-1的n個分量之和ek=e’k/||e’k||,k=1,2,…數(shù)列｛ek｝是收斂的，記其極限為e.且記e=(a1a2…an)于是取權(quán)重系數(shù)wi=ai

（2）建立成對比較矩陣由xi/xj建立n階方陣A47例：評價影視作品在電視節(jié)上評價影視作品，用以下三個評價指標(biāo)：x1表示教育性x2表示藝術(shù)性x3表示娛樂性有一名專家經(jīng)成對賦值：x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3例：評價影視作品在電視節(jié)上評價影視作品，用以下三個評價指標(biāo)：48于是得到成對比較矩陣于是得到成對比較矩陣49數(shù)學(xué)建模中的層次分析法課件50由于e4=e3,迭代經(jīng)過4次中止，權(quán)系數(shù)是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659如果用同樣的分制來給作品的三個指標(biāo)評分，由以上公式算出的便是作品綜合評分y。相應(yīng)的綜合評價公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3由于e4=e3,迭代經(jīng)過4次中止，權(quán)系數(shù)是如果用同樣的分制512468比較尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍強強明顯強絕對強aij=1,1/2,,…1/9的重要性與上面相反

心理學(xué)家認(rèn)為成對比較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構(gòu)造成對比較陣，算出權(quán)向量，與實際對比發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：成對比較陣和權(quán)向量2452目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)則層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途例2.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇.目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2P1P3準(zhǔn)則層方案層C3C1C2C53“選擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C，方案層P；每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。通過相互比較確定各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)重。將上述兩組權(quán)重進行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果?！斑x擇旅游地”思維過程的歸納將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層54層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對比采用相對尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則C1,C2,…,Cn對目標(biāo)O的重要性A~成對比較陣A是正互反陣要由A確定C1,…,Cn對O的權(quán)向量選擇旅游地層次分析法的基本步驟成對比較陣和權(quán)向量元素之間兩兩對比，對55成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全一致的情況成對比較陣和權(quán)向量成對比較的不一致情況一致比較不一致允許不一致，但要確定不一致56成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如

A的秩為1，A的唯一非零特征根為n

A的任一列向量是對應(yīng)于n的特征向量

A的歸一化特征向量可作為權(quán)向量對于不一致(但在允許范圍內(nèi))的成對比較陣A，建議用對應(yīng)于最大特征根的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)成對比較陣和權(quán)向量成對比較完全一致的情況滿足的正互反陣A稱一致陣，如A的秩為57一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非零特征根為n可證：n階正互反陣最大特征根

n,且

=n時為一致陣定義一致性指標(biāo):CI越大，不一致越嚴(yán)重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110為衡量CI的大小，引入隨機一致性指標(biāo)RI——隨機模擬得到aij,形成A，計算CI即得RI。定義一致性比率CR=CI/RI

當(dāng)CR<0.1時，通過一致性檢驗Saaty的結(jié)果如下一致性檢驗對A確定不一致的允許范圍已知：n階一致陣的唯一非58“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗準(zhǔn)則層對目標(biāo)59組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第3層(方案)對第2層每一元素(準(zhǔn)則)的權(quán)向量方案層對C1(景色)的成對比較陣方案層對C2(費用)的成對比較陣…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

權(quán)向量w1(3)w2(3)…

wn(3)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為同樣求第60

（2）考慮第3層對第2層由1–9尺度得（2）考慮第3層對第2層61權(quán)向量矩陣權(quán)向量矩陣62

（3）組合權(quán)向量（3）組合權(quán)向量63（4）組合一致性檢驗（4）組合一致性檢驗64第3層對第2層的計算結(jié)果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.429