柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)講稿2013

多體動(dòng)力學(xué)摘要多剛體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析。目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"運(yùn)動(dòng)學(xué)部分引言113\o"CurrentDocument"矢量在某參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)114\o"CurrentDocument"習(xí)題十四116\o"CurrentDocument"角速度116\o"CurrentDocument"習(xí)題十五118\o"CurrentDocument"剛體上固定矢量在某參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)118\o"CurrentDocument"習(xí)題十六121\o"CurrentDocument"矢量在兩參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系122\o"CurrentDocument"習(xí)題十七123\o"CurrentDocument"角速度疊加原理123\o"CurrentDocument"習(xí)題十八124\o"CurrentDocument"角加速度124習(xí)題十九125\o"CurrentDocument"角速度與歐拉角對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系125\o"CurrentDocument"歐拉角125\o"CurrentDocument"車(chē)身姿態(tài)角127\o"CurrentDocument"車(chē)輪姿態(tài)角129\o"CurrentDocument"習(xí)題二十131\o"CurrentDocument"動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度131習(xí)題二^一134\o"CurrentDocument"Adams中的速度和加速度函數(shù)135\o"CurrentDocument"速度和加速度函數(shù)135\o"CurrentDocument"角速度和角加速度函數(shù)137\o"CurrentDocument"習(xí)題二十二138\o"CurrentDocument"剛體上及剛體外各點(diǎn)的速度與加速度139\o"CurrentDocument"剛體上各點(diǎn)的速度與加速度139\o"CurrentDocument"剛體外各點(diǎn)的速度與加速度142\o"CurrentDocument"習(xí)題二十三143運(yùn)動(dòng)學(xué)部分引言運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式用以確定剛體的角速度、角加速度，剛體上或剛體外各點(diǎn)的速度和加速度。采用達(dá)朗貝爾原理即動(dòng)靜法列寫(xiě)多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，最關(guān)鍵的是要先獲得慣性力主矢和主矩，所以需要?jiǎng)傮w的角加速度和質(zhì)心的加速度，從而需要速度和角速度，而速度和角速度可表示為剛體廣義坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。以下十幾節(jié)關(guān)于運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式的內(nèi)容對(duì)于動(dòng)力學(xué)問(wèn)題求解來(lái)說(shuō)就是為獲得慣性力主矢和主矩作準(zhǔn)備。對(duì)于建立汽車(chē)操縱運(yùn)動(dòng)仿真模型，即列寫(xiě)其動(dòng)力學(xué)方程，關(guān)鍵是獲得各輪胎六分力，而輪胎力取決于車(chē)輪的位置、姿態(tài)、速度和角速度，這些物理量的獲得都有賴(lài)于運(yùn)動(dòng)學(xué)分析公式。運(yùn)動(dòng)學(xué)公式中起核心作用的是剛體的角速度矢量。運(yùn)動(dòng)學(xué)矢量關(guān)系式在計(jì)算中要統(tǒng)一地在某個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)化為坐標(biāo)陣的形式，所以需要使用各個(gè)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換矩陣。運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式不但是列寫(xiě)動(dòng)力學(xué)方程的基礎(chǔ)，也是進(jìn)行有關(guān)運(yùn)動(dòng)分析和研究的基礎(chǔ)內(nèi)容。14矢量在某參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)圖14-1空間矢量奸和參照物R圖14-1空間矢量奸和參照物R一個(gè)標(biāo)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)用來(lái)描述標(biāo)量變化的快慢。標(biāo)量變化的快慢與觀察者所在的參照物無(wú)關(guān)。為描述矢量隨時(shí)間的變化，下而將定義矢量在某參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。矢量的變化包括其大小以及方向的變化。參照物不同，觀察到的同一矢量的大?。?biāo)量）變化是相同的，但方向變化不一定相同，例如墻上的時(shí)鐘，分針相對(duì)地面在作順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，而相對(duì)秒針卻作逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。因此總的來(lái)說(shuō)，所觀察到的矢量的變化隨觀察者所在參照物不同而不同。所以，討論標(biāo)量的變化不必涉及參照物，但討論矢量的變化，必須明確參照物。如圖14-1所示，空間任意矢量門(mén)在固定于參照物R上的坐標(biāo)系r內(nèi)可以表示為^^門(mén)=門(mén),尤+門(mén)尸y+門(mén)rZ（14-1）xryrzr通過(guò)上式，在參照物R內(nèi)觀察到的矢量聽(tīng)的大小和方向的變化，就表現(xiàn)為三個(gè)標(biāo)量門(mén)；、門(mén),及門(mén)；的變化。在金時(shí)間內(nèi)矢量奸在參照物R內(nèi)的變化量為△門(mén)=△門(mén),￡+△門(mén)+△門(mén)-Z，從而xryrzr=Pxx+—廣y+?zZ，兩邊取極限則有矢量門(mén)在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)定義為AtAtrAtrAtr一(r)dT［血―血r.血—=fx+fy+fz-(14-2)dtdtrdtrdtr，一…一一..，，一—一（r）d布這個(gè)導(dǎo)數(shù)仍然是一個(gè)矢量，用于描述在參照物R上看到的矢量奸的變化。符號(hào)中左上角標(biāo)dt“（r）”的括號(hào)內(nèi)為固定于參照物R上的坐標(biāo)系r的符號(hào)，用于代表參照物R，在Adams/Car中習(xí)慣Rdv\采用這種標(biāo)記方式，也可以表示為彳。dt對(duì)矢量求導(dǎo)不指明參照物是沒(méi)有意義的，求導(dǎo)符號(hào)必須有左上角標(biāo)，除非參照物是不言自明的。符號(hào)上加一點(diǎn)常用來(lái)表示標(biāo)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，如果用到矢量上，須指明參照物。（r）dlf若對(duì)矢量在參照物R內(nèi)進(jìn)一步對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可表示為dt（14-3）(r)d((r)dV\)=(r)d2ff=d2門(mén),f+d叫；-十d2門(mén),Zdtdtdt2dt2rdt2rdt2r（14-3）設(shè)m為一標(biāo)量，C為另一矢量，則容易證明，在某參照物R內(nèi)對(duì)矢量的求導(dǎo)滿足以下運(yùn)算規(guī)

(r)d(m叮)_dm叮十(r)d叮dtdtdt(r)d(m叮)_dm叮十(r)d叮dtdtdt(r)d(ff±〈)

dt(r)df+(r)d(Gdtdt(「)d(ff?Gdtdt(r)d(rfx<)

dt(r)df尸^(r)d(C)X。+fXdtdt若用f表示矢量f的大小，用單位矢量rT表示矢量f的方向，則（r）drf（r）ddf-（r）dll_（ff）_f+f——dtdtdtdt（14-4）（14-5）（14-6）（14-7）（14-8）（14-9）（14-10）（14-11）例14-1剛體B為一桿件，長(zhǎng)為，，相對(duì)參照物（14-9）（14-10）（14-11）假設(shè)固定于大地上的坐標(biāo)系r的原點(diǎn)為O，如圖14-2所示，三個(gè)單位矢量分別為f、J和2，rr—r其中2r沿旋轉(zhuǎn)鉸軸線方向，固定于剛體B上的坐標(biāo)系b的原點(diǎn)也取為O，三個(gè)單位矢量分別為*y和2，其中2也沿旋轉(zhuǎn)鉸軸線方向，則當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，b相對(duì)r做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)f與f之間的bbbbr轉(zhuǎn)角為e。從o點(diǎn)向剛體的另一端點(diǎn)p引矢量P，則P為固定于剛體b上的矢量。矢量P可在剛體b上的坐標(biāo)系b內(nèi)表示為p_lf」bP在剛體B內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為（b）dpd匚f_f_0_dtdtb即在剛體B上看，矢量P是不變化的，或者說(shuō)，P點(diǎn)相對(duì)剛體的速度為零。矢量P可在大地上的坐標(biāo)系r內(nèi)表示為P_lcos0f+1sineyP在大地內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為（r）dP=d（lcos0）x+d（lsin0）y=-/0,sin0x+1。cosBydtdtrdtrrr=0l（-sin0X+cos0y）（14-12）=0iyb即點(diǎn)p相對(duì)大地的速度為不為零，其方向垂直于桿件軸線即沿y方向，大小為角速度0與桿長(zhǎng)i的b積。習(xí)題十四從時(shí)鐘的中心向秒針的端點(diǎn)引一個(gè)矢量，試畫(huà)出七和［兩個(gè)時(shí)刻下該矢量在表盤(pán)上的位置；想象將一張紙固定在分針上，試畫(huà)出兩時(shí)刻下該矢量在這張紙上的位置。比較表盤(pán)上和這張紙上兩個(gè)矢量的差矢量。試證明式（8-4）?（8-7）。試證明式（8-8）式右端兩項(xiàng)所代表的矢量是相互垂直的。參見(jiàn)圖14-1，n為空間任意矢量，R為一參照物，r代表R上的一個(gè)固定坐標(biāo)系，單位矢量分別為x、y和z。n在r內(nèi)的坐標(biāo)陣為n「。令s為另外一個(gè)任意選定的固定于參照物r上的rrr—坐標(biāo)系，單位矢量分別為x、y和z。n在s內(nèi)的坐標(biāo)陣為ns。按矢量在參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間導(dǎo)555數(shù)的定義有，華工yznr，攀=Ryzk，試證明竺*=釁，dt丫--一-dtssdtdt即二者為同一矢量，都是矢量，在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)矢量。15角速度圖15-1剛體B和參照物R在剛體B上固定坐標(biāo)系b，如圖15-1所示，則剛體B相對(duì)參照物R的角速度定義為

布b=x虬?Z+yy?x+夕4?y（15-1）bdtbbdtbbdtb其中的三個(gè)標(biāo)量可用符號(hào)表示為①=⑺當(dāng)?⑦（15-2）xdtb①=蘭J?X（15-3）ydtb①=（r）%?y（15-4）zdtb它們分別是，右b在坐標(biāo)系b各軸向的分量，從而也有r3b=?x+①y+①z（15-5）xbybzb剛體B相對(duì)參照物R的角速度也可以用符號(hào)KB、rBB或Kb表示，固定于剛體或參照物上的坐標(biāo)系可以用來(lái)代表剛體或參照物，總之，左上角標(biāo)代表參照物，右上角標(biāo)代表?yè)碛性摻撬俣鹊膶?duì)象。圖15-2剛體B相對(duì)參照物R作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或平面運(yùn)動(dòng)如圖15-2，當(dāng)剛體相對(duì)參照物做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體相對(duì)參照物的角速度可簡(jiǎn)單地表示為KrBb=Qk（15-6）?..其中單位矢量k沿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的軸線方向或垂直于平面運(yùn)動(dòng)所在平面方向，0為轉(zhuǎn)動(dòng)角度，如圖15-2所示。這樣的角速度稱(chēng)為簡(jiǎn)單角速度。式（15-6）可以由角速度的一般定義推導(dǎo)出來(lái)。如圖15-2所示，在參照物R上固定坐標(biāo)系r，一…八人廣?人一、在剛體B上固定坐標(biāo)系b，使Zr=Zb=k，令x/口x,的夾角為0，貝I」x=cos0x+sin0y（15-7）y=-sin0x+cos0y（15-8）人人'''、z=z（15-9）將它們?cè)趨⒄瘴颮中對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有（r）dx—d-b=0（-sin0x+cos0y）=0y（15-10）(r)dybdt(r)d2b-dt=(5(-cos0x-sin0y)=-0f(15-11)(15-12)

代入定義式r瓦b=x也?戈+y塵-x+z妄-y(15-13)bdt(r)dybdt(r)d2b-dt=(5(-cos0x-sin0y)=-0f(15-11)(15-12)r①b=用=Gk(15-14)b習(xí)題十五1.在參照物R上固定一坐標(biāo)系r，其單位矢量分別為xr、yr和zr，在剛體B上固定一坐標(biāo)系b，其單位矢量分別為xb、yb和zb。已知b相對(duì)r的方向余弦矩陣為Arbaaa1112?1.其單位矢量分別為xb、yb和zb。已知b相對(duì)r的方向余弦矩陣為Arbaaa1112?a?aa2122aaa233132對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)陣為Arb=1333aaa1112aaa2122aaa3132132333-1(r)dxb(r)dyb(r)dzb，試求~dT、〒及FArb2.3.試求上題中剛體B相對(duì)參照物R2.3.試求1題中參照物R相對(duì)剛體B的角速度在坐標(biāo)系r內(nèi)的坐標(biāo)陣。16剛體上固定矢量在某參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)如圖16-1所示，矢量P固定在剛體B上，剛體B相對(duì)參照物R的角速度為r令b，則矢量p在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可通過(guò)r3b與P的叉積獲得(r)dp一（16-1）——=r3bXpdt、……，，一、,-，.一.、，一一，，，.、、.（r）dp,?一，.隊(duì)這與先將P在固定于參照物R上的坐標(biāo)系內(nèi)分解，然后再按矢量導(dǎo)數(shù)的定義求相比，顯然簡(jiǎn)dt捷得多。對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)剛體上的固定矢量，這個(gè)結(jié)論是我們?cè)缫咽熘模旅孀C明這個(gè)結(jié)論適用于在空間做任意運(yùn)動(dòng)的剛體。（16-1）證明：由于￡?￡=1（16-2）bb上式兩邊在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有

圖16-1剛體B上的固定矢量P和參照物R(r)dXx*x(r)dX0dtb圖16-1剛體B上的固定矢量P和參照物R(r)dXx*x(r)dX0dtbbdt矢量點(diǎn)積與順序無(wú)關(guān)，從而住1.X=0dtb又由于Zb-￡b=0上式兩邊在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有（r）dz.人（r）dX八—d—^-X+z-—d-b=0移項(xiàng)有（r）dz（r）dX木dtbdtb（16-4）（16-5）（16-6）（16-7）由剛體角速度的定義有(r)dybz*人dt七七(r)dZbX*zdtbb(r)dXbdt（16-8）從而(r)dyb、*.(r)dZbX*z(r)dX..)*xbdtbybdtbbdtybb=XXXbb(r)dy、八八(r)dZ八八八(r)dX八dt氣"bbdtb氣bdt'b（16-9）人(r)dZ八八(r)dX八=—z〒.xbf".yb考慮(10-4)和(10-7)有rO—bXX=X')d*b.X+ybbdtbb(r)dXxb人*zdt七七(r)dX4(r)dXxb.Z=bdtbdt(16-10).一（r）dX上面IT是一個(gè)矢量，它在b坐標(biāo)系各軸的投影乘以各軸單位矢量再相加等于該矢量，參見(jiàn)（2.1-4）式，故有第二個(gè)等號(hào)成立。同理可證

布bX$=fb(16-11)bdt_(r)dzr①bXz=—-b(16-12)bdt將矢量P表達(dá)為|5=Pf+Py+Pz(16-13)xbybzb將其在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有(r)dp(r)dX*(r)d§十(r)dzdtxdtydtzdt考慮(10-10)、(10-11)和(10-12)有(r)d|5___——=pr&bXX+Pr&bXy+prfflbXzdtxbybzb=r65bX(PX+Py+Pz)(16-15)xbybzb=r65bXP證畢。例16-1考慮b相對(duì)［的角速度的定義r(6b=x^b?z+y^b?x+z?y(16-16)bdtbbdtbbdtb由于TOC\o"1-5"\h\z(r)dx_人—=r6bXx(16-17)\o"CurrentDocument"dtb(r)%=rg7bXy(16-18)\o"CurrentDocument"dtbdt所以(r)dyzdt(r)dzbdtdt所以(r)dyzdt(r)dzbdt(r)dx?xb=(r6bXy)?z=r6b?(yXZ)=r6b?￡bbbbb=(r6bXz)?x=r6b?(%Xx)=r6b?ybbbbbb?y=（r6bXx）?y=r6b?（xXy）=r6b?%dtbbbbbb從而可以理解角速度定義式中，以上三項(xiàng)確為角速度矢量在各軸上分量。(16-19)(16-20)(16-21)(16-22)例16-2設(shè)k為時(shí)鐘轉(zhuǎn)軸萬(wàn)向的單位矢量，垂直表盤(pán)向里，則秒針相對(duì)表盤(pán)的角速度為一盤(pán)6秒=盤(pán)6秒k（16-23）其中盤(pán)6秒=2兀（弧度「分）（16-24）設(shè)秒針?lè)较虻膯挝皇噶繛?秒，則，（盤(pán)）de人人人———秒=盤(pán)6秒xe=盤(pán)6秒kxe（16-25）dt秒秒分針相對(duì)表盤(pán)的角速度為

一盤(pán)3分=盤(pán)①分k其中兀一盤(pán)①分=2兀（孤度；60分）=30（弧度.:分）設(shè)分針?lè)较虻膯挝皇噶繛?分，則，（盤(pán)）de_八人分=盤(pán)3分xe=盤(pán)①分kxedt分分時(shí)針相對(duì)表盤(pán)的角速度為盤(pán)3時(shí)=盤(pán)3時(shí)k其中盤(pán)①時(shí)=1（孤度,60分）=—（孤度;?分）6360設(shè)時(shí)針?lè)较虻膯挝皇噶繛閑時(shí)，則，（盤(pán)）de人八人時(shí)=盤(pán)3時(shí)xe=盤(pán)3時(shí)kxedt時(shí)時(shí)（16-26）（16-27）（16-28）（16-29）（16-30）（16-31）習(xí)題十六在參照物R上固定一坐標(biāo)系r，其單位矢量分別為f「、寧〃和Zr，在剛體B上固定一坐標(biāo)系b，其單位矢量分別為f、yb和z、在剛體b上有一固定矢量p，它在b內(nèi)的坐標(biāo)陣為p。已知b相對(duì)r的方向余弦矩陣為Arb，Arb對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)陣為A（16-26）（16-27）（16-28）（16-29）（16-30）（16-31）接上題，設(shè)剛體B相對(duì)參照物R的角速度為r3b，試?yán)胷3b求矢量p在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)矢量在r內(nèi)的坐標(biāo)陣。利用以上二題的結(jié)果，試證明剛體B相對(duì)參照物R的角速度「3b在b內(nèi)的坐標(biāo)方陣為r3b=AbrArb。17矢量在兩參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系圖17-1空間矢量聽(tīng)和兩個(gè)參照物如圖17-1所示，n為空間任意矢量，R和圖17-1空間矢量聽(tīng)和兩個(gè)參照物如圖17-1所示，n為空間任意矢量，R和S為兩個(gè)參照物，則矢量門(mén)在兩個(gè)參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)一般是不相等的，存在如下關(guān)系（r）dn（s）dn一一L=+r①s乂門(mén)（17-1）dtdt其中rG5s為S相對(duì)R的角速度。證明：在S上固定坐標(biāo)系s，則矢量n可在s內(nèi)表示為n=n￡+ny+n^Xsyszs將其在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有(r)dn=dnX+(r)dx+dn人+(r)d§十』門(mén)z+(r)dzdtdtsxdtdtsydtdtszdt_dn-dny-dnz)((r)dX(r)dy(r)dZ)dtsdt'sdt七s，xdt^ydt^zdt（17-2）TOC\o"1-5"\h\z=(s)dn+(nr65sXX+nr65sXy+門(mén)r(5sXZ)dtxsyszs(s)dn55=+r6sX(nX+nry+nrZ)dtxsyszs(s)dlT55=+r6sxndt（17-3）證畢。55（r）dn（s）d^、例17-1在（17-1）式中，若r6sxn=0，則有=。即當(dāng)S相對(duì)R平動(dòng)（r6s為零）dtdt或r6s與矢量n平行時(shí)，n在兩個(gè)參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)相等。例如，與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)軸平行

的矢量。特別地，當(dāng)門(mén)就是布S時(shí)，心S與自身不但平行而且相等，恒有竺竺L=W，即qsdtdt在參照物R和S內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)相等。—?例17-2設(shè)分針?lè)较虻膯挝皇噶繛?分，則其在表盤(pán)內(nèi)和在時(shí)針內(nèi)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為（盤(pán)）de（時(shí)）de人，分=,分+盤(pán)冗時(shí)xe（17-4）dtdt分習(xí)題十七設(shè)空間剛體A相對(duì)剛體B的角速度為問(wèn)A，B相對(duì)A的角速度為柘B，試證明何A=-A。B。參見(jiàn)圖17-1，空間矢量叮在s坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)陣為gs，從s到r的坐標(biāo)變換矩陣為Ars，它們（s）dg與時(shí)間的關(guān)系已知，試求在s和r坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)陣。dt…一一（r）dg，接上題，試求在s和r坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)陣。dt18角速度疊加原理如圖18-1所示，剛體B相對(duì)參照物R的角速度可借助參照物S表達(dá)為r。b=65s+s65b（18-1）其中r6b為剛體B相對(duì)參照物R的角速度，，6s為參照物，相對(duì)參照物R的角速度，s6b為剛體B相對(duì)參照物S的角速度，這就是角速度疊加原理。當(dāng)直接求r。5b較復(fù)雜，而求等式右端的角速度較簡(jiǎn)單時(shí)，可以應(yīng)用上式。

證明：對(duì)于任意一個(gè)固定于剛體B上的矢量。有(r)dS--（18-2）（18-3）（18-4）（（18-2）（18-3）（18-4）（18-5）(s)d0--=s①bXSdt又(r)dS(s)dS一一=+r①sXpdtdt所以r65bXp=s65bXp+r05sX0由矢量P的任意性知(12-1)式成立。例18-1車(chē)輪相對(duì)大地的角速度等于車(chē)身相對(duì)大地的角速度加上車(chē)輪相對(duì)車(chē)身的角速度。例18-2分針和時(shí)針相對(duì)表盤(pán)的角速度關(guān)系為（18-6）（18-7）（18-8）（18-9）（18-10）盤(pán)6分=時(shí)6分+盤(pán)6時(shí)則時(shí)6分二盤(pán)6分一盤(pán)6時(shí)由于盤(pán)6分=2丸（弧度"60分）=30（弧度/分）冗冗盤(pán)6時(shí)=一（弧度;60分）=——（弧度;分）6360則時(shí)6分=奈-會(huì)=360（18-6）（18-7）（18-8）（18-9）（18-10）試?yán)媒撬俣券B加原理證明剛體A相對(duì)剛體B的角速度與B相對(duì)A的角速度大小相等，方向相反。19角加速度假設(shè)R6B為剛體B相對(duì)參照物R的角速度，則剛體B相對(duì)參照物R的角加速度定義為RdR6BBdR6b心B=7=7（19-1）dtdt即求角加速度時(shí)，可以將R6B在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，也可以在剛體自身內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。

習(xí)題十九試說(shuō)明角加速度在一般情形下不存在類(lèi)似角速度的疊加原理。試證明剛體A相對(duì)剛體B的角加速度與B相對(duì)A的角加速度大小相等方向相反。20角速度與歐拉角對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系20.1歐拉角剛體B和參照物R如圖20.1-1所示，剛體上固定坐標(biāo)系b相對(duì)參照物上坐標(biāo)系r的歐拉角(body-fixed3-1-3)為W、0和中，則剛體B剛體B和參照物R如圖20.1-1所示，剛體上固定坐標(biāo)系b相對(duì)參照物上坐標(biāo)系r的歐拉角(body-fixed3-1-3)為W、0和中，則剛體B相對(duì)參照物R的角速度，伽為rG5b=WZ+0f+板人［一'“?-一人x=cos^x+sinWy-'urr（20.1-1）①rx■0cw皿=①r0sw—y①r101-z」—心b在r坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)陣①r為Ws0—cWs0

c0W（20.1-2）歐拉角對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)用r3b在r坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)陣四r表示為「w］「-w/妁叩/妁1［"一O=cwsw0S^sw/sO—cw/sO驀.Lz-（20.1-3）心》在b坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)陣室為E1（20.1-4E1（20.1-4）「w］「s中/sO叩/sO0］「①bo=叩r中0X中-s們tgO-叩/tgO1①bLz」歐拉角對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)用，3b在b坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)陣重表示為（20.1-5）證明：按歐拉角的定義，引入輔助坐標(biāo)系u和v，u從與r重合位置繞J轉(zhuǎn)W，v從與u重合位置繞孔轉(zhuǎn)。，b從與v重合位置繞七=孔轉(zhuǎn)中，則得到剛體的一個(gè)位置。當(dāng)剛體B相對(duì)參照物R運(yùn)動(dòng)請(qǐng)，歐拉角W、0和中則隨時(shí)間變化，即當(dāng)b相對(duì)r運(yùn)動(dòng)時(shí)，輔助坐標(biāo)系u相對(duì)r做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為第一歐拉角W，輔助坐標(biāo)系v相對(duì)u做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為第二歐拉角0，而b相對(duì)v做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為第三歐拉角中。從而由角速度疊加原理知（20.1-1）式rG5b=WZ+0X+做x=cos^f+sinw§urr成立，上式中x.的關(guān)系式緣于u繞r的zr轉(zhuǎn)w角。由歐拉角與方向余弦矩陣的關(guān)系知，坐標(biāo)系b相對(duì)坐標(biāo)系r的方向余弦矩陣為下表中的右下角矩陣Arb八xbybzb人xrcw浦-swcOs^-cws^—swcO面swsO（on1n\八yrsw浦+cwcOs^—sws^+cw由面-cwsO（20.1-7）八z〃sOs^sO面cO這里c代表cos，s代表sin。由方向余弦矩陣的定義知，各元素為兩個(gè)坐標(biāo)系單位矢量間的點(diǎn)積，例如Z-x=W書(shū)（20.1-8）/人rZ-y二—即S0（20.1-9）brZ-z=co（20.1-10）br從而Z=swsOX-cwsOy+cOZ（20.1-11）brrr將上式和（20.1-6）的第二式代入（20.1-6）的第一式中有r?b=wz+o（cwx+swy）+^（swsOx一cwsOy+coz）（20.1-12）整理有rrrrrrr^b=（ocw+^wso）x+（osw—中即so）y+w+^cO）z（20.1-13）令角速度矢量，3b在坐標(biāo)系r內(nèi)的三個(gè)坐標(biāo)分別為①；、少，和①；，則有g(shù)=O?cw+QWsO（20.1-14）x①r=Osw—QcwsO（20.1-15）y

①r=W+W（20.1-16）z整理成矩陣形式即有（20.1-2）式。為用Wr、少尸和wr表示V和W，即證明（20.1-3）式，將式（20.1-14）兩邊同乘即，將式（20.1-15）兩邊同乘品，然后將所得二式相加有Q=WrCV+WrSV（20.1-17）將式（20.1-14）'兩邊同乘W，將式（20.1-15）兩邊同乘即，然后將所得二式相減有中=WrSV/50-Wr即/50（20.1-18）x上式代入式（20.1-16）中又有V=Wr-WrSV/tg0+Wr即/tg0（20.1-19）,zx以上三式寫(xiě)成矩陣形式即為（20.1-3）式。重復(fù)類(lèi)似的過(guò)程可以得到（20.1-4）和（20.1-5）式。20.2車(chē)身姿態(tài)角圖20.2-1車(chē)身8與大地R若固定于車(chē)身上的質(zhì)心坐標(biāo)系cm相對(duì)全局坐標(biāo)系GCS的隨體3-2-1（body-fixed3-2-1）轉(zhuǎn)角為橫擺角a、俯仰角P和側(cè)傾角Y，則車(chē)身相對(duì)大地的角速度為(20.2-1)gwcm=aZ+Py+丫x.c(20.2-1)y=-sinaX+cosaY在cm坐標(biāo)系內(nèi)可表示為(20.2-2)gWcm=pX+qy+rzccc其中'p=-ctsp+y(20.2-3)q=CcPsy+p(20.2-2)(20.2-3)r=（CcPcy-psy這里p稱(chēng)為側(cè)傾角速度，q稱(chēng)為俯仰角速度，r稱(chēng)為橫擺角速度，又有a=qsy/cp+rcy/cp(20.2-4)P=qc一rsy(20.2-4)y=p+qsytgP+rcytgP

一^-一q證明：按隨體3-2-1轉(zhuǎn)角的定乂，引入輔助坐標(biāo)系u和v，u從與GCS重合位置繞Z轉(zhuǎn)橫擺角a，Gv從與u重合位置繞寧u轉(zhuǎn)俯仰角P，cm從與v重合位置繞孔=E轉(zhuǎn)側(cè)傾角丫，則得到車(chē)身的一個(gè)位置。當(dāng)車(chē)身B相對(duì)大地R運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨體3-2-1轉(zhuǎn)角a、P和y則隨時(shí)間變化，即當(dāng)cm相對(duì)GCS運(yùn)動(dòng)時(shí)，輔助坐標(biāo)系u相對(duì)GCS做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為橫擺角a，輔助坐標(biāo)系v相對(duì)u做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為俯仰角P，而cm相對(duì)v做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為側(cè)傾角Y。從而由角速度疊加原理知（20.2-1）式g（5cm=aZ+0y+yx<.G.uc（20.2-5）y=-sinaX+cosaYU-GG成立，上式中y的關(guān)系式緣于u繞GCS的zg轉(zhuǎn)橫擺角a。車(chē)身相對(duì)大地的角速度可以在cm內(nèi)表示為分量形式oG①cm=pX+qy+rz(20.2-6)ccc并稱(chēng)r為橫擺角速度，q為俯仰角速度，p為側(cè)傾角速度，AGcxyz—cccXcacP—sacy+casPsysasy+casPcyGYsacPcacy+sasPsy—casy+sasPcyGrCCCCZ—sPcPsycPcyGA.A利用下表"下角的方向余弦矩陣（20.2-7）把XG、Yg和ZG用cm的單位矢量表示為X=cac^X+(-sacy+cas^sy)y+(sasy+cas^cy)攵<Y=sacPX+(cacy+sasPsy)y+(-casy+sasPcy)Z(20.2-8)TOC\o"1-5"\h\zA__c____cZ=-sPx+cPsyy+cPcyz代入式(20.2-5)中有Gcocm=cl?^+P(—sinaX+cosaY)+yx八G八G八Gc=dZ—psinaX+PcosaY+yXGGGc(20.2-9)=a(—sPX+cPsyy+cPcyz)—psina[cacPX+(—sacy+casPsy)y+(sasy+casPcy)Z]+pcosa[sacPX+(cacy+sasPsy)y+(—casy+sasPcy)Z]+yX=(—asP+y)X+(acPsy+Pcy)y+(acPcy—Psy)Zccc從而可得到p、q和r與a、P和y及其對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為(20.2-9)q=acPsy+Pcyp=—asP+q=acPsy+Pcyr=acPcy—Psy『、…一…?、卜-、-、…一…一??…可見(jiàn)，橫擺角速度r不是橫擺角對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)a，俯仰角速度q不是俯仰角對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)P，側(cè)傾角速度p也不是側(cè)傾角對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)y。由上式的第二式乘c減去第三式乘sy，第二式乘sy加第三式乘cy有a=qs/cP—rcy/cP(20.2-12)P=qcy—rsy(20.2-11)上式代入(20.2-10)第一式有y=p+qsytgP—rcytgP(20.2-13)以上三式合起來(lái)即為（20.2-4）式。20.3車(chē)輪姿態(tài)角假設(shè)ISO_C坐標(biāo)系相對(duì)GCS的歐拉角為（w，Y,0），其中W為第一歐拉角，Y為第二歐拉角，第三歐拉角恒為零。則車(chē)輪相對(duì)大地的角速度為s*Z+yx+Qy（20.3-1）其中Q為車(chē)輪相對(duì)ISO_C坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。令①x、?和?二為車(chē)輪角速度在ISO_C內(nèi)分量，則將上式在ISO_C內(nèi)分解有*'七|『g=Wsin丫+Q（20.3-2）|y①=Wcosyz從上式又有'W2/cosy,z<y2（20.3-3）Q=①一①tgyIyzC證明：圖20.3-1中a）圖為立體圖，b）圖為水平面內(nèi)視圖，c）圖為從輪胎刖面向后看到的視圖，X^、Y和Z為固定于大地的全局坐標(biāo)系gcs的單位矢量，O為其原點(diǎn)，X、y和z為GGISO_WISO_WISO_WISO-W坐標(biāo)系的單位矢量，P為其原點(diǎn)，c、、c和'isoC為ISO-C坐標(biāo)系的單位矢量，車(chē)輪中心C為其原點(diǎn)。A向b）ISO_wc）w圖20.3-1ISO-W和ISO-C坐標(biāo)系ISO-W坐標(biāo)系相對(duì)GCS的角速度為G3ISO_w=WZ.GISO-C坐標(biāo)系相對(duì)ISO-W的角速度為iso_w①iso_c=y尤??iso_c（20.3-4）（20.3-5）車(chē)輪相對(duì)ISO-C的角速度定義為自轉(zhuǎn)角速度。，從而由角速度疊加原理有車(chē)輪相對(duì)大地的角速度①為—?①=g①iso_w+iso_w①iso_c+Qyiso_C（20.3-6）將式（20.3-4）和（20.3-5）兩式代入即有（20.3-1）式。下面推導(dǎo)（20.3-2）式。由于AZ=z（20.3-7）GISO_w而ISO-W與ISO-C的姿態(tài)關(guān)系簡(jiǎn)單：從與ISO-W重合的姿態(tài)下繞￡轉(zhuǎn)動(dòng)Y角即到達(dá)ISO-C的iso_w姿態(tài)，因而Z=z=sinyy+cosyzGISO_wISO_CISO_C代入（20.3-1）中有3=q（sinyy+cosyZ）+y￡+Qy=y￡+（Q+牛siny）y+牛cosyZ?ISO_C?ISO_C?ISO_C（20.3-8）（20.3-9）til_wheel_tire_rolling_statesrolling_radius_front輪心到印跡中心長(zhǎng)度CP從而有車(chē)輪角速度在ISO_C內(nèi)分量①、①和①如（20.3-2）式所示。由（20.3-2）即可得（20.3-3）式?！吩贏dams/Car的Postprocessor中，til_wheel_tire_rolling_states輸出的各量意義如下表所示表20.3-1輪胎滾動(dòng)狀態(tài)參數(shù)omegaactualfrontomegaactualfrontomegafreeomegafreefront輪心縱向速度與輪心到印跡中心長(zhǎng)度CP之比習(xí)題二十參見(jiàn)圖20.1-1，剛體B上有固定坐標(biāo)系b，參照物上有固定坐標(biāo)系r，b相對(duì)］的歐拉角(body-fixed3-1-3)為W、。和9，B相對(duì)R的角速度為〃65b。設(shè),65b在b或r內(nèi)的坐標(biāo)陣已知，試求歐拉角對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，如果歐拉角位于奇點(diǎn)附近，試討論其計(jì)算精度。(bxc)?d(axc)-d(axb)(bxc)?d(axc)-d(axb)-d人=，日=，v=(bxc)?a(axc)?b-(axb)?c試?yán)蒙项}結(jié)果證明(20.1=3)式成立。并討論如果歐拉角位于奇點(diǎn)附近，相應(yīng)的三個(gè)矢量a、b和。-的位置關(guān)系如何。一參見(jiàn)圖20.2-2，固定于車(chē)身上的質(zhì)心坐標(biāo)系為cm，固定于大地上的全局坐標(biāo)系為GCS，cm才目對(duì)GCS的隨體3-2-1(body-fixed3-2-1)轉(zhuǎn)角為橫擺角偵、俯仰角P和側(cè)傾角Y，車(chē)身相對(duì)大地的加速度為G65cm。試用a、P和Y及其導(dǎo)數(shù)表示G65cm在GCS內(nèi)的坐標(biāo)陣。21動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度門(mén)zRxR圖21-1動(dòng)點(diǎn)P和坐標(biāo)系R1如圖21-1所示，設(shè)有參照物R和動(dòng)點(diǎn)P，在R上有一固定坐標(biāo)系，亦用R表示，由R原點(diǎn)到P點(diǎn)引一矢量「則動(dòng)點(diǎn)P相對(duì)參照物R的速度R5P定義為5(R)drpRVP=dt(21-1)sdn-若另有一參照物s，則導(dǎo)數(shù)不是動(dòng)點(diǎn)p相對(duì)參照物S的速度，只是變矢量門(mén)在參照物S內(nèi)對(duì)dt時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。動(dòng)點(diǎn)？相對(duì)參照物R的加速度R刁P定義為-(R)dRVP(R)d2rpRaP——dtdt2(21-2)—..一cq.例21-1車(chē)身質(zhì)心相對(duì)大地的速度和加速度。大地上全局坐標(biāo)系GCS的單位矢量分別為X、Y和GGZG，原點(diǎn)為O。在車(chē)身上以車(chē)身質(zhì)心C為原點(diǎn)建立一個(gè)車(chē)身坐標(biāo)系cm，其單位矢量分別為土、y和?，￡沿車(chē)身縱向指向后方，y指向車(chē)身右方，2指向車(chē)身上方。由o到車(chē)身質(zhì)心即cccc—?的原點(diǎn)C引一個(gè)位置矢量，記為RC，則車(chē)身質(zhì)心C相對(duì)大地的速度GVC定義為(G)dRGVC=Gdt—?若R在GCS內(nèi)表示為R=xX+y^Y+療CGGG則有g(shù)vc=xX+y^Y+疚(21-5)GGG這是車(chē)身質(zhì)心速度在GCS內(nèi)的分量表示。車(chē)身質(zhì)心相對(duì)大地的加速度GaC為(G)dGVC(G)d2RGac—=cdtdt2將(21-5)代入有-Gac=xX+y^Y+?疙GGG這是車(chē)身質(zhì)心加速度在GCS內(nèi)的分量表示。對(duì)于車(chē)輛的運(yùn)動(dòng)，車(chē)身質(zhì)心的速度和加速度習(xí)慣于在車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)表示gvc—vX+vy+v2(21-8)xcyczcGac—aX+ay+az(21-9)xcyczc其中V稱(chēng)為縱向速度，V稱(chēng)為側(cè)向速度，V稱(chēng)為垂向速度，a稱(chēng)為縱向加速度，a稱(chēng)為側(cè)向加xyzxy速度，a稱(chēng)為垂向加速度。令從車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系cm到全局坐標(biāo)系GCS的坐標(biāo)變換矩陣為AGc，則車(chē)身質(zhì)心速度和加速度在兩個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)坐標(biāo)陣的關(guān)系為(21-3)(21-4)(21-6)(21-7)ccmx「V]xy—AGcVy_z_Lv」z二「x[axy=AGcay_z_La」(21-10)(21-11)z車(chē)身質(zhì)心速度V、V和V對(duì)時(shí)間的變化率不是a、a和a，但二者之間存在確定的關(guān)系，xyzxyz下面推導(dǎo)其關(guān)系。令車(chē)身相對(duì)大地的角速度為GCO-，其在車(chē)身坐標(biāo)系內(nèi)表示為gcocm=px+qy+rz(21-12)ccc其中r為橫擺角速度，q為俯仰角速度，p為側(cè)傾角速度，且有a—qsy/cP+rc/c。P—qc-rsy直—P+qStgP+rcytgP其中a為橫擺角，P為俯仰角，y為側(cè)傾角。由任意變矢量在兩個(gè)參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)的關(guān)系有(21-13)_(G)dGVC(cm)dGVC__Gac=——-——=+G①cmXG^C(21-14)dtdt由(21-8)有上式中第一項(xiàng)為(cm)dGV(cm)dGVC.人—dt—=VxX而第二項(xiàng)為XcVVG①cmXGyC=pVx從而-ycqVy-zcr(21-15)=(qv-rv)x+(rv-pv)y+(pv-qv)Zzycxzcyxc(21-16)Gac=(v+qv一rv)x+(v+rv一pv)y+(v+pv一qv)z(21-17)xzycyxzczyxc這是車(chē)身質(zhì)心加速度在車(chē)身坐標(biāo)系內(nèi)的表示，從而有v、v和v對(duì)時(shí)間的變化率與a、a及a之xyzxyz間的關(guān)系為r?.a=v+qv一rvxxzy?<a=v+rv—pv(21-18)a=v+pv一qv'車(chē)身的角加速度為G（Xcm=（）g（0cm='）G（55cm=px+C[y+茂（21-19）dtdtccc其中r為橫擺角加速度，q為俯仰角加速度，p為側(cè)傾加加速度。對(duì)于已知力求運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，應(yīng)用上述運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式的順序?yàn)椋河闪傲乩脛?dòng)力學(xué)方

程可獲得加速度a、a、a及角加速度p、q和r，利用（21-18）可得v、v和v，然后積分

xyzxyz可獲得vx、v、vz、p、q和r，利用（21-10）可得x、y及z，利用（21-13）可得（、&及1,，再積分可得x、y、z、a、p和i。例21-2在Adams/Car中，進(jìn)行整車(chē)MDI_Demo_Vehicle的雙移線（ISOlanechange）仿真后，在postprocessor內(nèi)可以看至UAdams/Car自帶的輸出chassis_displacements、chassis_velocities和chassis_accelerations，其意義如下表所示表21-1車(chē)身位置、姿態(tài)、速度、角速度、加速度和角加速度輸出輸出量名稱(chēng)例15-1中對(duì)應(yīng)變量意義chassis_displacements.longitudinal車(chē)身質(zhì)心縱向位移-X車(chē)身質(zhì)心C在全局坐標(biāo)系GCS內(nèi)的x坐標(biāo)的負(fù)值chassis_displacements.lateral車(chē)身質(zhì)心側(cè)向位移Y車(chē)身質(zhì)心C在全局坐標(biāo)系GCS內(nèi)的y坐標(biāo)chassis_displacements.vertical車(chē)身質(zhì)心垂向位移Z車(chē)身質(zhì)心C在全局坐標(biāo)系GCS內(nèi)的z坐標(biāo)chassis_displacements.yaw車(chē)身橫擺角a車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系cm相對(duì)全局坐標(biāo)系GCS的body-fixed3-2-1轉(zhuǎn)角的第一角chassis_displacements.pitch車(chē)身俯仰角的負(fù)值-P車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系cm相對(duì)全局坐標(biāo)系GCS的body-fixed3-2-1轉(zhuǎn)

角的第二角的負(fù)值chassis_displacements.roll車(chē)身側(cè)傾角Y車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系cm相對(duì)全局坐標(biāo)系GCS的body-fixed3-2-1轉(zhuǎn)角的第三角chassis_velocities.longitudinal車(chē)身質(zhì)心縱向速度-v尤車(chē)身質(zhì)心C速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的x分量的負(fù)值chassis_velocities.lateral車(chē)身質(zhì)心側(cè)向速度vy車(chē)身質(zhì)心C速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的y分量chassis_velocities.vertical車(chē)身質(zhì)心垂向速度vz車(chē)身質(zhì)心C速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的z分量chassis_velocities.yaw車(chē)身橫擺角速度r車(chē)身角速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的z分量chassis_velocities.pitch車(chē)身俯仰角速度q車(chē)身角速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的y分量chassis_velocities.roll車(chē)身側(cè)傾角速度p車(chē)身角速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的x分量chassis_accelerations.longitudinal車(chē)身質(zhì)心縱向加速度—ax車(chē)身質(zhì)心C加速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的x分量的負(fù)值chassis_accelerations.lateral車(chē)身質(zhì)心側(cè)向加速度ay車(chē)身質(zhì)心C加速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的y分量chassis_accelerations.vertical車(chē)身質(zhì)心垂向加速度az車(chē)身質(zhì)心C加速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的z分量chassis_accelerations.yaw車(chē)身橫擺角加速度r車(chē)身角加速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的z分量chassis_accelerations.pitch車(chē)身俯仰角加速度?q車(chē)身角加速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的y分量chassis_accelerations.roll車(chē)身側(cè)傾角加速度?p車(chē)身角加速度在質(zhì)心坐標(biāo)系cm內(nèi)的x分量（注：Adams/Car2007后處理器ResultSets中的ges_chassis_XFORM為車(chē)身BCS在GCS內(nèi)的位置和歐拉角數(shù)據(jù)，而sprung_mass_displacement為車(chē)身cm在std_tire_ref中的位置和歐拉角數(shù)據(jù)，sprung_mass_displacement.yaw其實(shí)是歐拉角psi，sprung_mass_displacement.pitch其實(shí)是歐拉角theta，sprung_mass_displacement.roll其實(shí)是歐拉角phi，）習(xí)題二十參見(jiàn)圖21-1，P為一動(dòng)點(diǎn)。參照物R上有一固定坐標(biāo)系，亦用R表示。由坐標(biāo)系R的原點(diǎn)O到動(dòng)點(diǎn)P所引的矢量為彳，由參照物R上另外的任意一點(diǎn)。］向動(dòng)點(diǎn)P所引的矢量為T(mén)，從O_—(R)何(R)dv\到U。1的矢量為P。試證明動(dòng)點(diǎn)P相對(duì)參照物R的速度RVp=—^=-~^，動(dòng)點(diǎn)P相對(duì)參—(r)d21T(r)d21T照物R的加速度Rap==1。dt2dt2

在大地上固定全局坐標(biāo)系GCS，其單位矢量分別為^>Lg、*和奴，在車(chē)身上以車(chē)身質(zhì)心C為原點(diǎn)固定車(chē)身坐標(biāo)系cm，其單位矢量分別為f、寧和Z:x沿車(chē)身縱向指向后方，寧指ccccc向車(chē)身右方，z指向車(chē)身上方。車(chē)身質(zhì)心C在GCS內(nèi)的坐標(biāo)為x，y，z，車(chē)身cm相對(duì)GCSc的橫擺角為a，俯仰角為p，側(cè)傾角為Y，設(shè)車(chē)身質(zhì)心C相對(duì)大地的縱向速度為Vx，側(cè)向速度為v，垂向速度為v，縱向加速度為a，側(cè)向加速度為a，垂向加速度為a。試求車(chē)身yzxyz質(zhì)心速度和加速度在gcs各軸向的分量即x，y，z，和x，y，z。接上題，設(shè)車(chē)身相對(duì)大地的橫擺角速度為r，俯仰角速度為q，側(cè)傾角速度為p，橫擺角加速度為r，俯仰角加速度為如側(cè)傾加加速度為p，試求a、p及Y對(duì)時(shí)間的一階和二階導(dǎo)數(shù)，即a、p、y和a、p、y。22Adams中的速度和加速度函數(shù)圖22.1-1參照物坐標(biāo)系R、參考坐標(biāo)系A(chǔ)及任意兩個(gè)標(biāo)記坐標(biāo)系F和T22.1速度和加速度函數(shù)（r）dr（R）drdttdtF如圖22.1-1所示，設(shè)F和T為任意兩個(gè)標(biāo)記坐標(biāo)系，R為固定于某參照物上的坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O,矢量Rf和4分別為由O到F和T原點(diǎn)的位置矢量，矢量彳為由F原點(diǎn)到T原點(diǎn)的位置矢量，A為參考坐標(biāo)系，其單位矢量分別為x「yA和z/（r）dr（R）drdttdtF（22.1-1）.x（22.1-1）A

（22.1-2）（22.1-3）（r）d-（r）d-八嘔=M*/氣（r）d帝可見(jiàn)它們分別是在A三方向的分量。（22.1-2）（22.1-3）dt函數(shù)VX、VY和VZ在Adams中的引用格式分別為VX=VX（Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame）.（22.1-4）VY=VY（Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame）.（22.1-5）VZ=VZ（Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame）（22.1-6）這里Tomarker即為圖22.1-1中的T，F(xiàn)rommarker即為圖22.-1中的F，Alongmarker即為圖22.1-1中的A，Referencemarker即為圖22.1-1中的R。TOC\o"1-5"\h\z（r）d八若僅需要~dkRT?七，則調(diào)用VX的格式為VX=VX（Tomarker,ReferenceFrame,AlongMarker,ReferenceFrame）.（22.1-7）此時(shí)亍=Rt，上式代表ToMarker原點(diǎn)相對(duì)參照物ReferenceFrame的速度在七方向的分量。三個(gè)加速度函數(shù)ACCX、ACCY和ACCZ的定義分別為"4八?（R）d2a（R）d25八（22.1-8）（22.1-9）（22.1-10）ACCX=RR?xdt2Tdt2FAA?=［蕓rt-蕓嚇ya"ACCj茶RT-茶Rj?ZA（R）d2rT可見(jiàn)它們分別是一-—在A三方向的分量。dt2其在Adams中的引用格式為ACCX=ACCX（Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame）（22.1-11）ACCY=ACCY（Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame..（22.1-12）ACCZ=ACCZ（Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame）（22.1-13）（R）d2人若僅需要~dKRt?七，則調(diào)用accx的格式為ACCX=ACCX（Tomarker,ReferenceFrame,AlongMarker,ReferenceFrame（22.1-14）此時(shí)亍二R“上式代表ToMarker原點(diǎn)相對(duì)參照物ReferenceFrame的加速度在X方向的分量。（22.1-8）（22.1-9）（22.1-10）TA例22.1-1在Adams/Car中的整車(chē)多體系統(tǒng)MDI_Demo_Vehicle中，左前輪質(zhì)心坐標(biāo)系為MDI_Demo_Vehicle.TR_Front_Tires.whl_wheel.cm，車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系為MDI_Demo_Vehicle.TR_body.ges_chassis.cm下面以whl_wheel.cm和ges_chassis.cm代替它們，以GCS表示固定于大地上的全局坐標(biāo)系，則左前輪心相對(duì)大地的速度在GCS第一軸分量為VX_GCS=VX（whl_wheel.cm,GCS,GCS,GCS）（22.1-15）左前輪心相對(duì)車(chē)身的速度在車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系第三軸分量即垂向分量為VZ_cm=VZ（whl_wheel.cm,ges_chassis.cm,ges_chassis.cm,ges_chassis.cm,）（22.1-16）例22.1-2上節(jié)例21-1中車(chē)身質(zhì)心的速度和加速度可由速度和加速度函數(shù)求得如下X=VX（cm,GCS,GCS,GCS）（22.1-17）

】=VY（cm,GCS,GCS,GCS）（22.1-18）z=V（cm,GCS,GCS,GCS）（22.1-19）v=VX（cm,GCS,cm,GCS）（22.1-20）」=VY（cm,GCS,cm,GCS）（22.1-21）yv=VX（cm,GCS,cm,GCS）（22.1-22）x=ACCX（cm,GCS,GCS,GCS）（22.1-23）y=ACCY（cm,GCS,GCS,GCS）（22.1-24）z=ACCZ（cm,GCS,GCS,GCS）（22.1-25）a=ACCX（cm,GCS,cm,GCS）（22.1-26）a=ACCY（cm,GCS,cm,GCS）（22.1-27）a=ACCZ（cm,GCS,cm,GCS）（22.1-28）z22.2角速度和角加速度函數(shù)圖22.2-1大地G、參照物R圖22.2-1大地G、參照物R、參考坐標(biāo)系A(chǔ)及任意兩個(gè)標(biāo)記坐標(biāo)系F和T如圖22.2-1所示，設(shè)F和T為任意兩個(gè)標(biāo)記坐標(biāo)系，R為某參照物，固定于大地上的全局坐標(biāo)系為G，A為參考坐標(biāo)系，其單位矢量分別爐.系為G，A為參考坐標(biāo)系，其單位矢量分別爐.、y.和「在心皿，中，有三個(gè)角速度函數(shù)WX、WY和WZ，它們分別定義為WX=WY=xAyA（22.2-1）（22.2-2）（22.2-3）A可見(jiàn)它們分別是T和F相對(duì)大地的角速度之差，亦即T相對(duì)F的角速度在A三方向的分量。函數(shù)WX、WY和WZ在Adams中的引用格式分別為WX=WX（Tomarker,FromMarker,AlongMarker）（22.2-4）WY=WY（Tomarker,FromMarker,AlongMarker）（22.2-5）WZ=WZ（Tomarker,FromMarker,AlongMarker）（22.2-6）

這里Tomarker即為圖22.2-1中的T，F(xiàn)rommarker即為圖22.2-1中的F，Alongmarker即為圖22.2-1中的A。三個(gè)角加速度函數(shù)WDTX、WDTY和WDTZ的定義分別為(R)d-(R)d-八WDTX=GwT-^—GwF?X(22.2-7)dtdtAm(R)d-(R)d-八(22.2-8)(22.2-9)WDTY=gwt一gwf?-y_dtdtJAWDTZ=GwT-MGwf]?￡dtdtA可見(jiàn)它們分別是T和F相對(duì)大地的角速度之差，亦即T相對(duì)F的角速度在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)在A三方向的分量，當(dāng)R就是F時(shí)，它們是T相對(duì)F的角加速度在A三方向的分量。(22.2-8)(22.2-9)其在Adams中的引用格式為WDTX=WDTX(Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame)(22.2-10)WDTY=WDTX(Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame)(22.2-11)WDTZ=WDTX(Tomarker,FromMarker,AlongMarker,ReferenceFrame).(22.2-12)若求T相對(duì)F的角加速度在A第一軸分量，則調(diào)用WDTX的格式為WDTX=WDTX(Tomarker,Frommarker,AlongMarker,Frommarker)(22.2-13)例22.2-1在Adams/Car中的整車(chē)多體系統(tǒng)MDI_Demo_Vehicle中，左前輪質(zhì)心坐標(biāo)系為MDI_Demo_Vehicle.TR_Front_Tires.whl_wheel.cm，車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系為MDI_Demo_Vehicle.TR_body.ges_chassis.cm下面以whl_wheel.cm和ges_chassis.cm代替它們，以GCS表示固定于大地上的全局坐標(biāo)系，則左前輪相對(duì)大地的角速度在GCS第一軸分量為WX_GCS=WX(whl_wheel.cm,GCS,GCS)(22.2-14)左前輪相對(duì)大地的角速度在車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系第一軸分量即側(cè)傾角速度為WX_cm=WX(whl_wheel.cm,GCS,ges_chassis.cm)(22.2-15)例22.2-2上節(jié)例21-1中車(chē)身的角速度和角加速度可由角速度和角加速度函數(shù)求得如下p=WX(cm,GCS,cm)(22.2-16)q=WY(cm,GCS,cm)(22.2-17)r=WZ(cm,GCS,cm)(22.2-18)p=WDTX(cm,GCS,cm,GCS)(22.2-19)q=WDTY(cm,GCS,cm,GCS)(22.2-20)r=WDTZ(cm,GCS,cm,GCS)(22.2-21)習(xí)題二十二在Adams/Car中的整車(chē)多體系統(tǒng)MDI_Demo_Vehicle中，試用速度函數(shù)輸出車(chē)身質(zhì)心相對(duì)大地的速度在車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系和GCS內(nèi)各軸向的分量。在Adams/Car中的整車(chē)多體系統(tǒng)MDI_Demo_Vehicle中，試用加速度函數(shù)輸出車(chē)身質(zhì)心相對(duì)大地的加速度在車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系和GCS內(nèi)各軸向的分量。在Adams/Car中的整車(chē)多體系統(tǒng)MDI_Demo_Vehicle中，試用角速度函數(shù)輸出車(chē)身相對(duì)大地的角速度在車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系和GCS內(nèi)各軸向的分量。在Adams/Car中的整車(chē)多體系統(tǒng)MDI_Demo_Vehicle中，試用角加速度函數(shù)輸出車(chē)身相對(duì)大地的角加速度在車(chē)身質(zhì)心坐標(biāo)系和GCS內(nèi)各軸向的分量。23剛體上及剛體外各點(diǎn)的速度與加速度23.1剛體上各點(diǎn)的速度與加速度如圖23.1-1所示，設(shè)P1和P2為剛體B上的兩個(gè)固定點(diǎn)，O為參照物R上的一個(gè)固定點(diǎn)，矢量P1和P分別為由O到點(diǎn)P和P的位置矢量，矢量P為由點(diǎn)P到P的位置矢量，則點(diǎn)P和P相對(duì)參TOC\o"1-5"\h\z2121212照物R的速度RVP1和RVP2之間的關(guān)系為-局烏=RvP1+R65BX|5f（23.1-1）其中R6B為剛體B相對(duì)參照物R的角速度。而點(diǎn)P和P相對(duì)參照物R的加速度RaP1和RaP2之間的12關(guān)系為RaP2=_RaP+R以bxp+r6bx（r6bxp）（23.1-2）_其中R偵B為剛體B相對(duì)參照物R的角加速度。一假如剛體角速度已知，刷體上一點(diǎn)%的速度已知，則剛體上任意一點(diǎn)P2的速度可求。假如剛體的角速度和角加速度已知，剛體上一點(diǎn)4的加速度已知，則剛體上任意一點(diǎn)W的加速度可求。證明：12p=p+P（23.1-3）將上式在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有（23.1-4）Rdp=Rdp+Rdpdtdtdt由動(dòng)點(diǎn)速度定義有_

Rdp時(shí)％^―^（23.1-5）dtRdpRvp2=—^2（23.1-6）dt由剛體上矢量在參照物內(nèi)對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)與角速度的關(guān)系有Rdp=R3Bxp（23.1-7）（23.1-4）dt將以上三式代入（23.1-4）即得（23.1-1）。將（23.1-1）在參照物R內(nèi)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)即得（23.1-2）。例23.1-1剛體瞬時(shí)軸的確定。瞬時(shí)軸定義為某瞬時(shí)存在于剛體上的一條與剛體角速度平行的直線，該直線上任意一點(diǎn)的速度都相等且沿直線方向。設(shè)剛體相對(duì)參照物的角速度為冗，剛體上一點(diǎn)P相TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1—?—?—?—?對(duì)參照物的速度為匕，將匕分解為沿角速度切的分量匕和與角速度切垂直的分量匕，如圖23.1-2——所示，過(guò)點(diǎn)p作平面與角速度切垂直，則匕在該平面內(nèi)，過(guò)p在該平面內(nèi)畫(huà)直線M與匕垂直，則直線M上剛體各點(diǎn)的速度為』'1\o"CurrentDocument"————=V+?Xr（23.1-8）—

其中r起點(diǎn)為P且沿直線M方向，從而（3xr定與V同向或反向，圖23.1-2中反向，所以只要r的1—————?—?—?=匕+匕+Gxr*=匕......（23.1-9）大小適當(dāng)，一定有一點(diǎn)P*，使AX—與匕大小相等方向相反，令相應(yīng)的