物理i-1復(fù)習(xí)課件振動(dòng)

振動(dòng)與波動(dòng)Oscillations

and

Waves振動(dòng)——物理量隨時(shí)間的周期性變化位移、電流強(qiáng)度、電場強(qiáng)度……波動(dòng)——振動(dòng)的第一章 振動(dòng)Oscillations本章內(nèi)容：

簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)

簡諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)

簡諧振動(dòng)的要點(diǎn)與難點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)矢量圖：建立簡諧振動(dòng)方程——彈簧振子的振動(dòng)x

A

F

Fmaxa

amaxx

0

F

0v

vmaxa

0v

0

觀察F

kx

madt

2d2

x

2x

0m令

2

ka

2

x0dtv

dx

A

sin(t

)20d2

xa

A

cos(dt2t

)xFmo

x

x

Acosx

t

圖v

t

圖a

t圖

AA

2

A

2A

vatttA

x

Aooox

AcosT

2π

A

cost

π

0

2

v

A

s

A2

cost

π020)a

A

cos(t

0

0oA-AtxT§1.1

簡諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)Kinematics

of

Simple

HarmonicMotion——振動(dòng)的描述⒈定義x

Acos(ωt

0

)——簡諧振動(dòng)表達(dá)式或振動(dòng)方程x

——位移（或其它物理量）t

——時(shí)間e.g.⒉參量⑴

——角頻率angular

frequency

2

f

2TSI單位：rad/s

or

s-1Notes:①

僅依賴于系統(tǒng)本身的性質(zhì)，與初始條件無關(guān)e.g.m彈簧振子：

2

kl單 擺：

2

gnl0

長：k

nk0⑵

A——振幅

amplitudeSI單位：mNotes:

②關(guān)于彈簧的彈性勁度系數(shù)并聯(lián)：k

k1

k2串聯(lián)：1

1

1k

k1

k2請(qǐng)同學(xué)自行推導(dǎo)Notes:①A依賴于振動(dòng)的初始條件x

Acos(t

0

)v

dx/dt

Asin(t

0

)2E

Ep②A與振動(dòng)的能量有關(guān)e.g.

彈簧振子：

1

kA222

2

2002

A

x

x

v2

v2⑶0——初相(initialphase)單位：radNotes:①0依賴于振動(dòng)的初始條件。x0

Av0

00

x

v

φ

arctg

②通常取

0

0⑷

=t

+0

——相(phase)單位：radNotes:①

對(duì)應(yīng)于t時(shí)刻振動(dòng)的狀態(tài)x

Av

對(duì)于給定的簡諧振動(dòng)，由

x,vNotes:

②

可用來比較兩個(gè)同頻率簡諧振動(dòng)的步調(diào)x1

A1cos(t

01

)02

01

2k(k為整數(shù))x2

A2co02

01

(2k

1)(k為整數(shù))xto同相反相txo若0201=其它值，則當(dāng)0

02

01

時(shí),稱振動(dòng)2超前當(dāng)

02

01

0

時(shí),稱振動(dòng)2滯后Notes:tox

2

1to2x

101

02取x

Acos(ωt

0

)旋轉(zhuǎn)矢量A的端點(diǎn)在軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)為簡諧運(yùn)動(dòng)可否用一種更直觀的圖像的處理方法來處理振動(dòng)問題？⒊旋轉(zhuǎn)矢量圖

phasor

diagram旋轉(zhuǎn)矢量A0Xt

=tt+0Ot

=0x

=

A

cos(

t+0)AA長度＝振幅A角速度＝角頻率初始角＝初相0x

x0旋轉(zhuǎn)矢量圖與振動(dòng)曲線(x-t)如何對(duì)應(yīng)呢？17xtooxT0x

Acos

t

:

0

:

0

18OxA-AtOx-AOO這兩個(gè)振動(dòng)哪個(gè)初相位超前？x

xAt應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量圖求解初相位[例1-1]

某簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖，則振動(dòng)方程為

。x

(cm)t(s)1-2解：設(shè)振動(dòng)方程為

x

Acos則由振動(dòng)曲線：A=2

cmO-1t=0：cos0=

–1/20=

2/3t(s)1

O?1?2t=0

時(shí)旋矢圖：t>0，負(fù)向位移應(yīng)增大

0

2

/

3x(cm)X2/32/312另種畫法又，t=1s時(shí),

=2

2

2

/

3

4

/

3

(rad/s)t

1于是x

2cos(4

t

/[例1-2]質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律用余弦函數(shù)描述，其速度－時(shí)間曲線如圖，則其初相應(yīng)為

.v(m/s)t(s)vmvm/2O解：設(shè)

x

Acos則

v

dx

/

dt

Asin(t

0

)

vm

sin(t

0

)mmt=0時(shí),

有

vm

/

2

旋矢圖：t>0，正向速度應(yīng)增大

0

5

/

6[思考]

完全用旋矢法?xF

mo

x

sin0

1/

2

0

或5

/6t

>0,v

v

,x

平?衡位置O

X24x

AcostxAtxA00.5A-A0.5A0-A-AtxA00.5A0-AtxA0.5A練習(xí)：方程曲線；曲線方程（研究例題及作業(yè)）§1.2

簡諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)Dynamics

of

Simple

Harmonic

Motion——作用力、能量、動(dòng)力學(xué)方程⒈作用力(沿振動(dòng)方向的合力)由

x

Acos

a

2

Acos(t

)

2

x0

F

ma

m

2

x特點(diǎn)：①

F

方向：與位移方向相反大小：與位移大小成正比2對(duì)任意閉合路徑L:

x1x2x1xLx1Fdx

m2xdx

有

012xx2m

xdx證：

Xx1

x2O特點(diǎn)：

②

F

是保守力。px2

2

20m

A

cos

(t

)2

212m

A

Ep

Ek

——守恒⒉能量設(shè)x

=0處,Ep=0,

則有21212kE

mv又2

212m

x2x0

0E

Fdx

m

xdx

2

22012m

A

sin

(t

)簡諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、勢能、勢能曲線、能量守恒之間的關(guān)系pxB

AC

AxO2E

1

kx2212EpE

kAEkNotes①若系統(tǒng)中有多個(gè)保守力作用，則Ep是這些力的勢能之和e.g.

豎直彈簧振子：原長位置p平衡位置(E

=0)OxX-l0

2Ep=Ep(彈)+Ep(重)1=

2

kx②平均動(dòng)能與平均勢能：4k

pE

E

1

m

2

A20p

l

0

1

k

(x

l

)2

1

kl

2

mgx

1

kx2

kxl

mgx

1

kx22

0

2

0

2

0

2

mg

kl002p

1

kx2

E

A

xl0

kxdx

x

mgdx

F(x)

mg

k(x

l

)

kx

ENotes解：E

1

m

2

A22[例1-3]彈簧振子總能量為E1，若其振幅增為原來的兩倍，重物質(zhì)量增為原來的四倍，則振子總能量變?yōu)?/p>

。

1

kA22

E

4E1[思考]

T

?

vmax

?

amax

?[例1-4]系統(tǒng)作諧振動(dòng)，周期為T，以余弦函數(shù)表達(dá)振動(dòng)時(shí)，初相為零，則在

0

t

T/2范圍內(nèi)，系統(tǒng)在

t

=

時(shí)刻動(dòng)能和勢能相等。解：按題意x

Acost2p2A

x

E

1

m2

x2

1

m

2

A22242

cost

因此1[思考]其它解法？2t

3

/

4

3

T

4

2

8Xt

/

4

T

T

4

2

8

3T

t

/

4

or

3

/

4旋矢圖：3/4

/42

d

x

2

x

0dt2——簡諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程⒊動(dòng)力學(xué)方程簡諧振動(dòng)：x

Acosdt22

d

x

2

xNotes:其中A

C

2

C

21

22tan0

①零階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)系數(shù)決定②初始條件決定A、0方程的通解：x

C1

cost

C2

sin

t

Acos([例1-5]彈簧振子置于光滑斜面上（如圖），求其動(dòng)力學(xué)方程。解：平衡條件：mg

sin

kx0

0任意位置x處受力：F

mg

sin

k(x

x0)

k

xkm2

d

x

kdt2

m

x

02k(

)md2

xF

mdt2第二定律：特殊情形：

=

0——水平

=90

——豎直動(dòng)力學(xué)方程不變角頻率不變[例1-6]豎直懸掛的彈簧振子，平衡時(shí)彈簧的伸長量為x0，則此振子

振動(dòng)的周期T

=

。m

x平衡條件：

mg

kx0

0

0k

gx0g

T

2[思考]若置于傾角為

的斜面上，平衡時(shí)伸長量為x0，則T=?km解：T

2

2§1.3

簡諧振動(dòng)的Addition

of

SimpleHarmonic

Motions⒈同一直線上同頻率振動(dòng)的⑴兩個(gè)振動(dòng)的x1

A1

cox2

A2

cos(t

20

)AOXA1

x

x1

x2

Acos(t

0

)旋矢圖：t=0

時(shí)刻A202212

1

220

10

A

A

A

2A

A

cos(

)11022001

102

20A

sin

A

sin

tan

A

cos

A

cosNotes:

①若20?10=2k(k=0,1,2,

)則A=A1

+A2

——max.②若20?10=(2k+1)

(k=0,

1,2,

)則A=A1?A2

——min.A1

A2At[例1-9]兩個(gè)簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖，則它們 的余弦振動(dòng)的初相為。X42x1x2OA/2解：旋矢圖：1AoA2X合振動(dòng)初相：0

=–/

2[例1-10]兩振動(dòng),合振動(dòng)振幅為20cm,

它與振動(dòng)1的相位差為

-1=

/6

,振動(dòng)1振幅為10

3

cm,

則振動(dòng)2振幅為

cm,振動(dòng)1與2的相位差為1-2=

。解：旋矢圖：2221

11A

A

A

2AA

cos(

)

10

(cm)AA2OX1

1A

A2

A2A2cos

1

2

02A1

A20

/2

1

2

(

)

/

2AA1A2OX1旋矢圖：*⒉同一直線上不同頻率簡諧振動(dòng)的后不是簡諧振動(dòng)！e.g.

兩個(gè)等幅振動(dòng)：x1

Acos(1t

0

)x2

Acos(2t

0

)A1A2OXA122122t

cos2

1

x1

x2

2Acost

0

若

2

1

2

1近似：振幅為2Acos

2

1

t

的簡諧振動(dòng)2現(xiàn)象：振動(dòng)時(shí)強(qiáng)時(shí)弱——拍(beats)合振動(dòng)振幅變化的頻率——拍頻fb=f2–f1兩個(gè)同方向不同頻率簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率較大而頻率之差很小的兩個(gè)同方向簡諧運(yùn)動(dòng)的

，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍*⒊相互垂直的簡諧振動(dòng)的⑴同頻率情形——質(zhì)點(diǎn)合振動(dòng)軌跡是橢圓或直線e.g.

=0

=

=/4

=/2

=3/448用旋轉(zhuǎn)矢量描繪振動(dòng)合成圖49兩相互簡垂諧直運(yùn)同動(dòng)頻的率合不成同圖相位差⑵不同頻率情形若頻率為整數(shù)比——(Lissajous)圖形e.g.f2:f1=2:3y

A2A

x1o-A1-

A2應(yīng)用：頻率測量51x

A1

cos(1t

1

)2

2y

A

cos(

t

)2

n

m1,

,π

π

3π

,π8

4

8

22

0,2

01測量振動(dòng)頻率和相位的方法圖兩相互垂直不同頻率的簡諧運(yùn)動(dòng)的分解，可將任意振動(dòng)分解成若干SHM諧振分析利用的疊加。對(duì)周期性振動(dòng)：2ax(t

)

0

[Ak

cos(kt

k

)]k

1TT

：周期，

=2k

=1

基頻（）k

=

2k

=

3二次諧頻（2）

高次三次諧頻（3）

諧頻決定音調(diào)決定音色x2n

=

0

, n

=1

,

2

,

3

,

…Ak23

4560

1k(ω)分立譜：x1tttt例如對(duì)方波：a0Tt0x30x50x0

+x1+x3+x50Tt00x0a0

/

2小號(hào)發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎隨后在大風(fēng)中因產(chǎn)生而斷塌1940年 的塔大橋在大風(fēng)中產(chǎn)生振動(dòng)發(fā)生 時(shí)由于振幅過大可能損壞機(jī)器、設(shè)備或建筑。EXERCISES1.

質(zhì)點(diǎn)沿X軸以x

=0

為平衡位置作諧振動(dòng)，頻率為0.25Hz，t

=0

時(shí)，x

=–0.37cm，v

=0，則振幅為，振動(dòng)的數(shù)值表達(dá)式為。解：旋矢圖：0XAO

A

3.7

103

m

,又

2

f

0.5

(s1

)故x

3.7103

cos(0.5t

)

(SI)[思考]①若題中x=0.37cm，v

=0

，結(jié)果？②若題中x=0，v

=1.57cm/s，結(jié)果？，則x1的⒉兩個(gè)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線相位比x2的相位超前。解：由圖，