直角三角形全等的-判定HL課件

直角三角形全等的判定(HL)直角三角形全等的判定(HL)1回顧與思考1、判定兩個三角形全等方法，

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。SSSASAAASSAS3、如圖，ABBE于B，DEBE于E，⊥

⊥

2、如圖，RtABC中，C=90度，直角邊是

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斜邊是

。ABCBCACAB（1）若A=D，AB=DE，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）△

△

ABCDEF全等ASA回1、判定兩個三角形全等方法，，，2ABCDEF（2）若A=D，BC=EF，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）△

△

AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）△

△

全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）△

△

全等SSSABCDEF（2）若A=D，BC=EF，△△AA3如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.（測量工具：卷尺、測角器）（1）你能幫他想個辦法嗎？方法一：測量斜邊和一個對應的銳角.(AAS)方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個對應的銳角.(ASA)或(AAS)如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直4⑵如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”.你相信他的結(jié)論嗎？下面讓我們一起來驗證這個結(jié)論。⑵如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？工5做一做已知線段a=3cm、c=5cm和一個直角α，利用尺規(guī)作一個Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a，AB=c.acα想一想，怎樣畫呢？做一做已知線段a=3cm、c=5cm和一個直角α，利用尺規(guī)作6按照下面的步驟做一做：⑴作∠MCN=∠α=90°;CMN⑵在射線CM上截取線段CB=a;CMNB⑶以B為圓心,C為半徑畫弧，交射線CN于點A;CMNBA⑷連接AB.CMNBA⑴△ABC就是所求作的三角形嗎？⑵剪下這個三角形，和其他同學所作的三角形進行比較，它們能重合嗎？按照下面的步驟做一做：⑴作∠MCN=∠α=90°;CMN⑵7有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.簡寫成“斜邊、直角邊”定理或“HL”前提條件1條件2直角三角形全等的條件有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.簡寫成“斜邊8斜邊、直角邊公理(HL)ABCA′B′C′有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.前提條件1條件2在Rt△ABC和Rt△中AB=BC=∴Rt△ABC≌∵∠C=∠C′=90°推理：斜邊、直角邊公理(HL)ABCA′B′C′有斜邊和一條9一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?1.一個銳角及這個銳角的對邊對應相等的兩個直角三角形.全等(AAS)一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?1.一個102.一個銳角及這個銳角相鄰的直角邊對應相等的兩個直角三角形.全等(

ASA)一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?2.一個銳角及這個銳角相鄰的直角邊對應相等的兩個直角三角形.113.兩直角邊對應相等的兩個直角三角形.全等(

SAS)一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?3.兩直角邊對應相等的兩個直角三角形.全等(SAS)一、判124.有兩邊對應相等的兩個直角三角形.不一定全等情況1：全等情況2：全等(SAS)(

HL)一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?4.有兩邊對應相等的兩個直角三角形.不一定全等情況1：全等情13情況3：不全等一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?情況3：不全等一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為145.一個銳角及一邊對應相等的兩個直角三角形.不一定全等5.一個銳角及一邊對應相等的兩個直角三角形.不一定全等15想一想你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，還有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.想一想你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？16例1：已知：如圖,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分別為C,D,AD=BC,求證：△ABC≌△BAD.BDC證明：∵AC⊥BC,AD⊥BD∴∠C=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△BAD中

∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)A例題解析：例1：已知：如圖,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC,BD17

例2、如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由。

∴Rt△ADB

≌Rt△ADC

(HL)

∴BD=CD解：BD=CD，理由如下：

∵∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADB和Rt△ADC中,AB=ACAD=AD例題解析：例2、如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另18議一議例3、如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關(guān)系？∠ABC+∠DFE=90°.議一議例3、如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與19解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,則

BC=EF,AC=DF

.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形對應角相等).∵∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,則BC=EF,∴201.如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，DE＝DF，求證：(1)△BED≌△CFD．練一練：(1)證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BED=∠CFD=90°在Rt△BED與Rt△CFD中,DE＝DFBD＝CD∴△BED≌△CFD(H.L)(2)求證：△ABC是等腰三角形。(2)證明：∵△BED≌△CFD∴∠B=∠C

∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形1.如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB，DF212、如圖，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求證：BC＝BD

證明:∵∠C＝∠D＝90°∴△ABC與△ABD都是直角三角形在Rt△ABC與Rt△ABD中

AB=AB（公共邊）AC=AD∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）∴BC=BD(全等三角形對應邊相等）練一練：2、如圖，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，證明:∵∠C＝223、已知,如圖AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求證：AD//BC.證明：∵

AB⊥BD，CD⊥BD

∴∠ABD=∠CDB=900

在RtABD和RtCDB中，∵AB=CD,(已知)∠ABD=∠CDB=900BD=DB(公共邊)∴RtABD≌RtCDB（SAS)

∴∠ADB=∠CBD

∴AD//BC3、已知,如圖AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC證明：∵A234、已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求證：△ABC≌△DEFABCPDEFQ∠BAC=∠EDF,AB=DE,∠B=∠E分析：△ABC≌△DEFRt△ABP≌Rt△DEQAB=DE,AP=DQ4、已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,24ABCPDEFQ證明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高∴∠APB=∠DQE=90°在Rt△ABP和Rt△DEQ中AB=DEAP=DQ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ(HL)∴∠B=∠E在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDFAB=DE∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(ASA)已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求證：△ABC≌△DEFABCPDEFQ證明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高A25小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲呢？與你的同伴進行交流小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲呢？與你的同伴進行交流26“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”靈活運用各種方法證明直角三角形全等“SSS”小結(jié)拓展“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SA27

(1)_______,∠A=∠D(ASA)(2)AC=DF,________(SAS)(3)AB=DE,BC=EF()(4)AC=DF,______(HL)(5)∠A=∠D,BC=EF()(6)________,AC=DF(AAS)

BCAEFD把下列說明Rt△ABC≌Rt△DEF的條件或根據(jù)補充完整.AC=DFBC=EFHLAB=DEAAS∠B=∠E檢測練習(1)_______,∠A=∠D(ASA)281、已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高求證:BD=CD;∠BAD=∠CAD（注意：用全等三角形的知識證明）ABCD證明：∵AD是高∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADB和Rt△ADC中AB=ACAD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴BD=CD,∠BAD=∠CAD等腰三角形三線合一作業(yè)：1、已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高ABCD證292、已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求證：△ABC≌△DEFABCPDEFQ變式1：若把∠BAC＝∠EDF,改為BC＝EF

，△ABC與△DEF全等嗎？請說明思路。變式2：若把∠BAC＝∠EDF,改為AC=DF，△ABC與△DEF全等嗎？請說明思路。變式3：請你把例題中的∠BAC＝∠EDF改為另一個適當條件，使△ABC與△DEF仍能全等。試證明。2、已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,303、在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．（1）若BC在DE的同側(cè)（如圖①）且AD=CE，說明：BA⊥AC．（2）若BC在DE的兩側(cè)（如圖②）其他條件不變，問AB與AC仍垂直嗎？若是請予證明，若不是請說明理由．學以致用3、在△ABC中，AB=AC，DE是過點A的直線，BD⊥DE31我們的生活離不開數(shù)學，我們要做生活的有心人。再見我們的生活離不開數(shù)學，我們要做生活的有心人。再見32直角三角形全等的判定(HL)直角三角形全等的判定(HL)33回顧與思考1、判定兩個三角形全等方法，

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2、如圖，RtABC中，C=90度，直角邊是

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斜邊是

。ABCBCACAB（1）若A=D，AB=DE，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）△

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ABCDEF全等ASA回1、判定兩個三角形全等方法，，，34ABCDEF（2）若A=D，BC=EF，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）△

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AAS全等（3）若AB=DE，BC=EF，則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）△

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全等SAS（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF則ABC與DEF

（填“全等”或“不全等”）根據(jù)（用簡寫法）△

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全等SSSABCDEF（2）若A=D，BC=EF，△△AA35如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直角三角形是否全等，但每個三角形都有一條直角邊被花盆遮住無法測量.（測量工具：卷尺、測角器）（1）你能幫他想個辦法嗎？方法一：測量斜邊和一個對應的銳角.(AAS)方法二：測量沒遮住的一條直角邊和一個對應的銳角.(ASA)或(AAS)如圖，舞臺背景的形狀是兩個直角三角形，工作人員想知道這兩個直36⑵如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？

工作人員測量了每個三角形沒有被遮住的直角邊和斜邊，發(fā)現(xiàn)它們分別對應相等，于是他就肯定“兩個直角三角形是全等的”.你相信他的結(jié)論嗎？下面讓我們一起來驗證這個結(jié)論。⑵如果他只帶了一個卷尺，能完成這個任務嗎？工37做一做已知線段a=3cm、c=5cm和一個直角α，利用尺規(guī)作一個Rt△ABC,使∠C=∠α，CB=a，AB=c.acα想一想，怎樣畫呢？做一做已知線段a=3cm、c=5cm和一個直角α，利用尺規(guī)作38按照下面的步驟做一做：⑴作∠MCN=∠α=90°;CMN⑵在射線CM上截取線段CB=a;CMNB⑶以B為圓心,C為半徑畫弧，交射線CN于點A;CMNBA⑷連接AB.CMNBA⑴△ABC就是所求作的三角形嗎？⑵剪下這個三角形，和其他同學所作的三角形進行比較，它們能重合嗎？按照下面的步驟做一做：⑴作∠MCN=∠α=90°;CMN⑵39有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.簡寫成“斜邊、直角邊”定理或“HL”前提條件1條件2直角三角形全等的條件有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.簡寫成“斜邊40斜邊、直角邊公理(HL)ABCA′B′C′有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.前提條件1條件2在Rt△ABC和Rt△中AB=BC=∴Rt△ABC≌∵∠C=∠C′=90°推理：斜邊、直角邊公理(HL)ABCA′B′C′有斜邊和一條41一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?1.一個銳角及這個銳角的對邊對應相等的兩個直角三角形.全等(AAS)一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?1.一個422.一個銳角及這個銳角相鄰的直角邊對應相等的兩個直角三角形.全等(

ASA)一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?2.一個銳角及這個銳角相鄰的直角邊對應相等的兩個直角三角形.433.兩直角邊對應相等的兩個直角三角形.全等(

SAS)一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?3.兩直角邊對應相等的兩個直角三角形.全等(SAS)一、判444.有兩邊對應相等的兩個直角三角形.不一定全等情況1：全等情況2：全等(SAS)(

HL)一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?4.有兩邊對應相等的兩個直角三角形.不一定全等情況1：全等情45情況3：不全等一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為什么?情況3：不全等一、判斷：滿足下列條件的兩個三角形是否全等?為465.一個銳角及一邊對應相等的兩個直角三角形.不一定全等5.一個銳角及一邊對應相等的兩個直角三角形.不一定全等47想一想你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？

直角三角形是特殊的三角形，所以不僅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，還有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.想一想你能夠用幾種方法說明兩個直角三角形全等？48例1：已知：如圖,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分別為C,D,AD=BC,求證：△ABC≌△BAD.BDC證明：∵AC⊥BC,AD⊥BD∴∠C=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△BAD中

∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)A例題解析：例1：已知：如圖,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC,BD49

例2、如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由。

∴Rt△ADB

≌Rt△ADC

(HL)

∴BD=CD解：BD=CD，理由如下：

∵∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADB和Rt△ADC中,AB=ACAD=AD例題解析：例2、如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另50議一議例3、如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關(guān)系？∠ABC+∠DFE=90°.議一議例3、如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與51解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,則

BC=EF,AC=DF

.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形對應角相等).∵∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,則BC=EF,∴521.如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F為垂足，DE＝DF，求證：(1)△BED≌△CFD．練一練：(1)證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BED=∠CFD=90°在Rt△BED與Rt△CFD中,DE＝DFBD＝CD∴△BED≌△CFD(H.L)(2)求證：△ABC是等腰三角形。(2)證明：∵△BED≌△CFD∴∠B=∠C

∴AB=AC∴△ABC是等腰三角形1.如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB，DF532、如圖，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，求證：BC＝BD

證明:∵∠C＝∠D＝90°∴△ABC與△ABD都是直角三角形在Rt△ABC與Rt△ABD中

AB=AB（公共邊）AC=AD∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）∴BC=BD(全等三角形對應邊相等）練一練：2、如圖，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，證明:∵∠C＝543、已知,如圖AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求證：AD//BC.證明：∵

AB⊥BD，CD⊥BD

∴∠ABD=∠CDB=900

在RtABD和RtCDB中，∵AB=CD,(已知)∠ABD=∠CDB=900BD=DB(公共邊)∴RtABD≌RtCDB（SAS)

∴∠ADB=∠CBD

∴AD//BC3、已知,如圖AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC證明：∵A554、已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求證：△ABC≌△DEFABCPDEFQ∠BAC=∠EDF,AB=DE,∠B=∠E分析：△ABC≌△DEFRt△ABP≌Rt△DEQAB=DE,AP=DQ4、已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,56ABCPDEFQ證明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高∴∠APB=∠DQE=90°在Rt△ABP和Rt△DEQ中AB=DEAP=DQ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ(HL)∴∠B=∠E在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDFAB=DE∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(ASA)已知：如圖，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分別是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求證：△ABC≌△DEFABCPDEFQ證明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高A57小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲呢？與你的同伴進行交流小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲呢？與你的同伴進行交流58“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”靈活運用各種方法證明直角三角形全等“SSS”小結(jié)拓展“SAS”“ASA”“AA