多維隨機(jī)變量及其分布課件

第三章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布§3.2邊際分布與隨機(jī)變量的獨立性§3.3多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布§3.4多維隨機(jī)變量的特征數(shù)§3.5條件分布與條件期望紹興文理學(xué)院第三章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1多維隨機(jī)變量及其1§3.1

多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點坐標(biāo)二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點坐標(biāo)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點坐標(biāo)3.3.1多維隨機(jī)變量

定義3.1.1若X,Y是兩個定義在同一個樣本空間上的隨機(jī)變量，則稱(X,Y)是二維隨機(jī)變量.同理可定義n

維隨機(jī)變量(隨機(jī)向量).紹興文理學(xué)院§3.1多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一維隨機(jī)變量X——R1上2第三章知識框架圖作為整體：聯(lián)合分布函數(shù)離散型：聯(lián)合分布列連續(xù)型：聯(lián)合密度函數(shù)作為個體：邊際分布函數(shù)離散型：邊際分布列連續(xù)型：邊際密度函數(shù)相互關(guān)系X,Y是否獨立？X,Y是否相關(guān)？數(shù)字特征：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，等條件分布二維隨機(jī)變量(X,Y)紹興文理學(xué)院第三章知識框架圖作為整體：聯(lián)合分布函數(shù)離散型：聯(lián)合分布列連續(xù)3

定義3.1.2

3.1.2

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=P(X

x,Yy)為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).

任對實數(shù)x和y,稱二元函數(shù)注意：F(x,y)為隨機(jī)點(X,Y)落在點(x,y)的左下區(qū)域內(nèi)的概率.紹興文理學(xué)院定義3.1.23.1.2聯(lián)合分布函數(shù)F(x,4xyO(x,y)紹興文理學(xué)院xyO(x,y)紹興文理學(xué)院5聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)F(x,y)關(guān)于x和y分別單調(diào)不減.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)

=0，F(xiàn)(+,+)=1.(3)F(x,y)關(guān)于x和y分別右連續(xù).(4)當(dāng)a<b,c<d時，有F(b,d)

F(b,c)

F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左邊=P(a<Xb,c<Yd).(單調(diào)性)(有界性)(右連續(xù)性)(非負(fù)性)紹興文理學(xué)院聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)F(x,y)關(guān)于x和6反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。例1已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為（1)求常數(shù)A，B，C；（2)求P{X≤2,0<Y≤3}紹興文理學(xué)院反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都例1已7例2設(shè)二元函數(shù)問G(x,y)能否作為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)？紹興文理學(xué)院例2設(shè)二元函數(shù)問G(x,y)能否作為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合8

二維離散隨機(jī)變量

3.1.3聯(lián)合分布列若(X,Y)的可能取值為有限對、或可列對，則稱(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量.紹興文理學(xué)院二維離散隨機(jī)變量3.1.3聯(lián)合分布列若(X,Y9二維離散分布的聯(lián)合分布列稱pij

=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,為(X,Y)的聯(lián)合分布列，其表格形式如下:YXy1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………紹興文理學(xué)院二維離散分布的聯(lián)合分布列稱pij=P(X=xi,Y=y10聯(lián)合分布列的基本性質(zhì)(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)pij

=1.

(非負(fù)性)(正則性)紹興文理學(xué)院聯(lián)合分布列的基本性質(zhì)(1)pij0,i,11例3

設(shè)隨機(jī)變量Y~N(0,1),

求

的聯(lián)合分布列.例4

從1，2，3，4中任取一個數(shù)記為X，再從1，…,X中任選一個數(shù)記為Y.（1）求(X,Y)的聯(lián)合分布列，（2）求P(X>2,Y≤3),(3)求F(2.5,2).紹興文理學(xué)院例3設(shè)隨機(jī)變量Y~N(0,1),求的聯(lián)合分12例5

一射手進(jìn)行射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊直到擊中目標(biāo)兩次為止。記X表示首次擊中目標(biāo)的射擊次數(shù)，Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)。求X和Y的聯(lián)合分布列。

練習(xí)：設(shè)100件產(chǎn)品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品。從中任取5件，X,Y分別表示取出的5件中一等品、二等品的件數(shù)，試求(X,Y）的聯(lián)合分布列.紹興文理學(xué)院例5一射手進(jìn)行射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p133.1.4聯(lián)合密度函數(shù)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。稱p(x,y)

為聯(lián)合密度函數(shù)。幾何意義：F(x,y)表示以區(qū)域（-∞，x]

×(-∞,y]為底以f(x,y)為曲頂?shù)目臻g立體的體積.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負(fù)可積函數(shù)

p(x,y)，使得紹興文理學(xué)院3.1.4聯(lián)合密度函數(shù)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型14聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1)p(x,y)

0.

(非負(fù)性)

(2)

(正則性)注意：若f(x,y)在點(x,y)

處連續(xù)，則有紹興文理學(xué)院聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1)p(x,y)0.15例6

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求（1）；（2）P{X+Y<1}.紹興文理學(xué)院例6設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求（1）；（2）P{16求：（1）(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（2）例7設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為紹興文理學(xué)院求：（1）(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；例7設(shè)17一、多項分布3.1.5常用多維分布

若每次試驗有r種結(jié)果：A1,A2,……,Ar記P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r記Xi為n次獨立重復(fù)試驗中Ai

出現(xiàn)的次數(shù).則(X1,X2,……,Xr)的聯(lián)合分布列為：例8P150第1題.紹興文理學(xué)院一、多項分布3.1.5常用多維分布若每次試驗有18二、多維超幾何分布從中任取n只，記Xi為取出的n只球中，第i種球的只數(shù).口袋中有N只球，分成r類。第i種球有Ni

只，N1+N2+……+Nr

=N.則(X1,X2,……,Xr)的聯(lián)合分布列為：紹興文理學(xué)院二、多維超幾何分布從中任取n只，記Xi為取出的n只19三、二維均勻分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：則稱(X,Y)服從D上的二維均勻分布，記為(X,Y)

U(D).其中SD為D的面積.例9P148例3.1.6紹興文理學(xué)院三、二維均勻分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度20四、二維正態(tài)分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：則稱(X,Y)

服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)

N(

).紹興文理學(xué)院四、二維正態(tài)分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度21紹興文理學(xué)院紹興文理學(xué)院22五、二維指數(shù)分布例10見P144例3.1.3求（1）A；（2）P{X>Y}；（3）聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(4)F(1/2,1/3).設(shè)(X,Y)～作業(yè)：習(xí)題3.1第2、3、6、8、9、11、13、15題紹興文理學(xué)院五、二維指數(shù)分布例10見P144例3.1.3求（1）A；23選作題已知隨機(jī)變量(X,Y)在D上服從均勻分布,試求(X,Y)的分布密度及分布函數(shù),其中D為x軸,y軸及直線y=x+1所圍成的三角形區(qū)域.紹興文理學(xué)院選作題已知隨機(jī)變量(X,Y)在D上服從均24§3.2邊際分布與隨機(jī)變量的獨立性問題：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布？紹興文理學(xué)院§3.2邊際分布與隨機(jī)變量的獨立性問題：已知二維隨機(jī)變量253.2.1邊際分布函數(shù)已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則

YFY

(y)=F(+,y).

XFX

(x)=F(x,+),紹興文理學(xué)院3.2.1邊際分布函數(shù)已知(X,Y)的聯(lián)合分布函26例1

已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

求FX(x)與FY(y).該分布稱為二維指數(shù)分布.此例說明什么問題？紹興文理學(xué)院例1已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為求FX(x)與FY(273.2.2邊際分布列巳知(X,Y)的聯(lián)合分布列為pij，則

X的邊際分布列為：

Y的邊際分布列為：

紹興文理學(xué)院3.2.2邊際分布列巳知(X,Y)的聯(lián)合分布列為28XY練習(xí)：P159第1題紹興文理學(xué)院XY練習(xí)：P159第1題紹興文理學(xué)院293.2.3邊際密度函數(shù)巳知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，則

X的邊際密度函數(shù)為：

Y的邊際密度函數(shù)為：

紹興文理學(xué)院3.2.3邊際密度函數(shù)巳知(X,Y)的聯(lián)合密度30例2

P147例3.2.3（X,Y)的聯(lián)合概率密度為（1)求關(guān)于X,Y的邊際概率密度；（2）求P(X+Y<1).紹興文理學(xué)院例2P147例3.2.3（X,Y)的聯(lián)合概率密度為（131例3P160第3題

設(shè)(X,Y)服從區(qū)域

D={(x,y),x2+y2<1}上的均勻分布，求X，Y的邊際密度函數(shù).xy-11二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.紹興文理學(xué)院例3P160第3題設(shè)(X,Y)服從區(qū)域xy-1132注意點二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)：

若(X,Y)

N(

)，

則X

N(

)，

Y

N(

).紹興文理學(xué)院注意點二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)：則X33請同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?不一定.舉一反例以示證明.答紹興文理學(xué)院請同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其34因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.顯然，(X,Y)不是二維正態(tài)分布，但是紹興文理學(xué)院因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正353.2.4

隨機(jī)變量間的獨立性若滿足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pi.p.jiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)則稱X

與Y

是相互獨立的.紹興文理學(xué)院3.2.4隨機(jī)變量間的獨立性若滿足以下之一:紹興文理學(xué)院36性質(zhì)任對實數(shù)a,b,c,d，有(2)X與Y是相互獨立的，則它們的函數(shù)g(X)與h(Y)也是相互獨立的.(1)

X

與Y是獨立的，其本質(zhì)是：紹興文理學(xué)院性質(zhì)任對實數(shù)a,b,c,d，有(2)X與Y37例4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為:X01Y01

0.30.40.20.1問：X與Y是否獨立？看書中P157

例3.2.6練習(xí)：P160第10題紹興文理學(xué)院例4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為:XY038例5已知(X,Y)的聯(lián)合密度為

問X與Y是否相互獨立？定理

若聯(lián)合密度p(x,y)可分離變量，即

p(x,y)=g(x)h(y)

則X與Y相互獨立。練習(xí)：習(xí)題3.2第14題紹興文理學(xué)院例5已知(X,Y)的聯(lián)合密度為問X與Y是否39注意

(1)

(X,Y)服從矩形上的均勻分布，則X與Y獨立.

(2)

(X,Y)服從其他區(qū)域上的均勻分布，則X與Y不獨立.

(3)若(X,Y)服從二元正態(tài)N(

)則X與Y獨立的充要條件是=0.紹興文理學(xué)院注意(1)(X,Y)服從矩形上的均勻分40作業(yè)：習(xí)題3.2第4、5、12、13題紹興文理學(xué)院作業(yè)：紹興文理學(xué)院41§3.3多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布，如何求出Z=g(X,Y)的分布？紹興文理學(xué)院§3.3多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知二維隨機(jī)變量423.3.1多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布(2)多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布列容易求得：

i)對(X1,X2,…,Xn)的各種可能取值對，寫出Z相應(yīng)的取值.

ii)對Z的相同取值，合并其對應(yīng)的概率.(1)設(shè)(X1,X2,…,Xn)是n維離散隨機(jī)變量，則Z=g(X1,…,Xn)是一維離散隨機(jī)變量.紹興文理學(xué)院3.3.1多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布(2)多維離散隨機(jī)43

求Z＝X＋Y的分布列;(2)求W＝XY的分布列;(3)求M＝max(X,Y)的分布列；(4)求N＝min(X,Y)的分布列.012－10.30.20.100.20.10.1例1設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為紹興文理學(xué)院求Z＝X＋Y的分布列;012－10.30.44離散場合的卷積公式設(shè)離散隨機(jī)變量X與Y獨立，則Z=X+

Y的分布列為紹興文理學(xué)院離散場合的卷積公式設(shè)離散隨機(jī)變量X與Y獨立，紹興文45例2（泊松分布的可加性）

設(shè)X~P(1),Y~P(2),且X與Y相互獨立，求證：Z=X+Y~P(1

+2).注意：

X

Y不服從泊松分布.紹興文理學(xué)院例2（泊松分布的可加性）注意：XY不服從泊松46二項分布的可加性若Xb(n,p)，Y

b(m,p)，注意：若Xi

b(1,p)，i=1,2,…,n且相互獨立，則Z=X1+

X2+……+Xn

b(n,p).且獨立，則Z=X+

Yb(n+m,p).紹興文理學(xué)院二項分布的可加性若Xb(n,p)，Yb(m473.3.2最大值與最小值的分布例3

設(shè)X與Y獨立，且X,Y等可能地取值-1和1.（1）求Z=max(X,Y)的分布列.（2）求P(XY=1)=？（3）求P(X+Y=0)=?紹興文理學(xué)院3.3.2最大值與最小值的分布例3設(shè)X與Y48連續(xù)情況Y=max

(X1,X2,…,Xn),Z=min

(X1,X2,…,Xn)則Y的分布函數(shù)為:FY

(y)=[F(y)]n

Z的分布函數(shù)為:FZ(z)=1[1

F(z)]n

設(shè)X1,X2,……Xn,

獨立同分布，其分布函數(shù)均為F(x).若記紹興文理學(xué)院連續(xù)情況Y=max(X1,X2,…,Xn),Z49例4見P173第3題

設(shè)一設(shè)備有3個同類的電器元件，元件工作相互獨立，且工作時間均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。當(dāng)3個元件都正常工作時，設(shè)備才正常工作。求設(shè)備正常工作時間T的概率分布。自學(xué)P166例3.3.6

練習(xí):習(xí)題3.3第5題設(shè)P(X≥0,Y≥

0)=3/7,P(X≥

0)=P(Y≥

0)=4/7,求P(max(X,Y)≥

0).紹興文理學(xué)院例4見P173第3題自學(xué)P166例3.3.6練習(xí):503.3.3連續(xù)場合的卷積公式定理3.3.1

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X與Y獨立，則Z=X+

Y的密度函數(shù)為紹興文理學(xué)院3.3.3連續(xù)場合的卷積公式定理3.3.1設(shè)51正態(tài)分布的可加性例5

設(shè)X與Y是獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，求Z=X+

Y的分布.且獨立，若XN(

)，Y

N(

)，則Z=X+YN().推廣為紹興文理學(xué)院正態(tài)分布的可加性例5設(shè)X與Y是獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量52獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量若Xi

~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi

間相互獨立,實數(shù)a1,a2,...,an

不全為零,則紹興文理學(xué)院獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量若Xi~N(i,53例6

見P172第9題設(shè)X與Y相互獨立，試求Z=X+Y的密度函數(shù).（1）X～U(0,1),Y～U(0,1).（2）X～U(0,1),Y～Exp(1).

總結(jié)：哪些分布具有可加性？重要結(jié)論：N個獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之和，服從自由度為n的卡方分布。紹興文理學(xué)院例6見P172第9題總結(jié)：哪些分布具有可加性？紹興文理543.3.4變量變換法已知(X,Y)的分布，(X,Y)的函數(shù)求(U,V)的聯(lián)合分布.紹興文理學(xué)院3.3.4變量變換法已知(X,Y)的分布，(X55變量變換法的具體步驟有連續(xù)偏導(dǎo)、存在反函數(shù)則(U,V)的聯(lián)合密度為若其中J為變換的雅可比行列式紹興文理學(xué)院變量變換法的具體步驟有連續(xù)偏導(dǎo)、存在反函數(shù)則(U,V)56例7習(xí)題3.3第16題設(shè)X,Y獨立且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，(1)求U=X+Y,V=X/(X+Y)的聯(lián)合密度函數(shù)；(2)問U,V相互獨立嗎？看書中P170例3.3.10延伸思考題：P173例17題紹興文理學(xué)院例7習(xí)題3.3第16題看書中P170例3.3.10延伸57增補(bǔ)變量法可增補(bǔ)一個變量V=h(X,Y)，若要求U=g

(X,Y)的密度pU(u)，先用變量變換法求出(U,V)的聯(lián)合密度pUV(u,v)，用此方法可以求出卷積公式、積的公式、商的公式然后再由聯(lián)合密度pUV(u,v)，去求出邊際密度pU(u)紹興文理學(xué)院增補(bǔ)變量法可增補(bǔ)一個變量V=h(X,Y)，若要求U58分布函數(shù)法例9設(shè)X,Y相互獨立，且均服從N(0,1),求證：Z=(X2+Y2)1/2服從參數(shù)為1的瑞利分布.作業(yè)：習(xí)題3.3第7、9、19題綜合思考題：用兩種方法解答習(xí)題3.3第14題設(shè)矩形的邊長X,Y相互獨立，且分別服從(0,2),(0,1)區(qū)間上的均勻分布，求矩形面積Z的密度函數(shù).紹興文理學(xué)院分布函數(shù)法例9設(shè)X,Y相互獨立，且均服從N(0,1),求證593.4.1多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理3.4.1

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)，則E(Z)=E[g(X,Y)]=§3.4多維隨機(jī)變量的特征數(shù)紹興文理學(xué)院3.4.1多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理3.4.160例1在長為a的線段上任取兩點X與Y，求兩點間的平均長度.特別地例2設(shè)X1,X2獨立同分布，且均服從Exp(λ)，用兩種方法求Y=max(X1,X2)的數(shù)學(xué)期望.紹興文理學(xué)院例1在長為a的線段上任取兩點X與Y，特別地61例3

P190第15題設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立，且均服從U(0,?)，(1)求Y=max(X1,…,Xn)的數(shù)學(xué)期望;(2)求Z=min(X1,…,Xn)的數(shù)學(xué)期望.思考：P190第6題（離散型）紹興文理學(xué)院例3P190第15題設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立，且623.4.2數(shù)學(xué)期望與方差的運算性質(zhì)1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.當(dāng)X與Y獨立時，E(XY)=E(X)E(Y),3.當(dāng)X與Y獨立時，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)4.當(dāng)X與Y獨立時,有Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)若X1,X2,…,Xn相互獨立，則紹興文理學(xué)院3.4.2數(shù)學(xué)期望與方差的運算性質(zhì)1.E(X+Y)=63技巧總結(jié)：將復(fù)雜的隨機(jī)變量X分解成若干個隨機(jī)變量之和，再求E(X).例4P191第25題在一個有n個人參加的晚會上，每人帶來一件禮物，且假定各不相同.晚會期間各從放在一起的n件禮物中隨機(jī)抽取一件，試求抽中自己禮品的人數(shù)X的期望.自主學(xué)習(xí)：書中P177例3.4.4；推導(dǎo)二項分布的期望和方差紹興文理學(xué)院技巧總結(jié)：將復(fù)雜的隨機(jī)變量X分解成若干個隨機(jī)變量之和，再求E641.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,6),Y~N(1,4),且X,Y獨立,則E(X-2Y+3)=?Var(X-2Y+3)=?

練習(xí)題2.設(shè)X,Y,Z相互獨立，且E(X)=4,E(Y)=1,

E(Z)=-0.5,則E[(2X-3Y)(4Z+1)]=?作業(yè)習(xí)題3.4第2、11、12題紹興文理學(xué)院1.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,6),Y~N(1,4),且X653.4.3

協(xié)方差定義3.4.1稱Cov(X,Y)=E[(XE(X))][(YE(Y))]為X與Y的協(xié)方差.簡化公式：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).Cov(X,Y)=0,稱X與Y不相關(guān).紹興文理學(xué)院3.4.3協(xié)方差定義3.4.1稱Cov(X,66(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(X,X)=Var(X);Cov(X,a)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)協(xié)方差的性質(zhì)紹興文理學(xué)院(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)協(xié)方差的性67(5)Cov(aX+bY,cX+dY)=acVar(X)+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdVar(Y)若X,Y獨立，則Cov(X,Y)=0,即X,Y不相關(guān).一般情況下，此時有紹興文理學(xué)院(5)Cov(aX+bY,cX+dY)=acVar(X)+68例5設(shè)隨機(jī)變量Xb(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差.例6P191第27題設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度如下，求協(xié)方差.自學(xué)書中P180例3.4.8紹興文理學(xué)院例5設(shè)隨機(jī)變量Xb(12,0.5),YN(0,1),例69配對模型的數(shù)學(xué)期望和方差

n個人、n件禮物，任意取.

X為拿對自己禮物的人數(shù)，求E(X),Var(X).

紹興文理學(xué)院配對模型的數(shù)學(xué)期望和方差n個人、n件禮物，任意取703.4.4

相關(guān)系數(shù)定義3.4.2

稱Corr(X,Y)=為X與Y的相關(guān)系數(shù).紹興文理學(xué)院3.4.4相關(guān)系數(shù)定義3.4.2稱為X71若記注意點則紹興文理學(xué)院若記注意點則紹興文理學(xué)院72相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)1Corr(X,Y)1.

(3)Corr(X,Y)=1X與Y幾乎處處有線性關(guān)系.即存在a≠0,b使得P(Y=aX+b)=1.(1)施瓦茨不等式{Cov(X,Y)}2Var(X)Var(Y).

紹興文理學(xué)院相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(2)1Corr(X,Y)73注意點

Corr(X,Y)接近于1，X與Y間正相關(guān).

Corr(X,Y)接近于1，X與Y間負(fù)相關(guān).

Corr(X,Y)接近于0，X與Y間不相關(guān).沒有線性關(guān)系Corr(X,Y)的大小反映了X與Y之間的線性關(guān)系：紹興文理學(xué)院注意點Corr(X,Y)接近于1，X與Y間74例7

設(shè)

(X,Y)的聯(lián)合分布列為X101Y

1011/81/81/81/801/81/81/81/8

（1）求X,Y的相關(guān)系數(shù).（2）判斷X,Y的獨立性與相關(guān)性.此例說明什么問題？紹興文理學(xué)院例7設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為XY175例8

設(shè)（X,Y）服從單位圓內(nèi)的均勻分布，問X與Y是否獨立?是否相關(guān)？例9

見P192第31題此例說明什么問題？紹興文理學(xué)院例8設(shè)（X,Y）服從單位圓內(nèi)的均勻分布，問X與Y是否76(1)不相關(guān)與相互獨立的關(guān)系注意相互獨立不相關(guān)(2)不相關(guān)的充要條件紹興文理學(xué)院(1)不相關(guān)與相互獨立的關(guān)系注意相互獨立不相關(guān)(2)不相77

二維正態(tài)分布的特征數(shù)(1)X~N(1,12),Y~N(2,22);(3)X,Y獨立

=0X,Y不相關(guān)(2)參數(shù)恰為X和Y的相關(guān)系數(shù)(例3.4.9);設(shè)則例9（續(xù)）

P192第31題，求證：當(dāng)a=b時，Y,Z相互獨立.紹興文理學(xué)院二維正態(tài)分布的特征數(shù)(1)X~N(1,1278作業(yè)習(xí)題3.4第32、35、41練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)~N(-1,2,4,9,0),則2X-3Y服從什么分布？紹興文理學(xué)院作業(yè)練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)~N(-1,2,4,9,0791.問題的提出自主學(xué)習(xí)：相關(guān)系數(shù)的意義紹興文理學(xué)院1.問題的提出自主學(xué)習(xí)：相關(guān)系數(shù)的意義紹興文理學(xué)院80解得紹興文理學(xué)院解得紹興文理學(xué)院812.相關(guān)系數(shù)的意義代入得紹興文理學(xué)院2.相關(guān)系數(shù)的意義代入得紹興文理學(xué)院82§3.5條件分布與條件期望對二維隨機(jī)變量(X,Y),在給定Y取某個值的條件下,X的分布;在給定X取某個值的條件下,Y的分布.紹興文理學(xué)院§3.5條件分布與條件期望對二維隨機(jī)變量(X,Y),83一.離散情形條件分布列為：3.5.1條件分布紹興文理學(xué)院一.離散情形條件分布列為：3.5.1條件分布紹84看P194例3.5.1例1

P205第1題以X記某醫(yī)院一天內(nèi)誕生嬰兒的個數(shù)，以Y記其中男嬰的個數(shù).設(shè)X,Y的聯(lián)合分布列為求條件分布列P(Y=m|X=n).紹興文理學(xué)院看P194例3.5.1例1P205第1題以X記某醫(yī)院一85看P195例3.5.2例2

某時間段內(nèi)進(jìn)入商店的人數(shù)X~P(λ),每個顧客購買某種物品的概率為p,并且各個顧客是否購買該物品相互獨立.求進(jìn)入商店的顧客中購買該物品的人數(shù)Y的分布列.紹興文理學(xué)院看P195例3.5.2例2某時間段內(nèi)進(jìn)入商店的人數(shù)X~86二.連續(xù)情形條件密度函數(shù)為：紹興文理學(xué)院二.連續(xù)情形條件密度函數(shù)為：紹興文理學(xué)院87例3

P198例3.5.5設(shè)（X,Y）服從單位圓上的均勻分布，試求給定Y=y條件下的條件密度函數(shù)p(x|y).紹興文理學(xué)院例3P198例3.5.5設(shè)（X,Y）服從單位圓上的均勻分88例4

P206第7題設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為求條件概率P(Y≥0.75|X=0.5).紹興文理學(xué)院例4P206第7題設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為求條件概率89補(bǔ)充內(nèi)容1：協(xié)方差矩陣紹興文理學(xué)院補(bǔ)充內(nèi)容1：協(xié)方差矩陣紹興文理學(xué)院90協(xié)方差矩陣的應(yīng)用協(xié)方差矩陣可用來表示多維隨機(jī)變量的概率密度，從而可通過協(xié)方差矩陣達(dá)到對多維隨機(jī)變量的研究.紹興文理學(xué)院協(xié)方差矩陣的應(yīng)用協(xié)方差矩陣可用來表示多維隨機(jī)變量的概率密度，91舉例紹興文理學(xué)院舉例紹興文理學(xué)院92補(bǔ)充內(nèi)容2：n維正態(tài)變量的性質(zhì)紹興文理學(xué)院補(bǔ)充內(nèi)容2：n維正態(tài)變量的性質(zhì)紹興文理學(xué)院93線性變換不變性紹興文理學(xué)院線性變換不變性紹興文理學(xué)院94三.連續(xù)場合的全概率公式與貝葉斯公式紹興文理學(xué)院三.連續(xù)場合的全概率公式與貝葉斯公式紹興文理學(xué)院95說明聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下聯(lián)合分布邊緣分布條件分布聯(lián)合分布例5紹興文理學(xué)院說明聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下聯(lián)合分布邊緣分布條96四.條件期望紹興文理學(xué)院四.條件期望紹興文理學(xué)院97例6設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為在0<y<1時，求E(X|Y=y).紹興文理學(xué)院例6設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為在0<y<1時，求98五.重期望公式在E(X)不便于直接求的時候，有例7設(shè)可以供應(yīng)的電力X～U(10,30),實際需要的電力Y～U(10,20),利潤為求平均利潤E(Z).將此例題與P83例2.2.7行比較.紹興文理學(xué)院五.重期望公式在E(X)不便于直接求的時候，有例7設(shè)可以99作業(yè)習(xí)題3.5第3、6、8、12題紹興文理學(xué)院作業(yè)紹興文理學(xué)院100第三章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布§3.2邊際分布與隨機(jī)變量的獨立性§3.3多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布§3.4多維隨機(jī)變量的特征數(shù)§3.5條件分布與條件期望紹興文理學(xué)院第三章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1多維隨機(jī)變量及其101§3.1

多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一維隨機(jī)變量X——R1上的隨機(jī)點坐標(biāo)二維隨機(jī)變量(X,Y)——R2上的隨機(jī)點坐標(biāo)n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)———Rn上的隨機(jī)點坐標(biāo)3.3.1多維隨機(jī)變量

定義3.1.1若X,Y是兩個定義在同一個樣本空間上的隨機(jī)變量，則稱(X,Y)是二維隨機(jī)變量.同理可定義n

維隨機(jī)變量(隨機(jī)向量).紹興文理學(xué)院§3.1多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布一維隨機(jī)變量X——R1上102第三章知識框架圖作為整體：聯(lián)合分布函數(shù)離散型：聯(lián)合分布列連續(xù)型：聯(lián)合密度函數(shù)作為個體：邊際分布函數(shù)離散型：邊際分布列連續(xù)型：邊際密度函數(shù)相互關(guān)系X,Y是否獨立？X,Y是否相關(guān)？數(shù)字特征：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，等條件分布二維隨機(jī)變量(X,Y)紹興文理學(xué)院第三章知識框架圖作為整體：聯(lián)合分布函數(shù)離散型：聯(lián)合分布列連續(xù)103

定義3.1.2

3.1.2

聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)=P(X

x,Yy)為(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).

任對實數(shù)x和y,稱二元函數(shù)注意：F(x,y)為隨機(jī)點(X,Y)落在點(x,y)的左下區(qū)域內(nèi)的概率.紹興文理學(xué)院定義3.1.23.1.2聯(lián)合分布函數(shù)F(x,104xyO(x,y)紹興文理學(xué)院xyO(x,y)紹興文理學(xué)院105聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)F(x,y)關(guān)于x和y分別單調(diào)不減.(2)0F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)

=0，F(xiàn)(+,+)=1.(3)F(x,y)關(guān)于x和y分別右連續(xù).(4)當(dāng)a<b,c<d時，有F(b,d)

F(b,c)

F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左邊=P(a<Xb,c<Yd).(單調(diào)性)(有界性)(右連續(xù)性)(非負(fù)性)紹興文理學(xué)院聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)F(x,y)關(guān)于x和106反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都可以作為某個二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。例1已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為（1)求常數(shù)A，B，C；（2)求P{X≤2,0<Y≤3}紹興文理學(xué)院反之，任一滿足上述四個性質(zhì)的二元函數(shù)F(x,y)都例1已107例2設(shè)二元函數(shù)問G(x,y)能否作為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)？紹興文理學(xué)院例2設(shè)二元函數(shù)問G(x,y)能否作為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合108

二維離散隨機(jī)變量

3.1.3聯(lián)合分布列若(X,Y)的可能取值為有限對、或可列對，則稱(X,Y)為二維離散隨機(jī)變量.紹興文理學(xué)院二維離散隨機(jī)變量3.1.3聯(lián)合分布列若(X,Y109二維離散分布的聯(lián)合分布列稱pij

=P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,...,為(X,Y)的聯(lián)合分布列，其表格形式如下:YXy1

y2…yj…x1x2…xi…

p11

p12…p1j…

p21

p22…p2j………………

pi1

pi2…pij………………紹興文理學(xué)院二維離散分布的聯(lián)合分布列稱pij=P(X=xi,Y=y110聯(lián)合分布列的基本性質(zhì)(1)pij

0,

i,j=1,2,…(2)pij

=1.

(非負(fù)性)(正則性)紹興文理學(xué)院聯(lián)合分布列的基本性質(zhì)(1)pij0,i,111例3

設(shè)隨機(jī)變量Y~N(0,1),

求

的聯(lián)合分布列.例4

從1，2，3，4中任取一個數(shù)記為X，再從1，…,X中任選一個數(shù)記為Y.（1）求(X,Y)的聯(lián)合分布列，（2）求P(X>2,Y≤3),(3)求F(2.5,2).紹興文理學(xué)院例3設(shè)隨機(jī)變量Y~N(0,1),求的聯(lián)合分112例5

一射手進(jìn)行射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p<1),射擊直到擊中目標(biāo)兩次為止。記X表示首次擊中目標(biāo)的射擊次數(shù)，Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)。求X和Y的聯(lián)合分布列。

練習(xí)：設(shè)100件產(chǎn)品中有50件一等品，30件二等品，20件三等品。從中任取5件，X,Y分別表示取出的5件中一等品、二等品的件數(shù)，試求(X,Y）的聯(lián)合分布列.紹興文理學(xué)院例5一射手進(jìn)行射擊，每次擊中目標(biāo)的概率為p(0<p1133.1.4聯(lián)合密度函數(shù)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。稱p(x,y)

為聯(lián)合密度函數(shù)。幾何意義：F(x,y)表示以區(qū)域（-∞，x]

×(-∞,y]為底以f(x,y)為曲頂?shù)目臻g立體的體積.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，若存在非負(fù)可積函數(shù)

p(x,y)，使得紹興文理學(xué)院3.1.4聯(lián)合密度函數(shù)則稱(X,Y)為二維連續(xù)型114聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1)p(x,y)

0.

(非負(fù)性)

(2)

(正則性)注意：若f(x,y)在點(x,y)

處連續(xù)，則有紹興文理學(xué)院聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)(1)p(x,y)0.115例6

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求（1）；（2）P{X+Y<1}.紹興文理學(xué)院例6設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為求（1）；（2）P{116求：（1）(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；（2）例7設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為紹興文理學(xué)院求：（1）(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)；例7設(shè)117一、多項分布3.1.5常用多維分布

若每次試驗有r種結(jié)果：A1,A2,……,Ar記P(Ai)=pi

,i=1,2,……,r記Xi為n次獨立重復(fù)試驗中Ai

出現(xiàn)的次數(shù).則(X1,X2,……,Xr)的聯(lián)合分布列為：例8P150第1題.紹興文理學(xué)院一、多項分布3.1.5常用多維分布若每次試驗有118二、多維超幾何分布從中任取n只，記Xi為取出的n只球中，第i種球的只數(shù).口袋中有N只球，分成r類。第i種球有Ni

只，N1+N2+……+Nr

=N.則(X1,X2,……,Xr)的聯(lián)合分布列為：紹興文理學(xué)院二、多維超幾何分布從中任取n只，記Xi為取出的n只119三、二維均勻分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：則稱(X,Y)服從D上的二維均勻分布，記為(X,Y)

U(D).其中SD為D的面積.例9P148例3.1.6紹興文理學(xué)院三、二維均勻分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度120四、二維正態(tài)分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為：則稱(X,Y)

服從二維正態(tài)分布，記為(X,Y)

N(

).紹興文理學(xué)院四、二維正態(tài)分布若二維連續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度121紹興文理學(xué)院紹興文理學(xué)院122五、二維指數(shù)分布例10見P144例3.1.3求（1）A；（2）P{X>Y}；（3）聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(4)F(1/2,1/3).設(shè)(X,Y)～作業(yè)：習(xí)題3.1第2、3、6、8、9、11、13、15題紹興文理學(xué)院五、二維指數(shù)分布例10見P144例3.1.3求（1）A；123選作題已知隨機(jī)變量(X,Y)在D上服從均勻分布,試求(X,Y)的分布密度及分布函數(shù),其中D為x軸,y軸及直線y=x+1所圍成的三角形區(qū)域.紹興文理學(xué)院選作題已知隨機(jī)變量(X,Y)在D上服從均124§3.2邊際分布與隨機(jī)變量的獨立性問題：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布，如何求出X和Y各自的分布？紹興文理學(xué)院§3.2邊際分布與隨機(jī)變量的獨立性問題：已知二維隨機(jī)變量1253.2.1邊際分布函數(shù)已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，則

YFY

(y)=F(+,y).

XFX

(x)=F(x,+),紹興文理學(xué)院3.2.1邊際分布函數(shù)已知(X,Y)的聯(lián)合分布函126例1

已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為

求FX(x)與FY(y).該分布稱為二維指數(shù)分布.此例說明什么問題？紹興文理學(xué)院例1已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為求FX(x)與FY(1273.2.2邊際分布列巳知(X,Y)的聯(lián)合分布列為pij，則

X的邊際分布列為：

Y的邊際分布列為：

紹興文理學(xué)院3.2.2邊際分布列巳知(X,Y)的聯(lián)合分布列為128XY練習(xí)：P159第1題紹興文理學(xué)院XY練習(xí)：P159第1題紹興文理學(xué)院1293.2.3邊際密度函數(shù)巳知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)，則

X的邊際密度函數(shù)為：

Y的邊際密度函數(shù)為：

紹興文理學(xué)院3.2.3邊際密度函數(shù)巳知(X,Y)的聯(lián)合密度130例2

P147例3.2.3（X,Y)的聯(lián)合概率密度為（1)求關(guān)于X,Y的邊際概率密度；（2）求P(X+Y<1).紹興文理學(xué)院例2P147例3.2.3（X,Y)的聯(lián)合概率密度為（1131例3P160第3題

設(shè)(X,Y)服從區(qū)域

D={(x,y),x2+y2<1}上的均勻分布，求X，Y的邊際密度函數(shù).xy-11二維均勻分布的邊際分布不一定是一維均勻分布.紹興文理學(xué)院例3P160第3題設(shè)(X,Y)服從區(qū)域xy-11132注意點二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)：

若(X,Y)

N(

)，

則X

N(

)，

Y

N(

).紹興文理學(xué)院注意點二維正態(tài)分布的邊際分布是一維正態(tài)：則X133請同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布一定是二維正態(tài)分布嗎?不一定.舉一反例以示證明.答紹興文理學(xué)院請同學(xué)們思考邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其134因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布.顯然，(X,Y)不是二維正態(tài)分布，但是紹興文理學(xué)院因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機(jī)變量,其聯(lián)合分布不一定是二維正1353.2.4

隨機(jī)變量間的獨立性若滿足以下之一:i)F(x,y)=FX(x)FY(y)ii)pij=pi.p.jiii)p(x,y)=pX(x)pY(y)則稱X

與Y

是相互獨立的.紹興文理學(xué)院3.2.4隨機(jī)變量間的獨立性若滿足以下之一:紹興文理學(xué)院136性質(zhì)任對實數(shù)a,b,c,d，有(2)X與Y是相互獨立的，則它們的函數(shù)g(X)與h(Y)也是相互獨立的.(1)

X

與Y是獨立的，其本質(zhì)是：紹興文理學(xué)院性質(zhì)任對實數(shù)a,b,c,d，有(2)X與Y137例4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為:X01Y01

0.30.40.20.1問：X與Y是否獨立？看書中P157

例3.2.6練習(xí)：P160第10題紹興文理學(xué)院例4設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為:XY0138例5已知(X,Y)的聯(lián)合密度為

問X與Y是否相互獨立？定理

若聯(lián)合密度p(x,y)可分離變量，即

p(x,y)=g(x)h(y)

則X與Y相互獨立。練習(xí)：習(xí)題3.2第14題紹興文理學(xué)院例5已知(X,Y)的聯(lián)合密度為問X與Y是否139注意

(1)

(X,Y)服從矩形上的均勻分布，則X與Y獨立.

(2)

(X,Y)服從其他區(qū)域上的均勻分布，則X與Y不獨立.

(3)若(X,Y)服從二元正態(tài)N(

)則X與Y獨立的充要條件是=0.紹興文理學(xué)院注意(1)(X,Y)服從矩形上的均勻分140作業(yè)：習(xí)題3.2第4、5、12、13題紹興文理學(xué)院作業(yè)：紹興文理學(xué)院141§3.3多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布，如何求出Z=g(X,Y)的分布？紹興文理學(xué)院§3.3多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知二維隨機(jī)變量1423.3.1多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布(2)多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布列容易求得：

i)對(X1,X2,…,Xn)的各種可能取值對，寫出Z相應(yīng)的取值.

ii)對Z的相同取值，合并其對應(yīng)的概率.(1)設(shè)(X1,X2,…,Xn)是n維離散隨機(jī)變量，則Z=g(X1,…,Xn)是一維離散隨機(jī)變量.紹興文理學(xué)院3.3.1多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布(2)多維離散隨機(jī)143

求Z＝X＋Y的分布列;(2)求W＝XY的分布列;(3)求M＝max(X,Y)的分布列；(4)求N＝min(X,Y)的分布列.012－10.30.20.100.20.10.1例1設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為紹興文理學(xué)院求Z＝X＋Y的分布列;012－10.30.144離散場合的卷積公式設(shè)離散隨機(jī)變量X與Y獨立，則Z=X+

Y的分布列為紹興文理學(xué)院離散場合的卷積公式設(shè)離散隨機(jī)變量X與Y獨立，紹興文145例2（泊松分布的可加性）

設(shè)X~P(1),Y~P(2),且X與Y相互獨立，求證：Z=X+Y~P(1

+2).注意：

X

Y不服從泊松分布.紹興文理學(xué)院例2（泊松分布的可加性）注意：XY不服從泊松146二項分布的可加性若Xb(n,p)，Y

b(m,p)，注意：若Xi

b(1,p)，i=1,2,…,n且相互獨立，則Z=X1+

X2+……+Xn

b(n,p).且獨立，則Z=X+

Yb(n+m,p).紹興文理學(xué)院二項分布的可加性若Xb(n,p)，Yb(m1473.3.2最大值與最小值的分布例3

設(shè)X與Y獨立，且X,Y等可能地取值-1和1.（1）求Z=max(X,Y)的分布列.（2）求P(XY=1)=？（3）求P(X+Y=0)=?紹興文理學(xué)院3.3.2最大值與最小值的分布例3設(shè)X與Y148連續(xù)情況Y=max

(X1,X2,…,Xn),Z=min

(X1,X2,…,Xn)則Y的分布函數(shù)為:FY

(y)=[F(y)]n

Z的分布函數(shù)為:FZ(z)=1[1

F(z)]n

設(shè)X1,X2,……Xn,

獨立同分布，其分布函數(shù)均為F(x).若記紹興文理學(xué)院連續(xù)情況Y=max(X1,X2,…,Xn),Z149例4見P173第3題

設(shè)一設(shè)備有3個同類的電器元件，元件工作相互獨立，且工作時間均服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。當(dāng)3個元件都正常工作時，設(shè)備才正常工作。求設(shè)備正常工作時間T的概率分布。自學(xué)P166例3.3.6

練習(xí):習(xí)題3.3第5題設(shè)P(X≥0,Y≥

0)=3/7,P(X≥

0)=P(Y≥

0)=4/7,求P(max(X,Y)≥

0).紹興文理學(xué)院例4見P173第3題自學(xué)P166例3.3.6練習(xí):1503.3.3連續(xù)場合的卷積公式定理3.3.1

設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X與Y獨立，則Z=X+

Y的密度函數(shù)為紹興文理學(xué)院3.3.3連續(xù)場合的卷積公式定理3.3.1設(shè)151正態(tài)分布的可加性例5

設(shè)X與Y是獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，求Z=X+

Y的分布.且獨立，若XN(

)，Y

N(

)，則Z=X+YN().推廣為紹興文理學(xué)院正態(tài)分布的可加性例5設(shè)X與Y是獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量152獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量若Xi

~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi

間相互獨立,實數(shù)a1,a2,...,an

不全為零,則紹興文理學(xué)院獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量若Xi~N(i,153例6

見P172第9題設(shè)X與Y相互獨立，試求Z=X+Y的密度函數(shù).（1）X～U(0,1),Y～U(0,1).（2）X～U(0,1),Y～Exp(1).

總結(jié)：哪些分布具有可加性？重要結(jié)論：N個獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之和，服從自由度為n的卡方分布。紹興文理學(xué)院例6見P172第9題總結(jié)：哪些分布具有可加性？紹興文理1543.3.4變量變換法已知(X,Y)的分布，(X,Y)的函數(shù)求(U,V)的聯(lián)合分布.紹興文理學(xué)院3.3.4變量變換法已知(X,Y)的分布，(X155變量變換法的具體步驟有連續(xù)偏導(dǎo)、存在反函數(shù)則(U,V)的聯(lián)合密度為若其中J為變換的雅可比行列式紹興文理學(xué)院變量變換法的具體步驟有連續(xù)偏導(dǎo)、存在反函數(shù)則(U,V)156例7習(xí)題3.3第16題設(shè)X,Y獨立且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，(1)求U=X+Y,V=X/(X+Y)的聯(lián)合密度函數(shù)；(2)問U,V相互獨立嗎？看書中P170例3.3.10延伸思考題：P173例17題紹興文理學(xué)院例7習(xí)題3.3第16題看書中P170例3.3.10延伸157增補(bǔ)變量法可增補(bǔ)一個變量V=h(X,Y)，若要求U=g

(X,Y)的密度pU(u)，先用變量變換法求出(U,V)的聯(lián)合密度pUV(u,v)，用此方法可以求出卷積公式、積的公式、商的公式然后再由聯(lián)合密度pUV(u,v)，去求出邊際密度pU(u)紹興文理學(xué)院增補(bǔ)變量法可增補(bǔ)一個變量V=h(X,Y)，若要求U158分布函數(shù)法例9設(shè)X,Y相互獨立，且均服從N(0,1),求證：Z=(X2+Y2)1/2服從參數(shù)為1的瑞利分布.作業(yè)：習(xí)題3.3第7、9、19題綜合思考題：用兩種方法解答習(xí)題3.3第14題設(shè)矩形的邊長X,Y相互獨立，且分別服從(0,2),(0,1)區(qū)間上的均勻分布，求矩形面積Z的密度函數(shù).紹興文理學(xué)院分布函數(shù)法例9設(shè)X,Y相互獨立，且均服從N(0,1),求證1593.4.1多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理3.4.1

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，Z=g(X,Y)，則E(Z)=E[g(X,Y)]=§3.4多維隨機(jī)變量的特征數(shù)紹興文理學(xué)院3.4.1多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理3.4.1160例1在長為a的線段上任取兩點X與Y，求兩點間的平均長度.特別地例2設(shè)X1,X2獨立同分布，且均服從Exp(λ)，用兩種方法求Y=max(X1,X2)的數(shù)學(xué)期望.紹興文理學(xué)院例1在長為a的線段上任取兩點X與Y，特別地161例3

P190第15題設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立，且均服從U(0,?)，(1)求Y=max(X1,…,Xn)的數(shù)學(xué)期望;(2)求Z=min(X1,…,Xn)的數(shù)學(xué)期望.思考：P190第6題（離散型）紹興文理學(xué)院例3P190第15題設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨立，且1623.4.2數(shù)學(xué)期望與方差的運算性質(zhì)1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.當(dāng)X與Y獨立時，E(XY)=E(X)E(Y),3.當(dāng)X與Y獨立時，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)4.當(dāng)X與Y獨立時,有Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)若X1,X2,…,Xn相互獨立，則紹興文理學(xué)院3.4.2數(shù)學(xué)期望與方差的運算性質(zhì)1.E(X+Y)=163技巧總結(jié)：將復(fù)雜的隨機(jī)變量X分解成若干個隨機(jī)變量之和，再求E(X).例4P191第25題在一個有n個人參加的晚會上，每人帶來一件禮物，且假定各不相同.晚會期間各從放在一起的n件禮物中隨機(jī)抽取一件，試求抽中自己禮品的人數(shù)X的期望.自主學(xué)習(xí)：書中P177例3.4.4；推導(dǎo)二項分布的期望和方差紹興文理學(xué)院技巧總結(jié)：將復(fù)雜的隨機(jī)變量X分解成若干個隨機(jī)變量之和，再求E1641.設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,6),Y~N(1,4),且X,Y獨立,則E(X-2Y+3)=?Var(X-2Y+3)=?

練習(xí)題2.設(shè)X,Y,Z相互獨立，且E(X)=4,E(Y)=1,

E(Z)=-0.5,