平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)

平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)【問題導(dǎo)思】已知兩個(gè)非零向量 a，b，θ為a與b的夾角.1.若a·b＝0，則a與b有什么關(guān)系？【提示】 a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cosθ＝0，θ＝90°，a⊥b.2.a·a等于什么？【提示】 |a|·|a|cos0＝°|a|2.(1)如果e是單位向量，則 a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；(2)a⊥b?a·b＝0；2(3)a·a＝|a|即|a|＝ a·a；a·b(4)cos〈a，b〉＝|a||b|(|a||b|≠0)；(5)|a·b|≤|a||b|.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律：a·b＝b·a；(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；數(shù)乘向量結(jié)合律：對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).向量的數(shù)量積運(yùn)算(2013·海淀高一檢測(cè))已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為120°，(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的數(shù)量.【思路探究】 利用數(shù)量積的定義及幾何意義求解 .【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cosθ15×4×cos120＝°5×4×(－2)＝－10.5(2)∵|a|cosθ＝5×cos120＝°－2，5∴a在b方向上的射影的數(shù)量為－2.1.在書寫數(shù)量積時(shí)，a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×”連接，更不能省略不寫.2.求平面向量數(shù)量積的方法(1)若已知向量的模及其夾角，則直接利用公式 a·b＝|a||b|cosθ.若已知一向量的模及另一向量在該向量上的射影的數(shù)量，可利用數(shù)量積的幾何意義求a·b.1.(2013玉·溪高一檢測(cè))已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，則a在b方向上的射影的數(shù)量是()A.－4B.4C.－2D.2cos<a，b>＝a·b－122【解析】|a||b|＝6×3＝－3，向量a在向量b方向上的射影的數(shù)量為2|a|cos<a，b>＝6×－3＝－4，故選A.【答案】A2.已知|a|＝6，e為單位向量，當(dāng)向量a、e之間的夾角θ分別等于45°，90°，135°時(shí)，分別求出a·e及向量a在e方向上的正射影的數(shù)量.【解】當(dāng)向量a和e之間的夾角θ分別等于45°，90°，135°時(shí)，2|a||e|·cos45＝°6×1×2＝32；|a||e|·cos90＝°6×1×0＝0；2|a||e|·cos135＝°6×1×(－2)＝－32.當(dāng)向量a和e之間的夾角θ分別等于45°，90°，135時(shí)°，a在e方向上的正射影的數(shù)量分別為：|a|cosθ＝6×cos45＝°32；|a|cosθ＝6×cos90＝°0；|a|cosθ＝6×cos135＝°－32.與向量模有關(guān)的問題已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)|a＋b|；(2)|(a＋b)·(a－2b)|.【思路探究】 利用a·a＝a2或|a|＝ a2求解.【自主解答】由已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120＝°－4，a2＝2＝，2＝|b|2＝4.|a|16b(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，∴|a＋b|＝2 3.(2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12.1.此類求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與數(shù)量積聯(lián)系 .2.利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ a2，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化 .設(shè)e1、e2是夾角為45°的兩個(gè)單位向量，且 a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，試求|a＋b|的值.【解】 ∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，∴|a＋b|＝|3(e1＋e2)|＝3|e1＋e2|＝3 e1＋e22222＋2.1122與向量夾角有關(guān)的問題(2014·濟(jì)南高一檢測(cè))若向量a，b，c兩兩所成的角均為 120°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b與向量a＋c的夾角θ的余弦值.【思路探究】 先利用已知條件，分別求出 (a＋b)·(a＋c)，|a＋b|和|a＋c|的大小，再根據(jù)向量的夾角公式求解.【自主解答】 ∵(a＋b)·(a＋c)＝a2＋a·b＋a·c＋b·c9＝1＋1×2×cos120＋°1×3×cos120＋°2×3×cos120＝－°2，|a＋b|＝a＋b2＝a2＋·＋22abb＝223，1＋2×1×2×cos120＋°2＝|a＋c|＝ a2＋2a·c＋c2＝ 7，9a＋b·a＋c－2＝－321，∴cosθ＝＝|a＋b||a＋c|3×714321所以向量a＋b與a＋c的夾角θ的余弦值是－ 14.1.求向量a，b夾角的流程圖a·b求|a|，|b|→計(jì)算a·b→計(jì)算cosθ＝|a||b|→結(jié)合0≤θ≤180°，求解θ2.當(dāng)題目中涉及向量較多時(shí)，可用整體思想代入求值，不必分別求值，以避免復(fù)雜的運(yùn)算.a·a(1)(2014遼·寧師大附中高一檢測(cè))若向量a與b不共線，a·b≠0，且c＝a－a·bb，則a與c的夾角為()πππA.0B.6C.3D.2(2)(2014貴·州省四校高一聯(lián)考)若|a|＝2，|b|＝4且(a＋b)⊥a，則a與b的夾角是()2ππ4π2πA.3B.3C.3D.－3【解析】(1)∵a·c＝a·－a·a＝·－a2·＝2－2＝，又≠，≠，∴⊥，aa·bbaaa·babaa0a0c0acπa與c的夾角為2，故選D.因?yàn)?a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，即a·b＝－a2＝－4，所以cos<a，b>＝a·b－412π|a||b|＝2×4＝－2，又因<a，b>∈[0，π]，所以a與b的夾角是3，故選A.【答案】 (1)D (2)A混淆兩向量夾角為鈍角與兩向量數(shù)量積為負(fù)之間關(guān)系致誤設(shè)兩向量e1，e2滿足：|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°.若向量2te1＋7e2與向量e1＋te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.1【錯(cuò)解】 由已知得e1·e2＝2×1×2＝1，于是(2te1＋2)·(e1＋22＋1·e2＋22＋＋2)＝2te1＋(2t2＝2t15t7.7ete7)e7te因?yàn)?te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，21所以2t＋15t＋7<0，解得－7<t<－2.【錯(cuò)因分析】當(dāng)兩向量反向共線時(shí)，其數(shù)量積為負(fù)，但夾角不是鈍角而是平角.【防范措施】 若兩向量的夾角為鈍角，則這兩向量的數(shù)量積為負(fù)；反之不成立，因?yàn)閮上蛄糠聪蚬簿€時(shí)，夾角為平角，即 180，°其數(shù)量積也為負(fù).1【正解】 由已知得e1·e2＝2×1×2＝1，于是1＋7e2·1＋te2＝2222＋15t＋7.)1＋(2t＋7)e1·2＋7te2＝2t(2te)(e2tee因?yàn)?te＋7e與e＋te的夾角為鈍角，121221所以2t＋15t＋7<0，解得－7<t<－2.但是，當(dāng)2te1＋7e2與e1＋te2異向共線時(shí)，它們的夾角為180，°也有2t2＋15t＋7<0，這是不符合題意的.此時(shí)存在實(shí)數(shù)λ，使得142te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ且7＝λt，解得t＝±2.14141故所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是－7，－2∪－2，－2.1.兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可以為正(當(dāng)a≠0，b≠0,0°≤θ<90°時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)a≠0，b≠0,90°<θ≤180°時(shí))，還可以為0(當(dāng)a＝0或b＝0或θ＝90°時(shí)).2.數(shù)量積對(duì)結(jié)合律一般不成立，因?yàn)?a·b)·c＝|a||b|cos〈a，b〉·c是一個(gè)與c共線的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一個(gè)與b共線的向量，兩者一般不同.3.a在b方向上的射影與 b在a方向上的射影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分 .1.對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中正確的是 ( )A.若a·b＝0，則a＝0或b＝0B.若λa＝0，則a＝0或λ＝0C.若a2＝b2，則a＝b或a＝－bD.若a·b＝a·c，則b＝c【解析】 由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)知 A、C、D錯(cuò)誤.【答案】 B2.(2013安·徽高考)若非零向量 a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________.【解析】 由|a|＝|a＋2b|，兩邊平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－2a·b－|b|21|b|.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝|a||b|＝3|b|2＝－3.1【答案】－33.已知|a|＝4，|b|＝6，a與b的夾角為60°，則向量a在向量b方向上的射影是________.【解析】1向量a在向量b方向上的射影是|a|cos60＝°4×＝2.2【答案】24.已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積.【解】 (1)當(dāng)a∥b時(shí)，若a與b同向，則θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0＝4°×5＝20；若a與b反向，則θ＝180，°∴a·b＝|a||b|cos180＝4°×5×(－1)＝－20.π(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，<a，b>＝2.π∴a·b＝|a||b|cos2＝4×5×0＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為30°時(shí)，3a·b＝|a||b|cos30°＝4×5×2＝10 3.一、選擇題1.|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，則a與b的夾角為( )A.30° B.60°C.120°

D.150°【解析】

c⊥a，設(shè)

a與

b的夾角為θ，則(a＋b)·a＝0，所以

a2＋a·b＝0，所以

a2＋|a||b|cosθ＝0，則1＋2cosθ＝0，所以

1cosθ＝－2，所以θ＝120.°故選

C.【答案】

C2.若向量

a與

b的夾角為

60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則

a的模為(

)A.2

B.4

C.6

D.12【解析】

∵(a＋2b)

·(a－3b)＝a2－a·b－6b2|a|2－|a||·b|cos60－6|°b|2|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6.【答案】 C→→3.△ABC中，AB·AC＜0，則△ABC是( )A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形→→ → →【解析】 ∵AB·AC＝|AB||AC|cosA＜0，∴cosA＜0.∴A是鈍角.∴△ABC是鈍角三角形.【答案】 C4.(2014懷·遠(yuǎn)高一檢測(cè))已知i與j為互相垂直的單位向量， a＝i－2j，b＝i＋λj且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) λ的取值范圍是( )1A.(－∞，－2)∪－2，21B.2，＋∞2C.－2，3∪3，＋∞1D.－∞，2【解析】 ∵a·b＝(i－2j)·(i＋λj)＝1－2λ＞0，1∴λ＜2，又a、b同向共線時(shí)，a·b＞0，設(shè)此時(shí)a＝kb(k＞0)，則i－2j＝k(i＋λj)，k＝1，∴ ∴λ＝－2，∴a、b夾角為銳角時(shí)， λ的取值范圍是 (－∞，－2)∪－2＝kλ，12，2，故選A.【答案】A5.(2014皖·南八校高一檢測(cè))在△OAB中，已知OA＝4，OB＝2，點(diǎn)P是AB的垂直平分→→)線l上的任一點(diǎn)，則OP·＝(ABA.6B.－6C.12D.－12→→→→→→→→→→【解析】設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則OP·＝(OM＋·＝·＝1＋·－ABMP)ABOMAB2(OAOB)(OB→1→2→2OA)＝2(OB－OA)＝－6.故選B.【答案】B二、填空題6.(2014北·大附中高一檢測(cè))向量a與b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________.3222【解析】因?yàn)閍·b＝|a||b|cos120°＝－2，所以|5a－b|＝25a－10a·b＋b＝25－310×－2＋9＝49，所以|5a－b|＝7.【答案】 77.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則λ等于________.【解析】 ∵(3a＋2b)⊥(λa－b)∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.又∵|a|＝2，|b|＝3，a⊥b，∴12λ＋(2λ－3)×2×3×cos90－°18＝0，3∴12λ－18＝0，∴λ＝2.【答案】328.(2014溫·州高一檢測(cè))已知a是平面內(nèi)的單位向量，若向量b滿足b·(a－b)＝0，則|b|的取值范圍是________.【解析】設(shè)a，b的夾角為θ，由b·(a－b)＝0，得|b||·a|cosθ－|b|2＝0.解得|b|＝0或|b|＝|a|cosθ＝cosθ≤1，所以|b|的取值范圍是[0,1].【答案】[0,1]三、解答題9.已知向量a、b的長(zhǎng)度|a|＝4，|b|＝2.(1)若a、b的夾角為120°，求|3a－4b|；(2)若|a＋b|＝23，求a與b的夾角θ.【解】 (1)a·b＝|a||b|cos120°14×2×－2＝－4.又|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b29×42－24×(－4)＋16×22＝304，∴|3a－4b|＝4 19.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b242＋2a·b＋22＝(23)2，a·b－41∴a·b＝－4，∴cosθ＝|a||b|＝4×2＝－2.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.10.已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有兩個(gè)不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k，t，使得a＋(t－3)b與－ka＋tb垂直，試求k的最小值.【解】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.∵|a|＝2，|b|＝1，∴－4k＋t(t－3)＝0.121329∴k＝4(t－3t)＝4(t－2)－16(t≠0).39故當(dāng)t＝2時(shí)，k取最小值－16.11.(2014淄·博高一檢測(cè))設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，且|3a－2b|＝ 7.(1)求a與b夾角的大??；(2)求a＋b與b夾角的大??；|3a＋b|(3)求|3a－b|的值.【解】 (1)設(shè)a與b的夾角為θ，(3a－2b)2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，1又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝2，1∴|a||b|cosθ＝2，1即cosθ＝2.π又θ∈[0，π]，∴a與b的夾角為3.213(2)設(shè)a＋b與b的夾角為α，∵(a＋b)·b＝b＋·＝＋＝，ab122|