2019屆中考數(shù)學(xué)壓軸題矩形問題解析(三)

2019屆中考數(shù)學(xué)壓軸題矩形問題剖析(三)2019屆中考數(shù)學(xué)壓軸題矩形問題剖析(三)4/42019屆中考數(shù)學(xué)壓軸題矩形問題剖析(三)2019屆中考數(shù)學(xué)壓軸題矩形問題精選剖析（三）例5如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的極點A、C的坐標(biāo)分別為A（5，0），C（0，′3）．射線y＝kx交折線A－B－C于點P，點A關(guān)于OP的對稱點為A．（1）當(dāng)點′恰幸好邊上時，求′的長及的值；ACAkCB′′為極點，求k的值及該拋物線的剖析式；（2）若經(jīng)過O、A、A三點的拋物線恰好以A′′′E、（3）如圖2，當(dāng)點P在AB邊上，點A在CB上方時，連接AO、AP分別交CB邊于點F．可否存在實數(shù)k使△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，說明原由；4）以O(shè)P為直徑作⊙M，則⊙M與矩形OABC最多有_________個公共點，直接寫出公共點個數(shù)最多時k的取值范圍．yyA′yCBCEFBCBA′PPOAxOAxOAx圖1圖2備用圖剖析：（1）當(dāng)點′恰幸好邊上時，連接′、′，如圖1AACBOAP′＝OA＝5，OC＝3∵OA′＝′2222y∴CAOA－OC＝5－3＝4∴′＝－′＝5－4＝1ABCBCACA′設(shè)PA＝x，則A′P＝PA＝x，BP＝3－xB222Rt△A′PB中，A′B＋BP＝A′P22255P∴1＋(3－x)＝x，解得x＝3，∴P（5，3）yP1OAx∴k＝xP＝3圖1′′′′A交射線OP于點D，如圖2（2）連接AO、AP、AA，設(shè)A則OP垂直均分A′AA′′三點的拋物線恰好以′為極點y∵經(jīng)過O、A、AA∴由拋物線的對稱性可知′＝′＝2′AADOAACB′′OD＝30°P∴∠AOD＝30°，∴∠AOD＝∠A35353D∴＝3＝3，∴（5，）PAOAP3yP3∴k＝xP＝3OAx′′OA是等邊三角形圖2可得∠AOA＝60°，∴△A∴點A′的坐標(biāo)為（5，5322）5253設(shè)拋物線的剖析式為為y＝a(x－2)＋25253把O（0，0）代入上式，得0＝a(0－2)＋223解得a＝5235253∴拋物線的剖析式為為y＝－5(x－2)＋2′EF≌△BPF，如圖3（3）假設(shè)存在實數(shù)k，使△A∵∠A′＝∠B＝90°，∠A′FE＝∠BFP′′∴AE＝BP，AF＝BFA′E＝BP＝a，A′F＝BF＝bA′P＝PA＝3－a，EF＝PF＝3－a－b，OE＝5－aCE＝5－(3－a－b)－b＝2＋a222Rt△OCE中，OC＋CE＝OE22263＋(2＋a)＝(5－a)，解得a＝7∴＝3－6＝15，∴（5，15）77∴k＝y(tǒng)7P＝3xP74）以O(shè)P為直徑的⊙M與矩形OABC最多有6個公共點提示：∵∠OAP＝90°∴當(dāng)點P在AB邊上時，⊙M經(jīng)過O、A、P三點，如圖4∵∠COP＜90°，∴⊙M必與OC邊交于另一點又∵⊙M與BC邊最多有2個公共點∴⊙M與矩形OABC最多有6個公共點當(dāng)點P在BC邊上時，情況亦然①當(dāng)⊙M與BC邊相切于點D時，連接DM并延長交OA于E，如圖5MD⊥BC，∴DE∥AB∥OC，∴DE＝OC＝3∵M(jìn)是OP的中點，∴E是OA的中點1∴ME＝2PA11122設(shè)PA＝x，則ME＝2x，DM＝2OP＝2x＋51221∵DM＋ME＝DE，∴2x＋5＋2x＝31111解得x＝12，∴P（5，12）∴k＝y(tǒng)P＝11xP60②當(dāng)⊙M與AB邊相切于點E時，連接EM并延長交OC于D，如圖611122設(shè)CP＝x，則DM＝2x，ME＝2OP＝2x＋3∵＋＝，∴1x1x222＋＋3＝5DMMEDE2

yA′EFCBPOAx3yCBPMOAx4yDCBMPOEAx5yCPBMDEOAx6解得x＝91，∴（91，3）20P20∴k＝y(tǒng)P60＝91xP3又∵當(dāng)點P與點B重合時，⊙M經(jīng)過O、A、B、C四點，此時k＝511603∴當(dāng)⊙M與矩形OABC有6個公共點時，k的取值范圍是：60＜k＜91且k≠5例6如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，將矩形ABCD繞中心O順時針旋轉(zhuǎn)90°獲取矩形′′′′ABCDB′A′（1）求點A在旋轉(zhuǎn)過程中所走過的路徑的長；（2）求矩形ABCD在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；AD（3）若點P為線段上一點，且使得∠′＝60°，則滿足條件的BCAPA點P有幾個？請你選擇一個點′P求△APA的面積．O剖析：BC（1）易知點A的路徑是以O(shè)為圓心、以O(shè)A長為半徑、圓心角為90°C′D′的一段圓弧∵AB＝1，BC＝3，∴AC＝2，OA＝1∴點A在旋轉(zhuǎn)過程中所走過的路徑的長為：π×1×90π180＝2（2）如圖，將矩形ABCD繞它的對稱中心O旋轉(zhuǎn)90°，掃過的面積是圖中陰影部分的面積′′′′3－1∵AB＝1，AD＝BC＝3，∴AG＝DG＝BE＝CE＝2B′A′∵＝1，＝3AGDABAD∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∠OFC＝∠A′C′D′＝∠BDC＝60°∴∠A′OD＝∠BOC′＝30°O∴S陰影＝S⊙O－2(S扇形BOD－2S△BOE)＝S⊙O－2S扇形BOD＋4S△BOE)213－112π×1×30BEFC＝π×1－2×360＋4×2×2×2C′D′53－12＝6π＋2（cm）（3）滿足條件的點P有2個提示：在BC上取點P1，使BP1＝331133－131B′A′則∠APB＝60°，PH＝3－3－2＝6＋2AGD′3－13＋1AH＝3－＝22′1A′H′1BC∴tan∠APH＝P1H＝3，∴∠APH＝60°E1P2H1′＝60°P∴∠APAC′D′22′G＝3－1在BC上取點P，使PH＝A2′′′′′22則△AP2H≌△AAG，∴AP2＝AA＝AH＋P2H＝2BP2＝3＋13－1－＝1＝AB，∴AP2＝222∴AP2＝A′P2＝A′A，∴△AP2A′是等邊三角形∴∠AP2A′＝60°又∵△AP2A′的外接圓與BC最多有2個交點∴滿足條件的點P有2個若求△A