以圓為載體的幾何綜合探究問題-2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題（原卷）

挑戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專題21以圓為載體的幾何綜合探究問題

1．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊BC上，⊙O經(jīng)過A，B，P三點(diǎn)．（1）若BP＝3，判斷邊CD所在直線與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，E是CD的中點(diǎn)，⊙O交射線AE于點(diǎn)Q，當(dāng)AP平分∠EAB時(shí)，求tan∠EAP的值．2．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，P為AB上一點(diǎn)，PA＝1，PB＝m（m為常數(shù)，且m＞0）．過點(diǎn)P的弦CD⊥AB，Q為上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），AH⊥QD，垂足為H．連接AD、BQ．（1）若m＝3．①求證：∠OAD＝60°；②求的值；（2）用含m的代數(shù)式表示，請(qǐng)直接寫出結(jié)果；（3）存在一個(gè)大小確定的⊙O，對(duì)于點(diǎn)Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一個(gè)定值，求此時(shí)∠Q的度數(shù)．3．（2021·廣西來(lái)賓·中考真題）如圖，已知，是的直徑，，與的邊，分別交于點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的值．4．（2021·湖南株洲·中考真題）如圖所示，是的直徑，點(diǎn)、是上不同的兩點(diǎn)，直線交線段于點(diǎn)，交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，若，且．（1）求證：直線是的切線；（2）連接、、、，若．①求證：；②過點(diǎn)作，交線段于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng)度．5．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說(shuō)明理由；（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋EP的值最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2021·湖北陽(yáng)新·模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，點(diǎn)E在圓外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BD，BC，CF，(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)求證：△BOD∽△EOB；(3)設(shè)△BOD的面積為S1，△BCF的面積為S2，若tan∠ODB＝，求的值．

2．（2021·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．(1)求證：直線DF是⊙O的切線；(2)若BC＝8，求CF?AC的值；(3)若⊙O的半徑為4，∠CDF＝15°，則陰影部分的面積為_____．3．（2021·廣東龍門·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，O為AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的圓O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．(1)求證：BC是圓O的切線；(2)求證：AD2＝AF?AB；(3)若BE＝16，sinB，求AD的長(zhǎng)．4．（2021·廣東羅湖·一模）已知⊙O的直徑AB＝6，點(diǎn)C是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D是弦AC的中點(diǎn)，連接BD．(1)如圖1，過點(diǎn)C作⊙O的切線交直徑AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且tanE＝；①BE＝；②求證：∠CDB＝45°；(2)如圖2，F(xiàn)是弧AB的中點(diǎn)，且C、F分別位于直徑AB的兩側(cè)，連接DF、BF．在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△BDF是等腰三角形時(shí)，求AC的長(zhǎng)．5．（2021·江蘇·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）（1）如圖①，在△ABC中，，AB=4，AC=3，若AD平分∠BAC交于點(diǎn)，那么點(diǎn)到的距離為．（2）如圖②，四邊形內(nèi)接于，為直徑，點(diǎn)B是半圓的三等分點(diǎn)（弧弧），連接，若平分，且，求四邊形的面積．（3）如圖③，為把“十四運(yùn)”辦成一屆精彩圓滿的體育盛會(huì)很多公園都在進(jìn)行花卉裝扮，其中一塊圓形場(chǎng)地圓O，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備在內(nèi)接四邊形ABCD區(qū)域內(nèi)進(jìn)行花卉圖案設(shè)計(jì)，其余部分方便游客參觀，按照設(shè)計(jì)要求，四邊形ABCD滿足∠ABC=60°，AB=AD，且AD+DC=10（其中），為讓游客有更好的觀體驗(yàn)，四邊形ABCD花卉的區(qū)域面積越大越好，那么是否存在面積最大的四邊形ABCD？若存在，求出這個(gè)最大值，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2021·廣東·惠州一中一模）如圖，內(nèi)接于，，為直徑，與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求證：與相切：（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．7．（2021·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在直角坐標(biāo)系中，直線與、軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，的角平分線交軸于點(diǎn)．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于另一點(diǎn)．（1）求證：軸是的切線；（2）請(qǐng)求的半徑，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)為上的一點(diǎn)，連接，且滿足，請(qǐng)求出的長(zhǎng)？8．（2021·福建·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形內(nèi)接于，．（1）如圖1，求證：點(diǎn)到兩邊的距離相等；（2）如圖2，已知與相交于點(diǎn)，為的直徑．①求證：；②若，，求的長(zhǎng)．9．（2021·江蘇·南通市新橋中學(xué)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于兩個(gè)點(diǎn)A，B和圖形ω，如果在圖形ω上存在點(diǎn)P、Q（P、Q可以重合），使得AP＝2BQ，那么稱點(diǎn)A與點(diǎn)B是圖形ω的一對(duì)“倍點(diǎn)”．已知⊙O的半徑為1，點(diǎn)B(3，0)．（1）①點(diǎn)B到⊙O的最大值是，最小值是；②在點(diǎn)A(5，0)，D(0，10)這兩個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)B是⊙O的一對(duì)“倍點(diǎn)”的是；（2）在直線y＝x+b上存在點(diǎn)A與點(diǎn)B是⊙O的一對(duì)“倍點(diǎn)”，求b的取值范圍；（3）已知直線y＝x+b，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，若線段MN（含端點(diǎn)M、N）上所有的點(diǎn)與點(diǎn)B都是⊙O的一對(duì)“倍點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍．10．（2021·安徽·合肥市第四十五中學(xué)三模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，點(diǎn)F是CE上一點(diǎn)，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，CG⊥AD于點(diǎn)G，連接EG．（1）求證：CD2＝DG?DA；（2）如圖1，若CF＝2EF，求證：點(diǎn)D是BC中點(diǎn)；（3）如圖2，若GC＝2，GE＝2，求GD．11．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校一模）如圖，已知為直徑，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，為弦，過點(diǎn)作的垂線，垂足為．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，連接，的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于，交于，過作的垂線交于，交于點(diǎn)，連接，若，（），求的度數(shù)．12．（2021·江蘇·宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，是的直徑，是上的一點(diǎn)，連接，，是上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足．（1）求直線與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)恰為中點(diǎn)時(shí)，若的半徑為，，求線段的長(zhǎng)．13．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的乘積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線段的平方，則稱這個(gè)點(diǎn)為這個(gè)三角形該邊的“好點(diǎn)”，如圖1，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，若，則稱點(diǎn)是中邊的“好點(diǎn)”．（1）如圖1，在中，，若點(diǎn)是邊的“好點(diǎn)”，且，則線段的長(zhǎng)是__________；（2）若一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)是中邊的“好點(diǎn)”，求的值；（3）如圖2，的外接圓是圓，點(diǎn)在邊上，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若點(diǎn)是中邊的“好點(diǎn)”，，的半徑為，且，求的值．14．（2021·江蘇·靖江市靖城中學(xué)一模）如圖，拋物線y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝．（1）求拋物線的對(duì)稱軸與拋物線的解析式；（2）設(shè)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．①當(dāng)△BCD的外接圓的圓心在△BCD的邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍．15．（2021·廣東·珠海市九洲中學(xué)一模）如圖，為的內(nèi)接三角形，為的直徑，將沿直線折疊得到，交于點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若，，求的值．16．（2021·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校二模）已知AB、AC是⊙O的兩條弦，OA為半徑，∠OAB＝∠OAC．（1）如圖（1），求證：AB＝AC；（2）如圖（2），延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，EF切⊙O于點(diǎn)F，連DF交BC于點(diǎn)G，求證：EF＝EG；（3）如圖（3），在（2）的條件下，設(shè)DF交AC于點(diǎn)H，若DF∥AB，tanE＝，CH＝，求DG長(zhǎng)．17．（2021·廣東·珠海市紫荊中學(xué)三模）已知，在中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，，連接，連接交于點(diǎn)．（1）求證：為的切線．（2）求證：（3）若，，求的長(zhǎng)度．18．（2021·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)停止．同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的線路向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在邊上的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，在邊上的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，到停止，以為邊向右或右下方構(gòu)造等邊，設(shè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，解答下列問題：（1）填空：__________，__________．（2）當(dāng)在上，落在邊上時(shí)，求的值．（3）連結(jié)．①當(dāng)在邊上，與的一邊垂直時(shí)，求的邊長(zhǎng)．②當(dāng)在邊上且不與點(diǎn)重合時(shí)，判斷的方向是否變化，若不變化，說(shuō)明理由．19．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校二模）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點(diǎn)E，且點(diǎn)A是弧CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在弧AB上，連接CF、BF．（1）求證：∠C+∠F+∠B＝90°（2）點(diǎn)G在弧BD上，連接CG與直徑AB交于點(diǎn)H，連接DG，且DG＝CH．求證：AE＝EH；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)K為弧FD的中點(diǎn)，連接FK、BK，F(xiàn)K＝5，過點(diǎn)C作CQ∥FK，交⊙O于點(diǎn)Q，交BK、BF于點(diǎn)M、N，MN＝3，OE＝EH，KM﹣4＝CN，連接FQ，求FQ的長(zhǎng)．20．（2018·河南·模擬預(yù)測(cè)）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點(diǎn)P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離．21．（2021·陜西·西安市鐵一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，已知⊙O的半徑為3，．為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為；問題探究（2）如圖2，在中，設(shè)，，，為的中點(diǎn)，連接．求證：；小明同學(xué)思考時(shí)，先過點(diǎn)作于，請(qǐng)你試著幫助小明完成剩下的過程．問題解決（3）如圖3，為平面內(nèi)一定點(diǎn)，且滿足，，現(xiàn)在要建一個(gè)面積盡可能大的矩形景區(qū)，使得，請(qǐng)問是否存在這樣一個(gè)滿足要求的矩形？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)矩形的最大面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（結(jié)果保留根號(hào)）22．（2021·江蘇·蘇州灣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿著方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)方向出發(fā)，沿著方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的與、的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，連接、．（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的值；（2）若是等腰三角形，求的值；（3）若與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍．23．（2021·黑龍江·哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知AB、CD均為的直徑，連接AC，AD，已知．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點(diǎn)E在弧BC上，連接AE、DE，過點(diǎn)A作AE的垂線交于點(diǎn)F，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BF交AD于