1988年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)

1988年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷〔理科〕一、選擇題〔共15小題，每一小題3分，總分為45分〕1．〔3分〕〔2008?海淀區(qū)一模〕的值等于〔〕A1B﹣1CiD﹣i．．．．2．〔3分〕設圓M的方程為〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=2，直線L的方程為x+y﹣3=0，點P的坐標為〔2，1〕，那么〔〕A點P在直線LB點P在圓M上，但不在直線L上．．上，但不在圓M上C點P既在圓MD點P既不在直線L上，也不在圓M上．．上，又在直線L上3．〔3分〕集合{1，2，3}的子集共有〔〕A7個．B8個．C6個．D5個．4．〔3分〕雙曲線方程，那么雙曲線的焦距是〔〕A10B5CD．．．．5．〔3分〕在的展開式中，x6的系數(shù)是〔〕A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C1046．〔3分〕〔2012?模擬〕函數(shù)y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是〔〕ABπC2πD4π．．．．7．〔3分〕方程的解集是〔〕AB．C．D．．8．〔3分〕極坐標方程A圓所表示的曲線是〔〕B雙曲線右支C拋物線D橢圓．．．．9．〔3分〕如圖，正四棱臺中，A'D'所在的直線與BB'所在的直線是〔〕A相交直線．B平行直線．C不互相垂直的D互相垂直的異．．異面直線面直線10．〔3分〕的值等于〔〕A4BCD8．．．．11．〔3分〕設命題甲：△ABC的一個內(nèi)角為60°，命題乙：△ABC的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列．那么〔〕A甲是乙的充分條件，但不是必要條件．B甲是乙的必要條件，但不是充分條件．C甲是乙的充要條件．D甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件．12．〔3分〕在復平面內(nèi)，假如復數(shù)z滿足|z+1|=|z﹣i|，如此z所對應的點Z的集合構(gòu)成的圖形是〔〕A圓．B直線．C橢圓．D雙曲線．13．〔3分〕如果曲線x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0經(jīng)過平移坐標軸后的新方程為x'2﹣y'2=1，那么新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為〔〕A〔1，1〕．B〔﹣1，﹣1〕C〔﹣1，1〕D〔1，﹣1〕．．．14．〔3分〕〔2007?某某一?！臣僭O在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有〔〕A．C32C1973種B．C32C1973+C33C1972種C．C1975種C2005﹣D．C2005﹣C31C1974種15．〔3分〕二面角α﹣AB﹣β的平面角是銳角，C是平面α內(nèi)一點〔它不在棱AB上〕，點D是點C在面β上的射影，點E是棱AB上滿足∠CEB為銳角的任一點，那么〔〕A．∠DEB∠CEB＞B∠CEB=∠DEB．C．∠DEB∠CEB＜D．∠CEB與∠DEB的大小關(guān)系不能確定二、解答題〔共5小題，總分為0分〕16．〔20分〕四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．17．〔10分〕tgx=a，求的值．18．〔10分〕如圖，正三棱錐S﹣ABC的側(cè)面是邊長為a的正三角形，D是SA的中點，E是BC的中點，求△SDE繞直線SE旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．19．〔12分〕給定實數(shù)a，a≠0，且a≠1，設函數(shù)y=〔x∈R，且x≠〕．證明：〔1〕經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸；〔2〕這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形．20．〔12分〕某中學在一次健康知道競賽活動中，抽取了一局部同學測試的成績，繪制的成績統(tǒng)計圖如下列圖，請結(jié)合統(tǒng)計圖回答如下問題：〔1〕本次測試中，抽取了的學生有多少人？〔2〕假如這次測試成績80分以上〔含80分〕為優(yōu)秀，如此請你估計這次測試成績的優(yōu)秀率不低于百分之幾？．21．〔11分〕21、設的大小，并證明你的結(jié)論．1988年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷〔理科〕參考答案與試題解析一、選擇題〔共15小題，每一小題3分，總分為45分〕1．〔3分〕〔2008?海淀區(qū)一?！车闹档扔凇病矨1B﹣1CiD﹣i．．．．考點：專題：分析：復數(shù)代數(shù)形式的混合運算．計算題．根據(jù)復數(shù)的計算方法，可得的值，進而可得=〔﹣i〕2，可得答案．=﹣i，解答：解：根據(jù)復數(shù)的計算方法，可得=如此=〔﹣i〕2=﹣1，應當選B．此題考查復數(shù)的混合運算，解此題時，注意先計算括號內(nèi)，再來計算復數(shù)平方．點評：2．〔3分〕設圓M的方程為〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=2，直線L的方程為x+y﹣3=0，點P的坐標為〔2，1〕，那么〔〕A點P在直線LB點P在圓M．．上，但不在直上，但不在圓M上線L上C點P既在圓MD點P既不在直．．線L上，也不在圓M上上，又在直線L上考點：分析：解答：點與圓的位置關(guān)系．點P代入直線方程和圓的方程驗證即可．解：點P坐標代入直線方程和圓的方程驗證，點P的坐標為〔2，1〕，適合L的方程，即2+1﹣3=0；點P的坐標為〔2，1〕，滿足圓M的方程，即〔2﹣3〕2+〔1﹣2〕2=2．顯然A、B、D不正確．選項C正確．應當選C．3．〔3分〕集合{1，2，3}的子集共有〔〕A7個．B8個．C6個．D5個．考點：分析：解答：子集與真子集．集合{1，2，3}的子集是指屬于集合的局部或所有元素組成的集合，包括空集．解：集合{1，2，3}的子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8個．應當選B．此題考查集合的子集個數(shù)問題，對于集合M的子集問題一般來說，假如M中有n個元素，如此點評：集合M的子集共有2n個．4．〔3分〕雙曲線方程A10，那么雙曲線的焦距是〔〕B5CD．．．．考點：專題：分析：雙曲線的簡單性質(zhì)．計算題．根據(jù)題設條件求出c2，然后求出c，就能得到雙曲線的焦距2c．解答：解：c2=25，c=5，∴雙曲線的焦距2c=10．應當選A．此題比擬簡單，解題時注意不要和橢圓弄混了．點評：5．〔3分〕在的展開式中，x6的系數(shù)是〔〕A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考點：專題：分析：二項式定理的應用．計算題．利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為6求出x6的系數(shù)．解答：解：展開式的通項為令10﹣r=6得r=4∴展開式中x6的系數(shù)是9C104應當選項為D此題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具．點評：6．〔3分〕〔2012?模擬〕函數(shù)y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是〔〕ABπC2πD4π．．．．考點：分析：同角三角函數(shù)根本關(guān)系的運用．觀察題目條件，思路是降冪，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子變?yōu)槟芘袛嘀芷诘刃再|(zhì)的形式，即y=Asin〔ωx+φ〕的形式．解答：點評：解：∵y=cos4x﹣sin4x=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴T=π，應當選B對于和式的整理，根本思路是降次、消項和逆用公式，此題就是逆用余弦的二倍角公式．另外還要注意切割化弦，變量代換和角度歸一等方法．7．〔3分〕方程的解集是〔〕AB．C．D．．考點：分析：解答：正弦函數(shù)的圖象．令t=cosx代入后轉(zhuǎn)化為一元二次方程后即可解．解：令t=cosx如此可轉(zhuǎn)化為：4t2﹣4t+3=0∴t=∴cosx=∴x=±應當選C．此題主要考查解關(guān)于三角函數(shù)的二次方程問題．一般通過換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題后再處理．點評：8．〔3分〕極坐標方程A圓所表示的曲線是〔〕B雙曲線右支C拋物線D橢圓．．．．考點：分析：簡單曲線的極坐標方程．圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標方程是，其中e表示曲線的離心率，欲判斷極坐標方程所表示的曲線，只須將它化成統(tǒng)一的形式后看其離心率即可．，解答：點評：解：∵∴，∴其離心率e=應當選D．此題主要考查了圓錐曲線的統(tǒng)一的極坐標方程，屬于根底題．，是橢圓．9．〔3分〕如圖，正四棱臺中，A'D'所在的直線與BB'所在的直線是〔〕A相交直線．B平行直線．C不互相垂直的D互相垂直的異面直線．．異面直線考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．分析：解答：首先由“直線平行于平面，如此該直線與平面內(nèi)任一直線異面〞判定A'D'與BB′異面；然后通過A'D'與BB′的夾角是等腰梯形的內(nèi)角，確定A'D'與BB′不垂直．解：在正四棱臺中，A'D'∥B′C′，又A'D'?平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′?平面BCC′B′，所以A'D'與BB′異面；又因為四邊形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′與B′C′不垂直，即BB′與A'D'不垂直．應當選C．10．〔3分〕的值等于〔〕A4BCD8．．．．考點：專題：分析：解答：反三角函數(shù)的運用．計算題．應用兩角和的正切公式直接化簡，以與公式tg〔arctgx〕=x直接求解即可．解：=應當選D．此題考查反三角函數(shù)的運算，兩角和的正切公式，是根底題．點評：11．〔3分〕設命題甲：△ABC的一個內(nèi)角為60°，命題乙：△ABC的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列．那么〔〕A甲是乙的充分條件，但不是必要條件．B甲是乙的必要條件，但不是充分條件．C甲是乙的充要條件．D甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件．考點：分析：等差關(guān)系確實定．根據(jù)三角形內(nèi)角和180°，△ABC的一個內(nèi)角為60°，另外兩個角的和是120°，滿足等差中項的特點，△ABC的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，等差中項是60°．解答：解：∵△ABC的一個內(nèi)角為60°，∴另外兩個角的和是120°，∴三個角滿足等差數(shù)列；∵△ABC的三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，∴等差中項是60°，應當選C點評：本小題主要考查等差數(shù)列、充要條件等根本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力．可以列表復習等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì)．以便利于區(qū)分等差和12．〔3分〕在復平面內(nèi)，假如復數(shù)z滿足|z+1|=|z﹣i|，如此z所對應的點Z的集合構(gòu)成的圖形是〔〕A圓．B直線．C橢圓．D雙曲線．考點：分析：復數(shù)的代數(shù)表示法與其幾何意義．此題考查的是復數(shù)的模的幾何意義．|z1﹣z2|表示點Z1到Z2距離．先明確幾何意義，再數(shù)形結(jié)合就可以給出解答．解：|z+1|，|z﹣i|的幾何意義分別是點Z到﹣1所對應的點A〔﹣1，0〕和點Z到i所對應的點B〔0，1〕的距離．解答：由|ZA|=|ZB|，如此點Z的軌跡是線段AB的垂直平分線．此題考查的是復數(shù)的模的幾何意義．注意掌握|z1﹣z2|表示點Z1到Z2距離．點評：13．〔3分〕如果曲線x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0經(jīng)過平移坐標軸后的新方程為x'2﹣y'2=1，那么新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為〔〕A〔1，1〕．B〔﹣1，﹣1〕C〔﹣1，1〕D〔1，﹣1〕．．．考點：分析：函數(shù)的圖象與圖象變化．先將方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方，再看此方程可由什么樣的平移方式得到新方程為x'2﹣y'2=1，從而新坐標系的原點在原坐標系中的坐標．解答：解：將方程x2﹣y2﹣2x﹣2y﹣1=0配方得：〔x﹣1〕2﹣〔y+1〕2=1，其中心在〔1，﹣1〕，故新坐標系的原點在原坐標系中的坐標為〔1，﹣1〕，應當選D．此題主要考查了函數(shù)的圖象的圖象變化，屬于根底題．點評：14．〔3分〕〔2007?某某一模〕假設在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有〔〕A．C32C1973種B．C32C1973+C33C1972種C．C1975種5﹣DC2005C200﹣．C31C1974種考點：專題：分析：組合與組合數(shù)公式．計算題；壓軸題．根據(jù)題意，“至少有2件次品〞可分為“有2件次品〞與“有3件次品〞兩種情況，由組合數(shù)公式分別求得兩種情況下的抽法數(shù)，進而相加可得答案．解答：解：根據(jù)題意，“至少有2件次品〞可分為“有2件次品〞與“有3件次品〞兩種情況，“有2件次品〞的抽取方法有C32C1973種，“有3件次品〞的抽取方法有C33C1972種，如此共有C32C1973+C33C1972種不同的抽取方法，應當選B．此題考查組合數(shù)公式的運用，解題時要注意“至少〞“至多〞“最少〞“最少〞等情況的分類討點評：論．15．〔3分〕二面角α﹣AB﹣β的平面角是銳角，C是平面α內(nèi)一點〔它不在棱AB上〕，點D是點C在面β上的射影，點E是棱AB上滿足∠CEB為銳角的任一點，那么〔〕A．∠DEB∠CEB＞B∠CEB=∠DEB．C．∠DEB∠CEB＜D．∠CEB與∠DEB的大小關(guān)系不能確定考點：專題：分析：解答：三垂線定理．作圖題；綜合題；壓軸題．作出圖形，利用三垂線定理和直角三角形，推出∠CEB、∠DEB的正切值的大小，推出結(jié)論．解：過C向AB做垂線交AB于F，連接DF，因為CD⊥AB又CF⊥AB，所以AB⊥面CDF，所以CF垂直于AB在直角三角形CDF中，CF為斜邊DF為直角邊，所以CF＞DF易知tan∠CEF=tan∠DEB=由CF＞DF知，∠CEB＞∠DEB應當選A．點評：此題考查三垂線定理，考查學生邏輯思維能力，是根底題．二、解答題〔共5小題，總分為0分〕16．〔20分〕四棱錐S﹣ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考點：專題：分析：解答：三垂線定理．作圖題；證明題．利用三垂線定理說明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解：因為SB垂直于底面ABCD，所以斜線段SA在底面上的射影為AB，由于DA⊥AB所以DA⊥SA從而連接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，17．〔10分〕tgx=a，求的值．考點：分析：解答：三角函數(shù)中的恒等變換應用．先用和差化積公式再根據(jù)二倍角公式即可化簡求值．解：==點評：此題主要考查三角函數(shù)的和差化積公式和二倍角公式．三角函數(shù)中公式比擬多，一定要熟練記憶，能夠靈活運用．18．〔10分〕如圖，正三棱錐S﹣ABC的側(cè)面是邊長為a的正三角形，D是SA的中點，E是BC的中點，求△SDE繞直線SE旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積．考點：專題：分析：旋轉(zhuǎn)體〔圓柱、圓錐、圓臺〕；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．計算題．連接AE，說明ED⊥SA，作DF⊥SE，交SE于點F．所求的旋轉(zhuǎn)體的體積是以DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個圓錐的體積的和，求出DF，然后求出幾何體的體積．解：連接AE，因為△SDE和△ABC都是邊長為a的正三角形，并且SE和AE分別是它們的中線，解答：所以SE=AE，從而△SEA為等腰三角形，由于D是SA的中點，所以ED⊥SA．作DF⊥SE，交SE于點F．考慮直角△SDE的面積，得到，所以，，．所求的旋轉(zhuǎn)體的體積是以DF為底面半徑，分別以SF和EF為高的兩個圓錐的體積的和，即．點評：此題是根底題，考查空間想象能力，圓錐的體積的求法，考查計算能力以與發(fā)現(xiàn)問題解決問19．〔12分〕給定實數(shù)a，a≠0，且a≠1，設函數(shù)y=〔x∈R，且x≠〕．證明：〔1〕經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸；〔2〕這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形．考點：專題：分析：反函數(shù)．證明題．〔1〕欲證經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點的直線不平行于x軸，設M1〔x1，y1〕，M2〔x2，y2〕是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點，可通過證明任意兩個不同的點的直線的斜率恒不為0得到；〔2〕要證這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對稱圖形，設點P〔x'，y'〕是這個函數(shù)圖象上任意一點，證明其對稱點〔y'，x'〕也在此函數(shù)的圖象上即可．解：〔1〕設M1〔x1，y1〕，M2〔x2，y2〕是這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點，如此解答：x1≠x2，且=，∵a≠1，且x1≠x2，∴y2﹣y1≠0．從而直線M1M2的斜率，因此，直線M1M2不平行于x軸．〔2〕設點P〔x'，y'〕是這個函數(shù)圖象上任意一點，如此x'≠，且y'=〔1〕易知點P〔x'，y'〕關(guān)于直線y=x的對稱點P'的坐標為〔y'，x'〕由〔1〕式得y'〔ax'﹣1〕=x'﹣1，即x'〔ay'﹣1〕=y'﹣1，〔2〕，即ax'﹣a=ax'﹣1，由此得a=1，與矛盾，∴這說明點P'〔y'，x'〕在函數(shù)的圖象上，因此，這個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸