數(shù)學新教材解讀及考點剖析專題13 乘法公式與全概率公式

全站免費，更多資源關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專題13乘法公式與全概率公式[新教材的新增內(nèi)容]背景分析:在舊教材中對全概率公式?jīng)]有介紹，但在選擇性必修三7.1.2全概率公式，進行了專門的學習.通過全概率公式的學習為解決各種各樣的限制條件或其樣本空間較為復(fù)雜的概率問題提供了有力的工具.1.條件概率一般地，當事件B發(fā)生的概率大于0時(即P(B)>0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為條件概率，記作P(A|B)，而且P(A|B)=.2.概率乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P（A）>0，則P（AB）=P（A）P（B|A）.我們稱上式為概率乘法公式（multiplicationformula）.3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai)，我們稱上面的公式為全概率公式．[新增內(nèi)容的考查分析]1.全概率公式的計算(全概率公式主要用于計算比較復(fù)雜事件的概率，它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運用．)【考法示例1】1.設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)，乙、丙兩廠各生產(chǎn)，而且各廠的次品率依次為2%，2%，4%，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為（）A.0.025 B.0.08 C.0.07 D.0.125【答案】A【解析】【分析】利用全概率計算公式即可求解.【詳解】設(shè)A1，A2，A3分別表示甲、乙、丙工廠的產(chǎn)品，B表示次品，則P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．故選：A．【考法示例2】2.為了提升全民身體素質(zhì)，學校十分重視學生體育鍛煉，某?；@球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，由全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用全概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是弄清第球與第球投進與否之間的關(guān)系，結(jié)合全概率公式進行計算.2.全概率公式的計算的綜合應(yīng)用（在計算復(fù)雜事件的概率是，運用全概率公式，可以將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率運算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．)【考法示例3】3.某卡車為鄉(xiāng)村小學運送書籍，共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學書、3箱語文書．到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下9箱中任意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用Bk表示丟失的一箱為k，k＝1，2，3分別表示英語書、數(shù)學書、語文書．由全概率公式得及.【詳解】用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用Bk表示丟失的一箱為k，k＝1，2，3分別表示英語書、數(shù)學書、語文書．由全概率公式得，，故選：B．【考法示例4】4.播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子、1.5%的三等種子、1%的四等種子．用一、二、三、四等種子結(jié)出的穗含有50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率為________．【答案】0.4825【解析】【分析】根據(jù)條件概率性質(zhì)與互斥事件概率公式即可得結(jié)果．【詳解】用B表示事件“這批種子任選一粒所結(jié)的穗含有50顆以上麥?！保畯倪@批種子中任取一粒為一、二、三、四等種子的事件分別記為A1，A2，A3，A4，則P(A1)＝95.5%，P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%，P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0.5，P(B|A2)＝0.15，P(B|A3)＝0.1，P(B|A4)＝0.05，所以故答案為：0.4825[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]5.袋中有a個白球b個黑球，不放回摸球兩次，問第二次摸出白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)古典概率公式和全概率公式可求得答案.【詳解】分別記A，B為第一次、第二次摸到白球，則，由全概率公式，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝.故選：A.6.已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，其為男子的概率為（）(設(shè)男子和女子的人數(shù)相等)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)“男子”，“女子”，“這人有色盲”，分別求得,結(jié)合公式，即可求解.【詳解】設(shè)“男子”，“女子”，“這人有色盲”，則,可得.故選：B.7.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過4件，且具有如下的概率：一批產(chǎn)品中的次品數(shù)01234概率0.10.20.40.20.1現(xiàn)進行抽樣檢驗，從每批中隨機取出10件來檢驗，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認為該批產(chǎn)品不合格，則一批產(chǎn)品通過檢驗的概率為（）A.0.814 B.0.809 C.0.727 D.0.652【答案】A【解析】【分析】利用條件概率以及全概率計算公式即可求解.【詳解】以Ai表示一批產(chǎn)品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通過檢驗，則由題意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．由全概率公式，得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．故選：A8.在某一季節(jié)，疾病D1的發(fā)病率為2%，病人中40%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D2的發(fā)病率為5%，其中18%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D3的發(fā)病率為0.5%，癥狀S在病人中占60%．則（）A.任意一位病人有癥狀S的概率為0.02B.病人有癥狀S時患疾病D1的概率為0.4C.病人有癥狀S時患疾病D2的概率為0.45D.病人有癥狀S時患疾病D3的概率為0.25【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計算可得結(jié)果.【詳解】P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．由貝葉斯公式得：P(D1|S)===0.4，P(D2|S)===0.45，P(D3|S)===0.15．故選：ABC9.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應(yīng)為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，現(xiàn)在對自然人群進行普查，設(shè)被試驗的人患有癌癥的概率為0.005，即P(C)＝0.005，則P(C|A)＝______．(精確到0.001)【答案】0.087【解析】【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式可求得結(jié)果．【詳解】因為，所以，因為，所以，所以由全概率公式可得，因為所以．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握條件概率和全概率公式是解題關(guān)鍵．10.商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱．這一箱含有一個次品的概率約為________．(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)【答案】【解析】【分析】設(shè)A：從一箱中任取4只檢查，結(jié)果都是好的，B0，B1，B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品，分別求得的值，進而根據(jù)公式求得，即可求解.【詳解】設(shè)A：從一箱中任取4只檢查，結(jié)果都是好的，B0，B1，B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品．則，,.故答案為：11.有甲、乙兩個袋子，甲袋中有2個白球，1個紅球，乙袋中有2個紅球，一個白球．這6個球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，此球是紅球的概率為________．若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率為________．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)A1＝從甲袋放入乙袋的是白球,A2＝從甲袋放入乙袋的是紅球,B＝從乙袋中任取一球是紅球,利用P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)和P(A1|B)求解.【詳解】設(shè)A1＝從甲袋放入乙袋的是白球；A2＝從甲袋放入乙袋的是紅球；B＝從乙袋中任取一球是紅球；P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝，P(A1|B)＝.故答案為：；.12.設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取2球，求從乙盒取出2個紅球的概率．【答案】.【解析】【分析】設(shè)A1＝從甲盒取出2個紅球；A2＝從甲盒取出2個白球；A3＝從甲盒取出1個白球1個紅球；B＝從乙盒取出2個紅球；則A1，A2，A3兩兩互斥，由P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)可得答案.【詳解】設(shè)A1＝從甲盒取出2個紅球；A2＝從甲盒取出2個白球；A3＝從甲盒取出1個白球1個紅球；B＝從乙盒取出2個紅球；則A1，A2，A3兩兩互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω，所以B＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B，P(B)＝P(A1B∪A2B∪A3B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝.13.10個乒乓球有7個新球3個舊球．第一次比賽時隨機取出2個，用過后放回．現(xiàn)在第二次比賽又取出2個，問第二次取到幾個新球的概率最大？【答案】第二次取到一個新球的概率最大．【解析】【分析】設(shè)Ai為第一次取到i個新球，i＝0，1，2，Bj為第二次取到j(luò)個新球，j＝0，1，2，由全概率公式得P(Ai)＝，i＝0，1，2，P(Bj|Ai)＝，i，j＝0，1，2，代入計算得P(B1)，P(B2)，比較可得結(jié)論.【詳解】設(shè)Ai為第一次取到i個新球，i＝0，1，2，Bj為第二次取到j(luò)個新球，j＝0，1，2，P(A