數(shù)學(xué)新教材解讀及考點(diǎn)剖析專(zhuān)題13 乘法公式與全概率公式

全站免費(fèi)，更多資源關(guān)注公眾號(hào)拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專(zhuān)題13乘法公式與全概率公式[新教材的新增內(nèi)容]背景分析:在舊教材中對(duì)全概率公式?jīng)]有介紹，但在選擇性必修三7.1.2全概率公式，進(jìn)行了專(zhuān)門(mén)的學(xué)習(xí).通過(guò)全概率公式的學(xué)習(xí)為解決各種各樣的限制條件或其樣本空間較為復(fù)雜的概率問(wèn)題提供了有力的工具.1.條件概率一般地，當(dāng)事件B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)>0)，已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱(chēng)為條件概率，記作P(A|B)，而且P(A|B)=.2.概率乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P（A）>0，則P（AB）=P（A）P（B|A）.我們稱(chēng)上式為概率乘法公式（multiplicationformula）.3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)=P(Ai)P(B|Ai)，我們稱(chēng)上面的公式為全概率公式．[新增內(nèi)容的考查分析]1.全概率公式的計(jì)算(全概率公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率，它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用．)【考法示例1】1.設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)，乙、丙兩廠各生產(chǎn)，而且各廠的次品率依次為2%，2%，4%，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為（）A.0.025 B.0.08 C.0.07 D.0.125【答案】A【解析】【分析】利用全概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】設(shè)A1，A2，A3分別表示甲、乙、丙工廠的產(chǎn)品，B表示次品，則P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025．故選：A．【考法示例2】2.為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某?；@球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí)．如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為.若他第球投進(jìn)的概率為，則他第球投進(jìn)的概率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記事件為“第球投進(jìn)”，事件為“第球投進(jìn)”，由全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件為“第球投進(jìn)”，事件為“第球投進(jìn)”，，，，由全概率公式可得.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用全概率公式計(jì)算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是弄清第球與第球投進(jìn)與否之間的關(guān)系，結(jié)合全概率公式進(jìn)行計(jì)算.2.全概率公式的計(jì)算的綜合應(yīng)用（在計(jì)算復(fù)雜事件的概率是，運(yùn)用全概率公式，可以將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單事件的概率運(yùn)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問(wèn)題．)【考法示例3】3.某卡車(chē)為鄉(xiāng)村小學(xué)運(yùn)送書(shū)籍，共裝有10個(gè)紙箱，其中5箱英語(yǔ)書(shū)、2箱數(shù)學(xué)書(shū)、3箱語(yǔ)文書(shū)．到目的地時(shí)發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下9箱中任意打開(kāi)兩箱，結(jié)果都是英語(yǔ)書(shū)，則丟失的一箱也是英語(yǔ)書(shū)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語(yǔ)書(shū)，用Bk表示丟失的一箱為k，k＝1，2，3分別表示英語(yǔ)書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)．由全概率公式得及.【詳解】用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語(yǔ)書(shū)，用Bk表示丟失的一箱為k，k＝1，2，3分別表示英語(yǔ)書(shū)、數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)．由全概率公式得，，故選：B．【考法示例4】4.播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子、1.5%的三等種子、1%的四等種子．用一、二、三、四等種子結(jié)出的穗含有50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率為_(kāi)_______．【答案】0.4825【解析】【分析】根據(jù)條件概率性質(zhì)與互斥事件概率公式即可得結(jié)果．【詳解】用B表示事件“這批種子任選一粒所結(jié)的穗含有50顆以上麥?！保畯倪@批種子中任取一粒為一、二、三、四等種子的事件分別記為A1，A2，A3，A4，則P(A1)＝95.5%，P(A2)＝2%，P(A3)＝1.5%，P(A4)＝1%，P(B|A1)＝0.5，P(B|A2)＝0.15，P(B|A3)＝0.1，P(B|A4)＝0.05，所以故答案為：0.4825[新增內(nèi)容的針對(duì)訓(xùn)練]5.袋中有a個(gè)白球b個(gè)黑球，不放回摸球兩次，問(wèn)第二次摸出白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)古典概率公式和全概率公式可求得答案.【詳解】分別記A，B為第一次、第二次摸到白球，則，由全概率公式，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝·＋·＝.故選：A.6.已知在所有男子中有5%患有色盲癥，在所有女子中有0.25%患有色盲癥，隨機(jī)抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，其為男子的概率為（）(設(shè)男子和女子的人數(shù)相等)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)“男子”，“女子”，“這人有色盲”，分別求得,結(jié)合公式，即可求解.【詳解】設(shè)“男子”，“女子”，“這人有色盲”，則,可得.故選：B.7.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批，假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過(guò)4件，且具有如下的概率：一批產(chǎn)品中的次品數(shù)01234概率0.10.20.40.20.1現(xiàn)進(jìn)行抽樣檢驗(yàn)，從每批中隨機(jī)取出10件來(lái)檢驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格，則一批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率為（）A.0.814 B.0.809 C.0.727 D.0.652【答案】A【解析】【分析】利用條件概率以及全概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】以Ai表示一批產(chǎn)品中有i件次品，i=0，1，2，3，4，B表示通過(guò)檢驗(yàn)，則由題意得，P(A0)=0.1，P(B|A0)=1，P(A1)=0.2，P(B|A1)==0.9，P(A2)=0.4，P(B|A2)=≈0.809，P(A3)=0.2，P(B|A3)=≈0.727，P(A4)=0.1，P(B|A4)=≈0.652．由全概率公式，得P(B)=P(Ai)P()=0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814．故選：A8.在某一季節(jié)，疾病D1的發(fā)病率為2%，病人中40%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D2的發(fā)病率為5%，其中18%表現(xiàn)出癥狀S，疾病D3的發(fā)病率為0.5%，癥狀S在病人中占60%．則（）A.任意一位病人有癥狀S的概率為0.02B.病人有癥狀S時(shí)患疾病D1的概率為0.4C.病人有癥狀S時(shí)患疾病D2的概率為0.45D.病人有癥狀S時(shí)患疾病D3的概率為0.25【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)全概率公式和貝葉斯公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】P(D1)=0.02，P(D2)=0.05，P(D3)=0.005，P(S|D1)=0.4，P(S|D2)=0.18，P(S|D3)=0.6，由全概率公式得P(S)=P(Di)P(S|Di)=0.02×0.4+0.05×0.18+0.005×0.6=0.02．由貝葉斯公式得：P(D1|S)===0.4，P(D2|S)===0.45，P(D3|S)===0.15．故選：ABC9.根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)有如下的效果：若以A表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A|C)＝0.95，P(|)＝0.95，現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005，即P(C)＝0.005，則P(C|A)＝______．(精確到0.001)【答案】0.087【解析】【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式可求得結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以由全概率公式可得，因?yàn)樗裕蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握條件概率和全概率公式是解題關(guān)鍵．10.商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買(mǎi)下了這一箱．這一箱含有一個(gè)次品的概率約為_(kāi)_______．(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)【答案】【解析】【分析】設(shè)A：從一箱中任取4只檢查，結(jié)果都是好的，B0，B1，B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品，分別求得的值，進(jìn)而根據(jù)公式求得，即可求解.【詳解】設(shè)A：從一箱中任取4只檢查，結(jié)果都是好的，B0，B1，B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品．則，,.故答案為：11.有甲、乙兩個(gè)袋子，甲袋中有2個(gè)白球，1個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)紅球，一個(gè)白球．這6個(gè)球手感上不可區(qū)別．今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，此球是紅球的概率為_(kāi)_______．若已知取到一個(gè)紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率為_(kāi)_______．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)A1＝從甲袋放入乙袋的是白球,A2＝從甲袋放入乙袋的是紅球,B＝從乙袋中任取一球是紅球,利用P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)和P(A1|B)求解.【詳解】設(shè)A1＝從甲袋放入乙袋的是白球；A2＝從甲袋放入乙袋的是紅球；B＝從乙袋中任取一球是紅球；P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＝，P(A1|B)＝.故答案為：；.12.設(shè)甲盒有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，乙盒有4個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再?gòu)囊液腥稳?球，求從乙盒取出2個(gè)紅球的概率．【答案】.【解析】【分析】設(shè)A1＝從甲盒取出2個(gè)紅球；A2＝從甲盒取出2個(gè)白球；A3＝從甲盒取出1個(gè)白球1個(gè)紅球；B＝從乙盒取出2個(gè)紅球；則A1，A2，A3兩兩互斥，由P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)可得答案.【詳解】設(shè)A1＝從甲盒取出2個(gè)紅球；A2＝從甲盒取出2個(gè)白球；A3＝從甲盒取出1個(gè)白球1個(gè)紅球；B＝從乙盒取出2個(gè)紅球；則A1，A2，A3兩兩互斥，且A1∪A2∪A3＝Ω，所以B＝(A1∪A2∪A3)B＝A1B∪A2B∪A3B，P(B)＝P(A1B∪A2B∪A3B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝.13.10個(gè)乒乓球有7個(gè)新球3個(gè)舊球．第一次比賽時(shí)隨機(jī)取出2個(gè)，用過(guò)后放回．現(xiàn)在第二次比賽又取出2個(gè)，問(wèn)第二次取到幾個(gè)新球的概率最大？【答案】第二次取到一個(gè)新球的概率最大．【解析】【分析】設(shè)Ai為第一次取到i個(gè)新球，i＝0，1，2，Bj為第二次取到j(luò)個(gè)新球，j＝0，1，2，由全概率公式得P(Ai)＝，i＝0，1，2，P(Bj|Ai)＝，i，j＝0，1，2，代入計(jì)算得P(B1)，P(B2)，比較可得結(jié)論.【詳解】設(shè)Ai為第一次取到i個(gè)新球，i＝0，1，2，Bj為第二次取到j(luò)個(gè)新球，j＝0，1，2，P(A