數(shù)學(xué)新教材解讀及考點(diǎn)剖析

全站免費(fèi)，更多資源關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所專題01二次函數(shù)與一元二次方程?不等式[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：在舊教材中沒有單獨(dú)把三個(gè)內(nèi)容有機(jī)的聯(lián)系到一起，而新教材把該內(nèi)容進(jìn)行了整合放到了第一冊的第二章的位置，作為必備的工具出現(xiàn)，彰顯其重要作用.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a>0）的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有兩相異實(shí)數(shù)根x1，x2（x1<x2）有兩相等實(shí)數(shù)根x1=x2=-沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}?[新增內(nèi)容的考查分析]1.二次方程的根與一元二次不等式的聯(lián)系轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)?圖象?公式或已知條件將問題通過變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問題的思想.【考法示例1】不等式ax2+x+1>0的解集為（m，1），則m+a=________.解析：由不等式ax2+x+1>0的解集為（m，1），得x=1是方程ax2+x+1=0的根，即a+1+1=0，解得a=-2，則不等式為-2x2+x+1>0，解得-<x<1，則有m=-，則有m+a=-.【考法示例2】已知關(guān)于x的不等式-x2+ax+b>0.（1）若該不等式的解集為（-4，2）.求a，b的值；（2）若b=a+1，求此不等式的解集.解：（1）根據(jù)題意得解得a=-2，b=8.（2）當(dāng)b=a+1時(shí)，-x2+ax+b>0?x2-ax-（a+1）<0，即[x-（a+1）]（x+1）<0.當(dāng)a+1=-1，即a=-2時(shí)，原不等式的解集為?；當(dāng)a+1<-1，即a<-2時(shí)，原不等式的解集為（a+1，-1）；當(dāng)a+1>-1，即a>-2時(shí)，原不等式的解集為（-1，a+1）.綜上，當(dāng)a<-2時(shí)，不等式的解集為（a+1，-1）；當(dāng)a=-2時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>-2時(shí)，不等式的解集為（-1，a+1）.2.一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系【考法示例1】若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4<0對一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.（-∞，2]B.[-2，2]C.（-2，2]D.（-∞，-2）[解析]當(dāng)a-2=0，即a=2時(shí)，不等式為-4<0，對一切x∈R恒成立.當(dāng)a≠2時(shí)，則即解得-2<a<2∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，2].[答案]C【考法示例2】若對任意的x∈[-1，2]，都有x2-2x+a≤0（a為常數(shù)），則a的取值范圍是（）A.（-∞，-3]B.（-∞，0]C.[1，+∞）D.（-∞，1][解析]法一：令f（x）=x2-2x+a，則由題意，得解得a≤-3，故選A.法二：當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，不等式x2-2x+a≤0恒成立等價(jià)于a≤-x2+2x恒成立，則由題意，得a≤（-x2+2x）min（x∈[-1，2]）.而-x2+2x=-（x-1）2+1，則當(dāng)x=-1時(shí)，（-x2+2x）min=-3，所以a≤-3，故選A.[答案]A3.給定參數(shù)范圍求x范圍的恒成立問題的解法解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù).一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列式求解.【考法示例1】若不等式x2+px>4x+p-3，當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立，則x的取值范圍是（）A.[-1，3]B.（-∞，-1]C.[3，+∞）D.（-∞，-1）∪（3，+∞）[解析]法一（特殊值法）：當(dāng)x=-1時(shí)，由x2+px>4x+p-3，得p<4，故x=-1不符合條件，排除A?B；當(dāng)x=3時(shí)，由x2+px>4x+p-3，得p>0，故x=3不符合條件，排除C.法二（轉(zhuǎn)換變元法）：不等式變?yōu)椋▁-1）p+x2-4x+3>0，當(dāng)0≤p≤4時(shí)恒成立，所以即解得x<-1或x>3.[答案]D[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]1.下列四個(gè)解不等式，正確的有（）A.不等式2x2-x-1>0的解集是{x|x>2或x<1}B.不等式-6x2-x+2≤0的解集是或C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1}，那么a的值是3D.關(guān)于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q，1)，則p+q的值為-1【答案】BCD【解析】【分析】對A，B直接解一元二次不等式，對C，D根據(jù)一元二次不等式的與對應(yīng)方程根的關(guān)系判斷即可．【詳解】解：對于A：，由得，解得或，不等式的解集為．故A錯誤；對于B，，，，或．故B正確；對于C：由題意可知和為方程的兩個(gè)根．，．故C正確；對于D：依題意得，1是方程的兩根，，即，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法和不等式的解集與方程之間的關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題．2.若不等式對一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于不等式對一切實(shí)數(shù)都成立.當(dāng)時(shí)，可得，解得，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3.在上定義運(yùn)算，若存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將原式進(jìn)行化簡，然后參變分離，轉(zhuǎn)化為求最值，最后變換成關(guān)于m的不等式求解即可.【詳解】令因?yàn)榧匆簿褪窃跁r(shí)，，取最大值為6所以解得故選C【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法，轉(zhuǎn)化思想非常重要，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4.若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.[2，＋∞) B.(－∞，－6] C.[－6,2] D.(－∞，－6]∪[2，＋∞)【答案】D【解析】【詳解】由已知得方程x2－ax－a＋3＝0有實(shí)數(shù)根，即Δ＝a2＋4(a－3)≥0，故a≥2或a≤－6.5.已知，不等式的解集是，則b=________；若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.【答案】①.②.t≤-2【解析】【分析】由不等式的解集是結(jié)合一元二次不等式的解集與對應(yīng)的一元二次方程的解集的關(guān)系可得是的兩根，由此可求，再由在上恒成立可得，由此可得t的范圍.【詳解】由不等式的解集是，可知和是方程的根，即解得，所以，所以不等式可化為，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，則的最小值為，所以，故答案為：4，.6.已知函數(shù)．（1）若對于任意的x∈[m，m＋1]，都有＜0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）如果關(guān)于x的不等式有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（，0）．（2）{m|m≤﹣4，或m≥﹣1}．【解析】【詳解】分析：（1）由題意可得，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）由題意可得：﹣1，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；詳解：（1）由題意可得：，求得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為（，0）．（2）由題意可得：﹣1，求得m≤﹣4，或m≥﹣1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≤﹣4，或m≥﹣1}．點(diǎn)睛：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

專題02指對數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：人教A版的第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，相對舊教材，單獨(dú)增加了一節(jié)函數(shù)的應(yīng)用（二），主要增加了以對數(shù)和指數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)應(yīng)用問題，提高了位置，加大了函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，加大培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的學(xué)科素養(yǎng).1.（1）指數(shù)函數(shù)模型：f（x）=abx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1）；（2）對數(shù)函數(shù)模型：f（x）=mlogax+n（m，n，a為常數(shù)，m≠0，a>0，a≠1）；2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax（a>1）y=logax（a>1）y=xn（n>0）在（0，+∞）上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax[新增內(nèi)容的考查分析]1.以指數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型（1）要先學(xué)會合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率?銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)函數(shù)模型；（2）在解決指數(shù)函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需要通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)的圖象求解最值問題.【考法示例1】某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2018年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年[答案]C[解析]設(shè)第n（n∈N*）年該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.根據(jù)題意得130（1+12%）n-1>200，則lg[130（1+12%）n-1]>lg200，∴l(xiāng)g130+（n-1）lg1.12>lg2+2，∴2+lg1.3+（n-1）lg1.12>lg2+2，∴0.11+（n-1）×0.05>0.30，解得n>，又∵n∈N*，∴n≥5，∴該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是2022年.故選C.【考法示例2】毛衣柜里的樟腦丸會隨著時(shí)間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為，經(jīng)過天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為.若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?，則一個(gè)新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過的時(shí)間為（）A.125天B.100天C.75天D.50天【答案】C解析：由題意知，當(dāng)時(shí)，有.即，得.所以當(dāng)時(shí)，有.即，得.所以.故選：C【考法示例3】碳測年法是由美國科學(xué)家馬丁·卡門與同事塞繆爾·魯賓于年發(fā)現(xiàn)的一種測定含碳物質(zhì)年齡的方法，在考古中有大量的應(yīng)用放射性元素的衰變滿足規(guī)律（表示的是放射性元素在生物體中最初的含量與經(jīng)過時(shí)間后的含量間的關(guān)系，其中（為半衰期）.已知碳的半衰期為年，，經(jīng)測量某地出土的生物化石中碳含量為，據(jù)此推測該化石活體生物生活的年代距今約（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）（）A.年B.年C.年D.年【答案】C【解析】由題意知：，把數(shù)據(jù)代入得：故選：C.2.以對數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)模型【考法示例1】十六?十七世紀(jì)之交，天文?航海?工程?貿(mào)易以及軍事快速發(fā)展，對大數(shù)的運(yùn)算提出了更高的要求，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，英格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）在研究天文學(xué)的過程中，經(jīng)過對運(yùn)算體系的多年研究，最終找到了簡化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》標(biāo)志著對數(shù)的誕生.對數(shù)的思想方法，即把乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法，在今天仍然具有生命力.以下幾組自變量與函數(shù)值的部分對應(yīng)關(guān)系中，最接近對數(shù)函數(shù)上述作用的函數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】D【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)（且）的性質(zhì)，隨著的增大，值的變化幅度越來越小，由表中數(shù)據(jù)可知，只有D選項(xiàng)比較接近對數(shù)函數(shù).故選：D【考法示例2】科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)為地震時(shí)所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2021年6月22日下午寧夏A市發(fā)生里氏3.1級地震，2020年9月2日寧夏市發(fā)生里氏4.3級地震，則市地震所散發(fā)出來的能量是市地震所散發(fā)出來的能量的（）倍.A.2B.10C.100D.1000【答案】C【詳解】設(shè)自貢地震所散發(fā)出來的能量為，余江地震所散發(fā)出來的能量，則，故兩式作差得，故，.故選：C.【考法示例3】噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題.實(shí)踐證明，聲音強(qiáng)度（分貝）由公式（，為非零常數(shù)）給出，其中為聲音能量.當(dāng)聲音強(qiáng)度，，滿足時(shí)，聲音能量，，滿足的等量關(guān)系式為_________；當(dāng)人們低聲說話，聲音能量為時(shí)，聲音強(qiáng)度為30分貝；當(dāng)人們正常說話，聲音能量為時(shí)，聲音強(qiáng)度為40分貝，當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時(shí)屬于噪音.火箭導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)的噪音分貝數(shù)在區(qū)間內(nèi)，此時(shí)聲音能量數(shù)值的范圍是_________.【答案】【詳解】①由題知，，當(dāng)時(shí)，有，整理得，，因?yàn)?，所?②由題知，，即，解得，，所以.由，得，，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，所以，故火箭導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)的噪音分貝數(shù)在區(qū)間內(nèi)，此時(shí)聲音能量數(shù)值的范圍是.故答案為：；.3.指數(shù)函數(shù)和對數(shù)運(yùn)算混合型的問題【考法示例1】草地貪夜蛾是一種起源于美洲的繁殖能力很強(qiáng)的農(nóng)業(yè)害蟲，日增長率為，若只草地貪夜蛾經(jīng)過天后，數(shù)量落在區(qū)間內(nèi)，則的值可能為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.B.C.D.【答案】C【詳解】由題意得，兩邊取對數(shù)得，所以，且，即，對照各選項(xiàng)，只有C符合.故選：C.【考法示例2】某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量與時(shí)間之間的關(guān)系為.如果前2小時(shí)消除了20%的污染物，則污染物減少50%大約需要的時(shí)間為（參考數(shù)據(jù)：，，）（）A.B.C.D.【答案】B【詳解】前2小時(shí)消除了20%的污染物，則故，污染物減少50%，則可得故，故選：B[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]1.已知某物種經(jīng)過年后的種群數(shù)量近似滿足岡珀茨模型：，當(dāng)時(shí)，的值表示年年初的種群數(shù)量．若年后，該物種的種群數(shù)量不超過年初種群數(shù)量的，則的最小值為（）（參考值：）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出年年初的種群數(shù)量，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，即可得解.【詳解】由題意可知，年年初的種群數(shù)量為，由，即，可得，即，故，因?yàn)?，因此，的最小值?故選：B．2.某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)，要使水中雜質(zhì)減少到原來的以下，則至少需要過濾的次數(shù)為（）(參考數(shù)據(jù)，)A.10 B.12 C.14 D.16【答案】C【解析】【分析】設(shè)至少需要過濾的次數(shù)為，由題意可得，即，兩邊同時(shí)取對數(shù)解不等式即可求解.【詳解】設(shè)至少需要過濾的次數(shù)為，由題意可得，即所以，可得，所以故至少過濾次．故選：C.3.漁民出海打魚，為了保證運(yùn)回魚的新鮮度（以魚肉內(nèi)的三甲胺的多少來確定魚的新鮮度，三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細(xì)菌分解產(chǎn)生的，三甲胺積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質(zhì)，進(jìn)而腐?。?，負(fù)被打上船后，要在最短的時(shí)間內(nèi)將其分揀，冷藏，已知某種魚失去的新鮮度與其出海后時(shí)間(分）滿足的函數(shù)關(guān)系式為，若出海后20分這種魚失去的新鮮度為20%；出海后30分鐘，這種魚失去的新鮮度為40%，那么若不及時(shí)處理，打上船的這種魚大約在多長時(shí)間剛好失去50%的新鮮度（）考數(shù)據(jù)：A.23分鐘 B.33分鐘 C.50分鐘 D.56分鐘【答案】B【解析】【分析】由題得，解方程可得，再解方程即可得答案.【詳解】由題意可得，解得．故．令，即，兩邊同時(shí)取對數(shù)，故分鐘故選：B4.中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)極大地提高了數(shù)據(jù)傳輸速率，最大數(shù)據(jù)傳輸速率C取決于信道帶寬W，經(jīng)科學(xué)研究表明：C與W滿足，其中S是信道內(nèi)信號的平均功率，N是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率，為信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，上式中真數(shù)中的1可以忽略不計(jì).若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至4000，則C大約增加了（）(附：)A.10% B.20% C.30% D.40%【答案】B【解析】【分析】先計(jì)算和時(shí)的最大數(shù)據(jù)傳輸速率和，再計(jì)算增大的百分比即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以增大的百分比為：.故選：B.5.中國的技術(shù)世界領(lǐng)先，其數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率（單位：）取決于信道寬度（單位：）?信道內(nèi)信號的平均功率（單位：）、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（單位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若信道寬度變?yōu)樵瓉肀?，而將信噪比從提升至，則大約增加了（）（附：）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對數(shù)減法與換底公式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，信道寬度變?yōu)樵瓉肀叮?因?yàn)?故選：D.6.隨著人們健康水平的不斷提高，某種疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要將當(dāng)前的患病率降低到原來的一半，需要的時(shí)間至少是（）(，)A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)條件列式，再通過兩邊取對數(shù)，計(jì)算需要的時(shí)間.【詳解】設(shè)至少需要年的時(shí)間，則，兩邊取對數(shù)，即.故選：B7.聲音的等級（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足.噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級約為；一般說話時(shí)，聲音的等級約為，那么噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的（）A.105倍 B.108倍 C.1010倍 D.1012倍【答案】B【解析】【分析】首先設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，根據(jù)題意得出，，計(jì)算求的值.【詳解】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為，，，，，所以，因此，噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的倍.故選：B8.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運(yùn)算.9.當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.若生物體內(nèi)原有的碳14含量為A，按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式是_______，考古學(xué)家在對考古活動時(shí)挖掘到的某生物標(biāo)本進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)該生物體內(nèi)碳14的含量是原來的62.5%，則可以推測該生物的死亡時(shí)間距今約________年.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】①.；②.3883【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型得出函數(shù)關(guān)系式，然后由計(jì)算．【詳解】設(shè)1年后碳14含量為原來的倍，則，，∴，由，即，∴，∴，．故答案為：；3883．10.在某個(gè)時(shí)期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，已知經(jīng)過天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的倍，那么經(jīng)過天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的_____【答案】36倍【解析】【分析】題目考察指數(shù)型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)原數(shù)量為，根據(jù)題意可分別列出30天后和60天后的數(shù)量的指數(shù)表達(dá)式，從而得到倍數(shù)關(guān)系【詳解】某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長率呈指數(shù)增長，經(jīng)過30天以后，該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的6倍，設(shè)湖泊中原來藍(lán)藻數(shù)量為，則，經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)量為：經(jīng)過60天后該湖泊的藍(lán)藻數(shù)大約為原來的36倍.故答案為：36倍11.放射性物質(zhì)鐳的某種同位素，每經(jīng)過一年剩下的質(zhì)量是原來的.若剩下的質(zhì)量不足原來的一半，則至少需要（填整數(shù)）____年.（參考數(shù)據(jù)：，)【答案】【解析】【分析】設(shè)所需的年數(shù)為，由已知條件可得，解該不等式即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)所需的年數(shù)為，由已知條件可得，則.因此，至少需要年.故答案為：.

專題03三角函數(shù)線的應(yīng)用[新教材的新增內(nèi)容]背景分析:人教B版有單獨(dú)一節(jié)講解三角函數(shù)線，人教A把新教材中關(guān)于三角函數(shù)線的應(yīng)用相對舊教材而言，重點(diǎn)體現(xiàn)在三角函數(shù)概念的獲得，誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)，以及正余弦函數(shù)的圖象的得到以及三角函數(shù)的性質(zhì)等.體現(xiàn)這個(gè)知識點(diǎn)的基礎(chǔ)性和解決問題的本質(zhì)的根源所在.一．正弦線與余弦線1．一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)滿足x2＋y2＝1的點(diǎn)組成的集合稱為單位圓.2．過角α終邊與單位圓的交點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，當(dāng)?shù)姆较蚺cx軸的正方向相同時(shí)，表示cosα是正數(shù)，且cosα＝，當(dāng)?shù)姆较蚺cx軸的正方向相反時(shí)，表示cosα是負(fù)數(shù)，且cosα＝－，稱為角α的余弦線，類似地，可以直觀的表示sinα，稱為角α的正弦線．注：利用角的正弦線和余弦線，可以直觀地看成角地正弦和余弦地信息，例如上圖中，角的余弦線是，正弦線是，由此可看成，而且還可以看出：，.二．正切線設(shè)角α的終邊與直線x＝1交于點(diǎn)T，則可以直觀地表示tanα，因此稱為角α的正切線．當(dāng)角的終邊在第二、三象限或x軸的負(fù)半軸上時(shí)，終邊與直線x＝1沒有交點(diǎn)，但終邊的反向延長線與x＝1有交點(diǎn)，而且交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也正好是角的正切值．注：如圖所示，角的正切線為，而且從圖中可以看出：，這就是說，角的正切等于角的終邊或其反向延長線與直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo).[新增內(nèi)容的考查分析]1.利用三角函數(shù)線求值【考法示例1】作出和的正弦線、余弦線和正切線，并利用三角函數(shù)線求出它們的正弦、余弦和正切.解：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中作出單位圓以及直線，單位圓與軸交于點(diǎn).作的終邊與單位圓的交點(diǎn)P，過P作x軸的垂線，垂足為M；延長線段PO，交直線于T，則的正弦線為，余弦線為，正切線為.類似可得到的正弦線為，余弦線為，正切線為.在圖中，根據(jù)直角三角形的知識可知，所以，.2.利用三角函數(shù)線判斷大小【考法示例1】下列關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】作出單位圓，用三角函數(shù)線進(jìn)行求解，如圖所示，有，所以，故選：A.【考法示例2】利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?1)sin與sin；(2)tan與tan；(3)cos與cos.解如圖，畫出角與的正弦線、余弦線、正切線，sin＝M1P1，sin＝M2P2，tan＝AT1，tan＝AT2，cos＝OM1，cos＝OM2，由圖形觀察可得：M1P1>M2P2，AT1<AT2，OM1>OM2，∴(1)sin>sin；(2)tan<tan；(3)cos>cos.3．利用三角函數(shù)線解不等式【考法示例1】已知，且，則的取值范圍是（）.A．B．C．D．【答案】D【詳解】畫出單位圓以及，，，∵，且，從圖中可知的取值范圍是故選：D.【考法示例2】函數(shù)y＝的定義域?yàn)開_______．【答案】(k∈Z)【詳解】∵2cosx－1≥0，∴cosx≥.由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示)．∴x∈(k∈Z)．故答案為(k∈Z)4．利用三角函數(shù)線證明不等式【考法示例1】利用單位圓中三角函數(shù)線.證明：當(dāng)時(shí)，（1）；（2）．證明：在單位圓中，有．（1）連接，則，即，，∴．（2）．5.三角函數(shù)線的實(shí)際應(yīng)用.將圖（1）中所示的摩天輪抽象成圖（2）所示的平面圖形，然后以摩天輪轉(zhuǎn)輪中心為原點(diǎn)，以水平線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P到底面的高OT為lm，點(diǎn)P為轉(zhuǎn)輪邊緣上任意一點(diǎn)，轉(zhuǎn)輪半徑OP為rm，記以O(shè)P為終邊的角為，點(diǎn)P離底面的高度為hm，試用表示解：過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，則：當(dāng)?shù)慕K邊在第一、二象限或y軸正半軸上時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)?shù)慕K邊在第三、四象限或y軸的負(fù)半軸上時(shí)，因?yàn)?，所以，此時(shí)；所以不管的終邊在何處，都有.[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]1.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出角的三角函數(shù)線，利用三角函數(shù)線進(jìn)行比較即可．【詳解】作出角的三角函數(shù)線如下圖所示：由圖象知：，又，.故選：B.2.在內(nèi)，使成立的的取值范圍是____【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)線，結(jié)合的取值范圍，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)線，角度終邊落在直線右下方時(shí)，滿足，又當(dāng)在時(shí)，成立的的取值范圍是，如下圖所示，當(dāng)角度終邊落在陰影部分時(shí)（不含邊界），滿足，又當(dāng)在時(shí)，成立的的取值范圍是綜上所述，所求范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)線的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.3.不等式，的解集為______．【答案】【解析】【分析】在單位圓中畫出角的三角函數(shù)線，根據(jù)三角函數(shù)線的大小確定角的范圍．【詳解】解：如圖角的正弦線，余弦線分別是，當(dāng)角的終邊與弧相交時(shí)，，∴此時(shí)，∵，∴不等式的解集為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)線的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．4.利用三角函數(shù)線證明.【答案】證明見詳解.【解析】【分析】根據(jù)題意，分別討論角的終邊在軸上，角的終邊在軸上，角的終邊落在四個(gè)象限，三種情況，根據(jù)三角函數(shù)線的概念，有三角函數(shù)的性質(zhì)，即可證明結(jié)論成立.【詳解】當(dāng)角的終邊在軸上時(shí)，正弦線變成一個(gè)點(diǎn)，余弦線的長等于單位圓的半徑，此時(shí)；當(dāng)角的終邊在軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正弦線的長等于單位圓的半徑，此時(shí)；當(dāng)角的終邊落在四個(gè)象限時(shí)，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，利用三角形兩邊之和大于第三邊有：，綜上，.【點(diǎn)睛】本題主要考查由三角函數(shù)線證明不等式，屬于?？碱}型.

專題04平面投影向量的應(yīng)用[新教材的新增內(nèi)容]背景分析:在舊教材中只是講解了投影的概念，而新教材再次基礎(chǔ)上增加了投影向量的概念與求解公式.1.投影向量的概念:如圖(1)設(shè)是兩個(gè)非零向量，，作如下變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.如圖（2），在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作.過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量.2.投影向量計(jì)算公式:當(dāng)為銳角（如圖（1））時(shí)，與方向相同，，所以；當(dāng)為直角（如圖（2））時(shí)，，所以；當(dāng)為鈍角（如圖（3））時(shí)，與方向相反，所以，即.當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以綜上可知，對于任意的，都有.[新增內(nèi)容的考查分析]1.求投影向量(由投影向量與投影所在的向量共線，問題轉(zhuǎn)化為求向量間的投影數(shù)量與投影所在向量方向上單位向量的積(注意向量間的投影向量與向量間投影的數(shù)量區(qū)別)【考法示例1】1.已知||＝4，為單位向量，它們的夾角為，則向量在向量上的投影向量是_____；向量在向量上的投影向量是________．【答案】①.②.【解析】【分析】向量在向量上的投影向量：與向量共線，即向量在向量上投影的數(shù)量乘以向量方向上的單位向量；同理，向量在向量上的投影向量亦如此；由向量的數(shù)量積的幾何意義知：向量在向量上投影的數(shù)量為，向量在向量上投影的數(shù)量為，由此向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量【詳解】由||＝4，為單位向量，它們的夾角為根據(jù)向量的數(shù)量積公式,有：即向量在向量上的投影數(shù)量：向量在向量上的投影數(shù)量：∴向量在向量上的投影向量：向量在向量上的投影向量：故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的幾何意義；由投影向量與投影所在的向量共線，問題轉(zhuǎn)化為求向量間的投影數(shù)量與投影所在向量方向上單位向量的積(注意向量間的投影向量與向量間投影的數(shù)量區(qū)別)【考法示例2】2.已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量與投影數(shù)量分別是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】利用向量投影數(shù)量的概念可求得在方向上的投影數(shù)量，設(shè)在方向上的投影向量為，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義可得出，求出實(shí)數(shù)的值，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)在方向上的投影向量為，則，故，故在方向上的投影向量為，在方向上的投影數(shù)量為.故選：D.2.已知投影向量求解向量的模、數(shù)量積等【考法示例3】3.已知向量，，，為向量在向量上的投影向量，則_______【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影的定義計(jì)算即可.【詳解】，由投影公式可知.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，此類問題熟記公式是關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.考法示例4】4.已知，向量在向量上的投影向量為，則＝____________.【答案】18【解析】【分析】由題意向量在向量上的投影向量為，分析可得，代入公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，則可得，所以，故答案為：18.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的應(yīng)用，考查分析理解的能力，屬基礎(chǔ)題.3.已知投影向量求解參數(shù)【考法示例5】5.已知向量，點(diǎn)，，記為在向量上的投影向量，若，則_________．【答案】【解析】【分析】先求得在向量上的投影，再根據(jù)為在向量上的投影，求得的坐標(biāo)，然后由求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，又向量，所以在向量上的投影，所以因?yàn)?，所以，故答案為?.與投影向量相關(guān)的綜合考查【考法示例6】6.已知非零單位向量和，若，向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及投影定義，依次計(jì)算各選項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】和為單位向量,，，向量在向量上的投影為，向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影為，向量在向量上的投影向量為，C錯誤，，，A正確，，，B正確，，D正確.故選：ABD.[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]7.已知向量，，，為向量在向量上的投影向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先計(jì)算，再根據(jù)投影公式計(jì)算投影向量的模.【詳解】由投影公式可知.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查投影的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.8.已知，，＝120°，則向量在向量方向上的投影是________，向量在向量方向上的投影是________【答案】①.－5②.－1【解析】【分析】根據(jù)向量投影的定義，即可求解、【詳解】根據(jù)向量投影的定義，向量在向量方向上的投影是；向量在向量方向上的投影是．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量投影的定義的應(yīng)用．9.設(shè)向量，．若，，則______，向量在向量上的投影向量為______．【答案】①.13②.【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出向量、的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求的值，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可求向量在向量上的投影向量.【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所以，，所以，由，可得：，，所以，向量在向量上的投影向量為：，故答案為：?10.已知向量在向量上的投影向量的模為，向量在向量上的投影向量的模為，且，則________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)向量投影的定義求出、的值，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意可得，可得.當(dāng)時(shí)，則，所以，；當(dāng)時(shí)，則，所以，.故答案為：或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求向量模的常見思路與方法：（1）求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模的平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，并靈活應(yīng)用，勿忘記開方；（2）或，此性質(zhì)可用來求向量的模，可實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的相互轉(zhuǎn)化；（3）一些常見的等式應(yīng)熟記：如，等.11.已知與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為：，故答案為：.

專題05實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的解集[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：在人教A第二冊第7章復(fù)數(shù)第79頁例6，設(shè)置了兩道習(xí)題，在復(fù)數(shù)范圍解二次方程.并總結(jié)出求根公式.如下：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）；（2），其中，且.解：（1）因?yàn)?，所以方程的根?（2）將方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得.配方，得，即.由，知.類似（1），可得.所以原方程的根為.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式為：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，.[新增內(nèi)容的考查分析]1.已知二次方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根求解其他參數(shù)【考法示例1】1.已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)，的值分別是（）A.12，26 B.24，26 C.12，0 D.6，8【答案】A【解析】【分析】復(fù)數(shù)是方程的根，代入方程，整理后利用復(fù)數(shù)的相等即可求出p,q的值.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，所以，即，所以，解得，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)方程及復(fù)數(shù)相等的概念，屬于中檔題.【考法示例2】2.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A.25 B.5 C. D.41【答案】C【解析】【分析】將代入原方程，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解出的值，則可求.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，所以，所以，所以，則，故選：C.2.二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系考法示例1】3.若方程x2﹣2x+3＝0的兩個(gè)根為α和β，則|α|+|β|＝_____．【答案】【解析】【分析】因?yàn)?，設(shè)，則，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系及模求解.【詳解】因?yàn)椋藭r(shí)方程兩根為共軛虛根，設(shè)，則，，.故答案為：.3.求解復(fù)系數(shù)下二次方程的根【考法示例1】4.設(shè)z1是方程x2－6x＋25＝0的一個(gè)根．(1)求z1；(2)設(shè)z2＝a＋i(其中i為虛數(shù)單位，a∈R)，若z2的共軛復(fù)數(shù)z2滿足|z13·z2|＝125，求z22.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【分析】（1）直接利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的求根公式求解；

（2）由z2=a+i得其共軛復(fù)數(shù)，把z1及代入|z13·z2|＝125，整理后求解a的值，代入z2=a+i后求解z22．【詳解】(1)因?yàn)棣ぃ?2－4×25＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.(2)由|z·(a－i)|＝125，得125·＝125，所以a＝±2.當(dāng)a＝－2時(shí)，z＝(－2＋i)2＝3－4i；當(dāng)a＝2時(shí)，z＝(2＋i)2＝3＋4i.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，訓(xùn)練了實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根的求法，考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．【考法示例2】5.已知復(fù)數(shù)滿足.（1）求證：；（2）若的虛部為正數(shù)，求，，，，根據(jù)的規(guī)律，求出的值（不需要證明）.【答案】（1）證明見解析；（2）；，，，.【解析】【分析】（1）由可得，從而可得；（2）由可得，而，，，由此可得以3為周期進(jìn)行循環(huán)，從而可求出求出的值【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即；?）由可得，的虛部為正數(shù)，；，，.以3為周期進(jìn)行循環(huán)..[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]6.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題中（其中為虛數(shù)單位），說法正確的是（）A.若關(guān)于x的方程有實(shí)根，則B.復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.，（為虛數(shù)單位，），若，則D.是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，其中p?q為實(shí)數(shù)，則【答案】D【解析】【分析】直角利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的幾何意義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為，代入方程可得，所以，解得，所以A不正確；對于B中，復(fù)數(shù)，可得，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，所以B不正確；對于C中，復(fù)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，可知當(dāng)時(shí)，因?yàn)樘摂?shù)不能比較大小，所以C不正確；對于D中，是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，根據(jù)復(fù)數(shù)方程的性質(zhì)，可得也是方程的根，可得，解得，所以D正確.故選：D.7.已知，為實(shí)數(shù)，是關(guān)于的方程的一個(gè)根，其中是虛數(shù)單位，則______．【答案】0【解析】【分析】直接利用實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根成對原理及根與系數(shù)關(guān)系求解.【詳解】是關(guān)于的方程的一個(gè)根，是關(guān)于的方程的另一個(gè)根，則，即，，.故答案為：08.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則___________.【答案】3【解析】【分析】由題知與其共軛復(fù)數(shù)均為方程的根，進(jìn)而由韋達(dá)定理即可得答案.【詳解】∵實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)虛根為，∴其共軛復(fù)數(shù)也是方程的根.由根與系數(shù)的關(guān)系知，，∴，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查方程復(fù)數(shù)根的特點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握實(shí)系數(shù)方程的虛根成對原理（需明確兩根為共軛復(fù)數(shù)）和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9.已知關(guān)于的方程的兩根為、，滿足，則實(shí)數(shù)的值為____________【答案】4或【解析】【分析】就判別式的正負(fù)分類討論后可求的值.【詳解】，若，則方程的兩根為實(shí)數(shù)，且，解得.若，則方程的兩根為虛數(shù)，該方程可化簡為：，故兩根分別為，，所以，故，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)的一元二次方程的解，解題中注意根據(jù)判別式的正負(fù)分類討論，此類問題屬于基礎(chǔ)題.10.已知為虛數(shù)單位，關(guān)于的方程的兩根分別為，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）6；（2）或．【解析】【分析】（1）將已知的根代入原方程，從而可求實(shí)數(shù)的值．（2）就的取值范圍分類計(jì)算，從而可求實(shí)數(shù)的值．【詳解】解：（1）∵為方程的根，所以，整理得到：，由可得.（2）由方程可得，若即或，則，則，即，解得，若即，則，即，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的值為或．11.是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛根，且是實(shí)數(shù)，求的值．【答案】【解析】【分析】利用實(shí)系數(shù)二次方程的兩個(gè)虛根互為共軛的性質(zhì)，結(jié)合是實(shí)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將分母實(shí)數(shù)化，可以得到，再結(jié)合是虛數(shù)，利用1的立方根的性質(zhì)，可以得到或，進(jìn)而通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算求得.【詳解】．或，其中，從而可得．或，∴.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根互為共軛，考查共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算，關(guān)鍵是1的立方虛根的性質(zhì)與應(yīng)用，一般的一個(gè)虛數(shù)的立方根為實(shí)數(shù)，設(shè)這個(gè)數(shù),則,則,于是可設(shè)或.

專題06三角不等式------[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：在舊教材中對于復(fù)數(shù)的幾何意義涉及不多．而新教材將復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)安排在了向量及三角函數(shù)之后，使復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)與向量及三角函數(shù)進(jìn)行了融合，提升了復(fù)數(shù)的應(yīng)用價(jià)值．1．復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義z1，z2，z3∈C，設(shè)，分別與復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相對應(yīng)，且，不共線加法減法運(yùn)算法則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)iz1－z2＝(a－c)＋(b－d)i幾何意義復(fù)數(shù)的和z1＋z2與向量＋＝的坐標(biāo)對應(yīng)復(fù)數(shù)的差z1－z2與向量－＝的坐標(biāo)對應(yīng)2．復(fù)數(shù)三角不等式若是復(fù)數(shù)，則．注：當(dāng)為實(shí)數(shù)或向量時(shí)，結(jié)論也成立．推論1：推論2：如果是實(shí)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．[新增內(nèi)容的考查分析]1．運(yùn)用三角不等式求最值(由三角不等式，借助其幾何意義及性質(zhì)，可消減變量從而求出最值．)【考法示例1】若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，則|a+b|的最大值是，最小值是．5；1因?yàn)閨a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5．【考法示例2】函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的值分別是（）A.1，B.3，0C.3，D.2，C利用三角不等式，求得函數(shù)的最小值，并求得對應(yīng)的值．依題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選C．2．應(yīng)用三角不等式求參數(shù)（關(guān)鍵是能夠運(yùn)用三角不等式求得函數(shù)的最值，將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系問題．）【考法示例3】如果關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是______．利用三角不等式可求得，根據(jù)不等式解集不為空集可得根式不等式，根據(jù)根式不等式的求法可求得結(jié)果．由三角不等式得：，即．原不等式解集不是空集，，即當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述：的取值范圍為．【考法示例4】若存在(其中)使得不等式成立，則的取值范圍是__________．先利用絕對值三角不等式求出的最大值為3，從而得，進(jìn)而可求出的取值范圍，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號，所以右式最大值為3，從而，解得．故的取值范圍為，或者．[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]1.取等號的條件是A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：利用絕對值不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）即可求得答案.詳解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查絕對值不等式，考查絕對值不等式取等號的條件，屬于中檔題.2.已知x∈R，y∈R，則|x|＜1，|y|＜1是|x＋y|＋|x－y|＜2的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對值三角不等式及充分條件和必要條件進(jìn)行判斷．【詳解】若|x|＜1，|y|＜1，則當(dāng)(x＋y)(x－y)≥0時(shí)，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＋(x－y)|＝2|x|＜2；當(dāng)(x＋y)(x－y)＜0時(shí)，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＝－(x－y)|＝2|y|＜2.若|x＋y|＋|x－y|＜2，則2|x|＝|(x＋y)＋(x－y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|x|＜1；2|y|＝|(x＋y)－(x－y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|y|＜1.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.關(guān)于的不等式的解集不為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】關(guān)于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＜4的解集不為??（|x﹣m|+|x+2|）min＜4，再根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出最小值，解不等式可得．【詳解】關(guān)于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＜4的解集不為??（|x﹣m|+|x+2|）min＜4，∵|x﹣m|+|x+2|≥|（x﹣m）﹣（x+2）|＝|m+2|，∴|m+2|＜4，解得﹣6＜m＜2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4.若關(guān)于x的不等式對于任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】或【解析】【分析】將絕對值不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用絕對值三角不等式即可求得關(guān)于的不等式即可.【詳解】．所以，解得或．故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，涉及絕對值三角不等式的利用，屬中檔題.5.已知α，β是實(shí)數(shù)，給出三個(gè)論斷：①|(zhì)α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>，|β|>.以其中的兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題是________.【答案】①③?②【解析】【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)判斷或舉反例說明．【詳解】①，③成立時(shí)，則|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5，若①②成立，如，但③不成立，若②③成立，如，但①不成立．故答案為：①③?②．6.若不等式對任意使式子有意義的實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________【答案】【解析】【分析】首先求得的最大值max，然后解不等式．【詳解】．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．∴的最大值為4．下面解不等式，∵，∴，∴不等式為不等式，即，∴或，解得或或，∴的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式，考查絕對值不等式的性質(zhì)．首先不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值．其次解絕對值不等式時(shí)，絕對值性質(zhì)等價(jià)于或中可以不討論的正負(fù)，直接用來解不等式，即不等式直接轉(zhuǎn)化為或，不需要按分類，大家可以從集合的分析．7.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【詳解】分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當(dāng)時(shí)，可得的解集為．（2）等價(jià)于．而，且當(dāng)時(shí)等號成立．故等價(jià)于．由可得或，所以的取值范圍是．點(diǎn)睛：含絕對值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．8.已知和是任意非零實(shí)數(shù)．（）求的最小值．（）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）4；（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）利用絕對值不等式的性質(zhì)可得

,所以的最小值等于4；（2）由（1）轉(zhuǎn)化為有x的范圍即為不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集，解絕對值不等式求得實(shí)數(shù)x的取值范圍．試題解析：（1）∵對于任意非零實(shí)數(shù)和恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴的最小值等于4.（2）∵恒成立，故不大于的最小值由（1）可知的最小值等于4實(shí)數(shù)的取值范圍即為不等式的解.解不等式得，.全站免費(fèi)，更多資源關(guān)注公眾號拾穗者的雜貨鋪x思維方糖研究所

專題07空間向量投影的應(yīng)用[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：空間向量數(shù)量積的幾何意義體現(xiàn)空間向量具有鮮明的幾何背景，空間圖形的許多性質(zhì)可以由空間向量的運(yùn)算表示出來，投影向量的引入，為學(xué)生解決空間點(diǎn)?線?面的位置關(guān)系提供了一種全新的視角，為后面向量法解決立體幾何問題提供了理論依據(jù).向量a的投影1.如圖（1），在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c=|a|cos<a，b>，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線l投影（如圖（2））.2.如圖（3），向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到，向量稱為向量a在平面β上的投影向量.這時(shí)，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.[新增內(nèi)容的考查分析]1.求投影的長度【考法示例1】已知線段AB的長度為，與直線l的正方向的夾角為120°，則在l上的射影的長度為______.【答案】【解析】設(shè)與直線l的正方向一致的單位向量為，于是得在直線l的正方向的投影向量為，則，所以在l上的射影的長度為.故答案為：.2.求投影向量【考法示例2】已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是____.【答案】【分析】設(shè)向量在向量上的投影向量是，由題意可得，求得實(shí)數(shù)的值，即可得解.【解析】設(shè)向量在向量上的投影向量是，由題意可得，即，解得，因此，向量在向量上的投影向量是.故答案為：.3.求向量的投影已知，則在上的投影為__________【答案】【解析】因?yàn)?，所以設(shè)與的夾角為，所以根據(jù)空間向量的幾何意義可得：在上的投影為，故答案為：[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]1.平面向量，，滿足，，，，則下列說法一定正確的有（）A.在上的投影向量為 B.在上的投影向量為C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用投影向量公式判斷AB；利用向量數(shù)量積公式判斷CD.【詳解】A.在上的投影向量為，故A正確；B.在上的投影向量是，因?yàn)橄蛄课粗?，所以無法求得在上的投影向量，故B錯誤；C.，當(dāng)時(shí)，，若，，不滿足C，故C錯誤；D.，所以，正確，故D正確.故選：AD2.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是_____________.【答案】【解析】【分析】利用向量在向量上的投影乘以與同向的單位向量即可得解.【詳解】向量在向量上的投影是，所以向量在向量上的投影向量是，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：理解向量在向量上的投影向量的概念是解題關(guān)鍵.3.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是____．【答案】【解析】【分析】設(shè)向量在向量上的投影向量是，由題意可得，求得實(shí)數(shù)的值，即可得解.【詳解】設(shè)向量在向量上的投影向量是，由題意可得，即，解得，因此，向量在向量上的投影向量是.故答案為：.

專題08利用空間向量空間距離的求解新教材新增內(nèi)容背景分析:投影向量的幾何意義和代數(shù)表示，不僅為研究立體幾何的距離問題提供了便利，而且還提供了研究距離的方法.在研究距離問題時(shí)，參考向量、它的投影向量、二者的差，構(gòu)成直角三角形，這樣，利用勾股定理，結(jié)合空間向量的運(yùn)算，距離問題也就迎刃而解.運(yùn)用向量運(yùn)算求解空間距離的原理的推導(dǎo)主要是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，將空間距離的向量語言表述應(yīng)用于立體幾何問題則培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過對立體幾何問題的解決，使得學(xué)生首先會用表達(dá)式、并通過練習(xí)實(shí)現(xiàn)學(xué)生達(dá)到熟練掌握運(yùn)算方法、技巧的能力.向量法求距離的公式距離問題圖示向量法的距離公式兩點(diǎn)間距離點(diǎn)到直線的距離兩平行直線之間的距離點(diǎn)到平面的距離在處理距離問題時(shí)，投影向量和勾股定理的使用是關(guān)鍵．新增內(nèi)容的考查分析1求點(diǎn)點(diǎn)距離【考法示例1】1.已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ABCD是邊長為a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，則A1C的長為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量運(yùn)算可知，再利用平方后的數(shù)量積公式計(jì)算結(jié)果.【詳解】，所以A1C＝.故答案為：2.求點(diǎn)線距離【考法示例1】2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點(diǎn)E是A1B1的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線BE的距離是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先求夾角的余弦，再求點(diǎn)A到直線BE的距離.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故點(diǎn)A到直線BE的距離d＝||sinθ＝2×.故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到線距離的向量求法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.【考法示例2】3.如圖所示，ABCD-EFGH為邊長等于1的正方體，若P點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿足，則P點(diǎn)到直線AB的距離為________．【答案】【解析】【分析】過P作PM⊥平面ABCD于M，過M作MN⊥AB于N，連接PN，則PN即為所求，由已知可得，即可求出.【詳解】解析：過P作PM⊥平面ABCD于M，過M作MN⊥AB于N，連接PN，則PN即為所求，如圖所示．因?yàn)?，所以，所?即P點(diǎn)到直線AB的距離為.故答案為：.【考法示例3】4.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.【答案】【解析】【詳解】點(diǎn)P到直線CC1的距離等于點(diǎn)P在平面ABCD上的射影到點(diǎn)C的距離，設(shè)點(diǎn)P在平面ABCD上的射影為P′，顯然點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為P′C的長度的最小值，當(dāng)P′C⊥DE時(shí)，P′C的長度最小，此時(shí)P′C＝＝.視頻3.求點(diǎn)面的距離【考法示例1】5.在棱長為的正方體中，是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過點(diǎn)面距離公式，計(jì)算點(diǎn)到平面的距離.【詳解】以為空間直角坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.由于是中點(diǎn)，故，且，設(shè)是平面的法向量，故，故可設(shè)，故到平面的距離.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用空間向量計(jì)算點(diǎn)到面的距離.計(jì)算過程中要先求得平面的法向量.屬于基礎(chǔ)題.【考法示例2】6.已知四邊形是邊長為4的正方形，分別是邊的中點(diǎn)，垂直于正方形所在平面，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，交于，交于，過作，垂足為，則問題轉(zhuǎn)化為求的長度，根據(jù)兩個(gè)直角三角形相似，對應(yīng)邊成比例可解得結(jié)果.【詳解】如圖：連接，交于，交于，因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作，垂足為，則平面，則為點(diǎn)到平面的距離，在直角三角形和直角三角形中，，所以，所以，所以，因?yàn)檎叫蔚倪呴L為4，所以，，，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定，考查了平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.【考法示例3】7.如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中點(diǎn)，試問在A1B上是否存在一點(diǎn)E，使得點(diǎn)A1到平面AED的距離為？【答案】存在點(diǎn)E且當(dāng)點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)時(shí)，A1到平面AED的距離為.【解析】【分析】由題知可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計(jì)算求出即可.【詳解】解：如圖以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，設(shè)＝λ，λ∈[0，1)，則E(2λ，2(1－λ)，2λ)．又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，設(shè)為平面AED的法向量，則?取x＝1，則y＝，z＝2，即，由于d＝＝，∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，所以，存在點(diǎn)E且當(dāng)點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn)時(shí)，A1到平面AED的距離為.4.求線面距離【考法示例1】8.如圖在棱長為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到直線的距離．（2）判斷直線與平面的位置關(guān)系；如果平行，求直線到平面的距離．【答案】（1）；（2）平行，．【解析】【分析】（1）首先如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，利用公式求點(diǎn)到直線的距離；（2）利用線面平行，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，求平面的法向量，結(jié)合向量公式，即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】解：以D1為原點(diǎn)，D1A1，D1C1，D1D所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(xiàn)(1，，1)，（1）取a＝，u＝，則，所以，點(diǎn)B到直線AC1的距離為．（2）因?yàn)?，所以FC//EC1，所以FC//平面AEC1．所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離．設(shè)平面AEC1的法向量為，則所以所以取z＝1，則x＝1，y＝2．所以，是平面AEC1的一個(gè)法向量．又因?yàn)?，所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離為＝＝．即直線FC到平面AEC1的距離為．【總結(jié)】1.求直線到平面的距離、兩平行平面間的距離問題都可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離問題，都等于向量在平面單位法向量方向上投影向量的長度，即2.用向量法解決距離問題的“三步曲”①建立空間直角坐標(biāo)系，求有關(guān)向量坐標(biāo)——將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；②使用距離的向量計(jì)算公式——向量的運(yùn)算與求解；③得到所求距離——回到幾何圖形，得到結(jié)論．新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練9.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．若二面角B1－DC－C1的大小為60°，則AD的長為A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為＝(x，y，z)．則?，令z＝－1，得＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為(0,1,0)，則由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.10.若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，則線段AB的中點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再利用三角形減法法則求的坐標(biāo)，再求||即得解.【詳解】由題意＝(＋)＝，＝－＝，||＝.故答案為D【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量的三角形法則和平行四邊形法則，考查向量的模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.11.在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為的正方體，則的中點(diǎn)E與AB的中點(diǎn)F之間的距離為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以求出的坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求出兩點(diǎn)間的距離.【詳解】由題易知，則.易知，∴.選B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間兩點(diǎn)間的距離，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，正確求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.12.長方體中，，，則點(diǎn)到直線的距離為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計(jì)算，，再計(jì)算距離得到答案.【詳解】，，到直線的距離為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用空間向量計(jì)算距離，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.13.如圖，正方體的棱長為1，O是底面的中心，則O到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過作的平行線，交于，則到平面的距離即為到平面的距離．作于，進(jìn)而可知平面，進(jìn)而根據(jù)求得．【詳解】解：過作的平行線，交于，則到平面的距離即為到平面的距離．作于，易證平面，可求得．故選：A．14.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，找到平面的法向量，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

設(shè)平面的法向量為，則，即令，得.又，點(diǎn)到平面的距離，故選：.【點(diǎn)睛】本題用向量法求點(diǎn)到平面的距離，我們也可以用等體積法求點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)然也可以找到這個(gè)垂線段，然后放在直角三角形中去求.15.已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)D到平面PEF的距離；（2）求直線AC到平面PEF的距離.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立如圖坐標(biāo)系，求出平面的法向量，即可求出點(diǎn)到平面的距離；（2）利用，可得直線到平面的距離也即是點(diǎn)到平面的距離．【詳解】解：（1）建立如圖坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則故，2，，點(diǎn)到平面的距離；（2）直線到平面的距離也即是點(diǎn)到平面的距離又，點(diǎn)到平面的距離為．所以直線到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離，考查向量知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

專題09直線方向向量和法向量的應(yīng)用[新教材的新增內(nèi)容]背景分析：在舊教材中直線方程只涉及了斜率和傾斜角的概念與向量知識缺少聯(lián)系，而在新教材中引入了直線的方向向量和法向量的概念，讓向量與直線聯(lián)系到一起，為解決直線方程問題提供了向量工具.1?點(diǎn)方向式方程（1）直線的方向向量：把與直線平行的向量叫著直線的方向向量，記著（2）點(diǎn)方向式方程：如果直線的方向向量的坐標(biāo)都不為零，即，時(shí)，直線通過某個(gè)點(diǎn)，把方程叫做直線的點(diǎn)方向式方程.2?直線的點(diǎn)法向式方程（1）直線的法向量：把與直線垂直的向量叫著直線的法向量，記著（2）點(diǎn)法向式方程：如果直線通過某個(gè)點(diǎn)，且與向量垂直的直線方程，叫做直線的點(diǎn)法向式方程.3.理解方程中各字母及其系數(shù)的幾何意義直線的方程方向向量法向量斜率[新增內(nèi)容的考查分析]1.直線方向向量的應(yīng)用（應(yīng)用主要體現(xiàn)在，會求直線的方向向量，應(yīng)用直線的方向向量解決直線中的相關(guān)問題.）【考法示例1】過，兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為則（）A.B.C.D.1【答案】C【分析】解法一：根據(jù)AB坐標(biāo)求得向量，根據(jù)與直線的方向向量共線即可求得結(jié)果.解法二：根據(jù)直線的方向向量求得直線的斜率，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】解法一：由直線上的兩點(diǎn)，，得，又直線的一個(gè)方向向量為，因此，∴，解得，故選：C.解法二：由直線的方向向量為得，直線的斜率為，所以，解得.故選：C.【考法示例2】已知過定點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量是，則直線的點(diǎn)方向式方程可以為（）A.B.C.D.【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為且經(jīng)過點(diǎn)，故直線的點(diǎn)向式方程為.故選：B.【考法示例3】設(shè)兩條不重合的直線的方向向量分別為，則“存在正實(shí)數(shù)，使得是“兩條直線平行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】依題意為兩條不重合的直線的方向向量，若存在正實(shí)數(shù)，使得，則，即可得到這兩條直線平行，即充分性成立；若兩直線平行，即，則存在實(shí)數(shù)，使得，不一定為正，當(dāng)與同向時(shí)，當(dāng)與反向時(shí)，，故必要性不成立；故“存在正實(shí)數(shù)，使得”是“兩條直線平行”的的充分不必要條件，故選：2.直線法向量的應(yīng)用（直線的法向量應(yīng)用主要在兩方面，1.會求直線的方向向量；2.應(yīng)用直線的法向量解決直線中的相關(guān)問題.）【考法示例4】已知直線的方向向量為（1，5），則直線的法向量為（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根據(jù)直線的方向向量與法向量的數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的法向量可以是或.故選：C.【考法示例5】已知兩條直線，，若的一個(gè)法向量恰為的一個(gè)方向向量，則________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，利用兩直線垂直的等價(jià)條件即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)法向量恰為的一個(gè)方向向量，所以，所以，解得：.[新增內(nèi)容的針對訓(xùn)練]1.設(shè)為直線l上的兩點(diǎn)，則，我們把向量以及與它平行的向量都稱為直線l的方向向量，把與直線l的方向向量垂直的向量稱為直線l的法向量．若直線l經(jīng)過點(diǎn)，則直線的一個(gè)法向量為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算出直線的方向向量，然后通過數(shù)量積逐項(xiàng)判斷與是否垂直.【詳解】因?yàn)椋珹．當(dāng)，則，不滿足，B．當(dāng)，則，不滿足，C．當(dāng)，則，不滿足，D．當(dāng)，則，滿足，故選：D.2.下列命題正確的有（）．①直線的方向向量是唯一的；②經(jīng)過點(diǎn)且與向量平行的直線的點(diǎn)方向式方程為；③直線的一個(gè)方向向量是（1，0）．A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】B【解析】【分析】由于直線的方向向量是不唯一的，可判定①不正確；由直線的點(diǎn)方向式方程，可判定②不正確；由直線的斜率為0，可判定③是正確的.【詳解】對于①中，由于直線的方向向量是不唯一的，所以①不正確；對于②中，只有等時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)且與向量平行的直線的點(diǎn)方向式方程為，所以②不正確；對于③中，直線的斜率為0，所以直線的一個(gè)方向向量可以是，所以③是正確的.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方向向量的概念與辨析，以及直線的點(diǎn)方向式方程的應(yīng)用，著重考查概念的辨析能力，屬于基礎(chǔ)題.3.若過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與方向向量為的直線平行，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】求出坐標(biāo)，由向量共線可得關(guān)于的方程，進(jìn)而可求出的值.【詳解】由題意得，與共線，所以，解得．經(jīng)檢驗(yàn)知，符合題意，故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了由向量平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4.已知直線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，則直線的單位方向向量為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線的一個(gè)方向向量為，再求出向量的模，根據(jù)單位向量即可求解.【詳解】由題意得，直線的一個(gè)方向向量為，則，因此直線的單位方向向量為，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方向向量以及單位向量的求法，考查了基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)直線，其中且.給出下列結(jié)論其中真命題有（）A.的斜率是B.的傾斜角是C.的方向向量與向量平行D.的法向量與向量平行.【答案】AD【解析】【分析】由直線方程得斜率，由斜率得傾斜角，注意傾斜角的范圍判斷AB，由直線的方向向量與法向量定義及向量共線的坐標(biāo)表示判斷CD．【詳解】因?yàn)橹本€，其中，所以的斜率是；所以A對；的傾斜角滿足，但不一定有，所以B錯；的方向向量為，因?yàn)?，所以C錯；的法向量為，因?yàn)?，所以D對；故選：AD.6.直線經(jīng)過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量是，則直線的點(diǎn)法向式方程是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】直接利用直線的點(diǎn)法向式方程求解.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且一個(gè)方向向量是，所以直線的點(diǎn)法向式方程是或故選：BC【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的點(diǎn)法向式方程的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.7.若一條直線的斜率為，則它的一個(gè)方向向量是___________，一個(gè)法向量是________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量與直線斜率關(guān)系，在直線上任取兩點(diǎn)坐標(biāo)相減得到的向量即為方向向量，再由法向量和方向向量的數(shù)量積為，即可求得法向量.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以它的一個(gè)方向向量為，設(shè)一個(gè)法向量為，則，不妨取，則它的一個(gè)法向量是，故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查直線方向向量以及法向量，掌握直線斜率和方向向量以及法向量的關(guān)系是關(guān)鍵，考查了分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8.直線，那么直線的一個(gè)方向向量為_____________；過點(diǎn)（2，1），并且的一個(gè)方向向量滿足，則的點(diǎn)方向式方程是_____________．【答案】①.