精品解析：2022年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新高考全國(guó)Ⅱ卷）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.3.中國(guó)的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn)．如圖是某古建筑物的剖面圖，是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為，若是公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D4.已知，若，則（）A. B. C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C5.有甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有多少種（）A.12種 B.24種 C.36種 D.48種【答案】B【解析】【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B6.角滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩角和差正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.【詳解】由已知得：,即：，即：,所以,故選：D7.正三棱臺(tái)高為1，上下底邊長(zhǎng)分別為和，所有頂點(diǎn)在同一球面上，則球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8.若函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】因?yàn)椋羁傻?，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)的圖象以中心對(duì)稱，則（）A.在單調(diào)遞減B.在有2個(gè)極值點(diǎn)C.直線是一條對(duì)稱軸D.直線是一條切線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對(duì)稱軸；對(duì)D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)，若，則（）A.直線的斜率為 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.11.如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.12.對(duì)任意x，y，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．【答案】##．【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以，因此．故答案為：?4.寫出曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程：____________，____________．【答案】①.②.【解析】【分析】分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；15.已知點(diǎn)，若直線關(guān)于的對(duì)稱直線與圓存在公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：16.已知橢圓，直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；【詳解】解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直線，即；故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．（1）證明：；（2）求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得，即可解出．【小問(wèn)1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．18.記的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，其對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．（1）求的面積；（2）若，求b．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；【小問(wèn)2詳解】由正弦定理得：，則，則，.19.在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一人患這種疾病年齡在區(qū)間的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模瑥脑摰貐^(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間，求此人患該種疾病的概率．（樣本數(shù)據(jù)中的患者年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）【答案】（1）歲；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對(duì)應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對(duì)立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【小問(wèn)1詳解】平均年齡（歲）．【小問(wèn)2詳解】設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．【小問(wèn)3詳解】設(shè)任選一人年齡位于區(qū)間，任選一人患這種疾病，則由條件概率公式可得．20.如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；（2）過(guò)點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；小問(wèn)1詳解】證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；21.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．（1）求C的方程；（2）過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M，請(qǐng)從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【小問(wèn)1詳解】右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）設(shè)，證明：．【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（3）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，