水波模擬算法

水波模擬算法、理論依據(jù)水波的物理學(xué)模型便是理論依據(jù)。水波有如下特性：擴散：水波總是從被擾動的中心向外擴散。在水波擴散過程中每個點都在得到能量后以自己為中心震動，并向四周傳播能量。之所以從干擾點向外擴散，是因為內(nèi)部的各點能量互相抵消而看不到震蕩。重要的是，每個點都在以自己為中心進行震蕩，并向四周擴散能量。衰減：水波在傳播過程中能量會逐漸的衰減，因為水的震蕩是有阻尼的。折射：由于水波表面各處有不同程度的傾斜，由于折射，將會看到水底景物的不同程度的偏移，看起來是變形的。觀察點正下方的景物由于折射偏移，開起來并不在正下方。反射：由于水波表面的凹凸不平，比起平靜時期的水面，水面上各點反光程度將會不同程度的受到影響，從而改變了自己的亮度，顏色。水波還有衍射等特性。但是考慮問題的核心在于能量傳遞或者能量擴散。因為這是該模型的根源。二、約束條件實現(xiàn)該算法的約束條件。約束條件描述實時渲染由于該算法要實時渲染水波，所以只能近似推導(dǎo)，而且不能使用三角函數(shù)、除法等低效運算，以保證速度。三、設(shè)計方案用兩個數(shù)組來模擬水池。數(shù)組大?。核馗叨?水池寬度。其中一個數(shù)組存儲水池的上一個狀態(tài)，另一個用來存儲當(dāng)前用上一個狀態(tài)正在計算的下一個狀態(tài)。計算完畢，把新狀態(tài)渲染出來；然后新的狀態(tài)就變?yōu)椤吧弦粋€狀態(tài)”的水池，用它來計算更新的水池狀態(tài)，數(shù)據(jù)保存在原來的第一個水池中。兩個水池交替的成為新、舊狀態(tài)池。從而，雖著實間的推移，能量就會被擴散開來。為了保證執(zhí)行效率，水波的擴散、折射等均用簡化后的模型代替，以使算法成為線性簡單的；對于里面的乘法、除法運算盡量采用2的冪，可以通過移位運算快速實現(xiàn)。

數(shù)學(xué)推理與算法設(shè)計根據(jù)以上設(shè)計，就可以建立模型進行數(shù)學(xué)推理和算法設(shè)計。上述兩個矩形代表了兩個數(shù)組，即兩個水池狀態(tài)。令水池寬度為W（W=w+1），水池高度為H（H=h+1），假設(shè)點A的坐標(biāo)為（I，J），那么A點對應(yīng)的數(shù)組下標(biāo)為：（J*W）+I。O點（0，0）對應(yīng)buf[0]，對角線B（w,h）代表buf[W*H-1]，即數(shù)組的最后一個元素。計算波幅的公式推導(dǎo)：pp+J+-1y3+Jy1+J中躊￥+J如圖所示，假設(shè)任意一點x0處下一個時刻的能量能根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)下周圍的12個點和X0自身的振幅推算出來。即X0在下一個時刻的振幅要由自身的當(dāng)前振幅和受周圍12個點的能量擴散得到。并且假設(shè)這12個點影響X0的程度都一樣，這個模型已經(jīng)得到很大的簡化?？梢缘玫剑簒0’=a*(x1+x2+x3+...+x9+y1+y2+y3+y4)+b*x0a,b為待定系數(shù)，x0’為下一個時刻的振幅，其余為當(dāng)前振幅。如果假設(shè)水的阻尼系數(shù)為0,那么能量會守恒。即，所有點的能量總和在前后時刻的狀態(tài)下保持不變。x0’+x1’+...+xn’=x0+x1+...+xn因為x0受周圍12個點的影響，反過來也就是說周圍12個點x1,x2,..y4都要受x0的影響，x0總共要出現(xiàn)12次，其余都一樣(忽略邊緣)。那K么(12a+b)*x0+(12a+b)*x1+.....+(12a+b)*xn=x0+x1+...+xn推導(dǎo)出：12a+b=1的結(jié)果。找出一個解：a=1/4,b=-2,這樣1/4可以移位得到，效率很高。所以得到需要的數(shù)學(xué)公式：x0’=(x1+x2+…+y4)/4-2*x0但是實際上這組解不準(zhǔn)確，測試中也出現(xiàn)了問題。因為按照事實，x0點本身對下一個時刻的能量影響不可能大于x0本身，只能等于它本身。所以，只能取b=-1,絕對值為1。這樣，得到a=1/6，即x0’=(x1+x2+...+y4)/6-x0經(jīng)過測試，這組解效果最好，說明跟實際情況接近。考慮阻尼：真正的水是有阻尼的，否則，上面的模型產(chǎn)生的震動將永遠進行下去。所以需要考慮一個阻尼，讓每個點在后續(xù)的時刻能量比理想值有所衰減。即x0’=(x1+x2+...+y4)/6-x0然后有x0’=x0-x0*阻尼因子考慮折射：要進行精確的計算不現(xiàn)實，因為當(dāng)前的設(shè)計方案無法模擬真正的折射?，F(xiàn)在進行線性逼近模擬就可以了。水面越傾斜，折射越厲害，即水下的景物看上去偏移越厲害。所以，用謀點的前后兩點的波幅差作為該點的折射偏移量。對于點x0來說，在x和y兩個方向的折射偏移量分別為：xoff=x7一x5yoff=x3一x1假設(shè)x0點的坐標(biāo)為(I，J)，那么x0點上應(yīng)該顯示的水底景物為(I+x0ff，J+yoff)位置正下方的景物點。考慮波源:為了比較逼真的模擬波源，考慮水面受到擾動的時候并不是一個點上受到了擾動，而是在一個比較小的范圍內(nèi)受到了擾動。所以考慮一個擾動半徑R,如果x0點上被擾動，那么以x0為圓心，半徑為R的區(qū)域內(nèi)的點都會不同程度的獲得能量進行震動。這個能量從圓心向外衰減，即x0點獲得最大的能量，距x0越遠的點獲得越少的能量?，F(xiàn)在根據(jù)下面的圖示來進行數(shù)學(xué)推導(dǎo)近似，以獲得比較逼真的擾動效果。假設(shè)，圓心為入，距離為d的B點（d<R）獲得的能量為：Eb=Ea-Ea*（R-d）/R=Ea*（1-d/R）上面這個簡單的近似公式經(jīng)過測試，能逼真的模擬波源?？紤]光反射：考慮實際情況，如果水面上出現(xiàn)水波，那么由于水面的凹凸不平，各點對光的反射與平靜的水面相比將會發(fā)生不同程度的變化。具體與很多因素有關(guān)，不可能進行精確的計算。與前面一樣，這里用簡單化的模型進行線性近似計算。對于水面上一點x0（I，J），對應(yīng)到數(shù)組buf[J*w+I],該點的能量假定為E0，那么x0點上顯示的景物點取得以后，得到顏色分量r，g，b現(xiàn)在考慮反射后得到新的顏色分量：r=r+E0g=g+E0b=b+E0如果超出0—255的范圍，則進行修正。這樣就得到一個效果，就是根據(jù)能量的不同，水面上有些點的亮度得到加強，而有些點的亮度得到削弱，由于能量按照波形分布，最終得到水波的波形效果。（注：這里的反射只考慮了亮度變化，而沒有考慮由于環(huán)境光而產(chǎn)生的顏色變化）驗證在使用了背景圖片的情況下，水的折射就可以單獨成波，沒有考慮反射也能看到效果。因為背景圖像按照波能偏移顯示，得到水波效果。在考慮了反射的情況下（無論是否考慮了折射），不論