初三自主招生教學(xué)案18分式

分知識梳理：1、分式的概念一般地，用A、B表示兩個整式，A÷B可以表示成A的形式。如果B中含有字母，式子A 做分式2、分式的基本性質(zhì)：AAM；AAMM B B3、分式的運算： A AD（1）加減法： ； 乘除法：ACACACAD B A 乘方：B 4、整數(shù)指數(shù)冪na01aapa

a0，p是正整數(shù)例題精講：例1：若a2b2c2bc，則cb的值是 a a 3a2例2：（1）a ，b ，則 3a25abx23xy（2）x2xy2y201例3：設(shè)a、b是實數(shù)， 1

x2

1， 1

1 b

14：化簡2a23a2a2a53a24a52a28aa a a a例5：已知abc1，求

aba bcb cac第1例1：已知a、b、c均為非零

abb

aba

， 題型三：拆項相消法1：（1）試證：

1 （其中n是正整數(shù)（2）計

nn1

n 1 2 9 （3）證明：對任意大于1的正整數(shù)n，有11 1 2 3 nn 例2：化簡分式： x23x x25x x27x題型四：因式分解法例1：已知實數(shù)a、b、c滿足abc0，abc8，則111的值為 A.正 B. C.負(fù) D.可為正數(shù)，也可以為負(fù)a2b例2：化簡求值：ac2b

b2cab2c

c2abc2a x例3：化簡求值： x1

13xx2x3

11x22x1x2x 1x32x1題型五：求倒拆分法 x 1：x2x1aa2，a0x4x21 ，例2：已知實數(shù)a、b、c滿足條件 1，bc，

1， 的值a 3b 4a abbc同步練習(xí)：練：計算

(a1

b1

c

)(

1

abbc

2xy，則x x x練習(xí)3：已

a，

b，

c，求證：

b y

z

x

1

1b14xyz（a，b，c互不相等）xyza b c m2

m12m

n2

1mn第3練習(xí)6試證：對任意的正整數(shù)n

＜12 23 n(n1)(n ＜練習(xí)7已知a、b、c為實數(shù)，且a2b2c21a11b11c113 c a b練習(xí)8：化簡（式中a、b、c兩兩不相等）： 2ab b2a2abac

2bcabbc

2caacbc 1

xx2xx練習(xí)9：化簡分式：x x

x

x11x x1

2x x

2xx 0：若x2mx11，求x6m3x31的值參考答1：答案：1解析：直接通分，得到原式

b2c2abaca2bcab

，根據(jù)已知條件

bc

，所以原式等于1說明：如果方程或代數(shù)式?jīng)]有很強的規(guī)律性，可以先直接通分，找到與已知條件相關(guān)的結(jié)論得到答案例2：答案：（1）3；（2）5或 a3a 解析：（1）原式

3aba a 12 說明：若直接帶入求解較復(fù)雜，若分子分母能因式分解，然后能夠約分，可先化簡再計算（2）已知方因式分解，求得xy0或x2y0，所以xy或x2y，分別帶入原式求解即可例3：答案32解析：觀察到題目中有兩處1a和1b，且ba1b1a，所以不妨設(shè)1ax，1by，則原方x，yy23xyx20y35x，所以原式=y35。 說明：如果方程或代數(shù)式中有較強的規(guī)律性，可以用整體思想，必要的時候設(shè)未知數(shù)求解例4：答案

8a(a1)(a2)(a2)(a解析：原式=2a22aa11a22a3a613a26a2a412a26a2a6

1a

1

1 a=(2a1)

(a3)

(3a2)

(2a2) a1 a a2 a=(2a1)(a3)(3a2)(2a2) 1a a a a=a

a

a

a (a1)(a (a2)(a(a2)(a3)(a1)(a=(a1)(a2)(a2)(a 8a(a1)(a2)(a2)(a說明：直接通分計算較繁，先把每個假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多。例5：答案：1第5abc代替1，從而使化簡更簡潔。下面提供三種化簡變形的方法，可仔細(xì)體會，其化簡中的本質(zhì)的東西。原式

b aba

bcb1

cac b1= b1=1b1b

bbb

bcabc1bc原式= a

ab aba abcb abcac aba abcab abaaab=aba

1ab

a1

，將之代入原1 1原式= b

bcb c c b1=1b1b

b

1bc例1：答案：8或abcabcabck abk 則ack bck ab ab 所以abck10，故k1abck1abacbc

2c2b2aabc0abacbccba 說明：引進一個參數(shù) 表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用題型三：拆項相消法例1：答案：（1）證明：1 (n1)n n n(n n(n 11（n是正整數(shù)）n(n n解：由（1）可1 1 2 ) (11(11(11) 9＝

1． 證明：

1 1

n(n ＝(1

)(1

( 111 n11＝ nn

一定為正數(shù) 2 3 n(n 解析 1 是?？嫉囊环N變形n(n n例2：答案 x25x1解析：原式

x2x x2x x3x= 1 x x2x x3x x4= x

x

x25x第7說明：三個分式一起通分運算量大，可先將每個分式的分母分解因式，然后再化簡。本題在將每個分式的母因式分解后，各個分式具有

的一般形式，與分式運算的通分思想方法相反，這種化簡的法叫“拆項相消”法，它是分式化簡中常用的技巧1：答案：C解析：常見的代數(shù)式化簡：

11abbcac，常用的三數(shù)和平方公式 abc2a2b2c22abbc 例2： abcab解析：原式

bcabca

cabcaacbac bcabc=abcbcaacbabcab ab ab abx 2x23x x 13xx 1 2x3x22x x2 2xx21x2解析：原式=

x3

x x32x22x x3

x

x

xx2 x212x1 x

x=x

x1x

x12x 2x

3x題型五：求倒拆分法例1：答案

1x2x 12aa解析：由題意得， xx1a，所以xxa1，x

x

a

2 ，2x4x21 1 x a x xx21 a ，所以x4x211說明：當(dāng)分式的分子為乘積式，分母為和時，可考慮求倒數(shù)例2：答案

解析：ab61

3bc114a

34 ，

6

所以abbcac1116，所 同步練習(xí)：練：答案

abbc =解析：原 [3(111)](111)=

1abbc abbc abbc2練習(xí)2：答案122解析：解法一：由求根公式法得x1 2y，分別帶入解得原式=1 2解法二：觀察發(fā)現(xiàn)x2y2xyxy，xyxy2x，xyxy2y，所以不妨 2 xya，xyb，所以原 化為

2b，所x 2 12x 練習(xí)3：解析：觀察式子a，b，c很有規(guī)律，不妨先算其中一個找到規(guī)律：a1xyz， 1a1b1 y 1 xy所以1

1

xy

xy

xy

xyzxy練習(xí)4：解析：用設(shè)k法，設(shè)原式為k，得到三個方程，相加即可練習(xí)5：答案

解析： 1 m2 m12m n2 mm m1m nn n 1根據(jù)

11

1

，因

11 nn

n

n

226：證明略解 ：因為1nn

n1n2

n2

2

，所1 11 1

12 23 nn1n 21 23 2 34

n1n211

1

21 n1n 2n1n 練習(xí)7答案：0或 a11b11c11bcacbcxaxbx， x1113xab

a

ababcabc 0 c 第9因為abc2a

c

2abbcac，所abbc

x21abbcac01x210，x1

2練習(xí)8：答案原式

aba

babc

cacb

1

1 aba bab cac a a b a b a9答案a

a2 x 1

aa21 ∴原式

a

a2a3a2

a