一元二次方程綜合提高

一、考點(diǎn)突熟練掌握一元二次方程的解法、根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系（定理熟練運(yùn)用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系（定理）解決綜合性的相關(guān)問(wèn)題二、重難點(diǎn)提熟練運(yùn)用根的判別式和定理解決綜合性的相關(guān)問(wèn)題一、知識(shí)結(jié)

已知方程，求含有兩根的代數(shù)式已知方程一個(gè)根、不解方程，求另一個(gè)一元二次方程根已知方程兩根特征，求字母系數(shù)的取值范已知含兩根的代數(shù)式的值，探究滿足條件的字母系數(shù)的存在與不等式、函數(shù)知識(shí)結(jié)合，證明不等關(guān)二、解題策略與方 根的判別式和定理—元二次方程ax2bxc0（a,bc是常數(shù)，且a0）的根的判別式是b24ac當(dāng)0當(dāng)0當(dāng)0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；ax2bxc0x，x xxbxxc 定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎?6世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的根的判別式和定理的應(yīng)結(jié)合根的判別式，根的符號(hào)特征能力提升例1 若k為正整數(shù)，且關(guān)于x的方程(k21)x26(3k1)x720有兩個(gè)不相等的正整數(shù)根，求k的值．一點(diǎn)通：由根的判別式列出關(guān)于k的不等式或者求出方程的解來(lái)解：原方程變形、因式分解為(k1)(k1)x26(3k1)x720[(k1)x12][(k1)x6]0x1

k

，

k由k6由k

k2,347所以k23x1x2k3x1x23，與題目不符，所以，只有k2為所求．例2 求k的值，使得兩個(gè)一元二次方程x2kx10，x2x(k2)0有相同的一點(diǎn)通：不妨設(shè)出相同的根，代入求解解：不妨設(shè)a是這兩個(gè)方程相同的根，由方程根的定義a2ka10，a2a(k2)0．ka1ak20，即(k1)(a10，k1a1。當(dāng)k1x2x10

152當(dāng)a1k0x210，x2x20解這兩個(gè)方程，x210x1x1x2x20

1 x42x1綜合運(yùn)用例 設(shè)一元二次方程x22ax6a0的根分別滿足下列條件，⑴兩根均大于⑵一根大于1，另一根小于1。試求實(shí)數(shù)a的范圍一點(diǎn)通x1，x21x11x2111x11x21解x1x2x1x22ax1x26a14a24(6a)(x11)(x21)2a2(x1)(x1)6a(2a)1 7a114a24(6a)(x11)(x21)6a(2a)1a例 求正整數(shù)n，使4n25n為完全平方數(shù)一點(diǎn)通：n為正整數(shù)4n25nn的一元二次方程，解：設(shè)4n25nk2（k0，且k為整數(shù)（n為正整數(shù)∴方程4n25nk20的根的判別式2516k2應(yīng)為完全平方數(shù)。又設(shè)2516k2m2（m為非負(fù)整數(shù)）∴(m4k)(m4k)mkm4k∴m4km4k

m4k或m4km

m4k或m4k解m4km4k解m4km4k

得km得km

解m4k

得k

∴n思維拓展例 已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x6y，z2xy9，求證：xy一點(diǎn)通：xy6xyz29，聯(lián)證明xy6xyz29xy是二次方程t26tz290兩個(gè)實(shí)根，于是這方程的判別式364(z29)4z20z20zz20z0，從而0，故上述關(guān)于t的二次方程xy．例6 設(shè)a，b，c為ABC的三邊，且二次三項(xiàng)式x22axb2與x22cxb2有一次公因式，證明：ABC一定是直角三角形．一點(diǎn)通：x22axb2x22cxb2x的二次三項(xiàng)式，且證明x22axb200x22cxb20必有公共根，設(shè)公共根為 ，0 x22axx2

b20，b20 2x22(a

0x0[x0(ac)]x00，代入①式得b0，這與b為ABCx0(acx0(ac代入①式得(ac)2a(acb0 a2b2所以ABC一定是直角三角形ax2bxc

(a

有整數(shù)解的前提是b24ac個(gè)完全平方數(shù)，①根據(jù)判別式b24ac，設(shè)b24ac

（m為整數(shù)，xxa a性質(zhì)，分 求解；②根 定理

x1x2x1x2xx關(guān)系式求解

1 x2x2(xx)22x 1(xx)24x 1x(xx)24x 1 1

x1x3x3(xx)33xx(xx 1 ax2bxc

xabc0x1，xcx1，xc abc0abc0x1xcx1 xcabc0 ax2bxc①有兩個(gè)正數(shù)根，必須x1x2

(a0)兩個(gè)實(shí)數(shù)根的符號(hào) ；xx ②有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，必須x1x2 xx ③有兩個(gè)異號(hào)根，必須xx01④有兩個(gè)異號(hào)根，且正數(shù)根絕對(duì)值大，必須x1x2 xx ⑤有兩個(gè)異號(hào)根，且負(fù)數(shù)根絕對(duì)值大，必須x1x2 xx 則b0aax2bxc0m

x1m0

x2m0x

(x1m)(x2m0，(x1mx2m0，聯(lián)立方程來(lái)解決；也可以利用換元的方法，把方程ax2bxc0a0轉(zhuǎn)化成aym)2bymc0yxm來(lái)解決。（答題時(shí)間：45分鐘x的一元二次方程x2x3m0m m

m

m

m關(guān)于x的一元二次方程(2a1)x2(a1)x10的兩個(gè)根相等，那么a等于 A.1或 B.－1或 C.1或 D.－1或若關(guān)于x的方程x22xk0有實(shí)數(shù)根，則 A. B.k C.k D.k設(shè)x1、

是關(guān)于x的方程x2m1)xm0（m0）1＋ x20m3已知首項(xiàng)系數(shù)不相等的兩個(gè)方程(a1)x2a22)xa22a)0(b1)x2(b22)xb22b0②（a、b為正整數(shù)）有一個(gè)公共根.求a、b的xx22px10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1p的取值范圍x35x24k)xk0的三個(gè)根可以作為一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)，求k的值。C12413m∴m故選A解a1)24(2a1a22a18aa26aa26a5∴a11，a2故選B2241k4kk故選x1x2m1，x1x21

3x1x2x1x2

3m1 ∴m1

，3m3 aa2；方程②的兩個(gè)根是bb2aa1、b1abab2或ba2

bb aabab2abab13∵a、b都是正整數(shù) ∴a1b1

(a1)(b1)a1 b1ab

a b又解：設(shè)公共根為x0，那(a1)x2(a22)x(a22a) (b1)x0(b2)x0(b2b)0[(a22)(b1)(b22)(a1)]x(a22a)(b1)(b22b)(a1)0整理得(ab)(abab2)(x01∵ax01abab2x01a1，∴a10∴方程①不是二次方程x0不是公共根abab20時(shí)，得(a1)(b1x1，x22x2－9x＋8=0的兩根，則解法同上x(chóng)x9 x1x2x1x22px1x2111的條件為(x11)(x21所以x1x2(x1x21所以2p2px