衡水中學(xué)-高中函數(shù)解題技巧方法總結(jié)(高考)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點總結(jié)求函數(shù)的定義域有哪些常有種類？x4x例：函數(shù)y2的定義域是（答：0，22，33，4）lgx3函數(shù)定義域求法：分式中的分母不為零；偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。正切函數(shù)ytanxxR,且xk,k2余切函數(shù)ycotxxR,且xk,k反三角函數(shù)的定義域函數(shù)y＝arcsinx的定義域是[－1,1]，值域是，函數(shù)y＝arccosx的定義域是[－1,1]，值域是[0,π]，函數(shù)y＝arctgx的定義域是R，值域是.，函數(shù)y＝arcctgx的定義域是R，值域是(0,π).當(dāng)以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就獲取函數(shù)的定義域。如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知yf(x)的定義域為m,n，求yfg(x)的定義域，可由mg(x)n解出x的范圍，即為yfg(x)的定義域。11、函數(shù)值域的求法1、直接察見解關(guān)于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可經(jīng)過觀察獲取。1x2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=x2-2x+5，x[-1，2]的值域。3、鑒識式法對二次函數(shù)也許分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進行化簡，不用拘泥在鑒識式上面下面，我把這一種類的詳細寫出來，希望大家可以看懂a(chǎn).yb型：直接用不等式性質(zhì)k+x2b.ybx型,先化簡，再用均值不等式x2mxn例：yx111+x212x+xc..yx2mxn型平時用鑒識式x2mxnd.yx2mxn型n法一：用鑒識式法二：用換元法，把分母代替掉x2x2）+111（x+1）（x+1例：yx1x1（x+1）1211x1反函數(shù)存在的條件是什么？求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）如：求函數(shù)f(x)1xx0x2x的反函數(shù)0（答：f1x1x1(x)x）x0反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？反函數(shù)性質(zhì)：1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域（可擴展為反函數(shù)中的x對應(yīng)原函數(shù)中的y）2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴展為反函數(shù)中的y對應(yīng)原函數(shù)中的x）3、反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對稱（難怪點（x,y）和點（y，x）關(guān)于直線y=x對稱①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱；②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；③設(shè)yf(x)的定義域為A，值域為C，aA，bC，則f(a)=bf1(b)af1f(a)f1(b)a，ff1(b)f(a)b15.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：,x，找出f(x),f(x)之間的大小關(guān)系依照定義，設(shè)任意得x2121可以變形為求f(x1)f(x2)的正負(fù)號也許f(x1)與1的關(guān)系x1x2f(x2)參照圖象：①若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(a，0)的對稱區(qū)間擁有同樣的單調(diào)性；（特例：奇函數(shù)）②若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(a，0)的對稱區(qū)間里擁有相反的單調(diào)性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：①函數(shù)f(x)與f(x)＋c(c是常數(shù))是同向變化的②函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c＞0時，它們是同向變化的；當(dāng)c＜0時，它們是反向變化的。③若是函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）④若是正當(dāng)函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；若是負(fù)值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）⑤函數(shù)f(x)與1在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。f(x)⑥若函數(shù)u＝φ(x)，x[α，β]與函數(shù)y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向變化，則在[α，β]上復(fù)合函數(shù)y＝F[φ(x)]是遞加的；若函數(shù)u＝φ(x),x[α，β]與函數(shù)y＝F(u)，u[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向變化，則在[α，β]上復(fù)合函數(shù)y＝F[φ(x)]是遞減的。（同增異減）⑦若函數(shù)y＝f(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù)x＝f－1(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性同樣。f(gg(xf[g(xf(x)+g(f(x)*g()))]x)x)都是正數(shù)增增增增增增減減//減增減//減減增減減如：求ylog1x2x的單調(diào)區(qū)間22（設(shè)ux22x，由u0則0x2且log1u，u21，如圖：x12f(x)-f(-x)=0f(x)+f(-x)=0uO12x當(dāng)x(0，1]時，u，又log1u，∴y2當(dāng)x[1，2)時，u，又log1u，∴y2∴）函數(shù)f(x)擁有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點對稱）若f(x)f(x)總成立f(x)為奇函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱若f(x)f(x)總成立f(x)為偶函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱判斷函數(shù)奇偶性的方法一、定義域法一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點對稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).二、奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱的前提下，計算f(x)，爾后依照函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.這類方法可以做以下變形奇函數(shù)偶函數(shù)f(x)偶函數(shù)1f(-x)f(x)奇函數(shù)1f(-x)三、復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)f[g(xf(x)+g(f(x)*g()]x)x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非奇偶偶奇偶非奇非奇偶偶偶偶偶偶你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？（若存在實數(shù)

T（T

0），在定義域內(nèi)總有

fx

T

f(x)，則

f(x)為周期函數(shù)，T是一個周期。）如：若fxaf(x)，則（答：f(x)是周期函數(shù)，T2a為f(x)的一個周期）我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過來，這時說這個函數(shù)周期2t.f(x)f(xt)0f(x)f(x2t)推導(dǎo)：f(xt)f(x2t)0，同時可能也會遇到這類樣子：f(x)=f(2a-x),也許說f(a-x)=f(a+x).其實這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對稱，對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2獲取。比方，f(x)=f(2a-x),也許說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱。如：又如：若圖象有兩條對稱軸x，f(x)axb即f(ax)f(a，f(bx)f(bx)x)f(x)f(2ax)f(2ax)f(2bx)f(x)f(2bx)令t2ax,則2bxt2b2a,f(t)f(t2b2a)即f(x)f(x2b2a)因此,函數(shù)以為周期因不知道的大小關(guān)系,f(x)2|ba|(a,b為保守起見,我加了一個絕對值你掌握常用的圖象變換了嗎？f(x)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱聯(lián)想點（x,y）,(-x,y)f(x)與f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱聯(lián)想點（x,y）,(x,-y)f(x)與f(x)的圖象關(guān)于原點對稱聯(lián)想點（x,y）,(-x,-y)f(x)與f1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱聯(lián)想點（x,y）,(y,x)f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于直線xa對稱聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,y)f(x)與f(2ax)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱聯(lián)想點（x,y）,(2a-x,0)將yf(x)圖象左移a(a0)個單位yf(xa)上移b(b0)個單位yf(xa)b右移a(a0)個單位yf(xa)下移b(b0)個單位yf(xa)b（這是書上的方法，誠然我向來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。關(guān)于這類題目，其實根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)獲取，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點的坐標(biāo)?？袋c和原點的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。）注意以下“翻折”變換：f(x)|f(x)|把x軸下方的圖像翻到上面f(x)f(|x|)把y軸右方的圖像翻到上面如：f(x)log2x1作出ylog2x1及ylog2x1的圖象yy=log2xO1x你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？(k<0)y(k>0)y=bO’(a,b)Oxx=a（1）一次函數(shù)：ykxbk0(k為斜率，b為直線與y軸的交點)（2）反比率函數(shù)：ykk0實行為ybkk0是中心O'(a，b)xxa的雙曲線。2（3）二次函數(shù)yax2bxca0axb4acb2圖象為拋物線2a4a極點坐標(biāo)為b，4acb2，對稱軸xb2a4a2a張口方向：a0，向上，函數(shù)ymin

4acb24a4acb2a0，向下，ymax4abV根的關(guān)系：x2ax1x2bcV,x1x2,|x1x2|aa|a|二次函數(shù)的幾種表達形式：f(x)ax2bxc(一般式)f(x)a(xm)2n(極點式，（m，n）為極點f(x)a(xx1)(xx2)(x1,x2是方程的2個根）f(x)a(xx1)(xx2)h(函數(shù)經(jīng)過點（x1,h)(x2,h)應(yīng)用：①“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系——二次方程ax2bxc0，0時，兩根x1、x2為二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸的兩個交點，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端點值。②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。區(qū)間在對稱軸左邊（n區(qū)間在對稱軸右邊（m區(qū)間在對稱軸2邊（n4cb2,fmaxfmin4a

b）fmaxf(m),fminf(n)2ab）fmaxf(n),fminf(m)2abm）2amax(f(m),f(n))也可以比較m,n和對稱軸的關(guān)系，距離越遠，值越大(只談?wù)揳0的情況）③求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。0如：二次方程ax2bxc0的兩根都大于kbk2af(k)0y(a>0)Okx1x2x一根大于k，一根小于kf(k)0在區(qū)間（m，n）內(nèi)有2根在區(qū)間（m，n）內(nèi)有1根

0mbn2af(m)0f(n)0f(m)f(n)0（4）指數(shù)函數(shù)：yaxa0，a1（5）對數(shù)函數(shù)ylogaxa0，a1由圖象記性質(zhì)！（注意底數(shù)的限制?。﹜y=ax(a>1)(0<a<1)y=logax(a>1)1O1x(0<a<1)（6）“對勾函數(shù)”yxk0kx利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的差異是什么？（均值不等式必然要注意等號成立的條件）ykOkx你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？指數(shù)運算：a01(a0)，ap1(a0)apmmannam(a0)，an1(a0)nam對數(shù)運算：loga(MN)logaMlogaNM0，N0logaMlogaMlogaN，loganM1logaMNn對數(shù)恒等式：alogaxxlogcblogambnn對數(shù)換底公式：logablogablogcam1logaxlogxa如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）如：（1）xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，證明f(x)為奇函數(shù)。（先令xy0f(0)0再令yx，）（2）xR，f(x)滿足f(xy)f(x)f(y)，證明f(x)是偶函數(shù)。（先令xytf(t)(t)f(t·t)∴f(t)f(t)f(t)f(t)f(t)f(t)）（3）證明單調(diào)性：f(x2)fx2x1x2（關(guān)于這類抽象函數(shù)的題目，其實簡單得都可以直接用死記了1、代y=x，2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、求奇偶性，令y=—x；求單調(diào)性：令x+y=x1幾類常有的抽象函數(shù)正比率函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝kx（k≠）f（x±y）＝f（x）±f（y）0---------------2.冪函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝xa----------------f（xy）＝f（x）f（y）；f（x）＝f(x)yf(y)3.指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝f(x)f(y)對數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝logax（a且a≠）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（x）＝f（x）－f（y）>01y三角函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝f(x)f(y)1f(x)f(y)f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝f(x)f(y)1f(x)f(y)例1已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x>0時，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的值域.解析：先證明函數(shù)fx）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2f[（x2－x1）＋x1f（x2－x1f（）＝]＝）＋（x1））；再依照區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y均有f（x＋y）＋＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x>0時，fx)>2，，求不等式f（a2－2a－2）<3的解.2(f(3)＝5）；再求出f（）＝；最后脫去函數(shù)符號解析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例.113例3已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當(dāng)0≤x＜1時，f（x）∈[0，1].（1）判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤39，求a的取值范圍.解析：（1）令y＝－1；（2）利用f（x1）＝f（x1·x2）＝f（x1）f（x2）；x2x23）0≤a≤2.例4設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；對任意值x，判斷f（x）值的符號.解析：（1）令x=y＝0；（2）令y＝x≠0.例5可否存在函數(shù)f（x），使以下三個條件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋）＝f（a）f（），a、bbb∈N；③f（）＝4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明原由.2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.解析：先猜出f（x）＝2例6設(shè)f（x）是定義在（，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（）03＝1，求：（）；（1）f1（2）若f（x）＋f（x－）≤，求x的取值范圍.82解析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y＝f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）.若是f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）可否正確，試說明原由.解析：設(shè)f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，進而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（ab）＝f[g（m）g（n）].例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且滿足以下三個條件：①x1、x2是定義域中的數(shù)時，有f(x1)f(x2)1f（x1－x2）＝；f(x2)f(x1)②f（a）＝－（a＞，a是定義域中的一個數(shù)）；10③當(dāng)0＜x＜a時，f（x）＜0.2試問：（1）f（x）的奇偶性如何？說明原由；（2）在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說明原由.解析：（1）利用f[－（x1－x2）]＝－f[（x1－x2）]，判斷f（x）是奇函數(shù)；（3）先證明f（x）在（，a）上是增函數(shù)，再證明其在（a，a）上也是增函數(shù).0224關(guān)于抽象函數(shù)的解答題，誠然不可以用特別模型代替求解，但可用特別模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對應(yīng)的特別模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對不同樣的函數(shù)要進行合適變通，去追求特別模型，進而更好地解決抽象函數(shù)問題.例9已知函數(shù)f（x）（x≠）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），0（1）求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求證：f（x）為偶函數(shù)；f（x）＋f（x－1）≤（）若f（x）在（，＋∞）上是增函數(shù)，解不等式0.302f（x）＝logax|（a＞）解析：函數(shù)模型為：|0（）先令x＝y(tǒng)＝，再令x＝y(tǒng)＝－；111（）令y＝－；21（3）由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）＝f（|x|）