全等三角形(知識點(diǎn)講解)

全等三角形(知識點(diǎn)講解)全等三角形(知識點(diǎn)講解)全等三角形(知識點(diǎn)講解)xxx公司全等三角形(知識點(diǎn)講解)文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度全等三角形一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1．了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2．探索三角形全等的條件，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式。重點(diǎn)：1.使學(xué)生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式；2.三角形全等的性質(zhì)和條件。難點(diǎn)：1.掌握用綜合法證明的格式；2.選用合適的條件證明兩個(gè)三角形全等二、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：全等形要點(diǎn)詮釋：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。知識點(diǎn)二：全等三角形要點(diǎn)詮釋：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形知識點(diǎn)三：對應(yīng)頂點(diǎn)，對應(yīng)邊，對應(yīng)角要點(diǎn)詮釋：兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角。知識點(diǎn)四：全等三角形的性質(zhì)要點(diǎn)詮釋：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等知識點(diǎn)五：三角形全等的判定定理（一）要點(diǎn)詮釋：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。簡寫成“邊邊邊”或“SSS”知識點(diǎn)六：三角形全等的判定定理（二）要點(diǎn)詮釋：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SAS”知識點(diǎn)七：三角形全等的判定定理（三）要點(diǎn)詮釋：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”知識點(diǎn)八：三角形全等的判定定理（四）要點(diǎn)詮釋：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。簡寫成“角角邊”或“AAS”知識點(diǎn)九：直角三角形全等的判定定理要點(diǎn)詮釋：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.探索三角形全等的條件：（1）一般三角形全等的判別方法有四種方法：①邊角邊（SAS）；②角邊角(ASA);③角角邊(AAS);④邊邊邊(SSS).(2)直角三角形的全等的條件:除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判別方法外，還有一種重要的判別方法，也就是斜邊、直角邊（HL）判別方法.2．判別兩個(gè)三角形全等指導(dǎo)（1）已知兩邊（2）已知一邊一角（3）已知兩角3．經(jīng)驗(yàn)與提示：⑴尋找全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角的規(guī)律：①全等三角形對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，兩個(gè)對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊．②全等三角形對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，兩個(gè)對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．③有公共邊的，公共邊一定是對應(yīng)邊．④有公共角的，公共角一定是對應(yīng)角．⑤有對頂角的，對頂角是對應(yīng)角．⑥全等三角形中的最大邊(角)是對應(yīng)邊(角)，最小邊(角)是對應(yīng)邊(角)⑵找全等三角形的方法①可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；②可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；③從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；④若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。⑶證明線段相等的方法：①中點(diǎn)定義；②等式的性質(zhì)；③全等三角形的對應(yīng)邊相等；④借助中間線段（即要證a=b,只需證a=c,c=b即可）。隨著知識深化，今后還有其它方法。⑷證明角相等的方法：①對頂角相等；②同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等；③兩直線平行，同位角、內(nèi)錯角相等；④等式的性質(zhì)；⑤垂直的定義；⑥全等三角形的對應(yīng)角相等；三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角和。隨著知識的深化，今后還有其它的方法。⑸證垂直的常用方法①證明兩直線的夾角等于90°；②證明鄰補(bǔ)角相等；③若三角形的兩銳角互余，則第三個(gè)角是直角；④垂直于兩條平行線中的一條直線，也必須垂直另一條。⑤證明此角所在的三角形與已知直角三角形全等；⑥鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。⑹全等三角形中幾個(gè)重要結(jié)論①全等三角形對應(yīng)角的平分線相等；②全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等；③全等三角形對應(yīng)邊上的高相等。4.知識的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用：根據(jù)三角形全等找對應(yīng)邊，對應(yīng)角，進(jìn)而計(jì)算線段的長度或角的度數(shù).（2）全等三角形判別方法的應(yīng)用：根據(jù)判別方法說明兩個(gè)三角形全等，進(jìn)一步根據(jù)性質(zhì)說明線段相等或角相等.（3）用全等三角形測量距離的步驟：①先明確要解決什么實(shí)際問題；②選用全等三角形的判別方法構(gòu)造全等三角形；③說明理由.5．注意點(diǎn)（1）書寫全等三角形時(shí)一般把對應(yīng)頂點(diǎn)的字母放在對應(yīng)的位置.（2）三角形全等的判別方法中不存在“ASS”、“AAA”的形式，判別三角形全等的條件中至少有一條邊.（3）尋找三角形全等的條件時(shí)，要結(jié)合圖形，挖掘圖中的隱含條件：如公共邊、公共角、對頂角、中點(diǎn)、角平分線、高線等所帶來的相等關(guān)系.（4）運(yùn)用三角形全等測距離時(shí)，應(yīng)注意分析已知條件，探索三角形全等的條件，理清要測定的距離，畫出符合的圖形，根據(jù)三角形全等說明測量理由.（5）注意只有說明兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，才使用“HL”，說明一般的三角形全等不能使用“HL”.6.數(shù)學(xué)思想方法（1）轉(zhuǎn)化思想：如將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題解決等.（2）方程思想：如通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和之間的關(guān)系構(gòu)造方程解決角度問題.（3）類比思想：如說明兩個(gè)三角形全等時(shí)，根據(jù)已知條件選擇三角形全等經(jīng)典例題透析類型一：全等三角形性質(zhì)的應(yīng)用1、如圖，△ABD≌△ACE，AB=AC，寫出圖中的對應(yīng)邊和對應(yīng)角.思路點(diǎn)撥:AB=AC，AB和AC是對應(yīng)邊，∠A是公共角，∠A和∠A是對應(yīng)角，按對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊可求解.解析：AB和AC是對應(yīng)邊，AD和AE、BD和CE是對應(yīng)邊，∠A和∠A是對應(yīng)角，∠B和∠C，∠AEC和∠ADB是對應(yīng)角.總結(jié)升華：已知兩對對應(yīng)頂點(diǎn)，那么以這兩對對應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對應(yīng)角，第三對角是對應(yīng)角；再由對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，可找到對應(yīng)邊.已知兩對對應(yīng)邊，第三對邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角.舉一反三：【變式1】如圖，△ABC≌△DBE.問線段AE和CD相等嗎為什么【答案】證明：由△ABC≌△DBE，得AB=DB,BC=BE，則AB-BE=DB-BC，即AE=CD?！咀兪?】如右圖，，。求證：AE∥CF【答案】∴AE∥CF2、如圖，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度數(shù)與EC的長。思路點(diǎn)撥:由全等三角形性質(zhì)可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB的度數(shù)與BF的長即可。解析：在ΔABC中，∠ACB=180°-∠A-∠B，又∠A=30°，∠B=50°，所以∠ACB=100°.又因?yàn)棣BC≌ΔDEF，所以∠ACB=∠DFE，BC=EF（全等三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等）。所以∠DFE=100°EC=EF-FC=BC-FC=FB=2?？偨Y(jié)升華：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等。舉一反三：【變式1】如圖所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.求證：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.【答案】(1）因?yàn)棣CD≌ΔECD，所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的對應(yīng)角相等）.因?yàn)椤螦DC+∠EDC=180°，所以∠ADC=∠EDC=90°.所以CD⊥AB.(2）因?yàn)棣EF≌ΔBEF,所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的對應(yīng)角相等）.因?yàn)椤螩FE+∠BFE=180°，所以∠CFE=∠BFE=90°.因?yàn)椤螦CB=90°,所以∠ACB=∠BFE.所以EF∥AC.類型二：全等三角形的證明3、如圖，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求證：△ADF≌△BCE．思路點(diǎn)撥:欲證△ADF≌△BCE，由已知可知已具備一邊一角，由公理的條件判斷還缺少這角的另一邊，可通過AC＝BD而得解析：∵AC＝BD(已知)∴AB-BD＝AB-AC(等式性質(zhì))即AD＝BC在△ADF與△BCE中∴△ADF≌△BCE(SAS)總結(jié)升華：利用全等三角形證明線段(角)相等的一般方法和步驟如下：(1)找到以待證角(線段)為內(nèi)角(邊)的兩個(gè)三角形，(2)證明這兩個(gè)三角形全等；(3)由全等三角形的性質(zhì)得出所要證的角(線段)相等．舉一反三：【變式1】如圖，已知AB∥DC，AB＝DC，求證：AD∥BC【答案】∵AB∥CD∴∠3＝∠4在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB(SAS)∴∠1＝∠2(全等三角形對應(yīng)角相等)∴AD∥BC(內(nèi)錯角相等兩直線平行)【變式2】如圖，已知EB⊥AD于B，F(xiàn)C⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD．求證AF＝DE．【答案】∵EB⊥AD(已知)∴∠EBD＝90°(垂直定義)同理可證∠FCA＝90°∴∠EBD＝∠FCA∵AB＝CD，BC＝BC∴AC＝AB+BC＝BC+CD＝BD在△ACF和△DBE中∴△ACF≌△DBE(S．A．S)∴AF＝DE(全等三角形對應(yīng)邊相等)類型三：綜合應(yīng)用4、如圖，AD為ΔABC的中線。求證：AB+AC>2AD.思路點(diǎn)撥:要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以AB+AC+BC>2AD，所以不能直接證出。由2AD想到構(gòu)造一條線段等于2AD，即倍長中線。解析：延長AD至E，使DE=AD，連接BE因?yàn)锳D為ΔABC的中線，所以BD=CD.在ΔACD和ΔEBD中，所以ΔACD≌ΔEBD(SAS).所以BE=CA.在ΔABE中，AB+BE>AE，所以AB+AC>2AD.總結(jié)升華：通過構(gòu)造三角形全等，將待求的線段放在同一個(gè)三角形中。舉一反三：【變式1】已知：如圖，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延長線于E，求證：BD=2CE.【答案】分別延長CE、BA交于F.因?yàn)锽E⊥CF,所以∠BEF=∠BEC=90°.在ΔBEF和ΔBEC中，所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).所以CE=FE=CF.又因?yàn)椤螧AC=90°,BE⊥CF.所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°.所以∠BDA=∠BFC.在ΔABD和ΔACF中，所以ΔABD≌ΔACF(AAS)所以BD=CF.所以BD=2CE.5、如圖，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求證：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF思路點(diǎn)撥:(1)直接通過△ABE≌△CDF而得，(2)先證明∠AEB＝∠CFD，(3)由(1)(2)可證明△AEF≌△CFE而得，總之，欲證兩邊(角)相等，找這兩邊(角)所在的兩個(gè)三角形然后證明它們?nèi)龋馕觯?1)在△ABE與△CDF中∴△ABE≌△CDF(SAS)∴AE＝CF(全等三角形對應(yīng)邊相等)(2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形對應(yīng)角相等)∴AE∥CF(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)(3)在△AEF與△CFE中∴△AEF≌△CFE(SAS)∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形對應(yīng)角相等)總結(jié)升華：在復(fù)雜問題中，常將已知全等三角形的對應(yīng)角(邊)作為判定另一對三角形全等的條件．舉一反三：【變式1】如圖，在△ABC中，延長AC邊上的中線BD到F，使DF＝BD，延長AB邊上的中線CE到G，使EG＝CE，求證AF＝AG．【答案】在△AGE與△BCE中∴△AGE≌△BCE(SAS)∴AG＝BC(全等三角形對應(yīng)邊相等)在△AFD與△CBD中∴△AFD≌△CBD(SAS)∴AF＝CB(全等三角形對應(yīng)邊相等)∴AF＝AG(等量代換)6、如圖AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求證：AF平分∠BAC．思路點(diǎn)撥:若能證得得AD=AE，由于∠ADB、∠AEC都是直角，可證得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要證AD=AE，就應(yīng)先考慮Rt△ABD與Rt△AEC，由題意已知AB=AC，∠BAC是公共角，可證得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：在Rt△ABD與Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD=AE(全等三角形對應(yīng)邊相等)在Rt△ADF與Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF=∠EAF(全等三角形對應(yīng)角相等)∴AF平分∠BAC(角平分線的定義)總結(jié)升華：條件和結(jié)論相互轉(zhuǎn)化，有時(shí)需要通過多次三角形全等得出待求的結(jié)論。舉一反三：【變式1】求證：有兩邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．【答案】根據(jù)題意，畫出圖形，寫出已知，求證．已知：如圖，在△ABC與△A′B′C′中．AB=A′B′，BC=B′C′，AD⊥BC于D，A′D′⊥B′C′于D′且AD=A′D′求證：△ABC≌△A′B′C′證明：在Rt△ABD與Rt△A′B′D′中∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′(HL)∴∠B=∠B′(全等三角形對應(yīng)角相等)在△ABC與△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)【變式2】已知，如圖，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90°求證：OC=OD【答案】∵∠C=∠D=90°∴△ABD、△ACB為直角三角形在Rt△ABD和Rt△ABC中∴Rt△ABD≌Rt△ABC(HL)∴AD=BC在△AOD和△BOC中∴△AOD≌△BOC(AAS)∴OD=OC．7、⊿ABC中，AB=AC，D是底邊