2021-2022學年湖北省武漢市新洲區(qū)邾城街九年級（上）期中數學試卷

2021-2022學年湖北省武漢市新洲區(qū)邾城街九年級（上）期中數學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）將方程3x（x﹣1）＝5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次項系數是（）A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣102．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（3分）拋物線y=12（x﹣6）2A．（6，3） B．（﹣6，3） C．（3，3） D．（﹣3，324．（3分）方程2x2﹣3x-32A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．只有一個實數根 D．沒有實數根5．（3分）將拋物線y＝x2向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，所得到的拋物線為（）A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+36．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AB'C'．若點B'恰好落在BC邊上，且AB'＝CB'，則∠C'的度數為（）A．18° B．20° C．24° D．28°7．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D、E在⊙O上，且AD=CD，∠E＝70°，則∠A．30° B．40° C．35° D．50°8．（3分）某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個．設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x2）＝196 B．50+50（1+x2）＝196 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝1969．（3分）如圖，⊙O的直徑AB為10，弦AC＝6，∠ACB的平分線交⊙O于D點，交AB于E點，則DE的長為（）A．72 B．2472 C．257210．（3分）函數y＝|ax2+bx|（a＜0）的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．方程|ax2+bx|＝k有四個不等的實數根 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．5a+3b＜1二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）點A（2，﹣1）關于原點對稱的點B的坐標為．12．（3分）若關于x的一元二次方程ax2＝b（a≠0）一根為2，則另一根為．13．（3分）把一個物體從地面以10m/s速度豎直上拋，那么物體經過x（s）時，離地面高度為h（m），h與x的函數關系為h＝10x﹣4.9x2，則物體回到地面的時間為s．14．（3分）芳芳家今年搬進了新房，新房外飄的涼臺呈圓弧形（如圖所示），她測得涼臺的寬度AB為8m，涼臺的最外端C點離AB的距離CD為2m，則涼臺所在圓的半徑為．15．（3分）已知關于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列結論：①方程總有兩個不等的實數根；②若兩個根為x1，x2，且x1＞x2，則x1＞3，x2＜3；③若兩個根為x1，x2，則（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x=5+p2+12（p為常數），則代數式（x﹣3）（x﹣2）的值為一個完全平方數，其中正確的結論是16．（3分）如圖，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB為邊長向外作等邊△ABM，連CM，則CM的最大值為．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．18．（8分）用一段長為30m的籬笆圍成一個靠墻的矩形菜園，墻的長度為18m．（1）設垂直于墻的一邊長為xm，則是菜園的面積為；（2）若菜園的面積為100m2，求x的值．19．（8分）如圖，點A、P、B、C為⊙O上四點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判斷△ABC形狀并證明；（2）將△APB繞點B順時針旋轉60°至△CMB，請畫出圖形，直接寫出PA，PB，PC三者之間的數量關系．20．（8分）如圖，在8×8的正方形網格中，點A，B，C，P都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）．（1）△ABC的形狀為；（2）在圖1中將線段BC繞點B逆時針旋轉90°，畫出圖形；（3）在圖1中在AC上找一點M，使∠AMP＝45°；（4）在圖2中作PN⊥AC，且PN＝AC，若AC繞某一點旋轉得到PN（P與C對應），在圖中標出旋轉中心O．21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為BE的中點，CD⊥AE交直線AE于D點．（1）求證：OC∥AD；（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直徑．22．（10分）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經理的一段對話：甲公司經理：如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部租出，如果每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元．乙公司經理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元．說明：①汽車數量為整數；②月利潤＝月租車費﹣月維護費；③兩公司月利潤差＝月利潤較高公司的利潤﹣月利潤較低公司的利潤．在兩公司租出的汽車數量相等的條件下，根據上述信息，解決下列問題：（1）當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是元；（2）當每個公司租出的汽車為輛時，兩公司的月利潤相等；（3）求兩公司月利潤差的最大值．23．（10分）問題背景：（1）如圖1，等邊△ABC，點P在△ABC左側且∠APC＝30°，將△APC繞點A順時針旋轉60°，畫出圖形．探究思考：（2）在（1）的條件下，求證：PB＝AC；拓展創(chuàng)新：（3）如圖2，等邊△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接寫出BM的長．24．（12分）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于點A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于C點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，直線x＝m（0＜m＜4）交拋物線于M點，交BC于N點，且CM∥ON，求m的值；（3）如圖2，若點P為拋物線x軸下方一點，直線AP交y軸于M點，直線BP交y軸于N點，且OM?ON=254，求

2021-2022學年湖北省武漢市新洲區(qū)邾城街九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）將方程3x（x﹣1）＝5（x+2）化成一元二次方程的一般形式后，一次項系數是（）A．3 B．﹣8x C．﹣8 D．﹣10【解答】解：方程整理得：3x2﹣8x﹣10＝0，其中一次項系數為﹣8，故選：C．2．（3分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：C．3．（3分）拋物線y=12（x﹣6）2A．（6，3） B．（﹣6，3） C．（3，3） D．（﹣3，32【解答】解：拋物線y=12（x﹣6）2+3的頂點坐標為（6，故選：A．4．（3分）方程2x2﹣3x-32A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根 C．只有一個實數根 D．沒有實數根【解答】解：∵方程2x2﹣3x-32Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（-32）＝9+12＝21＞∴方程有兩個不相等的實數根．故選：A．5．（3分）將拋物線y＝x2向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，所得到的拋物線為（）A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3【解答】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線y＝x2向上平移3個單位所得拋物線的解析式為：y＝x2+3；由“左加右減”的原則可知，將拋物線y＝x2+3向右平移5個單位所得拋物線的解析式為：y＝（x﹣5）2+3；故選：D．6．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝108°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AB'C'．若點B'恰好落在BC邊上，且AB'＝CB'，則∠C'的度數為（）A．18° B．20° C．24° D．28°【解答】解：∵AB'＝CB'，∴∠C＝∠CAB'，∴∠AB'B＝∠C+∠CAB'＝2∠C，∵將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到△AB'C'，∴∠C＝∠C'，AB＝AB'，∴∠B＝∠AB'B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180°，∴3∠C＝180°﹣108°，∴∠C＝24°，∴∠C'＝∠C＝24°，故選：C．7．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D、E在⊙O上，且AD=CD，∠E＝70°，則∠A．30° B．40° C．35° D．50°【解答】解：如圖，連接OD，BD．∵AD=∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DOB＝2∠DEB＝140°，∴∠OBD＝∠ODB＝20°，∴∠ABC＝2∠OBD＝40°，故選：B．8．（3分）某機械廠七月份生產零件50萬個，第三季度生產零件196萬個．設該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（）A．50（1+x2）＝196 B．50+50（1+x2）＝196 C．50+50（1+x）+50（1+x）2＝196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝196【解答】解：依題意得八、九月份的產量為50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝196．故選：C．9．（3分）如圖，⊙O的直徑AB為10，弦AC＝6，∠ACB的平分線交⊙O于D點，交AB于E點，則DE的長為（）A．72 B．2472 C．2572【解答】解：過點E作EG⊥AC于點G，EJ⊥CB于J，連接OD．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC=AB∵CD平分∠ACB，EG⊥AC，EJ⊥CB，∴EG＝EJ，∴S△AEC∴AE=37×∵OA＝5，∴OE＝OA﹣AE＝5-30∵∠ACD＝∠BCD，∴AD=∴OD⊥AB，∴DE=O故選：C．10．（3分）函數y＝|ax2+bx|（a＜0）的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A．方程|ax2+bx|＝k有四個不等的實數根 B．a+b＞1 C．2a+b＞0 D．5a+3b＜1【解答】解：由圖象可得|ax2+bx|＝k有無實數根與k的大小有關，實數根可能有0個，2個，3個，4個．∴選項A錯誤，不符合題意．∵x＝1時，y＜1，∴|a+b|＜1，∴﹣1＜a+b＜1，∴選項B錯誤，不符合題意．∵圖象對稱軸為直線x=-b2a，且0＜-b2a＜∴b＜﹣2a，即2a+b＜0，∴選項C錯誤，不符合題意．由圖象可得0＜x≤1時，y＝ax2+bx，x≥2時，y＝﹣ax2﹣bx，∴x＝1時，a+b＜1①，x＝2時，﹣4a﹣2b＞0②，由①﹣②得5a+3b＜1，∴選項D正確，符合題意．故選：D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．（3分）點A（2，﹣1）關于原點對稱的點B的坐標為（﹣2，1）．【解答】解：∵關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數，∴點A（2，﹣1）關于原點的對稱點的坐標為（﹣2，1）．故答案為：（﹣2，1）．12．（3分）若關于x的一元二次方程ax2＝b（a≠0）一根為2，則另一根為﹣2．【解答】解：設方程的另一個根為m，則2+m＝0，解得：m＝﹣2，故答案為：﹣2．13．（3分）把一個物體從地面以10m/s速度豎直上拋，那么物體經過x（s）時，離地面高度為h（m），h與x的函數關系為h＝10x﹣4.9x2，則物體回到地面的時間為10049s【解答】解：回到地面則h＝0，即10x﹣4.9x2＝0，解得：x1＝0，x2=100∴球從彈起至回到地面需10049s故答案為：1004914．（3分）芳芳家今年搬進了新房，新房外飄的涼臺呈圓弧形（如圖所示），她測得涼臺的寬度AB為8m，涼臺的最外端C點離AB的距離CD為2m，則涼臺所在圓的半徑為5米．【解答】解：設涼臺所在圓的半徑為O，涼臺所在圓的半徑為r，過O作OD⊥AB交⊙O于點C．由題意可知CD＝2米，在Rt△BOD中，B02＝OD2+BD2，r2＝（r﹣2）2+42，得r＝5．故答案為5米．15．（3分）已知關于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列結論：①方程總有兩個不等的實數根；②若兩個根為x1，x2，且x1＞x2，則x1＞3，x2＜3；③若兩個根為x1，x2，則（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x=5+p2+12（p為常數），則代數式（x﹣3）（x﹣2）的值為一個完全平方數，其中正確的結論是【解答】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0總有兩個不等的實數根，故①正確；②設p＝0，關于x的一元二次方程為（x﹣3）（x﹣2）＝0，若兩個根為x1，x2，且x1＞x2，則x1＝3，x2＝2，這與x1＞3不符合，故②不正確；③若x2﹣5x+6﹣p2＝0兩個根為x1，x2，則x1+x2＝5，x1?x2＝6﹣p2，（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1?x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1?x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正確；④∵x=5+p2∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6＝（x-52）2-14=（5+p2+1當p為奇數時，p2不是整數，此時（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方數，故④故答案為：①③．16．（3分）如圖，∠ABC＝90°，AC＝6，以AB為邊長向外作等邊△ABM，連CM，則CM的最大值為33+3【解答】解：過點M作MD⊥BC，交BC的延長線于點D，如圖，設AB＝x，則BC=A∵△ABM是等邊三角形，∴BM＝AB＝x，∠ABM＝60°．∵∠ABC＝90°，∴∠MBD＝30°．∵MD⊥BC，∴MD=12BM=BD=32BM=在Rt△MDC中，∵CM==(=36+=36+=36+∴當x2＝18時，CM有最大值36+972∵36+972=36+183=34+23∴CM的最大值為：33+3故答案為：33+3三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．【解答】解：移項得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，開方得：x﹣2＝±11，∴原方程的解是：x1＝2+11，x2＝2-18．（8分）用一段長為30m的籬笆圍成一個靠墻的矩形菜園，墻的長度為18m．（1）設垂直于墻的一邊長為xm，則是菜園的面積為x（30﹣2x）m2；（2）若菜園的面積為100m2，求x的值．【解答】解：（1）設垂直于墻的一邊長為xm，則平行于墻的一邊長為（30﹣2x）m，∴菜園的面積為x（30﹣2x）m2．故答案為：x（30﹣2x）m2．（2）依題意得：x（30﹣2x）m2＝100，整理得：x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10．當x＝5時，30﹣2x＝30﹣2×5＝20＞18，不合題意，舍去；當x＝10時，30﹣2x＝30﹣2×10＝10＜18，符合題意．答：x的值為10．19．（8分）如圖，點A、P、B、C為⊙O上四點，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判斷△ABC形狀并證明；（2）將△APB繞點B順時針旋轉60°至△CMB，請畫出圖形，直接寫出PA，PB，PC三者之間的數量關系PC＝PB+PA．【解答】解：（1）結論：△ABC是等邊三角形．理由：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠BPC＝60°，∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．（2）圖形如圖所示，點M恰好在CP上，∵∠BPM＝∠PBM＝60°，∴△PBM是等邊三角形，∴PB＝PM，∴PC＝PM+CM＝PB+PA，故答案為：PC＝PB+PA．20．（8分）如圖，在8×8的正方形網格中，點A，B，C，P都在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網格中按要求畫圖（畫圖過程用虛線表示，畫圖結果用實線表示）．（1）△ABC的形狀為直角三角形；（2）在圖1中將線段BC繞點B逆時針旋轉90°，畫出圖形；（3）在圖1中在AC上找一點M，使∠AMP＝45°；（4）在圖2中作PN⊥AC，且PN＝AC，若AC繞某一點旋轉得到PN（P與C對應），在圖中標出旋轉中心O．【解答】解：（1）如圖，∵AC＝25，BC=5，AB＝5∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．故答案為：直角三角形；（2）如圖，線段BC′即為所求；（3）如圖，點M即為所求；（4）如圖，線段PN，點O即為所求．21．（8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為BE的中點，CD⊥AE交直線AE于D點．（1）求證：OC∥AD；（2）若DE＝1，CD＝2，求⊙O的直徑．【解答】（1）證明：連接BE．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，即AD⊥BE，∵點C為BE的中點，∴EC=∴OC⊥EB，∴OC∥AD；（2）解：設BE交OC于點T．∵CD⊥AD，∴∠D＝∠DET＝∠CTE＝90°，∴四邊形DETC是矩形，∴CD＝ET＝2，DE＝CT＝1，∵OC⊥EB，∴BT＝TE＝2，設OB＝OC＝r，則r2＝（r﹣1）2+22，∴r=5∴AB＝2r＝5，即⊙O的直徑為5．22．（10分）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經理的一段對話：甲公司經理：如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部租出，如果每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元．乙公司經理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元．說明：①汽車數量為整數；②月利潤＝月租車費﹣月維護費；③兩公司月利潤差＝月利潤較高公司的利潤﹣月利潤較低公司的利潤．在兩公司租出的汽車數量相等的條件下，根據上述信息，解決下列問題：（1）當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元；（2）當每個公司租出的汽車為37輛時，兩公司的月利潤相等；（3）求兩公司月利潤差的最大值．【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是48000元，故答案為：48000；（2）設每個公司租出的汽車為x輛，由題意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，解得：x＝37或x＝﹣1（舍），∴當每個公司租出的汽車為37輛時，兩公司的月利潤相等，故答案為：37；（3）設兩公司的月利潤分別為y甲，y乙，月利潤差為y，則y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，y乙＝3500x﹣1850，當甲公司的利潤大于乙公司時，0＜x＜37，y＝y(tǒng)甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）＝﹣50x2+1800x+1850，當x=-18002×(-50)=當乙公司的利潤大于甲公司時，37＜x≤50，y＝y(tǒng)乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x＝50x2﹣1800x﹣1850，∵對稱軸為直線x=--18002×50=18，∴當37＜x≤50時，y隨x的增大而增大，∴當x＝50時，利潤差最大，且為33150元，綜上：兩公司月利潤差的最大值為33150元．23．（10分）問題背景：（1）如圖1，等邊△ABC，點P在△ABC左側且∠APC＝30°，將△APC繞點A順時針旋轉60°，畫出圖形．探究思考：（2）在（1）的條件下，求證：PB＝AC；拓展創(chuàng)新：（3）如圖2，等邊△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接寫出BM的長219或2．【解答】（1）解：如圖所示，（2）證明：如圖2，連接PP'，由旋轉得，AP'＝AP，∠PAP'＝60°，∠AP'B＝∠ABC＝30°，∴△APP'是等邊三角形，∴∠AP'P＝60°，AP＝AP'＝PP'，∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°，∵AP'＝PP'，∠PP'B＝∠AP'B，BP'＝BP'，∴△AP'B≌△PP'B（SAS），∴PB＝AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∴PB＝AC．（3）解：當點M在AC的右側時，如圖3，將△ACM繞點A順時針旋轉60°得到△ABG，連接CG，過點B作MH⊥BG，交BG的延長線于點H，設AG交BC于點T，由旋轉得，AG＝AM，∠MAG＝60°，∠AGB＝∠AMC＝60°，BG＝CM＝4，∠ABG＝∠ACM，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∵∠BTG＝∠ATC，