高中數(shù)學(xué)空間向量及其運(yùn)算公開課優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

課題：空間向量及其線性運(yùn)算（人教A版3.1.1+3.1.2部分內(nèi)容）＞教學(xué)內(nèi)容解析：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書?數(shù)學(xué)（選修2-1）》（人教A版）第3章“空間向量與立體幾何”第1節(jié)“空間向量及其加減運(yùn)算”和第2節(jié)“空間向量的數(shù)乘運(yùn)算”的部分內(nèi)容。向量是既有大小又有方向的量，既能像數(shù)一樣進(jìn)行運(yùn)算本身又是一個(gè)“圖形”所以它可以作為溝通代數(shù)和幾何的橋梁在很多數(shù)學(xué)問題的解決中有著重要的應(yīng)用。本章要學(xué)習(xí)的空間向量將為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供一個(gè)十分有效的工具。本小節(jié)的主要內(nèi)容可分為兩部分一是空間向量的相關(guān)概念；二是空間向量的線性運(yùn)算。空間向量為處理立體幾何問題提供了新的視角，本課作為章節(jié)的起始課，是學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的基礎(chǔ)之后展開的，經(jīng)歷了向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程，既復(fù)習(xí)鞏固了平面向量的有關(guān)內(nèi)容，又為后面用向量解決立體幾何問題做好鋪墊，起到承前啟后的作用。教學(xué)過程中應(yīng)充分讓學(xué)生類比猜想、自主探索，得出相應(yīng)的法則和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)類比、歸納、推廣、化歸等思想方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。＞學(xué)情分析：.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念及其相關(guān)運(yùn)算，為本節(jié)空間向量及其線性運(yùn)算的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。.學(xué)生在探究問題以及合作交流的意識(shí)等方面，發(fā)展不夠均衡，尚有待加強(qiáng)，必須在教師一定的指導(dǎo)下才能進(jìn)行。＞教學(xué)目標(biāo)：.知識(shí)與技能目標(biāo)：（1）了解空間向量的概念；（2）掌握空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算；（3）掌握空間向量的運(yùn)算律。.過程與方法目標(biāo)：（1）理解空間向量的概念，掌握空間向量的表示方法；（2）會(huì)用圖形說明空間向量加法，減法，數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；（3）用空間向量的運(yùn)算及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何問題。.情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：（1）形成事物與事物之間普遍聯(lián)系及其相互轉(zhuǎn)化的辨證觀點(diǎn)；（2）通過變式訓(xùn)練，提高學(xué)生對(duì)事物個(gè)性與共性之間聯(lián)系的認(rèn)識(shí)水平。＞教學(xué)重點(diǎn)：空間向量的線性運(yùn)算；＞教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)類比的數(shù)學(xué)方法；（平面向量向空間向量的推廣過程中學(xué)生對(duì)于其相同點(diǎn)與不同點(diǎn)的理解有一定的困難）

＞教學(xué)策略：多媒體教學(xué)、問題式教學(xué)、講授法、類比法、討論法、自主學(xué)習(xí)、合作探究＞教學(xué)設(shè)計(jì):.教學(xué)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì).教學(xué)過程設(shè)計(jì)＞ （一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課國(guó)慶期間，某游客從上海世博園（。）游覽結(jié)束后乘車到外灘（A）觀賞黃浦江，然后抵達(dá)東方明珠（B）游玩，如圖1，游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來表示這個(gè)過程?圖1圖2過程?圖1圖2如果游客還要登上東方明珠頂端（。）俯瞰上海美麗的夜景，如圖2,那它實(shí)際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢?設(shè)計(jì)意圖及效果評(píng)價(jià)：圖1中的引入情境即為必修四中“平面向量”章節(jié)的引入情境，于學(xué)生而言，非常熟悉。課堂上追問學(xué)生，若登頂東方明珠D又該如何表示，既貼近學(xué)生生活實(shí)際又自然將平面向量拓展到空間向量，既揭示了學(xué)習(xí)空間向量的必要性，又激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也為后續(xù)空間向量的加法運(yùn)算做了鋪墊（尤其是在驗(yàn)證空間向量的加法結(jié)合律）。課堂教學(xué)中，起到了很好的引入效果.（二）精讀教材，概念類比?問題一：基本概念的類比平面向量空間向量定義既有大小又有方向的量平移自由向量，平移后不發(fā)生改變表示法幾何表示：f字母表示：a，AB向量的模向量的大?。骸?a，AB相等向量方向相同且長(zhǎng)度相等相反向量方向相反且長(zhǎng)度相等單位向量長(zhǎng)度為1的向量零向量長(zhǎng)度為0的向量設(shè)計(jì)意圖及效果評(píng)價(jià)：學(xué)生對(duì)平面向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)比較了解，空間向量的知識(shí)結(jié)構(gòu)和它有很多的相似性，與其再次由教師喋喋不休地重復(fù)，不如讓學(xué)生自己去閱讀、比較、辨別、思悟。（三）跳出平面，明確概念給出以下命題：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)、終點(diǎn)相同；—?— —?—? —f②若空間向量〃和b滿足ab，則a=b；③空間中任意兩個(gè)單位向量必相等；④空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量。其中正確命題的個(gè)數(shù)是.設(shè)計(jì)意圖及效果評(píng)價(jià)：此環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)，以題目形式出現(xiàn)，第一：讓學(xué)生明確空間向量的基本概念和平面向量是一樣的，讓學(xué)生在不知不覺中“跳出平面，踏入空間？第二：對(duì)于跟蹤練習(xí)的繳個(gè)問題是下面在運(yùn)算法則和運(yùn)算律類比中非常重要的一個(gè)結(jié)論，高中階段學(xué)習(xí)的向量是“自由向量”，所以任意兩個(gè)空間向量都可以“平移”到同一個(gè)平面內(nèi)，之所以沒有單獨(dú)拿出來作為思考進(jìn)行，是因?yàn)橄胱寣W(xué)生在不知不覺中完成平面向量到空間向量的思維跨越，同時(shí)也自然銜接到下面的類比當(dāng)中。

> （四）合作交流，運(yùn)算類比?問題二：線性運(yùn)算法則的類比平面向量空間向量加法運(yùn)算三角形法則或平行四邊形法則減法運(yùn)算三角形法則數(shù)乘運(yùn)算￡（k為正數(shù)，負(fù)數(shù)，零）?問題三：運(yùn)算律的類比平面向量空間向量加法交換律—?—?—?-?a+b=b+a/\/\加法結(jié)合律a（j+b）+c=a+k+JZ X數(shù)乘分配律和結(jié)合律九％+b）=Xa+九b九Qa）=（巾）a設(shè)計(jì)意圖及效果評(píng)價(jià)：學(xué)生明確了任意兩個(gè)空間向量都可以“平移”到同一個(gè)平面內(nèi)的結(jié)論后，那么涉及兩個(gè)空間向量的運(yùn)算法則和運(yùn)算律的問題，顯而易見是可以平穩(wěn)對(duì)接的，教學(xué)過程中讓學(xué)生合作交流，相互傾聽彼此的聲音。實(shí)際教學(xué)的小組討論中出現(xiàn)疑義較多的還是關(guān)于加法結(jié)合律是否需要圖形驗(yàn)證的問題，有的說需要有的說不需要，最后多數(shù)小組討論確定的結(jié)果是不用進(jìn)行驗(yàn)證，原因就是先算兩個(gè)向量的和，這樣這個(gè)“和向量”和另外一個(gè)向量的結(jié)合還是兩個(gè)向量的問題，故此不用驗(yàn)證。聽上去很有道理，學(xué)生還都認(rèn)可，其實(shí)仔細(xì)一想，他們犯了概念中“偷梁換柱”的錯(cuò)誤，審題出錯(cuò)了。學(xué)生說的是求空間三個(gè)向量和的問題，可是要是能夠更順理成章的進(jìn)行運(yùn)算，必須要保證加法結(jié)合律在空間依舊成立才是可以的。接下來借助引例中的圖2,讓同桌二人分工協(xié)作，一個(gè)用圖形求左邊的向量，一個(gè)求右邊的向量，很輕松的驗(yàn)證成功，同時(shí)讓學(xué)生把兩個(gè)圖放到一起就看出了四面體這個(gè)空間幾何體，又一次跳出平面，跨入了空間。經(jīng)歷了結(jié)合律圖形驗(yàn)證后，拋出任意三個(gè)不共面的向量和如何計(jì)算？利用平行六面體進(jìn)行求和，再一次驗(yàn)證了結(jié)合律的正確性，同時(shí)又得到了第2個(gè)重要的結(jié)論：“三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的體對(duì)角線所表示的向量。”> （五）獨(dú)立思考，形成結(jié)論結(jié)論1:空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量;結(jié)論2：三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的體對(duì)角線所表示的向量。設(shè)計(jì)意圖及效果評(píng)價(jià)：給學(xué)生一些消化的時(shí)間，歸納到個(gè)人知識(shí)體系中，也為后面題組訓(xùn)練打好鋪墊。> （六）題組鞏固，深化理解ACMB題組1：如右圖，在三棱柱ABC-A151cl中，M為BB1的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量：ACMB1、CB+BA；12、Ac+CB+-AA；TOC\o"1-5"\h\z2 13、AA-AC-CBA變題：1、OAi+Aa+ATaT+???+ATX=、OA+AA+AA+???+AO= 。1 12 23 nOI=OJ=OK=1，點(diǎn)E，題組2：如圖，在長(zhǎng)方體OADB-CA1。產(chǎn)］中，OA=3，OBOI=OJ=OK=1，點(diǎn)E，OK=k，試用7，7，k表示OE和OF。FOK=k，試用7，7，k表示OE和OF。變題：1、點(diǎn)F為D1B1的三等分點(diǎn)（靠近BJ，表示OF？2、點(diǎn)F為D1B1的四等分點(diǎn)（靠近BJ，表示OF？3、點(diǎn)F為D1B1的n等分點(diǎn)（靠近B1），表示OF3、拓展：若點(diǎn)F是空間中任意一點(diǎn)，能否用7，7，k表示?設(shè)計(jì)意圖及效果評(píng)價(jià)：題組一旨在幫助學(xué)生熟練空間向量的線性運(yùn)算法則，并借助空間幾何體增強(qiáng)學(xué)生對(duì)空間向量線性運(yùn)算的直觀感知；題組二表明向量of可以用三個(gè)兩兩互相垂直的單位向量7，］，k線性表示，為后面學(xué)習(xí)空間向量基本定理以及正交分解和坐標(biāo)表示作好鋪墊；課堂教學(xué)中先練后評(píng)，及時(shí)反饋。題組二中的三個(gè)變題旨在讓F動(dòng)起來，依舊可以完成要求。既體現(xiàn)了從特殊到一般的歸納推理，同時(shí)又加強(qiáng)了空間向量運(yùn)算的直觀感知（首尾相連，連首尾）。繼而推廣為一般性的提問，若點(diǎn)F是空間任意一點(diǎn)，能否用用7，j，k表示向量OF？這樣的教學(xué)不僅為后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)作好鋪墊，也指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在研究問題方法上進(jìn)行遷移。（七）總結(jié)整理，提高認(rèn)識(shí)1、學(xué)生總結(jié)（提示學(xué)生從知識(shí)和思想方法上進(jìn)行總結(jié)梳理）2、教師總結(jié)（體現(xiàn)在板書的生成上，主要讓學(xué)生明確本節(jié)課的體系，讓學(xué)生明確研究問題的基本思路和方法）（八）布置作業(yè)，獨(dú)立探究書面作業(yè)：課本第89頁(yè)第1、2題；（必做）研究性學(xué)習(xí)：類比平面向量基本定理，你能得到空間向量平面定理嗎？（從研究方法、研究過程和結(jié)論進(jìn)行類比）3.板書設(shè)計(jì)本節(jié)課是空間向量及其運(yùn)算的起始課,講課老師創(chuàng)造性的使用教材，不拘泥于教材的框架，既把握了本節(jié)課的核心又為以后的學(xué)習(xí)打好了很好的鋪墊。尤其是整堂課主線清晰，板書生成的過程美輪美奐,有種看“美國(guó)大片”的感覺。課堂上，學(xué)生驗(yàn)證空間向量運(yùn)算法則（尤其是加法結(jié)合律）時(shí),如何作圖超出學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，教學(xué)中講課老師用引例的鋪墊以及整個(gè)教學(xué)“跳出平面，踏入空間”的思維引領(lǐng)，“逼迫”學(xué)生突破原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)造四面體和平行