高中數(shù)學(xué)隨機(jī)變量及概率分布

12.4隨機(jī)變量及概率分布一、填空題.下列變量為離散型隨機(jī)變量的是.①擲10枚硬幣出現(xiàn)的正面?zhèn)€數(shù)與負(fù)面?zhèn)€數(shù)之和②某機(jī)場每天正常情況下起飛的飛機(jī)數(shù)③某公司辦公室每天收到電話的次數(shù)④高三(9)班某學(xué)生的身高解析①、②、④中的隨機(jī)變量結(jié)果無法按一定次序一一列出，故X不是離散型隨機(jī)變量；③中的隨機(jī)變量的可能取的值都可以按一定次序一一列出，故它是離散型隨機(jī)變量.答案③.袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個(gè)號(hào)碼，任意抽取2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球號(hào)碼之和為X，則X的所有可能取值個(gè)數(shù)為.解析X的可能取值為1+2=3,1+3=4,1+4=5=2+3,1+5=6=4+2,2+5=7=3+4,3+5=8,4+5=9,共7種.答案7.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=上(k=1,2,3),則P(X=2)等于2a. 1 2 3 , 1解析：_+_+2=1,，a=3,P(X=2)=1.2a2a2a 3答案13.一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X=4)的值為解析用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.當(dāng)』時(shí),說明取出的3個(gè)球有2個(gè)舊球，1個(gè)新球,???3=4)=于=忌.12答案27220

答案27220c ..設(shè)隨機(jī)變量X的概念分布P(X=k)= ,k=0、1、2、3,則。=K十1cccc解析由P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1得：不十5十百十五=1，12 3 412?C—25.12答案25.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率為失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X=0)的值為解析設(shè)X的概率分布為:即“即“X=0”表示試驗(yàn)失敗，“X=1”表示試驗(yàn)成功，設(shè)失敗的概率為p,成功的X01PP2p概率為2P.由p+2P=1,則答案3.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了X次球，則P(X=12)等于解析“X=12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白—— 、3(3"51 (3\(5)球，因此P(X=12)=^C9-9-2=C9-10-2.8111MIM nIMIM… (3](5\答案C97710-211fi87.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(XW1)等于.C1C24解析P(XW1)=1—P(X=2)=1一~^=(C3 56答案45 3 —.連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直至擊中為止，已知一次射擊命中目標(biāo)的概率為p則射擊次數(shù)為3的概率為.解析“X=3”表示“前兩次未擊中，且第三次擊中”這一事件，1133則PMDqX^X廠疝... 3答案疝64 i J1一7、.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=而，(i=1,2,3,4),則P5<X<5=TOC\o"1-5"\h\z10 V2 27(1 7、 3\o"CurrentDocument"解析P9<X<?=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=l12 2/ 53答案35.如圖所示，A、B兩點(diǎn)5條連線并聯(lián)，它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)通過的最大信息總量為X,則P(XN8)=.解析法一由已知，X的取值為7,8,9,10,TOC\o"1-5"\h\z… 、C2C11… 、C2C1+C2C1 3.P(X=7)=力="P(X=8)=21 22=C35 C3 1O5 5C1C1C12 C2C11P(X=9)=^^=1,P(X=10)=k=C3 5 C310???X的概率分布為X78910P1321510510TOC\o"1-5"\h\z 3 2 14???P(XN8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=m+m+10二

法二P法二P(XN8)=1—P(X=7)=1C2C14―□——a--2-2-C3 5.5答案5.甲、乙兩隊(duì)在一次對(duì)抗賽的某一輪中有3個(gè)搶答題，比賽規(guī)定：對(duì)于每一個(gè)題，沒有搶到題的隊(duì)伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯(cuò)誤的扣1分（即得一1分）.若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時(shí)的得分（分?jǐn)?shù)高者勝），則X的所有可能取值是.解析X=—1,甲搶到一題但答錯(cuò)了.X=0,甲沒搶到題，或甲搶到2題，但答時(shí)一對(duì)一錯(cuò).X=1時(shí)，甲搶到1題且答對(duì)或甲搶到3題，且一錯(cuò)兩對(duì)，X=2時(shí)，甲搶到2題均答對(duì).X=3時(shí)，甲搶到3題均答對(duì).答案一1,0,1,2,3.從三名男同學(xué)和n名女同學(xué)中任選三人參加一場辯論賽，已知三人中至少有341人是女生的概率是正.則n= .35C3解析二人中沒有女生的概率為c*.n+3C3???三人中至少有一人是女生的概率為：1—『C3n+3C3 34由題意得：1—L=證.解得n=4.C3 35n+3答案4二、解答題.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：（1）2X+1的分布列；（2）|X一1|的分布列.解析由分布列的性質(zhì)知：0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,，m=0.3.

首先列表為:X012342X+113579|X-1110123從而由上表得兩個(gè)分布列.(1)2X+1的分布列：2X+113579P0.20.10.10.30.3(2)|X—1|的分布歹列:|X-110123P0.10.30.30.3.某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)X的分布列.解析容易求出X取1,2,3,4時(shí)的概率分別為0.9,0.09,0.009,0.0009,當(dāng)X=5時(shí)，只要前四次射不中，都要射第5發(fā)子彈，不必考慮第5發(fā)子彈射中與否，所以P(X=5)=0.0001,從而知耗用子彈數(shù)X的分布列為X12345P0.90.090.0090.00090.0001.在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某10張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒有獎(jiǎng).某顧客從此10張獎(jiǎng)券中任抽2張，求：(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率；⑵該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X元的概率分布.解析(1)該顧客中獎(jiǎng)，說明是從有獎(jiǎng)的4張獎(jiǎng)券中抽到了1張或2張，由于是等可能地抽取，所以該顧客中獎(jiǎng)的概率nC1C1+C2302P 4=C2 453,10( C2 152A或用間接法，即p=i—*=1—15=2.I C2 453)10(2)依題意可知，X的所有可能取值為0,10,20,50,60(元)，且P(X0)C0C21C1C12二—^~6=C2TT,P(X10)二一3-6二C2二口351010P(X20)C21P(X50)C1C12C21015,^^6:C210二15P(X=60)=*=A10所以X的概率分布為:X010205060P1212135151515.甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到A,B,C,D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率；⑵求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；⑶設(shè)隨機(jī)變量X為這五名志愿者中參加A崗位服務(wù)的人數(shù)，求X的概率分布. A3 1解析(1)記甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)為事件E,那么P(E)=六=后，A A C2A44054即甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率是A，A4 1⑵記甲、乙兩人同時(shí)參加同一個(gè)崗位服務(wù)為事件E,那么P(E)=江=-,C2A41054所以甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率— 9P(E)=1—P(E)=10，⑶隨機(jī)變量X可能取的值為1,2,事件“X=2”是指有兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)，則P(X=2)=CA3=J.C2A44

54.. . . 3所以P(X=1)=1—P(X=2)=4X的概率分布是□二□31-18.某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定：每位考試者一年之內(nèi)最多有4次參加考試的機(jī)會(huì)，一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考試，設(shè)他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù)X的概率分布，并求李明在一年內(nèi)領(lǐng)到駕照的概率.解析X的取值分別為1,2,3,4.X=1,表明李明第一次參加駕照考試就通過了，故P(X=1)=0.6.X=2,表明李明在第一次考試未通過，第二次通過了，故P(X=2)=(1-0.6)X0.7=0.28.X=3,表明李明在第一、二次考試未通過，第三次通過了，