習(xí)題2：點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系全章綜合測試

(時(shí)間90分鐘，總分120分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分)1．(2022·山西四校第二次聯(lián)考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題不正確的是()A．若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥αB．若m⊥β，α⊥β，則m∥α或m?αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥βD．若m∥α，α⊥β，則m⊥β解析：對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)直線m位于平面β內(nèi)且與平面α、β的交線平行時(shí)，直線m∥α，顯然m與平面β垂直．因此選項(xiàng)D不正確．答案：D2．若直線a與平面α不垂直，那么平面α內(nèi)與直線a垂直的直線有()A．0條 B．1條C．無數(shù)條 D．不確定解析：平面α內(nèi)與a垂直的有無數(shù)條直線．答案：C3．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線AA1與BC1所成的角為()A．60° B．45°C．30° D．90°解析：∵AA1∥BB1，∴異面直線AA1與BC1所成角即為∠B1BC1，為45°.答案：B4.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，若E是A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于()A．AC B．BDC．A1D D．A1D1解析：CE?平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.答案：B5．(2022·河南平頂山高一調(diào)研)給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中為真命題的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④解析：①錯(cuò)，只有一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)面平行時(shí)，才能得出這兩個(gè)面互相平行．③錯(cuò)，比如a⊥α，b?α，c?α，顯然有a⊥b，a⊥c，但b與c也可能相交．故②④正確．答案：D6．已知α—l—β是一個(gè)大小確定的二面角，若a，b是空間兩條直線，則能使a與b所成的角為定值的一個(gè)條件是()A．a(chǎn)∥α，且b∥β B．a(chǎn)∥α，且b⊥βC．a(chǎn)⊥α，且b∥β D．a(chǎn)⊥α，且b⊥β解析：由于直線與平面平行時(shí)，直線在空間的方向不確定，所以當(dāng)一條直線確定，而另一條直線的方向可以變化時(shí)，它們所成的角也可能發(fā)生變化，所以排除A、B、C，選D.答案：D7．在空間中，設(shè)m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，給定下列條件：①α⊥β且m?β；②α∥β且m⊥β；③α⊥β且m∥β；④m⊥n且n∥α.其中可以判定m⊥α的有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：只有②可推出m⊥α.答案：A8．下圖所示的四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是()解析：B中AB與CD成60°角，C中AB與CD成45°角，D中AB與CD所成角的正切值為eq\r(2)，A中設(shè)CD所在的正方形另一對(duì)角線為BE，易證CD⊥面ABE，故應(yīng)選A.答案：A9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則在四面體ABCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：易知：△BCD中，∠DBC＝45°，∴∠BDC＝90°，又平面ABD⊥平面BCD，而CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴AB⊥CD，而AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.答案：D10．已知：平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取線段AB＝4，AC、BD分別在平面α和平面β內(nèi)，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝12，則CD的長度()A．13 \r(151)C．12eq\r(3) D．15解析：如圖，連AD.∵α⊥β，∴AC⊥β，DB⊥α，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(42＋122)＝eq\r(160).在Rt△CAD中，CD＝eq\r(AC2＋AD2)＝eq\r(32＋160)＝13.答案：A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中橫線上)11．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四邊形ABCD一定是________．解析：如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊥BD.答案：菱形12．長方體ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1內(nèi)，MN⊥BC于M，則MN與AB的位置關(guān)系是______．解析：由平面BCC1B1⊥面ABCD知MN⊥面ABCD.∴MN⊥AB.答案：垂直13．如圖，四棱錐S—ABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論①AC⊥SB②AB∥平面SCD③SA與平面ABD所成的角等于SC與平面ABD所成的角④AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角．其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析：易知結(jié)論①②正確，③中，SA與平面ABD所成的角就是∠SAD，SC與平面ABD所成的角就是∠SCD，易知這兩個(gè)角相等．④中，AB與SC所成的角等于∠SCD，而DC與SA所成的角是∠SAB，這兩個(gè)角不相等．答案：①②③14．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A—BD—C，有如下三個(gè)結(jié)論．①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；說法正確的命題序號(hào)是________．解析：如圖所示，①取BD中點(diǎn)E，連接AE，CE，則BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正確．②設(shè)正方形的邊長為a，則AE＝CE＝eq\f(\r(2),2)a.由①知∠AEC＝90°是直二面角A—BD—C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD是等邊三角形，故②正確．③由題意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB與平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正確．答案：①②三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分12分)(2022·江蘇高考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.證明：(1)在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD的中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因?yàn)镕是AD的中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因?yàn)锽F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.16．(本小題滿分12分)(2022·煙臺(tái)調(diào)研)如圖，在矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.(1)求證：AE⊥平面BCE；(2)求證：AE∥平面BFD.證明：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC∴BC⊥平面ABE，則AE⊥BC又∵BF⊥平面ACE，∴AE⊥BF∴AE⊥平面BCE.(2)依題意可知：G是AC的中點(diǎn)，∵BF⊥平面ACE，∴CE⊥BF.又BC＝BE，∴F是EC的中點(diǎn)．在△AEC中，連接FG，則FG∥AE.又AE?平面BFD，F(xiàn)G?平面BFD，∴AE∥平面BFD.17．(本小題滿分12分)底面是平行四邊形的四棱錐P—ABCD，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.問：在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．解：如圖所示，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，過點(diǎn)B作OE的平行線交PD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GF∥CE交PC于點(diǎn)F，連接BF.∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，∴BG∥平面AEC.同理GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G，∴平面BFG∥平面AEC，BF?平面BFG.∴BF∥平面AEC.下面求點(diǎn)F在PC上的具體位置：∵BG∥OE，O是BD的中點(diǎn)，∴E是GD的中點(diǎn)．又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中點(diǎn)．而GF∥CE，∴F為PC的中點(diǎn)．綜上可知，存在點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC.18．(本小題滿分14分)(2022·浙江金華)如圖1所示的等邊△ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC、BC邊的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ABC沿CD折疊成如圖2所示的直二面角A—DC—B.(1)試判斷折疊后直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求四面體A—DBC的外接球體積與四棱錐D—ABFE的體積之比．解：(1)如圖所示，∵E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，∴AB∥EF，∵AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)以DA，DB，DC為棱補(bǔ)成一個(gè)長方體，則四面體A—DBC的外接球即為長方體的外接球．設(shè)球的半徑為R，則a2＋a2＋3a2＝(2R)2，∴R2＝eq\f(5,4