專題36 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用-學(xué)會(huì)解題之高三數(shù)學(xué)萬能解題模板【2022版】（解析版）

專題36空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【高考地位】空間向量是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，作為工具性作用，尤其在立體幾何中的應(yīng)用是最為典型的，主要體現(xiàn)在三方面：確定空間中的位置關(guān)系，求解空間角，解決立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)變量問題.類型一向量法求解位置關(guān)系萬能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景空間中位置關(guān)系較為抽象解題模板第一步建立空間直角坐標(biāo)系；第二步確定所需點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方向向量與法向量等；第三步結(jié)合向量結(jié)論及判定定理確定結(jié)果.例1．如圖，在正方體AC1中，PQ與直線A1D和AC都垂直，則直線PQ與BD1的關(guān)系是（）A．異面直線B．平行直線C．垂直不相交D．垂直且相交【答案】B【分析】在正方體中，建立以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)滿足的條件求得，從而求得其與的關(guān)系，判斷兩直線的關(guān)系.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，取D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建系后如圖所示：則，，，，，＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，設(shè)＝(a，b，c)，則取＝(1，1，－1)，∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，∴∥，∴PQ∥BD1.故選：B例2．（多選）如圖，已知在長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．四棱錐的體積為B．存在唯一的點(diǎn)，使截面四邊形的周長(zhǎng)取得最小值C．當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，在直線上存在點(diǎn)，使得D．存在唯一一點(diǎn)，使得平面，且【答案】ABC【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；將長(zhǎng)方體的側(cè)面和沿棱展開到同一平面，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用勾股定理求出的長(zhǎng)，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用空間向量法可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】長(zhǎng)方體中，，，，對(duì)于A，，，平面，平面，故平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，如圖1所示，平面，平面，則，，平面，且，故，同理可得，所以，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，同理可得，故四邊形為平行四邊形，則四邊形的周長(zhǎng)為，將長(zhǎng)方體的側(cè)面和沿棱展開到同一平面內(nèi)，如圖2所示，則的最小值為展開面中的長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，所以四邊形的周長(zhǎng)的最小值為，B對(duì)；對(duì)于，，即，所以，，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)，則，，，因?yàn)槠矫?，則，解得，即，D錯(cuò).故選：ABC.【變式演練1】如圖，在正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別為棱的中點(diǎn)，若平面，則_______．【來源】浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【答案】【分析】以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,用向量法求解.【詳解】如圖所示,以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,可得設(shè)，可得可得,可得.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，即不妨令x=-2，則.因?yàn)槠矫?，所以，解得：，?故答案為：.類型二向量法求解空間角萬能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景空間角難以作出解題模板第一步建立空間直角坐標(biāo)系；第二步確定所需點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方向向量與法向量等；第三步結(jié)合向量結(jié)論及相關(guān)取值范圍確定結(jié)果.例3．（多選）如圖，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD//BC，AD⊥AB，AE=BC=2，AB=AD=1，，則（）A．BD⊥ECB．BF//平面ADEC．二面角E-BD-F的余弦值為D．直線CE與平面BDE所成角的正弦值為【來源】湖北省九師聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期8月開學(xué)考數(shù)學(xué)試題【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，逐項(xiàng)驗(yàn)證，即可求解.【詳解】以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2），F(xiàn)（1，2，），=（-1，1，0），=（1，2，-2），，則BD，EC不垂直，則A錯(cuò)誤；（1，0，0）是平面ADE的法向量，又=（0，2，），可得=0，又因?yàn)橹本€BF平面ADE，所以BF//平面ADE，則B正確；設(shè)為平面BDF的一個(gè)法向量，則即令b=1，可得，.依題意，=（-1，1，0），=（-1，0，2），=（-1.-2.2）.設(shè)為平面BDE的法向量，則即令z=1，可得.所以，.則C正確；，則D錯(cuò)誤.故選BC.【變式演練2】（多選）如圖，四邊形ABCD中，，，，，將沿AC折到位置，使得平面平面ADC，則以下結(jié)論中正確的是（）A．三棱錐的體積為8B．三棱錐的外接球的表面積為C．二面角的正切值為D．異面直線AC與所成角的余弦值為【來源】浙江省名校協(xié)作體2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【答案】ABC【分析】對(duì)于A，先四邊形ABCD中，利用已知條件結(jié)正弦定理求出的長(zhǎng)，過作于，則可求出，從而可求出三棱錐的體積，對(duì)于B，在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，設(shè)為的外心，三棱錐外接球的半徑為，球心為，設(shè)，則，從而可求出，進(jìn)而可得三棱錐的外接球的表面積，對(duì)于C，過作于，連接，則可得為二面角的平面角，從而可求得結(jié)果，對(duì)于D，如圖建立空間直角坐標(biāo)，利用空間向量求解即可【詳解】過作于，在中，因?yàn)椋?，，由正弦定理?即，解得，所以，，因?yàn)?所以，由正弦定理得，即，解得，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭DC，平面平面，，所以平面ADC，所以三棱錐的體積為，所以A正確，設(shè)為的外心，外接圓半徑為，由余弦定理得所以，由正弦定理得，所以，取的中點(diǎn)，連接，則，，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為，設(shè)，則，即，解得，，所以三棱錐外接球的表面積為，所以B正確，過作于，連接，因?yàn)槠矫鍭DC，平面ADC，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，所以為二面角的平面角，因?yàn)椋?，所以C正確，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，過作于，則，，則所以設(shè)異面直線AC與所成角為，則，所以D錯(cuò)誤，故選：ABC類型三向量法求解動(dòng)點(diǎn)變量問題萬能模板內(nèi)容使用場(chǎng)景涉及空間中動(dòng)點(diǎn)或變量問題解題模板第一步建立空間直角坐標(biāo)系；第二步確定所需點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方向向量與法向量等；第三步結(jié)合向量結(jié)論及判定定理確定參數(shù)值或范圍.例4．如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，且，，，且（1）設(shè)點(diǎn)M為棱中點(diǎn)，求證平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)N，使得直線與平面所成角的正弦值等？若存在，試求出線段的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【來源】湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期新起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題【答案】（1）證明見解析；（2）存在；或．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明直線，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)空間向量的數(shù)量積即可求解.（2）求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)線面角即可求解.【詳解】證明：（1）∵平面平面，平面平面，，∴平面，又，∴直線，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，∴∴，∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量，∵∴，又平面，∴平面（2）解：∵，設(shè)平面的法向量為，則∴，令，得假設(shè)線段上存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值等于．設(shè)，∴∴∴，或．∴線段上存在兩個(gè)點(diǎn)使當(dāng)或時(shí)，直線與平面所成角的正弦值等于．【變式演練3】如圖所示，已知幾何體EFG－ABCD，其中四邊形ABCD，CDGF，ADGE均為正方形，且邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在邊DG上.（1）求證：BM⊥EF；（2）是否存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°？若存在，確定點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，點(diǎn)M位于DG上，且.【分析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，由于點(diǎn)M在邊DG上，所以可設(shè)M(0,0，t)(0≤t≤1)，表示出和，只要計(jì)算出·＝0，即可得結(jié)論，（2）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°，利用空間向量求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可【詳解】(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD，CDGF，ADGE均為正方形，所以GD⊥DA，GD⊥DC，AD⊥CD，又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，F(xiàn)(0,1,1).因?yàn)辄c(diǎn)M在邊DG上，故可設(shè)M(0,0，t)(0≤t≤1).可得＝(1,1，－t)，＝(－1,1,0)，所以·＝1×(－1)＋1×1＋(－t)×0＝0，所以BM⊥EF.(2)解：假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MB與平面BEF所成的角為45°.設(shè)平面BEF的法向量為，因?yàn)椋?0，－1,1)，＝(－1,0,1)，所以所以令z＝1，得x＝y(tǒng)＝1，所以為平面BEF的一個(gè)法向量，所以，因?yàn)橹本€MB與平面BEF所成的角為45°，所以，所以，解得t＝－4±3.又0≤t≤1，所以t＝3－4.所以存在點(diǎn)M(0,0,3－4).當(dāng)點(diǎn)M位于DG上，且DM＝3－4時(shí)，直線MB與平面BEF所成的角為45°.【高考再現(xiàn)】1．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；（2）設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.2．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）見解析；（2）【分析】因?yàn)槿庵侵比庵?，所以底面，所以因?yàn)?，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，．由題設(shè)（）．（1）因?yàn)?，所以，所以．?）設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．3．（2016年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：①當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成30°角；②當(dāng)直線AB與a成60°角時(shí)，AB與b成60°角；③直線AB與a所成角的最小值為45°；④直線AB與a所成角的最大值為60°.其中正確的是________.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）【答案】②③【分析】：由題意知，a、b、AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1，故|AC|＝1，|AB|，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為x軸，CB為y軸，CA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D（1，0，0），A（0，0，1），直線a的方向單位向量（0，1，0），||＝1，直線b的方向單位向量（1，0，0），||＝1，設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)B′（cosθ，sinθ，0），其中θ為B′C與CD的夾角，θ∈[0，2π），∴AB′在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，（cosθ，sinθ，﹣1），||，設(shè)與所成夾角為α∈[0，]，則cosα|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴③正確，④錯(cuò)誤．設(shè)與所成夾角為β∈[0，]，cosβ|cosθ|，當(dāng)與夾角為60°時(shí)，即α，|sinθ|，∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ|cosθ|，∵β∈[0，]，∴β，此時(shí)與的夾角為60°，∴②正確，①錯(cuò)誤．故答案為②③．4．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內(nèi)接正三角形，為上一點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題設(shè)，知為等邊三角形，設(shè)，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；（2）過O作∥BC交AB于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫?，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以故，設(shè)二面角的大小為，則.5．（2020年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ））如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，．（1）證明：點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）若，，，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）在棱上取點(diǎn)，使得，連接、、、，在長(zhǎng)方體中，且，且，，，且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，且，則四邊形為平行四邊形，因此，點(diǎn)在平面內(nèi)；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，，設(shè)平面的法向量為，由，得取，得，則，設(shè)平面的法向量為，由，得，取，得，，則，，設(shè)二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為.6．（2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）連接，，分別為，中點(diǎn)為的中位線且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則：，，，D（0，-1,0）取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個(gè)法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：【反饋練習(xí)】1．（多選）在正方體中，為的中點(diǎn)，在棱上，下列判斷正確的是（）A．若平面，則為的中點(diǎn)B．平面平面C．異面直線與所成角的余弦值為D．若，則【來源】重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而根據(jù)坐標(biāo)法依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，所以，，，，，，對(duì)于A選項(xiàng)，所以，設(shè)是平面的法向量，則，即，故令，則，所以，解得，此時(shí)為的中點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)是平面的法向量，由于，，則，即，令得，由于所以，所以平面平面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD2．（多選）在棱長(zhǎng)固定的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，，則（）A．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時(shí)，存在使得平面C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A，B到平面的距離相等D．當(dāng)時(shí)，總有【來源】江蘇省蘇州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題【答案】ACD【分析】利用正方體的性質(zhì)可以直接計(jì)算時(shí)，三棱錐的體積判斷A，當(dāng)時(shí)，若平面，可推出與的矛盾，可判斷B，時(shí)，E是AB中點(diǎn)顯然正確，當(dāng)時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出所需各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算可判斷D正確.【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，如圖，對(duì)于對(duì)于B：要使平面，則必須，又，所以需要，所以E在中點(diǎn)，因?yàn)椋耘c不垂直，所以不存在，錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以正確；對(duì)于D：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD3．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為CC1的中點(diǎn)，P，Q是正方體表面上相異兩點(diǎn)，滿足BP⊥A1E，BQ⊥A1E.若P，Q均在平面A1B1C1D1內(nèi)，則PQ與BD的位置關(guān)系是________，的最小值為________.【答案】平行【分析】根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系，通過設(shè)P(a，b，1)，Q(m，n，1)，找出參數(shù)間的關(guān)系，得到，，根據(jù)空間向量共線定理即可判斷；寫出的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解最小值即可.【詳解】①以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，A1(1,0,1)，E，B(1,1,0)，因?yàn)镻，Q均在平面A1B1C1D1內(nèi)，所以設(shè)P(a，b，1)，Q(m，n，1)，則，因?yàn)锽P⊥A1E,BQ⊥A1E，所以，解得，所以，，顯然，PQ與BD的位置關(guān)系是平行.②由①可知：，.所以|根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為.故答案為:①平行;②4．在三棱柱中，平面，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）建立合適空間直角坐標(biāo)系，求解出平面的一個(gè)法向量，通過計(jì)算出與平面法向量的數(shù)量積為證明平面；（2）分別計(jì)算出平面與平面的一個(gè)法向量，然后根據(jù)法向量的數(shù)量積為證明平面平面.【詳解】（1）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，分別是的中點(diǎn)，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，，且平面，平面.（2）由（1）知，設(shè)平面的法向量為，則由，得，取，則，，取平面的一個(gè)法向量為，平面平面.5．已知正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：；（2）若平面平面，試確定點(diǎn)的位置．【答案】（1）證明見解析；（2）E為CC1的中點(diǎn)．【分析】（1）推導(dǎo)出，，從而平面，由此能證明；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，，連結(jié)，，以為原點(diǎn)，、、為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，能使平面平面．【詳解】（1）正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)．，，，平面，平面，．（2）設(shè)的中點(diǎn)為，正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，，連結(jié)，，以為原點(diǎn)，、、為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，1，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，，，，，，，，，，，是二面角的平面角，平面平面，，，解得，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，能使平面平面．6．如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；【來源】江蘇省南京市第十二中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期8月線上月考數(shù)學(xué)試題【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】過作于點(diǎn)，以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，依次寫出、、、、、、的坐標(biāo)．（1）根據(jù)法向量的性質(zhì)求得平面的法向量，由以及線面平行的判定定理即可得證；（2）同理求得平面的法向量，由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出，即可得解；【詳解】解：過作于點(diǎn)，則，以為原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，，，，1，，，0，，為的中點(diǎn)，，，．（1），，，，，，，0，．設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，，1，，，即，又平面，平面．（2）由（1）知，，0，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，，，，，．故平面與平面所成銳二面角的余弦值為．7．如圖，在直三棱柱中，，且，是，的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大?。緛碓础吭颇鲜浝帐械谝恢袑W(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（理）試題【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件得到兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證得，，得到，，然后利用線面垂直的判定定理證得；（２）利用空間向量的垂直的坐標(biāo)表示求得平面的一個(gè)法向量，根據(jù)（1）的結(jié)論得到平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的夾角公式計(jì)算后，求得平面與平面夾角.【詳解】（1）證明：因?yàn)樵谥比庵?，，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.由，知,，，，，∵是，的交點(diǎn)，∴為的中點(diǎn)，又∵是的中點(diǎn)．∴的坐標(biāo)為，，∴，，，∴，，∴，，又∵,∴平面；（2）解：設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,,令則，由（1）得平面的一個(gè)法向量為，∴．∴平面與平面夾角的大小為．8．如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，.問：在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使得CE//平面PAB？若存在，求出E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】存在點(diǎn)E為PD中點(diǎn)時(shí)，CE//平面PAB.【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)直線與平面平行的條件：直線的方向向量與平面的法向量垂直，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】由已知得以AB，AD，AP兩兩垂直，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．∵，∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，設(shè)E(0，y，z)，則＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)，∵E是棱PD上的點(diǎn)，∴∥，∴，即①∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)，∴由CE∥平面PAB，可得⊥，∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中點(diǎn)，此時(shí)，由于平面,∴CE∥平面PAB.故存在滿足題意的點(diǎn)E,使得CE∥平面PAB，且點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn).9．已知某旅游景點(diǎn)有座名山，高約為（單位：千米），從山頂看正東方向（東門）入口的俯角約為，看正南方向（南門）入口的俯角約為，每個(gè)入口都有一條山路直通山頂，為方便游客游覽，景區(qū)計(jì)劃修建一條從南門入口至東線山路中點(diǎn)的纜車索道.（東門與南門在一個(gè)水平面上）（1）求該索道的長(zhǎng)度；（2）求該索道與底面所成角的余弦值.【答案】（1）千米；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意建立合適空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)角度以及長(zhǎng)度標(biāo)記出各點(diǎn)坐標(biāo)，先求解出索道對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，利用向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式可求索道長(zhǎng)度；（2）寫出平面的一個(gè)法向量，然后利用直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值可求索道與底面所成角的正弦值，則對(duì)應(yīng)余弦值可求.【詳解】用表示山高，點(diǎn)和點(diǎn)分別表示南門入口和東門入口，點(diǎn)為中點(diǎn)，則可近似構(gòu)成如圖三棱錐，從山頂看正東方向入口俯角約為，看正南方向入口俯角約為，，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.（1），即該索道的長(zhǎng)度為千米.（2）顯然向量是平面的一個(gè)法向量，設(shè)索道與地面所成角為，則,，即該索道與地面所成角的余弦值為.10．如圖，三棱柱中，平面，，，，為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在側(cè)棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說明理由．【來源】北京市北京二中2021屆高三12月份月考數(shù)學(xué)試題【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在；答案見解析．【分析】（1）連接，與相交于，連接，只需證，然后根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角的余弦值；（3）根據(jù)線面垂直定義的逆用，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，與相交于，連接，∵四邊形是矩形，∴