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經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)10章隨機(jī)變量與數(shù)字特征第五單元分布函數(shù)與函數(shù)的分布一、學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),認(rèn)識(shí)分布函數(shù)的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單的分布函數(shù).知道隨機(jī)變量的函數(shù)仍是隨機(jī)變量,因此知道該函數(shù)有分布.二、內(nèi)容講解.分布函數(shù)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,密度函數(shù)為f(x),則事{X<x}的概率,即P(X<x)」;")dd=F(x)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).有F(x)=f(x)(在f(x)的連續(xù)點(diǎn))幾何上看: 了十AF(x)V_f(x)0x x事件{X<x}的概率,等于由一8至x,密度f(x)與x軸圍成的面積..隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是隨機(jī)變量,廠屋x)是一個(gè)函數(shù),如果當(dāng)隨機(jī)變量X取值x時(shí),隨機(jī)變量y按廠屋x)取值,則稱y為隨機(jī)變量X的函數(shù),記作y=g(X)如果X是離散型隨機(jī)變量,其概率分布為P(X=xk)=pk(k=1,2,…),則隨機(jī)變量y的概率分布為p(y=yk)=p(y=g(xk))=pk(k=1,2,…)問題思考:連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=If(x)dx,其中密度函數(shù)f(x)可以大于1,那么F(x)可以大于1嗎?312經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 10章隨機(jī)變量與數(shù)字特征答案不可以.因?yàn)榉植己瘮?shù)是事件{X<燈的概率,概率顯然只能是大于或等于0,小于或等1的數(shù)值.三、例題講解例1:求二點(diǎn)分布的分布函數(shù).解:二點(diǎn)分布的概率分布為工P(X=x)k刀布函數(shù)F(x)=P(X<x)—xk<x .當(dāng)x<0時(shí),事件{X=0}不包含在事件{X<x}內(nèi).F(x)=P(X<x)=0當(dāng)0<x<1時(shí),事件{X<x}={—8<X<0uX=0u0<X<x},所以F(x)=P(X<x)=P(—s<X<0)+P(X=0)+P(0<X<x)=0+1—p+0=1-p當(dāng)x>1時(shí),有F(x)=P(X<x)=P(—8<X<0)+P(X=0)+P(0<X<1)+P(X=1)+P(1<X<x)=0+1—p+0+p=1‘0 x<0<1—p 0<x<1于是二點(diǎn)分布的分布函數(shù)為F(x)=1 x>1二點(diǎn)分布的分布函數(shù)F(x)圖形如下:313
經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)10章隨機(jī)變量與數(shù)字特征二點(diǎn)分布的分布函數(shù)圖經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)10章隨機(jī)變量與數(shù)字特征二點(diǎn)分布的分布函數(shù)圖可見,二點(diǎn)分布的分布函數(shù)是一個(gè)右連續(xù)的曲線.任何離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)都是右連續(xù)的分段函數(shù).例2:求均勻分布的分布函數(shù).解:均勻分布的密度函數(shù)為f解:均勻分布的密度函數(shù)為f(x)=1其他分布函數(shù)F(x)=P(X<x).當(dāng)x<當(dāng)x<a時(shí),f(x)=0,F(x)=P(X<x)Jxf(x)dxJx0dx=0=-81當(dāng)a<x<b時(shí),f(x)=b-a,事件{X<x}={—8<X<a}u{a<X<x}=-8F(x)=P(X<x)=P(—8<X<a)+P(a<X<x)Jaf(x)dx+Jxf(x)d=-8a x1 x-a0dx+ dx=一=-8 ab一a b一a當(dāng)x>b時(shí),F(xiàn)(x)=P(X<x)=P(—8<X<a)+P(a<X<b)+P(b<X<x)Ja0dx+Jb--—dx+Jx0dx=-8ab-ab=1314
,F(x)的圖形如下:經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) ,F(x)的圖形如下:]F(x)=所有連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)都是一個(gè)連續(xù)曲線.例3:已知隨機(jī)變量X的概率分布X025p111pk424求Y=2X+1的概率分布.分析:按照隨機(jī)變量函數(shù)的定義,已知X的概率分布P(X=xk)=pk.那么Y的取值正是yk=g(xk),而P(Y=yk)與P(X=xk)是相同的.kk k k解:已知隨機(jī)變量X的概率分布,求隨機(jī)變量函數(shù)Y的概率分布.按所給公式,y=2x+1,于是P(Y=yk)=P(Y=g(x))=P(Y=2xk+1)=pk因?yàn)閄025pk111424當(dāng)x=0,2,5時(shí),y=2x+1=1,5,11,于是得到Y(jié)的概率分布為(已知函數(shù)為y=g(x)=2x+1,故Y的取值就是X的取值的兩倍加1,即Y=1,5,11.概率值與X的取值概率一樣.)Y1511P(Y=y)111k424四、課堂練習(xí)315經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 10章隨機(jī)變量與數(shù)字特征練習(xí)1袋中裝有分別寫上1,2,3,4,5的球.從中一次任取3球,所取3球中最大數(shù)字是一隨機(jī)變量,求該隨機(jī)變量的分布函數(shù).求分布函數(shù),首先求出X的概率分布.為此先確定X的可能取值,再用分布函數(shù)定義求分布函數(shù).一次取3個(gè)球,所以球上數(shù)字不重復(fù),X為3球中最大數(shù)字,故X最小是3.X表示所取3球中最大數(shù)字,X最小取3,還可以取4,5.故X可能取值為3,4,5.2%,0<%<1《―練習(xí)2設(shè)x是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為f(x)=n其匕求隨機(jī)變量X的分布函數(shù).求分布函數(shù)就是按分布函數(shù)的定義,求事件{X<%}的概率,即事件{—8<X<%}的概率.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量,它的分布函數(shù)是密度函數(shù)的一個(gè)變上限的定積分,所以求分布函數(shù)主要是計(jì)算定積分的問題.但是不少的密度函數(shù)是分段函數(shù),要注意密度函數(shù)的變化.此時(shí),密度函數(shù)f%)=0,故F(%)=0五、課后作業(yè).設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X一101Pk111632求隨機(jī)變量X的分布函數(shù). <%<一 <%<一2其他.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(%)=10求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)..設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為316
經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 10章隨機(jī)變量與數(shù)字特征x〈一a<A+Barcsin—
a求:⑴系數(shù)a,b;(2)x取值在(-建)內(nèi)的概率;⑶x的密度函數(shù)..已知隨機(jī)變量X的概率分布為X101234pk111111126312412求:(1)Y==1-X;(2)Z=(X—1)2的概率分布.1.0161211.016121x<一
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