垂徑定理練習題匯總

垂徑定理練習題匯總垂徑定理練習題匯總垂徑定理練習題匯總垂徑定理練習題匯總一．選擇題（共

7小題）1．（2014?涼山州）已知⊙O的直徑的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足為A．cmB．cmC．

CD=10cm，AB是⊙OM，則AC的長為（cm或D．cm或cmcm

）2．（2014?舟山）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE=2，DE=8，則AB的長為（）A．2B．4C．6D．83．（2014?畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知⊙長為24，則點O到AB的距離是（

O的半徑為）

13，弦

ABA．6B．5C．4D．34．（2014?三明）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則以下結(jié)論正確的選項是（）A．OE=BEB．=C．△BOC是等邊三角形D．四邊形ODBC是菱形5．（2014?南寧）在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油今后，截面如圖．若油面的寬AB=160cm，則油的最大深度為（）A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm6．（2014?安順）如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，點B為劣弧AN的中點．P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（）A．B．1C．2D．27．（2014?沛縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，⊙A與x軸交于B（2，0）、C（8，0）兩點，與y軸相切于點D，則點A的坐標是（）A．（5，4）B．（4，5）C．（5，3）D．（3，5）二．解答題（共7小題）8．（2014?佛山）如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．9．（2014?盤錦三模）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為E，，1）求AB的長；2）求⊙O的半徑．10．（2009?長寧區(qū)二模）如圖，點C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延長CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．1）求證：OC=OF；2）求證：AB=DE．11．（2009?浦東新區(qū)二模）一根橫截面為圓形的下水管道的直徑為1米，管內(nèi)有少許的污水（如圖），此時的水面寬AB為0.6米．1）求此時的水深（即暗影部分的弓形高）；2）當水位上升到水面寬為0.8米時，求水面上升的高度．12．（2008?長寧區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O過點B、C，且交邊AB、AC于點E、F，已知∠A=∠ABO，連接OE、OF、OB．1）求證：四邊形AEOF為菱形；2）若BO均分∠ABC，求證：BE=BC．13．（2007?佛山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半徑．14．（2007?青浦區(qū)二模）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（圖中的弧AB），點O是這段弧的圓心，點C是弧AB上的一點，OC⊥AB，垂足為D，如AB=60m，CD=10m，求這段彎路的半徑．參照答案與試題分析一．選擇題（共7小題）1．（2014?涼山州）已知⊙O的直徑的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足為A．cmB．cmC．

CD=10cm，AB是⊙OM，則AC的長為（cm或D．cm或

）cm

cm考垂徑定理；勾股定理．點：專分類談論．題：分先依據(jù)題意畫出圖形，因為點C的地址不可以確立，故應析：分兩種狀況進行談論．解解：連接AC，AO，答：∵⊙O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當C點地址如圖1所示時，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；當C點地址如圖2所示時，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．應選：C．點此題觀察的是垂徑定理，依據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出評：直角三角形是解答此題的要點．2．（2014?舟山）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦AB于點E，且CE=2，DE=8，則AB的長為（）A．2B．4C．6D．8考垂徑定理；勾股定理．點：專計算題．題：分依據(jù)CE=2，DE=8，得出半徑為5，在直角三角形OBE析：中，由勾股定理得BE，依據(jù)垂徑定理得出AB的長．解解：∵CE=2，DE=8，答：∴OB=5，OE=3，∵AB⊥CD，∴在△OBE中，得BE=4，AB=2BE=8．應選：D．點此題觀察了勾股定理以及垂徑定理，是基礎(chǔ)知識要熟練評：掌握．3．（2014?畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知⊙長為24，則點O到AB的距離是（

O的半徑為）

13，弦

ABA．6B．5C．4D．3考垂徑定理；勾股定理．點：分過O作OC⊥AB于C，依據(jù)垂徑定理求出析：股定理求出OC即可．解解：過O作OC⊥AB于C，答：∵OC過O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC=應選：B．

AC，依據(jù)勾=5．點此題觀察了垂徑定理和勾股定理的應用，要點是求出評：OC的長．4．（2014?三明）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，則以下結(jié)論正確的選項是（）A．OE=BEC．△BOC

是等邊三角形

B．=D．四邊形

ODBC

是菱形考垂徑定理．點：分依據(jù)垂徑定理判斷即可．析：解解：∵AB⊥CD，AB過O，答：∴DE=CE，=，依據(jù)已知不可以推出DE=BE，△BOC是等邊三角形，四邊形ODBC是菱形．應選：B．點此題觀察了垂徑定理的應用，主要觀察學生的推理能力評：和辨析能力．5．（2014?南寧）在直徑為200cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油今后，截面如圖．若油面的寬AB=160cm，則油的最大深度為（）A．40cmB．60cmC．80cmD．100cm考垂徑定理的應用；勾股定理．點：分連接OA，過點O作OE⊥AB，交AB于點M，由垂徑析：定理求出AM的長，再依據(jù)勾股定理求出OM的長，進而可得出ME的長．解解：連接OA，過點O作OE⊥AB，交AB于點M，答：∵直徑為200cm，AB=160cm，OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．應選：A．點此題觀察的是垂徑定理的應用，依據(jù)題意作出輔助線，評：構(gòu)造出直角三角形是解答此題的要點．6．（2014?安順）如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點A在⊙O上，∠AMN=30°，點B為劣弧AN的中點．P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（）A．．C．2D．2B1考軸對稱-最短路線問題；勾股定理；垂徑定理．點：分作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接OA、OB、OB′、析：AB′，依據(jù)軸對稱確立最短路線問題可得AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，依據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍求出AON=60°，而后求出∠BON=30°，再依據(jù)對稱性可得∠B′ON=∠BON=30°，而后求出∠AOB′=90°，從而判斷出△AOB′是等腰直角三角形，再依據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB′=OA，即為PA+PB的最小值．解解：作點B關(guān)于MN的對稱點B′，連接OA、OB、答：OB′、AB′，則AB′與MN的交點即為PA+PB的最小時的點，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵點B為劣弧AN的中點，∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由對稱性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=OA=×1=，即PA+PB的最小值=．應選：A．點此題觀察了軸對稱確立最短路線問題，在同圓或等圓中，評：同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍的性質(zhì)，作輔助線并獲取△AOB′是等腰直角三角形是解題的要點．7．（2014?沛縣模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點A在第一象限，⊙A與x軸交于B（2，0）、C（8，0）兩點，與y軸相切于點D，則點A的坐標是（）A．（5，4）B．（4，5）C．（5，3）D．（3，5）考坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理．點：專壓軸題．題：分因為點A在第一象限，⊙A與x軸交于B（2，0）、C（8，析：0）兩點，與y軸相切于點D，因此OB=2，OC=8，BC=6，連接AD，則AD⊥OD，過點A作AE⊥OC于E，則ODAE是矩形，由垂徑定理可知BE=EC=3，因此OE=AD=5，再連接AB，則AB=AD=5，利用勾股定理可求出AE=4，從而就求出了A的坐標．解解：連接AD，AB，AC，再過點A作AE⊥OC于E，答：則ODAE是矩形，∵點A在第一象限，⊙A與x軸交于B（2，0）、C（8，0）兩點，與y軸相切于點D，OB=2，OC=8，BC=6，∵⊙A與y軸相切于點D，AD⊥OD，∵由垂徑定理可知：BE=EC=3，OE=AD=5，AB=AD=5，利用勾股定理知AE=4，∴A（5，4）．應選A．點此題需綜合利用垂徑定理、勾股定理來解決問題．評：二．解答題（共7小題）8．（2014?佛山）如圖，⊙O的直徑為10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，求OP的長度范圍．考垂徑定理；勾股定理．點：專幾何圖形問題．題：分過點O作OE⊥AB于點E，連接OB，由垂徑定理可知析：AE=BE=AB，再依據(jù)勾股定理求出OE的長，由此可得出結(jié)論．解解：過點O作OE⊥AB于點E，連接OB，答：∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直徑為10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂線段最短，半徑最長，∴3cm≤OP≤5cm．點此題觀察的是垂徑定理，依據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出評：直角三角形是解答此題的要點．9．（2014?盤錦三模）如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為E，，1）求AB的長；2）求⊙O的半徑．考垂徑定理；等邊三角形的判斷與性質(zhì)．點：分（1）先依據(jù)CD為⊙O的直徑，CD⊥AB得出=，故析：可得出∠C=∠AOD，由對頂角相等得出∠AOD=∠COE，故可得出∠C=∠COE，再依據(jù)AO⊥BC可知∠AEC=90°，故∠C=30°，再由直角三角形的性質(zhì)可得出BF的長，從而得出結(jié)論；（2）在Rt△OCE中依據(jù)∠C=30°即可得出OC的長．解解：（1）∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，答：∴=，AF=BF，∴∠C=∠AOD，∵∠AOD=∠COE，∴∠C=∠COE，∵AO⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠C=30°，BC=2，∴BF=BC=，∴AB=2BF=2；2）∵AO⊥BC，BC=2，∴CE=BE=BC=，∵∠C=30°，∴OC===2，即⊙O的半徑是2．點此題觀察的是垂徑定理，熟知“均分弦的直徑均分這條評：弦，而且均分弦所對的兩條弧”是解答此題的要點．10．（2009?長寧區(qū)二模）如圖，點C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延長CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．1）求證：OC=OF；2）求證：AB=DE．考垂徑定理；全等三角形的判斷．點：專證明題．題：分（1）、由同角的余角相等可得，∠DFO=∠OCA，由AAS析：證得△ACO≌△DFO，故有OF=OC；2）、證得∠DOE=∠AOB，再由SAS獲取△OAB≌△ODE?AB=DE．解證明：（1）∵∠D+∠DCA=∠D+∠DFO=90°，答：∴∠DFO=∠OAC．又∵OD=OA，∠DOF=∠AOC=90°，∴△ACO≌△DFO．∴OF=OC．2）連接OB、OE，∵OE=OD，OA=OB，∴∠D=∠E，∠A=∠B．∴∠DOE=180°﹣2∠D，∠AOB=180°﹣2∠A．由1知，△ACO≌△DFO，有∠A=∠D．∴∠DOE=∠AOB．又∵OE=OD=OA=OB，∴△OAB≌△ODE．∴AB=DE．點此題利用了同角的余角相等，全等三角形的判斷和性質(zhì)，評：等邊同等角求解．11．（2009?浦東新區(qū)二模）一根橫截面為圓形的下水管道的直徑為1米，管內(nèi)有少許的污水（如圖），此時的水面寬AB為0.6米．1）求此時的水深（即暗影部分的弓形高）；2）當水位上升到水面寬為0.8米時，求水面上升的高度．考垂徑定理的應用．點：分作半徑OC⊥AB，連接OA，則CD即為弓形高．依據(jù)析：垂徑定理的AD=AB，而后依據(jù)已知條件求出CD的長；當水位上升到水面寬MN為0.8米時，直線OC與MN訂交于點P，由此可得OP=0.3，而后依據(jù)MN與AB在圓心同側(cè)或異側(cè)時兩種狀況解答．解解：（1）作半徑OC⊥AB，垂足為點D，連接OA，則答：CD即為弓形高∵OC⊥AB，∴AO=0.5，AB=0.6，∴AD=AB=×0.6=0.3，∴OD===0.4，∴CD=OC﹣OD=0.5﹣0.4=0.1米，即此時的水深為0.1米（2）當水位上升到水面寬MN為0.8米時，直線OC與MN訂交于點P同理可得OP=0.3，當MN與AB在圓心同側(cè)時，水面上升的高度為0.1米；當MN與AB在圓心異側(cè)時，水面上升的高度為0.7米．點此題觀察垂弦定理、圓心角、圓周角的應用能力．評：12．（2008?長寧區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O過點B、C，且交邊AB、AC于點E、F，已知∠A=∠ABO，連接OE、OF、OB．1）求證：四邊形AEOF為菱形；2）若BO均分∠ABC，求證：BE=BC．考菱形的判斷；平行線的判斷與性質(zhì)；角均分線的性質(zhì)；點：等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；圓的認識；垂徑定理．專證明題．題：分（1）連接AO并延長AO交BC于M過O作OQ⊥AB析：于Q，連接OC，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證出∠BAC=∠ABO=∠ACO，推出∠BAC=∠OEB=∠OFC，得出AE∥OF，AF∥OE，再OE=OF，即可推出答案；2）依據(jù)角均分線定理求出OQ=OM，依據(jù)勾股定理求出BQ=BM，依據(jù)垂徑定理即可推出結(jié)論．解證明：（1）連接AO并延長AO交BC于M過O作答：OQ⊥AB于Q，OR⊥AC于R，連接OC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABO=∠ACO，∵∠BAC=∠ABO，∴∠BAC=∠ABO=∠ACO，∵OE=OB，OC=OF，∴∠ABO=∠OEB，∠ACO=∠OFC，∴∠BAC=∠OEB=∠OFC，∴AE∥OF，AF∥OE，∴四邊形AEOF是平行四邊形，∵OE=OF，∴平行四邊形AEOF為菱形．（2）∵圓O過B、C，∴O在BC的垂直均分線上，∵AB=AC，∴AM⊥BC，∵BO均分∠ABC，OQ⊥AB，∴OQ=OM，∴由勾股定理得：BM=BQ，由垂徑定理得：BE=BC．點此題主要觀察對勾股定理，等腰三角形的判斷，菱形的評：判斷，垂徑定理，圓的認識，角均分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判斷等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是證此題的