文科數(shù)學(xué)-第3篇4講1了解函數(shù)yAsinωxφ物理意義能畫出

第4 了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義；能畫出“五點(diǎn)法”作圖的五點(diǎn)是在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)定點(diǎn)：如下表所示x－φωω2ω0πy＝Asin0A00作圖：在坐標(biāo)系中描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，用平滑的曲線順擴(kuò)展：將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴(kuò)展可得＋φ)在R上的圖象函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩TT動(dòng)時(shí)，A叫做振幅 ＋φ叫做相位，φ

叫做周期，f＝1對(duì)圖象變換的認(rèn)

利用圖象變換作圖時(shí)“先平移，后伸縮”與“先伸縮平移”中向左或向右平移的長(zhǎng)度一樣 (× 將y＝sin2x的圖象向右平移3個(gè)單位得到y(tǒng)＝sin2x－3 圖象 (×(3)(2013·湖北卷改編)將函數(shù)y＝3cosx＋sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y稱，則m的最小值是 (√f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)A(× (×(6)(2014·廣州二模改編)y＝cosωx(ω∈N*) 中心是6，0，則ω的最小值為 (√ [感悟·提升圖象變換兩種途徑的區(qū)y＝sinx的圖象，利用圖象變換作函數(shù)ω變換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是|φ|個(gè)單位ω如(1)、兩個(gè)防范一是平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值與A的符號(hào)有關(guān)，如(4)；而y＝Asin(ωx＋y＝Asin(ωx＋φ) 1】y＝2sin2x 說明y＝2sin2x＋3的圖象可由y＝sinx (1)y＝2sin2x＋3A＝2T＝2＝ππ

X＝2x＋3y＝2sin2x＋3＝2sin xπππ36X0π2π2y＝sin0100 0200y＝sin

y＝sinx＋3y＝sinx＋3 1

坐標(biāo)縮短到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin2x＋3的 y＝sin2x＋3 2倍(橫坐標(biāo)不變)y＝2sin2x＋3 y＝sinx

倍(縱坐標(biāo)不變)y＝sin2xy＝sin2x 象向左平移6y＝sin2x＋6＝sin2x＋3

y＝sin2x＋3 規(guī)律方法函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種五點(diǎn)法：用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖，主要通過變量代換z＝ωx＋φz

，2π來，2，出相應(yīng)的x，通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖三角函數(shù)圖象進(jìn)行平移變換時(shí)注意提取x的系數(shù)，進(jìn)行周期變換時(shí)，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇叮貏e注意相 1】(1)(2013·茂名二模)y＝sin6x＋4 π

C．y＝sin6x＋8 2ω＞0，－2ωφ 解析y＝sin6x＋4π― 8

π

sin

—＝sin

＝sin6x－

答案ωω 又 ＝cos2×

，∴sinφ＝－π

π又 ②由①得f(x)＝cos2x－3，列表 30π35x0π652π1210012考點(diǎn) 【例2】函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分 解析A＝

4＝12－3＝4Tω＝ 又3，0 φ＝3f(x)＝ 法 列方程組

解 f(x)＝ f(x)＝ 規(guī)律方法已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ωφ，常用如下兩種方法：由

ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近＝T即可求右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令0(ωx0＋φ＝π)，即可求出代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對(duì)A，ω【訓(xùn)練2】(2013·四川卷)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0－π 的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別 36 366 6 解析由圖象知f(x)的周期

12

＝πT＝ωω π的一

π 答 y＝Asin(ωx＋φ)3】(2012·湖南卷改編)

＝6 π π求函數(shù)g(x)＝fx－12－fx＋12的單調(diào)遞增區(qū)間 (1)由題意，得

＝π x＝6時(shí)，2sin2×6＋φ＝±2 33π

π所以解得 ＋6， ＜2，所 π

π (2)g(x)＝2sin2x－12＋

＋

＝2sin＝2sin

3 322sin＝sin2x－3cos

2cos ＝2sin3 －3

規(guī)律方法y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期為＝ωπ由－2＋2kπ22y＝sinx的對(duì)2y＝sinxx＝kπ＋π(k∈Z)2π3f(x)＝ω＞0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x)π求 y＝f(x)＋f

x44 (1)f(x)＝＝

2 則 ＝3 ＝3 f(x)＝2sinωx＋2＝2cos ωf(x)＝2cos ＝ (2)y＝2cos2x＋2cos π π2＝2cos2x＋2cos2x＋2 ＝2cos2x－2sin 4 4π

π令4－2x＝2kπ＋2(k∈Z)，y有最大值 ∈Z)時(shí)，y有最大值 在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí)，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握，無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看變量起多大變化，而不是由圖象確定函數(shù)解析式：由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖破口，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個(gè)“零點(diǎn)”和第二個(gè)垂直的每一條直線均為其圖象的對(duì)稱軸，這樣的最近兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值是半個(gè)周期(或兩個(gè)相鄰平衡點(diǎn)間的距【典例】(2013·福建卷)將函數(shù) π的象向右平移φ(φ>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若33

2)φ

[解析 依題意， 2333所以 3 因?yàn)椋?＜θ＜2，所以θ＝3，則3－2φ＝2kπ＋3或 3(k∈Z)，即φ＝－kπ在 ∈Z)中，取k＝－1，即得 6 [易錯(cuò)警示]函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)的圖象向右平移φ個(gè)單位[防范措施]對(duì)于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變自變量x，如果x的